Решение школьных задач повышенной вычислительной трудности с использованием частных производных Текст научной статьи по специальности «Математика»

Кошелева Н.Н.1, Никитина М.Г.2 ©

1,2Доцент, кандидат педагогических наук, кафедра «Высшая математика и математическое моделирование»,

Тольяттинский государственный университет

РЕШЕНИЕ ШКОЛЬНЫХ ЗАДАЧПОВЫШЕННОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТРУДНОСТИ СИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Аннотация

В статье рассматриваются методы решения задач нелинейного программирования, в частности метод, основанный на применении частных производных. Приводится ряд задач, решаемых этим методом.

Ключевые слова: нелинейное программирование, частные производные, наибольшее и наименьшее значение функции.

Keywords: nonlinear programming, partial derivatives,the highest and lowest value of the function.

Составной частью математического программирования является нелинейное программирование, в котором нелинейная функция представлена определенными ограничениями или целевой функцией. Основной задачей данного раздела является нахождение оптимального значения заданной целевой функции с определенным количеством параметров и ограничений.

Задачи нелинейного программирования отличаются от задач линейного содержанием оптимального результата не только в пределах области, имеющей определенные ограничения, но и за ее пределами. К таким типам задач относятся те задания математического программирования, которые могут быть представлены как равенствами, так и неравенствами[2].

Критерием классификации нелинейного программированияявляется функция ограничений и размерности вектора решений xF(x). Так, название задачи зависит от количества переменных. При использовании одной переменной нелинейное программирование может быть выполнено с помощью безусловной однопараметрической оптимизации. При числе переменных свыше одной можно использовать безусловную многопараметрическую оптимизацию.

Для решения задач линейности используют стандартные методы линейного программирования (например, симплекс-метод). А вот при нелинейном общего способа решения не существует, выбирается в каждом отдельном случае свое, и оно также зависит от функции F(x).

Нелинейное программирование встречается в обыденной жизни довольно часто. Например, это непропорциональный рост затрат количеству произведенных или закупленных товаров.

Иногда для нахождения оптимального решения в задачах нелинейного программирования стараются выполнить приближение к линейным задачам. Примером могут служить квадратичное программирование, в котором функция F(x) представлена полиномом второй степени по отношению к переменным, при этом соблюдается линейность ограничений. Вторым примером служит использование метода штрафных функций, применение которых при наличии определенных ограничений сводит задание поиска экстремума к аналогичной процедуре без таковых ограничений, решаемой значительно проще.

Однако если анализировать в целом, то нелинейное программирование представляет собой решение задач повышенной вычислительной трудности. Очень часто во время их решения приходится использовать приближенные методы оптимизации. Еще одно мощное средство, которое может быть предложено для решения такого типа задач - численные методы, позволяющие найти верное решение с заданной точностью [1].

Напомним, что функция z = f (x,y) двух переменных х и у имеет в точке P0(x0; y0) е G локальный максимум (минимум), равный f (x0; y0), если существует такой круг с центром в точке Р0 , что для всех отличных от Р0 точек Р(х;у) из этого круга имеет место неравенство f (P) < f P (f(P) > f (P0)).

Необходимый признак существования экстремума: если функция f(x,y) в точке Ро имеет

локальный экстремум (т.е. локальный минимум или локальный максимум), то в этой точке обе

© Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., 2013 г.

частные производные первого порядка, если они существуют, равны нулю или хотя бы одна из них в этой точке не существует (критические точки) [4].

Частные производные функции находятся по обычным правилам дифференцирования: нужно лишь при дифференцировании по х считать постоянной переменную у, а при дифференцировании по у считать постоянной переменную х.

Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна в некоторой ограниченной и замкнутой области и имеет в ней конечные частные производные. Тогда в этой области (т.е. внутри или на границе) найдется точка, в которой функция удостигает наибольшего (наименьшего) значения. При этом ясно, что функция может достичь наибольшего или наименьшего значения или в точках локального экстремума, или на границе области. Поэтому для того чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в данной области, нужно вычислить значения функции во всех внутренних критических точках и сравнить их со значениями функции в граничных точках области. Наибольшее из этих значений соответствует абсолютному максимуму (т.е. наибольшему значению функции во всей области), а наименьшее - абсолютному минимуму (т.е. наименьшему значению функции во всей области).

