Обучающая модель решения текстовых задач на нахождение наибольших и наименьших значений Текст научной статьи по специальности «Математика»

менения знаний, то, с нашей точки зрения, выполнение наиболее типичных заданий необходимо, во-первых, снабжать алгоритмом их решения, а, во-вторых, иллюстрировать само решение.

Электронный учебник содержит 8 разделов, последний из которых - обобщение полученных знаний, систему гиперссылок и глоссарий. Большая часть разделов включает в себя теоретический материал, соответствующий определенной теме, рекомендации к решению типовых задач, разобранные примеры, алгоритмы решения типовых задач раздела.

Кроме того, каждый раздел включает задания к теме, содержащие всплывающие указания и ответы, что позволяет студентам проводить эффективный самоконтроль усвоения предложенной темы.

Основные понятия и их свойства визуализируются.

Электронный учебник удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к академическому тексту УМК, и, следовательно, может быть использовано как его компонент.

Кроме самого пособия нами создан ряд заданий и тестов, часть из которых направлена на промежуточный контроль знаний, часть - на тренировочный, и часть - на итоговый. Тренировочные задания встроены в оболочку электронного учебника и предполагают возможность просмотреть кроме ответа само решение, задания для промежуточного и итогового контроля в основном констатируют сформированность тех или иных знаний и умений и рекомендуют студентам освежить знания по тому или иному разделу. Большое число промежуточных заданий позволяет своевременно, т.е. до этапа итогового контроля, корректировать знания студентов, акцентировать их внимание на допущенных ошибках и устранять их причины. Это достигается тем, что часть заданий промежуточного контроля сконструирована таким образом, что провоцирует студента на ошибку при условии непрочности знаний и несформированности навыков.

Ознакомиться с учебно-методическим комплексом по разделу «введение в анализ» можно на сайте ТГПИ: http://tgpi.ttn.ru/forstud.html

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бальцюк Н.Б. Научно-методические основы использования современных компьютерных образовательных технологий // Актуальные проблемы подготовки будущего учителя математики. Калуга, 2002. Вып. 4. С. 257-263.

2. Золотавина Ф.Г. Компьютеризация учебного процесса. http://www.utmn.ru.

3. Клименко Е.В. Компьютеризация обучения математике как мощное средство формирования профессиональных умений студентов // Материалы VI межвузовской научно-практической конференции «Проблемы педагогической инноватики». Тобольск, 2001. Ч. IV. С. 67-70.

4. Крушель Е.Г. Компьютеризация обучения: pro&contra. http://www.conf2002.nm.ru.

5. Куприянов М., Околелов О. Дидактический инструментарий новых образовательных технологий // Высшее образование в России. 2001. № 1.

6. Степанова Т.А. Использование электронных средств обучения в курсе «Численные методы» в условиях открытого образования // Открытое образование. 2002. № 2. С. 40-47.

7. Черных А.А.О дидактических требованиях к обучающим компьютерным программам http://conf-vrn.narod.ru/conf2/part3/chernyh21 .htm

Н.Е. Ляхова

ОБУЧАЮЩАЯ МОДЕЛЬ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ

Текстовые задачи на наибольшее и наименьшее значения объективно являются трудными задачами, как для учащихся средней школы, так и для студентов вузов. Затруднения, возникающие при решении этих задач (как и сюжетных задач на составление уравнений), как правило, связаны с переходом от реальной ситуации, описанной в тексте задачи к ее математической модели.

Создание модели требует умения выполнять два важных действия: перевод языка задачи на математический язык и обратно - интерпретация результата решения, полученного на математическом языке терминами текста задачи.

Очевидно, что основным затруднением является нахождение нужного «языка», который, в свою очередь, определяется некоторой математической теорией. Субъективное же выражение трудностей при решении рассматриваемого вида задач, по мнению учащихся и студентов, таково, что они не знают, что конкретно они должны найти в тексте задачи.

