CC BY
51
UDC 517.923
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21 -6-2146-2151
A SOLUTION OF THE GENERAL EULER-POISSON-DARBOUX EQUATION CONTAINING THE PARAMETER OF THE BESSEL OPERATOR BY VARIABLES
© O.P. Barabash, E.L. Shishkina
Voronezh State University 1 Universitetskaya Sq., Voronezh, Russian Federation, 394018 E-mail: [email protected]
We give a solution of the general Euler-Poisson-Darboux equation when the parameter of the Bessel operator acting by time variable is real.
Key words: Euler-Poisson-Darboux equation; Bessel operator
REFERENCES
1. Kipriyanov I.A. Singulyarnye ellipticheskie kraevye zadachi [Singular elliptic boundary condition]. Moscow, Nauka Publ., 1997. 208 p. (In Russian).
2. Euler L. Institutiones calculi integralis. V. III. Petropoli, 1770. Pt. II. Ch. III, IV, V (Opera Omnia. Ser. 1. T. 13. Leipzig, Berlin, 1914. P. 212-230).
3. Poisson S.D. Mémoire sur l'intégration des équations linéaires aux diff ences partielles. J. de L'École Polytechechnique, 1823, ser. 1, pp. 215-248. (In French).
4. Riman B. O rasprostranenii ploskikh voln konechnoy amplitudy. Sochineniya [Plane-wave propagation of finite amplitude. Writings]. Moscow, Leningrad, Association of State Book-Journalistic Publishing, 1948, 543 p. (In Russian).
5. Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal. Vol. II. 2 ed. Paris, 1915. 579 p. (In French).
6. Mizes R. Matematicheskaya teoriya techeniy szhimaemoy zhidkosti [Mathematic theory for compressible flow]. Moscow, Foreign Literature Publ., 1961. 588 p. (In Russian).
7. Tsaldastani O. Odnomernoe izoentropicheskoe techenie zhidkosti [One-dimension isentropic stream of liquid]. Problemy mekhaniki [Mechanics problems]. Moscow, Foreign literature Publ., 1955, pp. 519-552. (In Russian).
8. Weinstein A. Some applications of generalized axially symmetric potential theory to continuum mechanics. Trudy Mezhdunarodnogo simpoziuma «Prilozheniya teorii funktsiy v mekhanike sploshnykh sred». Vol. 2. Mekhanika zhidkosti i gaza, matematicheskie metody [The works of International symposium "Supplement of theory of function to mechanics of continue". Vol. 2. Mechanics of liquids and gas, mathematic methods]. Moscow, Nauka Publ., 1965, pp. 440-453.
9. Olevskiy M.N. Reshenie zadachi Dirikhle, otnosyashcheysya k uravneniyu Au + — = p dlya polusfericheskoy oblasti [Dirichlet's
xn xn
problem solution, relating to equation Au + — — = p for semispherical domain]. Doklady Akademii nauk SSSR - Proceedings of the
xn xn
USSR Academy of Sciences, 1949, vol. 64, no. 6, pp. 767-770. (In Russian).
10. Fox D.N. The solution and Huygens' principle for a singular Cauchy problem. J. Math. Mech., 1959, vol. 8, pp. 197-219.
11. Carroll R.W., Showalter R.E. Singular and Degenerate Cauchy problems. New York, Academic Press, 1976. 333 p.
12. Lyakhov L.N., Polovinkin I.P., Shishkina E.L. Formulas for the Solution of the Cauchy Problem for a Singular Wave Equation with Bessel Time Operator. Doklady Mathematics, 2014, vol. 90, no. 3, pp. 737-742.
13. Weinstein A. On the wave equation and the equation of Euler-Poisson. Proceedings of Symposia in Applied Mathematics. V. 5. Wave motion and vibration theory. New York, Toronto, London, McGraw-Hill Book Company, Inc., 1954, pp. 137-147.
14. Lyakhov L.N. Vesovye sfericheskie funktsii i potentsialy Rissa, porozhdennye obobshchennym sdvigom [Weighted spherical harmonic and Riesz potential by generalized shear]. Voronezh, Voronezh State Technological Publ., 1997. 145 p. (In Russian).
15. Sitnik S.M. Transmutations and Applications: a survey. arXiv:1012.3741, 2010. 141 p.
16. Sitnik S.M. Operatory preobrazovaniya i ikh prilozheniya [Transformation operators and their applications]. Sbornik trudov konferentsii «Issledovaniya po sovremennomu analizu i matematicheskomu modelirovaniyu» [A collection of conference works "Researches on modern analysis and methematic modeling"]. Vladikavkaz, Vladikavkaz Scientific Centre RAS and the Republic of North Ossetia-Alania, 2008, pp. 226-293. (In Russian).
