CC BY
81
Вычислительные технологии
Том 2, № 4, 1997
РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ УПРУГОСТИ НА ОСНОВЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С НЕЗАВИСИМОЙ АППРОКСИМАЦИЕЙ СМЕЩЕНИЙ
, В. Д. Кургузов Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН
Новосибирск, Россия
A plane static problem of elasticity theory is considered for the case when the domain where solution is sought can be partitioned into arbitrary quadrangular elements. An approximation is constructed with the deformations constant within the element. When the domain is partitioned in quadrangular elements this is possible when two approximating functions are used for the shifts. The euations of the element rigidity are formulated on the basis of the quadratic approximation, the conditions are gi- ven when both rigidity variants coincide. The problem solution for the assumed approximation is reduced to the solution of the system of algebraic equations. The solvability of the equation of elements unification (join) is proved as well as the extremal property of the solution of the elements unification equation and, the solution convergence to the exact solution.
Метод конечных элементов (МКЭ) является универсальным методом сведения краевых задач для дифференциальных уравнений к системам алгебраических уравнений и в настоящее время широко используется для решения задач механики сплошной среды в приложении к широкому классу научных и инженерных проблем. МКЭ составляет алгоритмическую основу многих пакетов прикладных программ, используемых в различных сферах человеческой деятельности. Теоретическим основам этого метода, технике его реализации и решению прикладных задач посвящено большое количество монографий и научных статей.
Наиболее распространенным типом конечных элементов являются элементы, сопряжение которых между собой производится в отдельных узлах [1, 2]. Использование таких элементов для решения задач с сингулярными особенностями в напряжениях приводит к значительным трудностям. В узлах, попадающих на особые точки, приходится применять дополнительную технику. Получить решение таких задач на равномерных сетках практически невозможно. Одним из способов повышения точности численного решения является сгущение сетки, что ведет к резкому увеличению объема вычислений и снижению скорости сходимости. Возможно применение и специальных вариационных методов и аппроксимаций, позволяющих учесть аналитическую природу особенностей [3, 4], что, однако, также усложняет технику численной реализации решения.
© Г. В. Иванов, В. Д. Кургузов, 1997.
Г. В. Иванов
В задачах с сингулярными особенностями в напряженных состояниях применение конечных элементов, условия сопряжения которых формулируются в виде условий непрерывности усилий и моментов на их гранях, оказывается намного эффективнее, чем использование традиционных конечных элементов [5, 6]. Эти элементы не содержат сингулярных точек, поскольку в них входят только величины, осредненные по граням. Такие элементы являются естественными регуляризаторами в задачах с особенностями. В работах [5, 6] проведено их сравнение с традиционными конечными элементами на примерах решения ряда конкретных задач. Наиболее эффективны такие элементы для областей, составленных из параллелепипедов в трехмерных задачах и прямоугольников в двумерных задачах.
Процедура нескольких аппроксимаций напряжений и смещений позволяет строить четырехугольный конечный элемент, для которого условия сопряжения формулируются в виде условий непрерывности усилий и смещений на его гранях. В стандартном МКЭ аппроксимация с постоянными в пределах элемента деформациями строится лишь в случае разбиения области на треугольные элементы. Ниже показано, что аппроксимацию с постоянными в пределах элемента деформациями можно построить и при разбиении области на четырехугольные элементы, если для каждой из компонент смещения использовать не одну, как обычно, а две аппроксимации.
1. Косоугольные координаты в произвольном четырехугольном элементе
Рассмотрим произвольный четырехугольный элемент на плоскости Оххх2 прямоугольных декартовых координат (рис. 1).
Рис. 1.
