CC BY
0
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 45. №4. C. 24-39. ISSN 2079-6641
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ " https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-45-4-24-39 Научная статья
Полный текст на русском языке УДК 519.642.2
Решение обратной задачи по идентификации порядка дробной производной в математической модели динамики солнечной активности на стадии подъёма
Д. А. Твёрдый*, Р. И. Паровик
Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН,
684034, е. Паратунка, ул.Мирная, д. 7, Россия
Аннотация. В статье проводится уточнение математической модели динамики солнечной активности методом решения обратной задачи. В качестве дополнительной информации используются экспериментальные данные по наблюдению за значениями числа Вольфа. Этот параметр солнечной активности отражает число пятен на поверхности солнца, и считается индикатором его активности. Данный процесс характеризуется наблюдаемой цикличностью, периодами роста и спада. Проводится анализ и обработка исходных данных, с целью выделения из временных рядов участков соответствующих росту солнечной активности. Для описания данного динамического процесса используется ранее предложенная математическая модель описания 23 и 24 циклов. Модель представляет собой задачу Коши для дробного аналога нелинейного уравнения Риккати, где производная первого порядка замещается оператором дробного дифференцирования Герасимова-Капуто с порядком от 0 до 1. Порядок дробной производной связывается с интенсивностью течения процесса. Данное модельное уравнение решается численно с помощью нелокальной неявной конечно-разностной схемы. Для уточнения значений порядка дробной производной была решена задача одномерной оптимизации с помощью итерационного метода Левенберга-Марквардта второго порядка, на основе обработанный экспериментальных данных. Показано, что можно уточнить порядок дробной производной в модели солнечной активности за счет решения соответствующей обратной задачи, а полученные результаты лучше согласуются с данными.
Ключевые слова: математическое моделирование, обратные задачи, солнечная активность, число Вольфа, солнечные пятна, динамические процессы, нелинейные уравнения, уравнение Риккати, эффект насыщения, дробные производные, эредитарность, MATLAB, С, параллельные алгоритмы
Получение: 30.11.2023; Исправление: 04.12.2023; Принятие: 07.12.2023; Публикация онлайн: 11.12.2023
Для цитирования. Твёрдый Д. А., Паровик Р. И. Решение обратной задачи по идентификации порядка дробной производной в математической модели динамики солнечной активности на стадии подъёма // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 45. №4. C. 24-39. EDN: VBZQIO. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-45-4-24-39.
Финансирование. Исследования выполнены рамках гранта РНФ № 22-11-00064 по теме "Моделирование динамических процессов в геосферах с учетом наследственности"
Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.
Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.
* Корреспонденция: А E-mail: tverdyi@ikir.ru ф
Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License © Твёрдый Д. А., Паровик Р. И., 2023
© ИКИР ДВО РАН, 2023 (оригинал-макет, дизайн, составление)
Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. nauki. 2023. vol. 45. no. 4. P. 24-39. ISSN 2079-6641
MATHEMATICAL MODELLING " https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-45-4-24-39 Research Article Full text in Russian MSC 34A08, 34A34
Solution of the Inverse Problem of Identifying the Order of the Fractional Derivative in a Mathematical Model of the Dynamics of Solar Activitythe at Rising Phase
D. A. Tverdyi*, R.I. Parovik
Institute for Cosmophysical Research and Radio Propagation FEB RAS, 684034, v. Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia
Abstract. The article refines the mathematical model of solar activity dynamics by solving the inverse problem. Experimental data on the observation of Wolf number values are used as additional information. This parameter of solar activity reflects the number of spots on the surface of the sun, and is considered an indicator of its activity. This process is characterized by observable cyclicality, periods of growth and decline. The analysis and processing of the initial data is carried out in order to isolate from the time series areas corresponding to an increase in solar activity. To describe this dynamic process, a previously proposed mathematical model for describing cycles 23 and 24 is used. The model is a Cauchy problem for a fractional analogue of the nonlinear Riccati equation, where the first-order derivative is replaced by the Gerasimov-Caputo fractional differentiation operator with an order from 0 to 1. The order of the fractional derivative is associated with the intensity of the process. This model equation is solved numerically using a nonlocal implicit finite-difference scheme. To clarify the values of the order of the fractional derivative, the one-dimensional optimization problem was solved using the second-order Levenberg-Marquardt iterative method, based on processed experimental data. It is shown that it is possible to refine the order of the fractional derivative in the solar activity model by solving the corresponding inverse problem, and the results obtained are in better agreement with the data.