17. Lyakhov L.N., Polovinkin I.P., Shishkina E.L. On a Kipriyanov problem for a singular ultrahyperbolic equation. Differ. Equ., 2014, vol. 50, no. 4, pp. 513-525.
18. Kravchenko V.V. Appliedpseudoanalytic function theory (Frontiers in Mathematics). Basel, Birkhauser Publ, 2009. 182 p.
19. Katrakhov V.V., Sitnik S.M. Kraevaya zadacha dlya statsionarnogo uravneniya Shredingera s singulyarnym potentsialom [Boundary value problem for Schrodinger's steady equation with singular potential]. Doklady Akademii nauk SSSR - Proceedings of the USSR Academy of Sciences, 1984, vol. 278, no. 4, pp. 797-799. (In Russian).
2150
20. Katrakhov V.V., Sitnik S.M. Kompozitsionnyy metod postroeniya V-ellipticheskikh, V-giperbolicheskikh i V-parabolicheskikh operatorov preobrazovaniya [Compositional design method of V-ellipsoid, V-hyperbolic and V-parabolic transformation operator].
Doklady Akademii nauk — Proceedings of the Russian Academy of Sciences, 1994, vol. 337, no. 3, pp. 307-311. (In Russian).
Received 24 September 2016
Barabash Olga Pavlovna, Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation, Master's Degree Student of Applied Mathematics and Informatics, Mathematic and Applied Analysis Department, e-mail: [email protected]
Shishkina Elina Leonidovna, Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation, Associate Professor Mathematic and Applied Analysis Department, e-mail: [email protected]
Информация для цитирования:
Барабаш О.П., Шишкина Э.Л. Решение общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, содержащее оператор Бесселя по всем переменным // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 21462151. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2146-2151
Barabash O.P., Shishkina E.L. Reshenie obshchego uravneniya Eylera-Puassona-Darbu, soderzhashchee operator Besselya po vsem peremennym [A solution of the general Euler-Poisson-Darboux equation containing the parameter of the Bessel operator by variables]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki — Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 2146-2151. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2146-2151 (In Russian).
2151
УДК 539.3
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21 -6-2152-2157
ИЗМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ОБЪЕМНЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СТЕКОЛ НА ОСНОВЕ ЦИРКОНИЯ И ПАЛЛАДИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
© В.А. Федоров, А.В. Яковлев, Т.Н. Плужникова, А.А. Шлыкова, П.М. Кузнецов, С.В. Васильева
Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: [email protected]
Исследованы морфологические особенности зон воздействия лазерного излучения, формируемых на поверхности объемных металлических стекол. Методом наноиндентирования оценено изменение свойств сплавов, вызванное импульсным нагревом при облучении.
Ключевые слова: объемное металлическое стекло; лазерное излучение; зона воздействия; рельеф; нанотвер-дость; модуль Юнга; наноиндентирование
В течение последнего десятилетия идут интенсивные исследования [1-6] нового класса аморфных материалов - т. н. объемных аморфных металлических сплавов (АМС), или металлических стекол (МС). Среди объемных МС [7-8] особенный интерес представляют сплавы на основе Zr, т. к. они имеют очень широкую область переохлажденной жидкости, которая для ряда сплавов превышает 100 К. Эти сплавы интересны в связи с возможностью получения в них при термической обработке нанокристаллической структуры [9]. Сплавы на основе палладия обладают высокой стойкостью к повреждениям, сочетают твердость, присущую стеклам, с характерной для металлов устойчивостью к образованию трещин. Широкому применению этих стекол в технике мешает высокая стоимость палладия [10].
Комплексное исследование закономерностей эволюции структуры и механических свойств, объемных МС, подвергнутых термической обработке, является актуальным направлением прикладных и фундаментальных исследований. Оценка механических свойств МС в зонах локального воздействия, в частности, импульсов когерентного излучения, является практически значимой задачей в связи с тем, что лазерное излучение является одним из способов термической обработки.
Цель работы: установление механических свойств объемных МС на основе Pd и Zr, а также исследование морфологических особенностей зон, формируемых в результате воздействия лазерного излучения.
Исследования проводили на объемных МС на основе циркония и палладия. В экспериментах использовали образцы с размерами 2x5x4 мм системы Zr-^-Си-№-А1 (52,5% Zr) и системы Pd-Сu-Ni-Р (40 % Pd).