Введем в элементе косоугольную систему координат £1, £2, связь которых с декарто-
ляется соотношениями
X = N1х1 (г = 1, 2), (1)
1 2
выми координатами х1, х определяется соотношениями
где
N1 = ^(1 - £1)(1 - £2), N2 = !(1 + £1)(1 - £2),
N3 = 1(1 + £1)(1 + £2), N4 = 1(1 - £1)(1 + £2) -
функции формы четырехугольного элемента, -1 ^ £а ^ 1 (а =1, 2), х1 (г = 1, 2, 3 = 1,..., 4) — координаты вершин четырехугольника. Используется обычное правило
суммирования по повторяющимся индексам. В плоскости £1, £2 четырехугольнику соответствует квадрат (рис. 2).
Рис. 2.
Очевидно,
где
Хд = « + 71 С2, х1 = ві + 7і£
Х21 = «2 + 72^2, х22 = в2 + 72^
«і — -(х2 — хі + х3 — х4), ві — т(х3 — х1 + х4 — х2)
4
Ті = 4(х1 + х3 — х2 — х4) , х\к
4
дхі
дё
(і, к =1, 2).
Используя связь между дифференциалами
деа дхк
,хк, ,хк = —
дхк
дЄ°
находим, что
и, следовательно,
1 = де1 дх^ 1 + де1 дх^ ,.2 ае 5хк д.1 + 5хк д.2 ’
^ ^х1 5с1 5х2 1 і ^х1 д.1 5х2 1
0 ^ ^ ^ -< + іЛ О , 1 О 1 +
д.2 ^х1 д.2 5х2
5с1 ^х1 д.1 5х2
Поэтому
где
х 2
Аналогично находим
д.1 = х22 д.1
дх1 л/д^ 5х2
П 12 12
/ /■( - ,-у» ,-у»" _ ,-у» ,-у»"
уд — х,1х,2 х,2 х,1*
д.2 = д.2 = _
дх2 дх1 у/д
(2)
(3)
(4)
(5)
1
1
а
2. Базис из нормалей и касательных к координатным линиям ^1,
Обозначим
где
Ь1
Э1
|Э1| ’
Ь
2 =
Э1
д.!
дхк
ек,
Э2
Э2
|Э2|’
дхк
д.2
(6)
ек.
Векторы Ь1, Ь2
12 — единичные векторы нормали и касательной к координатным линиям £2 (рис. 3), ек = ек — базисные векторы декартовой системы координат. Аналогично векторы
Э2 Э
ь2 = 1Э2Т- ь‘ = ТЭТ — (7)
единичные векторы нормали и касательной к координатным линиям £1 (рис. 4). Очевидно,
21 Х2^! — X 2е2 , , , ,
Э1 = ’2 1 _ ’2 2, |э!|^9 = |Э2|,
и поэтому
V9
д Э1
х221ві — Х121в2 — Э1
Э2
д Э1 д Ь1
Ь1
д.1
д Ь1 дё1 =
1 21 12
V9 х,21х,2 - х,21х,2) :
д ( Э1) = і(дЭ
дё1 V |Э1^ |Э1^ де1
) = (72в1 — 71в2),
Э1 д|Э1|'
О, Ь
д Ь1
12 2 1 х ,2х ,21 х ,2х ,21
1 1Э11 д. 1 у
ъв1 — 71в2
2 *
дё1 (х22)2 + (х12)2 (х22)2 + (х-2)2 '
Рис. 3.
Рис. 4.
Аналогично получаем д Ь2
Ь2
д.1
О, Ь1
д Ь2 дё1
2 1 1 2
/у** '’У*± __ '’У*±
х,2х,21 - х,2х,21 Л )2
71в2 — 72в1
(х12)2 + (х22)^ (хМ2 + (х22)2
1
Заметим, что согласно (2) и (6) векторы Ь1, И2 не зависят от £2. Таким образом,
д Ь1 д дИ2 1 д И2
д£1 = ЛЬ2- = 0. = -АЬ1.