Данная статья посвящена раскрытию теоретических основ рассматриваемого вида задач и соответствующей обучающей модели.

Задачи на наибольшее или наименьшее значение относятся к разделу «Применение производной к исследованию функций одной переменной». Однако, если посмотреть на эти задачи с точки зрения теории функций многих переменных, то фактически любой сюжет задачи на наибольшее или наименьшее значение описывает некоторую величину, являющуюся функцией нескольких переменных, которые, если пользоваться соответствующей терминологией, удовлетворяют некоторой системе уравнений связи. Отметим, что уравнений связи в системе на одно меньше, чем переменных. Но, в отличие от задач на нахождение условного экстремума в теории функций многих переменных, система уравнений связи в рассматриваемых задачах всегда позволяет явно выразить все переменные через одну из них (независимую переменную, пробегающую некоторый промежуток X ), а это, в свою очередь, позволяет свести исследование функции нескольких переменных к исследованию функции одной независимой переменной на множестве X . Множество X также определяется (явно или неявно) условиями задачи. Учитывая вышесказанное, предлагаем учебный алгоритм, который, с одной стороны, является средством решения задач данного класса, с другой - средством интуитивного осмысления новой математической теории, а с третьей - средством обучения школьников решению нестандартных задач указанного вида.

Итак, решение текстовых задач на нахождение наибольшего или наименьшего значения функции можно разбить на три этапа: первый этап - составление математической модели реальной ситуации; второй этап - исследование полученной модели; третий этап - возврат к реальной ситуации и ответ на поставленный в задаче вопрос.

На первом этапе при составлении модели можно придерживаться следующего алгоритма.

1. Выявить и ввести обозначение величины, которая по условию задачи должна принимать наибольшее или наименьшее значение (т.е. оптимизируемой величины). Например, обозначим ее у .

2. Ввести обозначение неизвестных (переменных, аргументов), в зависимости от которых,

по условию задачи, у изменяет свое значение. Например, обозначим их ,Х2Хи. В основу

выбора неизвестных может быть положен простой принцип: неизвестные следует вводить так, чтобы с их помощью наиболее легко можно было записать в виде уравнений или неравенств имеющиеся в задаче условия.

3. Исходя из условий задачи, записать закон (функцию), по которому у выражается через

4. Если переменных более одной, то из условий задачи выделить те, которые устанавливают связь между переменными и записать уравнения связи

5. Из уравнений связи выразить все переменные через одну из них, например, через Х и для удобства переобозначим ее Х

у = Р(х1,х2,...,хп).

(1)

g1(xl,x2,...,xn) = 0, g2(xl,x2,...,x„) = 0, Еп-1(х1,х2,...,х„) = 0

Xj =х,х2 = 1\(х),х3 = h1(x),...,xn = hn_l(x) (2)

и указать множество X - область изменения этой переменной, исходя из условий задачи.

6. Подставить выражения (2) в формулу (1), при этом мы получим функцию одной переменной x

f(x) = F(x,hl (х), ¡ц (х),..., hn_x (х))

заданную на множестве X .

Замечание. Выбирая переменную в пятом пункте алгоритма, необходимо учитывать два момента: во-первых, возможность относительно просто указать для этой переменной область ее изменения, а, во-вторых, итоговая функция в зависимости от выбора переменной может быть проще или сложнее для дальнейшего исследования.

На этом этап создания модели завершен и можно переходить ко второму этапу, а именно, нахождению наибольшего или наименьшего значения функции у = f(x) на множестве X .

Заметим, что при решении сюжетных задач на нахождение наибольшего или наименьшего значения возникает, как правило, математическая модель одного из следующих типов.

1. Множество X есть отрезок [a; b] и функция f (х) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда, если функция f (х) на отрезке [a;b] имеет локальные максимумы в точках хх,...,хк и локальные минимумы в точках ~,..., Хт и не имеет других точек локального экстремума, то наибольшее значение функции f (х) на отрезке [a; b] равно наибольшему из чисел f (a), f (Xj),..., f (xfc), f (b) , а наименьшее значение этой функции на отрезке [a;b] равно наименьшему из чисел f (a), f ),..., f (Х ), f (b) .