В качестве источника лазерного излучения использовали установку «ЛТА-4-1» с активным элементом на основе иттрий-алюминиевого граната, легированного неодимом (Nd:YAG), с длиной волны излучения X = = 1064 нм, позволяющей получать импульсы различ-
ных форм и энергий. Энергию и время воздействия лазерного импульса определяли при помощи измерителя энергии и мощности ИЭМ-4-1. Длительность импульсов ~ 2-4 мс. Использовали импульсы с энергией 0,6 Дж/мм2. Воздействие излучения на поверхность аморфных сплавов осуществляли в смеси аргона и воздуха. Рабочая поверхность образцов была приготовлена как металлографический шлиф. Изменение свойств материала после воздействия лазерного излучения определяли путем измерения нанотвердости на установке Nano Indenter G200 алмазным индентором Берковича с радиусом притупления вершины R = 20 нм в режиме нагружения с постоянной скоростью относительной деформации 0,1 с-1. Амплитуда (2 нм) и частота (45 Гц) гармонической составляющей нагрузки поддерживались постоянными. Морфологические особенности поверхностей и элементный состав исследовали на растровом ионно-электронном микроскопе Quanta 200 3D. В результате воздействия сфокусированного импульсного лазерного излучения на поверхности объемных МС формируются локальные зоны облученного материала (рис. 1), имеющие для каждого из образцов характерные морфологические особенности.
В объемных АМС на основе Zr зона воздействия представляет собой «розетку», состоящую из радиаль-но растущих кристаллов, образовавшихся в центральной области оплавления.
Размеры зон воздействия изменяются в зависимости от энергии импульса и лежат в интервале от 0,4 до 0,6 мм. Выделяются зона оплавления и зона термического влияния. За границей зоны оплавления наблюдается кристаллизация, не связанная с расплавлением материала (рис. 1а). Температура поверхности в центре зоны воздействия излучения не ниже температуры плавления (~ 1855° С). Область, расположенная за границей оплавления, прогревается не ниже температуры кристаллизации, которая составляет, по данным ДСК исследований, 450° С.
2152
т/)/ш,
\ ш^тшш
гЩ
.....— "
ШшйшЛ
ШГ/тШ
' ЩщгШЩ
а)
Рис. 2. Дифрактограммы поверхности сплава на основе Zr: в зоне воздействия лазерного излучения - обработанный и на поверхности, не подверженной воздействию, - необработанный. Стрелками 1 показаны пики, связанные с кристаллизацией, 2 - пики, связанные с образованием окислов циркония
б)
Рис. 1. Морфология зон воздействия лазерного излучения: а) МС на основе Zr; б) МС на основе Pd. 1 - зона оплавления; 2 - зона термического влияния
Рельеф, формируемый на поверхности, связан с объемным эффектом при кристаллизации. Это подтверждается дилатометрическими исследованиями. Проведенные дилатометрические исследования показали, что кристаллизация образца сплава на основе Zr происходит в две стадии. Объемный эффект, соответствующий второй стадии превращения, больше объемного эффекта на первой стадии. Полный объемный эффект кристаллизации составляет около 2 %, что является типичной величиной для кристаллизации металлических стекол [11].
Наличие кристаллизации в зоне воздействия лазерного излучения наблюдали в работе [12] и подтверждено рентгенографическими исследованиями. Результаты исследований представлены на рис. 2.
Аналогичный вид кристаллизации наблюдается в зонах лазерного воздействия на монокристаллах циркония (рис. 3).
В центре области воздействия излучения в сплаве на основе Р(1 структурных изменений не наблюдается
Рис. 3. Морфология зоны воздействия лазерного излучения в монокристалле Zr
(рис. 1б). Зона воздействия представляет собой вид «лунного кратера». Зона термического влияния металлографически не выявляется. При увеличении количества импульсов в сплавах на основе Zr наблюдается рост кристаллов, в сплаве на основе Р(1 зона воздействия практически не изменяется.
В разных точках зон воздействия излучения был определен элементный состав, который показывает, что в центре зоны воздействия в сплаве на основе Zr увеличивается содержание кислорода ~ в 4 раза в сравнении с исходным материалом. В сплавах на основе Р(1 изменение элементного состава практически не происходит.
Для исследования механических свойств в зоне воздействия лазерного излучения, образующейся на поверхности объемных МС, в сравнении со свойствами поверхности, находящейся в исходном состоянии, был использован метод наноиндентирования.