А = х12х221 — х22х121 = 72^1 — 71^2 (8)
= (х22)2 + (х12)2 = (х22)2 + (х12)2 • ( )
Заменяя в (8) индексы 1 на 2 и 2 на 1, находим
дЪ! = — = 0 дЬ = _ ВЬ2 9Ь1 =о
д.2 11 д.1 0 д.2 ^ё1 0
2 1 12
_ = х21х112 — х11х212 = 71^2 — 72^1 (9)
(х11)2 + (х21)2 (х11)2 + (х21)2
3. Уравнения равновесия
Пусть а" — декартовы компоненты тензора напряжений. Одна из форм уравнений равновесия имеет вид
да"
^ + Л = °' <10>
где /г — декартовы компоненты вектора массовых сил.
Пусть ёу — декартовы компоненты тензора скоростей деформаций:
=ка+э)' »»
где и — декартовы компоненты скоростей частиц.
Для записи уравнений в иных чем (10) формах удобно использовать принцип виртуальных скоростей [7]:
г г г 1 / я?/* 9й*\
J а"ё*3^ = у удап + ^ ^= - (дху + 9хі] , (12)
П П Ба
где и* — произвольные компоненты вектора скорости, равные нулю на той части границы Би области П, где заданы смещения.
Если и* рассматривать как функции переменных £а, то
.* = 1(зщ деа+ди* дёа) (п)
" Дд£а дхз + д£а дх*у • ( )
Заметим, что
^П= |Э1 х Э2|^£ 1^£2 = ^£М£2. (14)
Используя (12)-(14), можно записать принцип виртуальных скоростей в виде
Л (а"дё?а<^ё2 = 1 /г?^£Ч2 + /Р?«,*<І5„• (15)
П П Ба
0
Из (15) следует, что уравнения равновесия можно записать как
Используя обозначения
■ • д.0 •
ра = а^д^ ег, Ґ = /гег
уравнения (16) можно записать в векторной форме
д ра
+ л/9^ = 0;
здесь р1, р2 — векторы усилий на площадках с нормалями Ь1, Ь2 (рис. 5)
(16)
(17)
(18)
Рис. 5.
4. Уравнения связи векторов усилий со смещениями
Пусть в ^ — декартовы компоненты тензора деформаций, и — вектор смещения. Тогда
1 ( д и
д и
2 І дхг Є" + 9х"
Если рассматривать и как функцию переменных £а, то
1 / ди д.0
О I Л^г е" + йСа
ди 9£с
2 \ д.0 дх) д.0 9х"
Полагаем, что а" связаны с ёгу законом Гука
а" =
где а^к1 — модули упругости частиц элемента. Из (17), (19) и (20) следует
Ра = п"кі /9д£09£!ґди '
Р ^9х" 9х* V д£в 1У
(19)
(20)
е
е
5. Уравнения жесткости элемента на основе линейной аппроксимации векторов усилий и смещений
Полагаем, что
„а _ I __а _ __а | __а
р — р(0) + р(1)£ . и — и(0) + и(1)£ .
1 дра
и(0) — и(0) = —Л°(а = 1 2)>
(22)
где Ла — заданная положительно определенная матрица; а0 — характерное напряжение; Р(к), и“к) (к — 0, 1), и(о) — искомые, постоянные в пределах элемента, векторы. Из (22) и уравнений
1 1
-1 -1
11
-1 -1
ра —
др0
дё0
д£° д£в / див \
^£Ч2 = 0
(23)
следует связь векторов р± = р“|?а=±1 с векторами и± = и°| _±^ Эту связь принято называть уравнениями жесткости элемента.
6. Разрешимость уравнений объединения элементов
Уравнения жесткости элементов, условия непрерывности векторов усилий и смещений на общих гранях соседних элементов и граничные условия для векторов усилий и смещений на границе объединения элементов образуют замкнутую алгебраическую систему уравнений относительно компонент векторов усилий на гранях элементов и смещений граней. Из (22) и (23) находим
1 1
д Р“ , Л1^2
и
(0)
-1 -1
д£0
1 1
и
(0)
-1 -1 1 1
/ /
-1 -1
и, следовательно,
р0 ■
Яр0 ^£1^
д£°
д и0
1 1
-1 -1
др^ _ ^, др0
д£° аД д£° / д£°
^£4 2,
д£0 д£в / див \ ( ди
д£0
Е
V-а дх" дхД д£в ■ 1) ^д£0 ■
^£ 1^£2 = 0,
1 1
-1 -1 1 1
д
д£0
р° ■ и“) + ^ ■ и(0)
^£1^£2
иы, д£0 д£в / див \ / ди
-1 -1
Є
0
+!Л«дрЛ др0
^ёЧ2 = о,
а0 д£0 д£0
где ^ означает сумму по всем входящим в объединение элементам.