Key words: mathematical modeling, reverse problem, solar activity, Wolf number, sunspots, dynamic processes, nonlinear equations, Riccati equation, saturation effect, fractional derivatives, ereditarity, MATLAB, C, parallel algorithms
Received: 02.11.2023; Revised: 16.11.2023; Accepted: 23.11.2023; First online: 11.12.2023
For citation. Tverdyi D.A., Parovik R.I. Solution of the inverse problem of identifying the order of the fractional derivative in a mathematical model of the dynamics of solar activitythe at rising phase. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2023, 45: 4,24-39. EDN: VBZQIO. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-45-4-24-39.
Funding. The research was carried out within the framework of the Russian Science Foundation grant No. 22-11-00064 on the topic "Modeling of dynamic processes in the geospheres taking into account heredity" Competing interests. There are no conflicts of interest regarding authorship and publication.
Contribution and Responsibility. All authors contributed to this article. Authors are solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by all authors.
* Correspondence: A E-mail: tverdyi@ikir.ru ^jj
The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License © Tverdyi D. A., Parovik R. I., 2023
© Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation, 2023 (original layout, design, compilation)
Введение
Среди различных солнечно-земных связей, сильнее всего проявляют себя вспышки на Солнце. Часто эти явления сопровождаются выбросом корональной массы - плазмы, состоящей из ускоренных во вспышке частиц сорванных с верхних слоёв атмосферы солнца [1]. Если выброс произошел в направлении Земли, то это будет заметно примерно через 8.5 минут, а через двое-трое суток облако частиц достигнет магнитосферы Земли. Последствия такого явления могут быть самых разных масштабов: от сбоев в работе систем связи на Земле и связи аппаратами за пределами планеты, до повреждения и аварий на искусственных спутниках Земли, мощным потоком ускоренных во вспышке частиц. Например, достаточно мощный поток таких частиц, вторгаясь в ионосферу и стратосферу близ полярных широт, может вызывать ухудшение качества коротковолновой радиосвязи на десятки часов, и т.д. [2]. Поэтому изучение солнечно-земных связей имеет большое значение для решении практических задач. В тоже время, изучение влияния солнечной активности (БЛ) на магнитосферу и атмосферу Земли является важной проблемой фундаментальной науки. Известно что магнитное поле Земли отклоняет большую часть солнечного ветра, заряженные частицы которого в противном случае приводили бы к истончению озонового слоя, защищающего Землю от ультрафиолетового излучения [3].
В ряде работ проводятся попытки связать влияние БЛ на глобальный температурный тренд [4], уровень атмосферного радиошума [5]. Одним из главных признаков БЛ считаются пятна на Солнце, т.к. их образование связано с возмущением некоторых участков магнитного поля Солнца, которое в свою очередь приводит к выбросу в солнечную систему плазменного облака. Числовым показателем связывающим БЛ с количеством пятен на Солнце является число Вольфа (относительное число солнечных пятен, цюрихское число), названное так в честь швейцарского астронома Рудольфа Вольфа.
Есть исследования [6, 7], в которых говорится о том, что во временных рядах числа Вольфа присутствует хаотическое поведение, что приводит к длительной непредсказуемости. Однако, за сотни лет наблюдений поверхности солнца открыли много закономерностей, отражающихся во временных рядах числа Вольфа. Самая очевидная и не оспоримая из которых в том, что число пятен на Солнце меняется периодически. Это наблюдение сделал немецкий астроном Генрих Швабе. Есть минимумы и максимумы, которые могут чередоваться от 7 до 17 лет, называемые циклами солнечной активности. Как видно на (рис. 1) сейчас в самом разгаре 25-й цикл БЛ. Было замечено, что число Вольфа может принимать значение в десятки и сотни единиц, в годы пиков БЛ. И наоборот, быть нулевым в годы минимума.
Прогнозирование числа солнечных пятен является активно развивающейся областью исследований. Поэтому было предложено несколько методов прогнозирования числа солнечных пятен как индикатора БЛ [8]. Создаются сложные физические модели некоторых процессов на Солнце на основе методов математической физики, для моделирования динамики БЛ и последующего прогнозирования числа солнечных пятен.
Рис. 1. Данные по SA в открытом доступе, полученные с сайта Королевской Бельгийской Обсерватории (https://www.sidc.be/SILSO/datafiles) дата доступа: 10.11.2023 [Figure 1. SA open access data from the Royal Belgian Observatory website (https://www.sidc.be/SILSO/datafiles) access date: 10.11.2023 ]
Например, переноса потока на основе динамо [9] или подход основанный на геомагнитных предшественниках [10]. Иной подход исходит из предположения о том, что SA имеет хаотическое поведение. Поэтому данные по числу Вольфа можно подвергнуть анализу с помощью различного математического аппарата. Таких как, спектральный анализ и моделирование "черного ящика а также привлечь к обработке интеллектуальных подходов для выведения новых закономерностей и дальнейшему прогнозу динамики SA. Например, нейронные и нейро-нечеткие модели [11] или анализ Фурье [12].