В результате была получена диаграмма Р-Н для сплава на основе Zr до облучения. На диаграмме можно выделить ряд характерных участков: монотонного роста Н с увеличением нагрузки и ползучести. Диаграмма, полученная внутри зоны воздействия излуче-
2153
Таблица 1
Механические характеристики сплавов в зонах воздействия и в исходном состоянии
Сплав Н, ГПа Е, ГПа Н виг Нт Е Евиг Е. Ет
МС на основе Zr Внутри зоны воздействия 4,3 ± 0,5 90,2 ± 5 1,8 1,08
Исходный материал 7,8 ± 0,5 98 ± 5
МС на основе Pd Внутри зоны воздействия 6 96,5 1,1 1,05
Исходный материал 6,7 101
Рис. 4. Кристаллизация на поверхности зоны термического влияния (а) и ее профилограмма в направлении, поперечном к направлению роста кристаллов (б)
ния, отличается от Р-к диаграммы для исходного материала как по величине Р, так и по к. Кроме того, в локальных участках зоны облучения имеют место диаграммы Р-к, сопровождающиеся скачками деформации при вдавливании индентора. Значения Р и к при этом близки к значениям Р и к исходного материала.
В ходе экспериментов были получены диаграммы Р-к для сплава на основе Pd внутри зоны и за ее пределами, которые практически подобны. Можно также выделить ряд характерных участков: монотонного роста к с увеличением нагрузки, скачкообразного приращения к.
По результатам экспериментов для исследуемых сплавов были рассчитаны нанотвердость (Н) и модуль Юнга (Е) внутри зоны и в исходном состоянии (табл. 1).
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Полученные результаты можно интерпретировать следующим образом.
В сплаве на основе Zr изменение нанотвердости и модуля Юнга связано со структурным превращением металлическое стекло ^ ГПУ кристалл. Рост ГПУ кристаллов Zr идет преимущественно вдоль оси с, которая ориентирована параллельно плоскости наблюдения. В связи с этим деформация кристаллов осуществляется по плоскости базиса (0001) - плоскости легкого скольжения. Этим могут быть обусловлены пониженные значения нанотвердости и модуля Юнга. Согласно данным об элементном составе сплава на основе Zr в зоне воздействия увеличивается содержание кислорода, с которым цирконий активно реагирует, образуя
труднорастворимые окислы, последние выступают в роли центров кристаллизации и являются причиной роста кристаллов в зоне термического влияния.
Исследования зоны воздействия лазерного излучения, проведенные с помощью зондового микроскопа (рис. 4), позволили определить линейную плотность центров кристаллизации вдоль границы оплавления, которая лежит в пределах от 900 до 2100 см-1.
Одна из полученных диаграмм Р-к соответствует включению ZrO2, что подтверждает его наличие внутри зоны воздействия излучения.
Наблюдаемые скачки деформации на диаграмме связаны с образованием микротрещин. Значения модуля Юнга и нанотвердости, рассчитанные для этой диаграммы, близки к соответствующим значениям циркониевой керамики [13].
В сплаве на основе палладия в зоне воздействия лазерного излучения идут процессы вторичного стеклования. Это обусловлено высокими значениями коэффициента вязкости сплава на основе Pd и коэффициента теплопроводности [14]. Первый затрудняет рост кристаллов, второй - обеспечивает быстрое рассеяние тепловой энергии в образце. Снижение характеристик Е и Н на 5 и 10 % соответственно может быть связано с уменьшением исходных закалочных напряжений в зоне воздействия излучения.
Таким образом, установлено, что вследствие действия лазерного импульса, приводящего к локальному нагреву материала, имеет место изменение механических характеристик в зоне воздействия. Вид зон воздействия излучения в этих случаях различен, что обусловлено различием тепловых свойств материалов. В центре зоны воздействия на поверхности сплава на
2154
основе циркония идет направленная кристаллизация, кристаллы растут от центра к периферии, зона воздействия на поверхности сплава на основе палладия представляет собой вид «лунного кратера», отсутствует зона термического влияния, что обусловлено высокой вязкостью сплава, препятствующей процессам кристаллизации. Морфология зон воздействия на поверхности циркониевого сплава зависит от формы и количества импульсов лазерного воздействия. Рельеф, формируемый в результате лазерного воздействия на поверхности палладиевого сплава, от формы и количества лазерных импульсов не зависит.
Методом наноиндентирования показано, что в зоне воздействия лазерного излучения происходит изменение величин нанотвердости и модуля упругости объемных МС на основе циркония и палладия по сравнению с исходным материалом. В сплаве на основе Zr уменьшение нанотвердости и модуля Юнга связано со структурным превращением металлическое стекло ^ ГПУ кристалл. В сплаве на основе палладия это уменьшение связано с процессами вторичного стеклования, идущими на поверхности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Берлев А.Е., Ота М., Хоник В.А. Ползучесть массивного металлического стекла Zr52;5Ti5Cu17;9Ni14;6Al10 // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2003. Т. 8. Вып. 4. С. 522-524.