(24)
Для доказательства разрешимости уравнений объединения элементов достаточно показать, что нулевое решение этих уравнений при равенстве нулю левой части (24) единственно.
Из равенства нулю левой части (24) и положительной определенности потенциальной энергии и матрицы Л0 следует
д р0 дё0
1 / д и0 д£'
2 V д£° дх
- е,- +
ди0 д£0
д£° дх"
О, р"о) = 0-
(25)
Заметим, что компоненты тензора деформаций в косоугольной системе координат ё1, £2 связаны с Є" формулами
Л 9х* дх"
е«в = д£0 д£в
и, следовательно, могут быть записаны в виде
1 ди0 див
е«в = 2( ^ ■ Эв + ^ ■ Э0
2 д£0
Из (25), (26) и (22) находим
(26)
и1 = и2 и(0) = и(0)
и
(0),
д и1 дё1
■ Э1 = 0,
д и2 д.2
Э2 = 0,
Обозначим
д и1 Э + ди2 Э Э2 + ТТТГ ■ Э1
дё1
д£2
(27)
и
и(0) + (а11Э1 + а12Э2)£1
и
2 = и(0) + (а21Э1 + а22Э2)£2.
Согласно (27),
11
О, а22 = 0, а12 + а21
и, следовательно,
и
и(0) + а12Э2£1
и
и(0) + а21Э1£2.
(28)
Можно показать, что когда две соседние грани, входящие в состав границы, закреплены (рис. 6), смещения вида (28) невозможны, т. е. и(0) — 0, а21 — а12 — 0 во всех элементах.
Таким образом, нулевое решение системы однородных уравнений объединения элементов единственно и, следовательно, система разрешима при любых правых частях уравнений.
е
0
0
7. Экстремальное свойство решения уравнений объединения элементов
Пусть иа, и(0) — смещения, соответствующие решению уравнений объединения элементов; ца + 5иа, и(0) + 5и(0) — какие-либо смещения, удовлетворяющие граничным условиям для смещений на границе объединения элементов, причем
Очевидно,
1 д
5и(0) - 5и(0) — -Ла—*р“.
а дё°
1 1
-1 -1
д рс
+ у/&) ■ £и(0)^ёЧ2 — 0
1 1
11
-1 -1
1 1
// [р-
-1 -1
и, следовательно,
д ра дё
д
дё
*и“- — ^Л“ др“
д
^р“ + л/рт ■ 5и(0)
^Ч2 — 0,
дёа дёв / див \ / д
,ц» -^ ^ ___ . е,
дё
-5и“ • ег
2 — 0,
*» — А 2Е
1 1
1 -1
л/£а'
•ы дёа дё^ див А ( ди
дх дхк у дёв / \ дёа
ег +
+^ Л" Ш - 2^Т'Ц(0)
^ёЧ2 - V I р(0) ■ <^г* — 0
(0) ■ 5и“&х а
(29)
д ра
В (29) предполагается, что —— выражены через и(0), Ц(0); ^2 — сумма тех граней, соста-
д(ъ а
вляющих границу объединения элементов, на которых заданы усилия.
СX
(Л
Из (29) следует, что при смещениях и(0), Ц(0), соответствующих решению уравнений объединения элементов, функционал Ф имеет экстремальное значение в классе смещений Ц(0), Ц(0), удовлетворяющих граничным условиям. Нетрудно показать, что этот экстремум — максимум.
8. Сходимость решений
Пусть р“ и* — точное решение задачи теории упругости в области, занятой объединением элементов. Полагаем, что граничные условия на границе объединения элементов удовлетворяют условию
1 1
Е
-1 -1
р0 - рв) (и* - и°) ^£М£2 = 0.