2. Множество X - произвольный промежуток (отрезок, интервал, полуинтервал, луч, вся числовая прямая); функция f (х) непрерывна и имеет на нем единственную точку экстремума

х . Тогда, если х - точка максимума, то f ( х ) - наибольшее значение функции; если х - точка минимума, то f ( х ) - наименьшее значение функции на этом промежутке.

3. Множество X - промея^ток [а;Ъ) (или а,Ь , или [а;+оо)) и функция f(x) возрастает (убывает) на X . Тогда на этом промежутке она имеет наименьшее (наибольшее) значение /(*)•

Множество X - промежуток (а; Л] (или а; Ъ , или (—оо; Л]) и функция f (х) возрастает

(убывает) на X . Тогда на этом промежутке она имеет наибольшее (наименьшее) значение f (b) .

На третьем этапе необходимо вернуться к сюжету задачи и, используя результат исследования, дать ответ на поставленный в задаче вопрос.

Проиллюстрируем применение изложенного алгоритма при решении следующих задач. Рассмотренные ниже задачи отличаются как по сюжетам, так и по типам математических моделей, используемых в процессе их решения.

Задача 1. Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда равна 104, а площадь одной из его граней в 3 раза больше площади другой грани. Найти наименьшее значение суммы длин всех рёбер такого параллелепипеда.

Решение.

I этап. 1.Оптимизируемой величиной будет сумма длин всех рёбер параллелепипеда. Обозначим её P .

2. Переменными будут длины рёбер параллелепипеда , обозначим их x, y и z . Заметим, что x>0,y>0,z>0.

3. Величина

P = 4(x + y + z) (1.1)

зависит от трех переменных Х, у и г .

4. Найдем уравнение связи между переменными. Из условий задачи известно, что:

1) площадь полной поверхности параллелепипеда равна 104.

V - V

поли ~ ° бок ~ ^ осн ■

86ок=2(х + у)г, 8осн=ху

Следовательно, 8пот - 2{х + у) г + 2ху; т.е. 2(х + у) г + 2ху = 104.

2)площадь одной из его граней в 3 раза больше площади другой грани, т.е.

гх = 3 гу.

Таким образом, получаем два уравнения связи

2(х + у) г + 2ху = 104, (1.2)

гх = 3 гу. (1.3)

5. Выразим переменные X и г через у . Т.к. г > 0, то из уравнения (1.3) имеем х = 3у. Тогда из уравнения (1.2) получим

2(3у + у)г + 2у3у = 104, Зу2+4уг-52 = 0,

52-3 V2

г =-—.

Т.к. 2 > 0 и у > 0. то должно выполнятся следующее неравенство:

52-3/

-— >0.

4у

[52

Откуда, 0< у< .

6. Подставляя найденные Х и г в (1.1), получим функцию одной переменной у 4 У

П [52

заданную на множестве 0 < у < .

1~52

II этап. Исследуем функцию Р(у) на наименьшее значение на интервале (0; Для

этого найдем её производную

Пу) = 13(у-2У+2). У

Приравняв производную к нулю, найдем стационарные точки: у1 —2,у2 = —2 . Заметим, (52

что —2 £ (0; )-Таким образом, функция Р(у) имеет единственную стационарную точку

о [52

у = 2 на интервале (0; )•

52

Имеем, Р'(у) <0 на интервале 0; 2 , Р'(у) > 0 на интервале (0; ). Следовательно,

[52

у = 2 точка минимума. Так как функция Р(у) на интервале (0; ) имеет единственную точку экстремума, а именно точку минимума, то в этой точке функция принимает наименьшее значение Р( 2) = 52.

Ш этап. Ответ. Наименьшее значение суммы длин всех ребер заданного параллелепипеда равно 52.