Задача 1. Пусть требуется найти наибольшее значение функции u = sin x + sin y - sin(s + y) в треугольнике, ограниченном осьюОх, осью Оу и прямой х+y =2п.

Решение.

Перепишем условие задачи так:

x + y £ 2р x > 0, y > 0; u = sin x + sin y - sin(x - y) ® наиб.

Имеем

ux = cos x - cos(x + y), uy = cosy - cos(x + y).

Внутри области (рис. 1) производные обращаются в нуль в единственной точке (2р /3; 2p /3), в которой u = 2л/з/2. Так как на границе области, т.е. на прямыхх=0, у=0 и x+y=2n, наша функция равна

0, то найденная выше точка (2р /3; 2p /3) и доставляет функции наибольшее значение (абсолютный максимум).

Задача 2. Среди всех вписанных в данный круг радиуса Я треугольников найти тот, площадь которого наибольшая.

і

2п

Si'. х^у=2ті

0 — р. 2г,

X

Рис. 1.

Рис. 2.

Решение.

Если через х,у^ обозначить центральные углы, опирающиеся на стороны треугольника (рис. 2), то они связаны зависимостью

х + у + z = 2р ,

откуда

z = 2р - х - у.

Площадь S треугольника через них выражается так:

S = 1R2 sin x + 1R2 sin y + 1R2 sin z =

2 2 2

1 2

= 2 R (sin x + sin y - sin(x + y)).

Область изменения переменных х и у здесь определяется условиями: x > 0, y > 0, x + y > 2% . Нужно найти те значения переменных, которые сообщают выражению в скобках наибольшую величину.

Мы уже знаем (задача 1), что это будет x = y = 2% /3, так что и z = 2%/3. Получается равносторонний треугольник [3].

Задача З.На плоскости дан треугольник со сторонами а ,b, с (рис. 3). На нем можно построить бесконечно много пирамид с данной высотой h. Требуется из них найти ту, которая имеет наименьшую боковую поверхность S.

Решение.

Вопрос сводится к нахождению проекции М вершины пирамиды. Положение ее определяется величинами трех перпендикуляров х, у, z, опущенных, соответственно, на стороны а, Ь, с. Каждому перпендикуляру мы приписываем знак плюс, если точка лежит с той же стороны, что и сам треугольник, и знак минус в противном случае.

Величины х, у, z связаны соотношением (Розначает площадь треугольника) aх+by+cz=2P,

откуда

2Р - aх = Ьу

z = ----------.

е

Интересующая нас боковая поверхность S выразится теперь так:

£ = ал1х2 + к2 + Ьд/у2 + к2 + Сл/?Г~кУ,

2 2 2 где zдолжно быть заменено найденным выражением; областью изменения независимых переменных х, у является вся плоскость Оху. Имеем

2£ = _^ --г^= .а = 0, л/х2 + к2 л/х2 + к2 е

2Я = , ЬУ - , ” Ь = 0,

7у2 + к2 Vz2 + к2 е

или

х _ у _ z

л/х2 + к2 д/у2 + к2 л/z2 + к2 ’

откуда

х=y=z.

Соответствующая точка М есть центр вписанного в треугольник круга.

Что этим значениям х и у отвечает наименьшее значение для £, легко показать, опираясь на то, что - при безграничном возрастании х или у - и £ растет до бесконечности.

Задача 4.Рассмотрим электрическую питательную сеть с параллельным включением. На рис. 4 представлена схема сети, причемАиВ - зажимы источника тока и Рг, Р2, ...Р„ - приемники тока, потребляющие, соответственно, токи і1, і2,..., і„. Требуется, при наперед заданном допустимом общем падении потенциала в цепи 2е, определить сечения проводов так, чтобы на всю магистраль пошло наименьшее количество меди.

(7Г) А] (^2) Аг Аз Ап-1 Л п > ' Рл

1 р! ■ • *■ *з 1 1 < 1 Р 1 ( Ггь1

Рис. 4.