Обозначим
1 1
1 1
1
1
Г° = 4 / ,1 14е2, 4
-1 -1 -1 -1
„«« дё! дёв а дх" дхк '/9®ё ^ '
Согласно (22), (23),
др“ + * = 0, р(0) - е, ,е, = 0-
д£
д£в
Из (30), (31) и уравнений д р
дЄ + = 0, р° ^а""|| §!( Ц- ,* 1е, = 0
следует
1 1
-1 -1
и* и
д(р0 - р°) д£ «
д (р0 - р'
+ -\/#ґ - Ь = 0,
д£“
+ (/Рґ - ґо) ■ и
д£0
^£1 ^£2 = 0,
1 1
-1 -1
1 1
-1 -1
СУ СУ
и - и(о)
п« и ) д (р° - р^ ,е 1 ,е2
и - и(о) і-------------------------“£ “£
д£0
др0 + („« „ ) д (р° - р
+ 1и(0) - и(о)) ■ -
^£1^£2 =
1 1
СУ (У
и - и(о)
д£« 1 V (0) (0)/ д£«
9р0 , 1 Л«др"N др0 1 Л „9р°\ др0
+ — Л'
Л'
д£° а Д д£°) д£° а Д д£°) д£'
(30)
(31)
^£Ч2
*
Таким образом,
1 1
-1 -1 1 1
(У (У
и0 - и0
11а IIа
и(0) - и
д(р° - р“) + ЛадрД др
д£0 а0 V д£а / !£'
др0 1 ( ,адр?N др
^£1^£2
+----------Л'
-1 -1 Из (31) следует
д£« а Д д£а / д£а
р? - р?о)=^и5| |^( і*-еНе.
+ (ґо - \/#ґ) и*
/ д ив
^£1 ^£2. (32)
- А?в,\ а.? 'епе.
1 1
-1 -1
д£0
1 1
"Ы д,! дев дх" дхы
д (и* - ив) ]Гд (и* - и?)
-1 -1
д£ в
е,
д£0
+1 ы? дё! !ё!_ А«в<Л( ди!
+ дхі дх* А Адёв
е,
д (и* - иа) дё"
• Єі
+
<^£ 1^£2.
Так как
1 1
-1 -1
і и?
р? - р?о0 ■ д.! ^£ ^£2 = 0,
1 1
//(/^ Щ -АавИ) (§■ е,)(
-1 -1
д и0 дё?
■ Єі ) ^£ 1^£2 = О,
то равенство (33) можно записать в виде
1 1
. д (и* - и?) 1 2
р? - р? ■ 1 ; ^£Ч2
-1 -1
11
ты д£! де!
дх" дх?
д£0
д (и* - ив) 1Гд (и* - и?)
-1 -1 1 1
+
-1 -1
д£в
е,
//(^ ш I?- лави) (!Н(
д£ «
<9и*
дё"
^£ 1^£ 2+
■ег Ы£Ч2+
1 1
+
р?о)- ра) ■ І,!<гё1‘(ё2=0-
(33)
(34)
е
е
Согласно (30), (32) и (34), 1 1
-1 -1
д£« де!
дх" дхы
д и - ив 1Г д и - и0
д£в
1 1
+
-1 -1
±(Ла ,вр« ^
а о V д£ V д£а
д р
ег
1 1
11
-1 -1
ди
д£0
(л? — і ■ др!+
+
Из (35) следует 1 1
+и“ - “(о^ ^ + № - р?о), де
(а«’“ і7?її^'(ди
дх" дхы / \ 5£в у \ 5£
а А 5£ V 5£0
+ (/Рґ - ґо)и * +
^£ 1^£2 = 0.