Задача 2. На координатной плоскости рассматривается прямоугольник АВСБ, у которого

АВ лежит на оси ординат, вершина С - на параболе у — х2 — 4х + 3, вершина Б - на параболе

у — —X2 + 2х — 2. При каком значении абсциссы вершины Б, принадлежащей отрезку

4 3 5;2

площадь прямоугольника АВСБ будет наибольшей? Решение.

1 этап. Оптимизируемой величиной здесь будет £ - площадь прямоугольника АВСБ.

Ау

0 в 1 - С /

-1 0 1 \ ; 2 /3 1 / X

-1 - 1

А О

1

Величина £ = АО • ЭС. Пусть X - общая абсцисса точек С и Б. Тогда АО = X, ордината

точки С

Ус — х — 4л" + 3 . ордината точки Б

уп - -х~ +2х — 2.

БС= ус — ув — 2х~ — 6х + 5 . Получаем, что величина £ является функцией переменной X :

или

S(x) = x( 2х2-6х + 5) S(x) = 2x3 -6х2 +5х,

где, по условию задачи, X <

4 3

5;2

П этап. Исследуем функцию S(x) = 2х3 — 6Л"2 + 5Л" на наибольшее значение на отрезке

4 3

5;2

, для этого найдем производную функции S(л) .

S' х - 6х2 -12х + 5 = 6

( f х-

V V

w

J )

{ г

\\

1 +

V V

JJ

S' X = 0 при х = 1 + —!= и х = 1--\=;

•ч/б

l + -¡=

л/б Л л/б

4 3

5;2

1-

<É

4 3

5;2

, 1

Таким образом, функция имеет единственную стационарную точку X = 1Н—р=- на отрезке

у/6

4 3

5;2

S' х <0

i 1 3 V6 2

на полуинтервале

1

4 i 1

~ i 14—т= 5 у/6

S' х > 0

на полуинтервале

. Следовательно, X = 1Л—-¡= является точкой минимума и, вообще говоря, нас не

-у 6

интересует, так как нам нужно найти наибольшее значение функции. Таким образом, наибольшим будет одно из значений функции на концах отрезка. Б

148 a S 3

— =- — = —

UJ 125 UJ 4

4

числа, получаем, что наибольшее значение функция принимает в точке X — — .

4

Ш этап. Ответ. При значении абсциссы вершины D - х — — площадь прямоугольника

ABCD будет наибольшей.

Задача 3. Стороны прямоугольника равны 3 и 10. Через каждую точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 12. Найти наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника. Решение.

1 этап. 1. Пусть □ ABC - треугольник, отсекаемый от прямоугольника. Оптимизируемой величиной является площадь оставшейся части прямоугольника

S — 3 О — S„. тщ.

1

1

2. Пусть X - катет □ ABC, отсекаемый на меньшей стороне прямоугольника, y - катет □ ABC, отсекаемый на большей стороне прямоугольника.

3. Тогда величина £ = 30--XV зависит от

2

двух переменных X и y .

4. Воспользуемся условием, что Ра4ВС = 12 и запишем уравнение связи между переменными X и у .

х + у + -у/х2 + у2 -12.

5. Выразим у через X :

yjx2 + y2 =12- x-y <=>

12-х-у > 0,

х2 +у2 = 144 + х2 +у2 -24х-24у + 2ху; у 24-2х =144-24*, х + у<\2.

Так как X Ф 12, то у ■

\2x-12 х-12

1

6. Подставляя полученное выражение для у в формулу £ = 30--ху. получим, что величина £ является функцией одной переменной

с -з л ,х2~6х

Ь х =30-6-

х-12

Поскольку X - катет, отсекаемый на меньшей стороне прямоугольника, то 0 < X < 3 Заметим, что на первый взгляд выбор в качестве независимой переменной X или у равнозначен, но если вдуматься, то область изменения переменной у неочевидна, т.к. промежуток

0; 10 не может являться ею в силу того, что Рп 4ВС =12.