Решение.

Понятно, что достаточно ограничиться рассмотрением одного из проводов, скажем ААп, так как другой провод находится в совершенно аналогичных условиях. Обозначим через Ь, 12,..., 1п длины частей ЛА1,Л1Л2,...,Лп-1Лп через ql, q2, ... ,чп - площади поперечных сечений (в мм2). Тогда выражение

щ = ^ + £ 2 ч2 + ... + £Чп как раз и представляет объем всей затраченной меди (в см2); для него нам нужно добиться наименьшей величины, принимая во внимание, что общее падение потенциала в проводе ААп должно равняться е.

Легко подсчитать, какие токи 11,12,... ,1п будут протекать в отрезках ЛA1,Л1Л2,...,Лn.1Лn цепи:

11 = к + ч + ••• + 4; 12 = ч + ••• + 1п, !п = К •

Если обозначить через р сопротивление медной проволоки длиной в 1 м и с сечением в 1 мм2, то сопротивления этих отрезков будут

_ _ А г = Рк г - Рк

Ч ’ А2 V? гп >

^ 42 Чп

так что соответствующие падения потенциала в этих отрезках, согласно закону Ома, выразятся так:

I- г1 = Ж , = г1 = р!А I - г1 - е!А

11 г111 ’ 2 2 2 ’ ■■■'>1п *п1п •

41 42 Чп

Чтобы избежать сложных выкладок, мы, вместо переменных ч1,ч2,,.,чп введем именно эти величины е1,е2,...,еп, связанные простым условием е+е2+... +еп-1+ еп=е, откуда

еп - е - е1 - е2 - ••• - еп -1.

Тогда, в свою очередь,

4 _ КА 4 - Р1212 4 _ Р1п1п _ Р1п1п

Ч\ ? Чг >••• Чп

е1 е2 еп е - е1 - е2 - ••• - еп-1

и

/2

и _ р

і1 і I і1

1111 + + 1„- 1^ „- 1 + ____________1„1 „

е е е - е - е2 - ... - е ,

12 „ - 1

причем область изменения независимых переменных е1,е2, ...,еп-1 определяется неравенствами

ее е < е

Приравнивая нулю производные и по всем переменным, получим систему уравнений

^ ?!

-V +---------^2 - 0,

|1 (е - е1 - ••• - еп- 1)

І2212 І2Ї

+ ------------------„_^-------------_ _ 0,

12 (е - е1 - •• - е„-1)

12 .I 1 І2Ї

„-1 „-1 +____________________________________„ „__ о

І„-1 (е - е1 - ... - е„-1)

откуда (снова вводя е„)

l2I l2I l2I

*1-4 _ 2 2 _ _ ln* n

2 2 "• 2 ' ^1 ^2 ^n

Удобно обозначить общую величину всех этих отношений через1/12 (1 > 0).

Тогда

е1 = 1 1Ж, е2 = 1 •••, еп = 1 ,

причем 1 легко определяется из условия е1 + е2+...+еп-1 + еп=е:

1 = ^-----------------------г=.

11Л1 1 + 12У 12 + ••• + ^пл/^п

Так как, при приближении точки (е1,е2,...,еп-1) к границе области растет до бесконечности, то найденные значения е1г е2,..., еп-1, еп действительно доставляют функции и наименьшее значение.

Наконец, возвращаясь к нашим основным переменным ql, q2,..., qn, находим

ql = -^л/Л 42 = J412,•••, Чп =

так что наивыгоднейшие сечения проводов оказываются пропорциональными корням квадратным из соответствующих сил тока.

Литература

1. Абатурова В.С. Математическое моделирование школьникам. Линейные модели. Учебное пособие. Владикавказ,2007.-112с.

2. Википедия// Свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://m.wikipedia.org/wiki/Нелинейное_прогpаммирование

3. Козин Р.Г. Математическое моделирование: примеры решения задач. МИФИ, Москва.2010

4. Корнев Г.П. Модели физических тел и явлений. - М.: Наука, 1992.