-1 -1 Очевидно,
-— ( л? 9р«
аД 9£а
5р«
9£«
1 1
— ( Л'
“др^ др0 + О(Л)'
-1 -1
а Д 5£а / !£'
0
1 1
— (Л
-1 -1
а0 д 0 д
0
1 1
-1 -1
_1Ла Яр" аД 9£а
5 р0
17а
1/2
1 1
^£1^£2
— ( Л'
„дрЛ др0 ^ 1^2
-1 -1
а0 д 0 д
1/2
0
(35)
(36)
При измельчении элементов, согласно (2), а,, вг, 7г ^ 0. Следовательно, согласно (3)-
(5), ж,. ^ 0, у/д ^ 0, у/р ^ ^ 0 и р( — а.у/р ^ е, ^ 0 при ограниченных а. .Отсюда
и из (35), (36) следует сходимость.
е
9. Уравнения жесткости элемента на основе
квадратичной аппроксимации векторов смещений
Наряду с указанным в разделе 5 вариантом уравнений жесткости элемента (22), (23) возможны и другие варианты. Один из них основан на квадратичной аппроксимации векторов смещений. Как и в разделе 5, полагаем, что усилия аппроксимируются линейными полиномами
ра — р(0) + р"1)ёа (а — 1, 2),
1 1
дра + ъ — 0 ъ — 4 / / т^ё 1^2- (37)
-1 -1
Аппроксимацию векторов смещений строим по правилу
дца
ра ~ (а — 1, 2),
дёа ^
т. е.
и
ц(0) + ц(1)РП) + ц(2)Р(2), Р(к) — Р(ё“) (а — 1 2),
(1^ и(2^ (2^ 1 (:) — — (38)
где Рк(ёа) — полином Лежандра к-й степени. В (37), (38) векторы р(:), Ц(:) — постоянны в пределах элемента. Полагаем, что они связаны уравнениями
1 1
-1 -1
ра - ^да«Ы1ё-- ^ (1ц • еН е,
_ж: \ 5ёв
2 — 0 (к — 0, 1).
(39)
Векторы ра, ца, удовлетворяющие условиям (37)-(39), обладают энергетическим свойством
1 1
-1 -1 1 1
„ _р ,
Ц • тт-:— + р
а Ялла
а д и .г „ \Л^1Л£2
дёа дёа
дёа дёв /” дцв
+ ^0 • ц(0) I ^ё ^ё
диа
-1 -1
^ —ж. аё?- егА дё' еу <гё<гё'
Это свойство обеспечивает существование и единственность решения системы уравнений, состоящей из (37)-(39) и соответствующих граничных условий. В частности, (37)-(39) можно записать в виде уравнений жесткости элемента (т.е уравнений, связывающих усилия на гранях элемента со смещениями граней).
Сравним полученные уравнения с уравнениями жесткости (22), (23), сформулированными в разделе 5. Обозначим
аа р± — р „а
ца — ца|
£“=±1’ ± |£“=±1‘
Очевидно,
и
(2)
(ц+ + ц-) - Ц(0), и
(1) — 2(ц+ - и-)
д ца дёа
ТЭ<У- I --СХ Р(1) + ц(1),
и, следовательно,
д ца дёа
2(и+ + Ц-) - Ц(0)
РЬ + 2(и+ - и-).
(40)
Заметим, что по уравнениям (22)
д ца 1
дё^ — 2(ц+
-(ц+ - ц-).
Если при вычислении интегралов в (39) величины
^90
«и—с дёв
в пределах элемента считать постоянными и равными, например, их средним значениям
1 1
1
4
-1 -1
1
2
3
то, согласно (39), (40),
0
р(1)
А«
А0
(и+ + и-) - и(о)
зі дт 1ё!Є.Єі
^ ^ дх дх? у (0)Є’Єі-
Из (41) следует
2
(и+ + и-) - и(0) = В?р«
(1),
(41)
(42)
причем ввиду положительной определенности потенциальной энергии компоненты тензоров Ва будут удовлетворять условию положительной определенности квадратичной формы
ВаТ'.а Іг'.а р(1)) р(1).