2. Кобелев Н.П., Колыванов Е.Л., Хоник В.А. Нелинейные упругие характеристики объемных металлических стекол Zr52-5Ti5Cu17-9Ni14-6Al10 и Pd40Cu30Ni10P20 // ФТТ. 2005. Т. 47. № 3. С. 395-399. '
3. Кобелев Н.П., Колыванов Е.Л., Хоник В.А. Временные и амплитудные зависимости затухания и модуля сдвига при необратимой структурной релаксации объемного металлического стекла Zr-Cu-Ni-Al-Ti // ФТТ. 2005. Т. 47. Вып. 3. С. 400-403.
4. Федоров В.А., Яковлев А.В., Плужникова Т.Н., Капустин А.Н. Влияние лазерного воздействия на механические свойства объемных и ленточных сплавов // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. 2009. Т. 6. № 2. С. 87-91.
5. Яковлев А.В., Чернова И.В., Федоров В.А., Барышев Г.А. Влияние лазерного излучения на механические свойства объемных аморф-
ных металлических сплавов // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2009. Т. 14. Вып. 1. С. 211-213.
6. Яковлев А.В., Плужникова Т.Н., Черемисина Ю.В., Федоров В.А., Тарасова И.Д. Исследование тепловых свойств ленточных и объемных металлических стекол // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 15. Вып. 3. С. 1105-1107.
7. Ковнеристый Ю.К. Объемно-аморфизующиеся металлические сплавы. М.: Наука, 1999. 80 с.
8. Глезер А.М., Пермякова И.Е., Громов В.Е., Коваленко В.В. Механическое поведение аморфных сплавов. Новокузнецк: Изд-во СибГИУ, 2006. 416 с.
9. Абросимова Г.Е., Аронин А.С., Матвеев Д.В., Молоканов В.В. Образование и структура нанокристаллов в массивном металлическом стекле Zr50Ti16Cu15Ni19 // ФТТ. 2004. Т. 46. Вып. 12. С. 21192123.
10. Demetriou M.D., Launey M.E., Garrett G., Schramm J.P., Hofmann D.C., Johnson W.L., Ritchie R.O. A damage-tolerant glass // Nature Materials. 2011. doi:10.1038/nmat2930.
11. Бакай А.С., Бакай С.А., Михайловский И.М., Неклюдов И.М., Сто-ев П.И., Махт М.П. О природе эффекта Кайзера в металлических стеклах // Письма в ЖЭТФ. Т. 76. Вып. 4. С. 254-257.
12. Hongking Sun, Katharine M. Flores. Sperulitic crystallization mechanism of a Zr-based bulk metallic glass during laser processing // Intermetallics. 2013. V. 43. P. 53-59.
13. Рутман Д.С., ТороповЮ.С., Плинер С.Ю., Неуймин А.Д., Полежаев Ю.М. Высокоогнеупорные материалы из диоксида циркония. М.: Металлургия, 1985. 136 с.
14. Таблицы физических величин. Справочник / под ред. И.К. Кикоина. М.: Атомиздат, 1976. 1008 с.
БЛАГОДАРНОСТИ:
1. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 15-42-03206).
2. Образцы МС предоставлены профессором В.А. Хоником.
3. Исследования проведены с использованием оборудования Центра коллективного пользования научным оборудованием БелГУ «Диагностика структуры и свойств наноматериалов» и учебно-инновационного центра «Нанотехнологии и наноматериалы» ТГУ им. Г.Р. Державина.
Поступила в редакцию 24 мая 2016 г.
Федоров Виктор Александрович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры теоретической и экспериментальной физики, e-mail: [email protected]
Яковлев Алексей Владимирович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры методики преподавания естественнонаучных дисциплин, e-mail: [email protected]
Плужникова Татьяна Николаевна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры теоретической и экспериментальной физики, e-mail: [email protected]
Шлыкова Александра Александровна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, магистрант по направлению подготовки «Физика конденсированного состояния», кафедра теоретической и экспериментальной физики, e-mail: [email protected]
Кузнецов Петр Михайлович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры теоретической и экспериментальной физики, e-mail: [email protected]
Васильева Светлана Васильевна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, зав. лабораторией кафедры теоретической и экспериментальной физики, e-mail: [email protected]
2155