П этап. Исследуем функцию £(х) на промежутке 0; 3 на наибольшее значение.

2*-12 х-12 -х2+6х х £ х =-6-=-= = -6 —

- 12-6^2 х- 12 + 6^2

х-12

х-12

Заметим, что на полуинтервале 0; 3 £' X < 0, следовательно, функция £ X убывает на этом промежутке и принимает наименьшее значение £(3) = 24 .

Ш этап. Ответ. Наименьшее значение оставшейся части прямоугольника будет равно 24.

Изложенный выше алгоритм и сопровождающие его три математические модели представляют собой, так называемую, обучающую модель. С ее помощью можно построить учебный процесс, направленный на изучение конкретных моделей решения текстовых задач на нахождение

2

наибольших и наименьших значений. Практика использования вышеприведенной обучающей модели в учебном процессе, как в средней школе, так и в вузе, показала ее эффективность.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Клово А.Г., Калашников В.Ю., Середа А.М., Ляхова Н.Е., Макарченко М.Г., Дячен-ко С.И. и др. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену по математике в 2006 году. М.: Федеральный центр тестирования, 2005.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Физмат-гиз, 1963.

М.Г. Макарченко

ПРЕДСТАВИМОСТЬ ПРЕЕМСТВЕННО-ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ МЕТОДИЧЕСКОЙ

КОНТЕКСТУАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ В ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКАХ АЛГЕБРЫ

Восприятие любой информации, в частности и математической, и методической, всегда контекстуально и вне контекста осуществляться не может. Учитель математики все время находится в «контексте» преподаваемого им учебного предмета: в контексте программно-административной документации, в контексте концепции и технологии обучения, в контексте учебно-методического комплекса, личностного и авторского подходов к образовательному процессу и т.п. Он не бывает свободным от контекста. По мнению А.В. Брушлинского, контекст может оказывать тормозящее или активизирующее влияние на процессы мышления, препятствовать или способствовать возникновению проблемных ситуаций [3]. Контекст проецируется в систему восприятия опытного педагога в опережающем режиме, упреждая восприятие и создавая информационную базу, на основе которой происходит опознание раздражителя. Правильное дееспособное методическое опознание позволяет должным образом регулировать образовательный процесс. Методический контекст молодого неопытного педагога, как правило, является «слабой» не оформившейся психической конструкцией, когнитивная структура которой не укомплектована достаточным количеством взаимосвязей, жаждущая апперцептивного обогащения и очень шаткая с точки зрения антиципационной деятельности. В связи со сказанным необходимо на базе педвуза начинать формирование методического контекста будущего учителя математики. Учитывая, что речь идет о контексте учителя математики, уместнее говорить о методико-математическом контексте.

Данная работа связана с рассмотрением некоторых аспектов методико-математического контекста учителя математики, прежде всего касающихся восприятия им школьного учебника математики. Учебник содержит в себе информацию и математическую (предметную), и выражает авторский сценарий организации образовательного процесса как в целом, так и локально (методическая информация). «Просканировать» методический замысел автора и грамотно спрогнозировать его реализацию - целевое предназначение методико-математического контекста учителя.

Для ведения предметного разговора введем некоторые важные понятия и раскроем их содержание.

Контекстуальные системы (КС) - формы организации когнитивного материала, образующие системы и участвующие в процессе восприятия [2, 333]. КС участвуют в формировании у человека контекстов, связанных с различными областями жизнедеятельности. Под контекстом понимается «психическая конструкция, образованная совокупностью КС; мемориально-когнитивный тезаурус индивида, осуществляющий информационное обеспечение психической деятельности» (там же).

Под методико-математической КС будем понимать:

1) форму организации когнитивного методико-математического материала, образующую систему в сознании учителя и участвующую в процессе восприятия явного или иным образом представленного образовательного процесса по математике;