По соотношениям раздела 5 имеем
1
2(и+ + и-) - и(0) = -Лар«1)-
1
а0
(43)
Сравнивая (42) и (43), находим, что эти уравнения совпадают, если в качестве тензоров Ла принять тензоры а0Ва.
В случае, когда при вычислении интегралов в (23), (39) величины
„и |ё! 1ё!
дх" 5хы
считаются постоянными, уравнения жесткости (37), (39) могут отличаться от уравнений жесткости (22), (23) лишь в силу отличия (42) от (43) и, следовательно, совпадают, если в качестве тензоров Ла принимаются тензоры а0Ва.
1
2
1
10. Уравнения жесткости прямоугольного элемента
В прямоугольном элементе со сторонами, параллельными осям декартовой системы координат,
11 112222 /V»------ /~У‘ /~У‘ - /~У‘ /~У‘ - /~У‘ /~У‘ - /~У‘
клу 1 4 ^ 2 3 *) 4 3 ^ 1 2 ^
«1 = 2 Л,1, 71 = 0, в1 = 0, «2 = 0, 72 = 0, в =2 ^2,
^1 = х1 - х][, Л.2 = х4 - х1, /р = ^^1^2,
5,1 =2 5£2 =2 5£1 = 5£2 =
дх1 ^1, дх2 Л,2, дх2 дх1 0,
р« = 2(Р1?Є1 + Р2«Є2), Р1а = ^«1, Р2а = ^«2, (а =1, 2).
Соответствующие соотношениям (37)-(39) уравнения жесткости элемента с индексами п + 1/2, т +1/2 в случае закона Гука
можно записать в виде
(44)
где
и
11
-2
-1
аи
11 + 6и
22
и
12
-1 и1 -2
21
и.
22
- аи22 + -2
и.
21
-2
и11 = 4Лц (иц - и]_2) , и22 = 4Л22(и22 - U21), и12 = 4Л12(и12 - u11), и21 = 4Л21(и21 - и22) , Рг1,га+1/2, т+1/2 рг1,п+1, т+1/2 - рг1,га,т+1/2,
Рг2,га+1/2, т+1/2 рі2, га+1/2, т+1 - Рг2,га+1/2,т,
р01,га+1/2,т+1/2 = ^ (рг1, п+1, т+1/2 + рі1, П т+1/2) , Рг2,га+1/2, т+1/2 2 (рг2, га+1/2, т+1 + рі2, п+1/2, т) (і 1, 2) ,
Л
11
3 I? її
! + а(й^)21
Л
12
^ Чії ,
її
І2
3^ 11
С11
С12 =
1 + іг(Й2)2’
—1—2 ,0
1+а(ё2)
-1-2 і + а (і? )2
/0
Л
3а I1
І2
22 = "" , , ) 2 :
1 + а ҐІ1Л 2
1 + Ді? з^ її
і+а (і? )2 ’
„ _ -1-2 ^0 С22 = ------.. ^ ) 2 /2 ,
Л
21 =
С21 =
1+а(ії)‘
-1-2
/20,
а, Ь, ^ — коэффициенты закона Гука, /°, /2* — средние по площади элемента значения объемных сил,
и
г1,га+1/2, т+1/2 иі1, п+1, т+1/2 иі1, п, т+1/2,
и
г2,гаЧ
иг2,га+1/2, т+1/2 иі2, га+1/2, т+1 иі2, га+1/2, т,
иг1,га+1/2, т+1/2 ^ (и*1>™+1> т+1/2 + иі1, п, т+1/2) ,
+1/2, т+1/2 '2 (и*2,п+1/2, т+1 + иг2,га+1/2,т) (і 1, 2).
Величины Рі1,п, т+1/2, Рг2,п+1/2,т, ил,^, т+1/2, иЙ,п+1/2,т означают действующие на гранях
усилия (рис. 7, а) и смещения (рис. 7, б). Стрелками на рисунках показаны направления действия положительных значений усилий и смещений.
Уравнения жесткости (44) соответствуют уравнениям (22), (23) в случае, когда в каче-
Л а
принять тензоры
Л0
Л12
1
1
0
Рис. 7.
Л1 — ^0-1 Л1 — ^0-1 Л2 — ^0-2 Л2 — ^0-2
11 3а-2, 22 3^-2, 11 3^-1, 22 3а-1 ’
Задача для прямоугольной области из N х М элементов состоит в решении системы алгебраических уравнений (44) при п Е [0, N -1], т Е [0, М -1], дополненной граничными условиями типа
[(1 - ^г2) (иг2 - и,2) + ^2 (р,2 - га+1/2, 0 — 0,
[(1 - ^г2) (иг2 - и,2) + ^2 (р,2 - _Р,2^ га+1/2,м — 0 (п Е [0, N - 1]),
[(1 - ^,1) (и,1 - ии) + ^,1 (р,1 - ^0] 0,т+1/2 — 0,
[(1 - ^,1) (и,1 - Пц) + ^,1 (р,1 - ^0] ^,т+1/2 — 0 (т Е [0, М - 1]), (45)
где числа 2,2, га+1/2,0, ^2, га+1/2, М (п Е [0, N - 1]^ ^1,0^+1^ ^1,^,то+1/2 (т Е [0, М - 1])
равны нулю, если на соответствующих гранях элементов заданы смещения, и единице, если заданы усилия; величины и«, р« равны заданным значениям смещений и усилий либо нулю, если соответствующие значения не заданы.
Система алгебраических уравнений (44), (45) может быть решена любым известным итерационным или прямым методом численного решения систем линейных алгебраических уравнений. Эффективные методы решения этой системы — предмет отдельной статьи.
В качестве тестовой задачи рассмотрим прямоугольную область 8 х 8 элементов, в которой задано поле смещений
и1 — ж1 ж2(ж1 + ж2), и2 — ж1^2(ж1 - ж2). (46)
Подставляя выражения (46) в (21), из уравнений (18) находим массовые силы
/1 — 4[(Ь - а + ^)ж2 - (Ь + 2^)ж1], /2 — 4[(а - Ь - ^)ж1 - (Ь + 2^)ж2].
Величины /°, /°, используемые в уравнениях (44), получаются путем осреднения /1 и /2 в пределах элемента. Граничные условия заданы в смещениях.
Для достижения заданной точности £ — 10-4 методом локальных вариаций [8] потребовалось 45 итераций, методом самоуравновешенных невязок [9] — 27.
Примеры использования непрямоугольных элементов приведены в [10, 11], где исследовалось предельное состояние при упругопластическом деформировании тонких прослоек.
Список литературы
[1] Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. Мир, М., 1975.
[2] Галлагер Р. Метод конечных элементов. Мир, М., 1984.
[3] Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. Мир, М., 1977.
[4] ARGYRis J. H., Lazarus L. P. A natural triangular layered element for bending analysis of isotropic, sandwich, laminated composite and hybrid plates. Comp. Meth. in Appl. Mech. and Eng., No. 109, 1993.
[5] Phillips T. N., Rose M. E. A finite difference scheme for the equilibrium equations of elastic bodies. SIAM J. Sci. Stat. Comput., 7, No. 1, 1986.
[6] Lustman L.R., Rose M.E. A three dimensional calculation of elastic equilibrium for composite materials. Int. J. for Num. Meth. in Eng., 26, 1988.
[7] ВАсидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. Мир, М., 1987.
[8] Черноусько Ф. Л., БАничук Н. В. Вариационные задачи механики и управления. Наука, М., 1973.
[9] Волчков Ю. М., Иванов Г. В., Иванова О. Н. Вычисление плоских равновесных форм тонких стержней методом самоуравновешенных невязок. Журн. прикл. мех. и техн. физ., №2, 1994.
[10] Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Безмоментная модель упругопластического деформирования и предельного состояния тонких прослоек. Там же, №6, 1994.
[11] Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Волны смещений и локализация деформаций при растяжении полосы с упругопластическими прослойками. Там же, №2, 1995.
Поступила в редакцию 8 апреля 1996 г.