В работах автора [13, 14] ранее, предлагался новый подход в вопросу математического моделирования динамики SA. Научная новизна заключается в использовании интегро-дифференциальных уравнений (IDE), для описания принципиально новых математических моделей динамики SA. Динамический процесс SA на стадии подъема, предположительно, может быть процессом с насыщением, что может указывать на наличие эффектов памяти. Это свидетельствует о причинно-следственной связи в динамике процесса, которую также называют эффектом памяти (наследственностью или эредитарностью) [15]. Этим и обосновано использование IDE, что бы учесть хранящуюся в системе информацию об предыстории процесса. С математической точки зрения, в некоторых случаях, эредитарность может быть описана с помощью математического аппарата дробных производных [16-18].
Следует заметить, что проводились исследования близкие к нашей работе, например, в работе Бураева А.В. [19], была исследована динамика SA в период 1998-2010 гг., и установлена ее связь с селевыми потоками в Кабардино-Балкарской Республике. Так же в этой работе на основе данных о динамике SA показано, что её подъем и падение происходят по кривой, очень близкой к обобщенной
логистической кривой [20, 21], и этот процесс нелинеен. Однако модельное уравнение рассматривалось с постоянными коэффициентами. Исходя из этих соображений, в модели динамики IDE-SA на стадии подъема из работы [14], в качестве модельного уравнения выступает дробный аналог известного уравнения Риккати [22,23], где в место ODE используется дробная производная Герасимова-Капуто [24,25] постоянного порядка.
Рис. 2. 23-й цикл SA, этап
подъёма [Figure 2. 23rd SA cycle, rise phase ]
Рис. 3. 24-й цикл SA, этап
подъёма [Figure 3. 24th SA cycle, rise phase ]
Рис. 4. 25-й цикл SA, этап
подъёма [Figure 4. 25th SA cycle, rise phase ]
Необходимо отметить, что в публикации [14] были недостаточно развиты численные методы решения модельного уравнения и их программная реализация. Также отметим, что значения управляющих параметров в модели определялись вручную. Подбор продолжался до достижения высоких значений хорошо известных коэффициентов подобия: R2 детерминации [26, 27] и корреляции Пирсона [28] с обработанными наблюдаемыми данными по числу Солнечных пятен (рис. 1), что неизбежно приводит к большим временным затратам.
Поэтому, в настоящей работе предлагается модель динамики SA на стадии подъема, на основе модели [14], с применением более устойчивого численного алгоритма ее решения, а также автоматизация нахождения оптимального значения порядка дробной производной за счёт решения соответствующей обратной задачи (RP) [29] согласно известным данным наблюдений (экспериментальных данных) 23, 24 и 25 циклов SA на стадии подъема (рис. 2-4).
Учёт эффекта памяти в модельном уравнении
Рассмотрим следующее интегро-дифференциальное уравнение вольтерровского типа [15]:
Г t
K(t - a)s(a)da = F(s(t),t), (1)
Jo
где, F(s(t),t) - функция, в общем случае может быть нелинейной, но удовлетворяющая условию Липшица; s(t) G C2 [0, T] - неизвестная функция
решения; t е [0, T] - текущее время рассматриваемого процесса, T > 0 - время моделирования.
Замечание 1. Следует заметить, что эредитарность по терминалогии В. Вольтера [15] определяется на интервале (—оо,t). Мы же будем рассматривать эредитарность на интервале (0,t).
Одним из ключевых моментов является выбор K(t — а) - функции памяти по терминалогии В. Вольтерра, т.к. за счёт разностных ядер, IDE могут описывать эффект памяти. Например, взяв разностное ядро в виде степенной функций:
K(t - o,t) =
(t - o)-a Г (1 - a) ,
0 < a < 1,
естественным образом мы приходим к оператору дробной производной, который исследуется в рамках теории дробного исчисления [17]. В частности, к производным дробного постоянного порядка [30]. Порядок дробной производной о - параметр, который необходимо уточнить и связанный с интенсивностью исследуемого процесса ЭЛ.
Теперь мы можем перейти к формализму дробных производных, и переписать интеграл Вольтеры из (1) в терминах оператора дробного дифференцирования Герасимова-Капуто постоянного порядка:
(t - o)-a Г (1 - a)
S(o)do =
1
Г (1 - a)
\ S(0\ do = 90ats(t), о (t - o)a 0t
(2)
где Г(■) - гамма-функция Эйлера, ¿(1) = ds/dt.
Таким образом, мы можем записать эредитарное (наследственное) уравнение с начальным условием:
э^м = ?Ш,1)^(0) = ¿0. (3)
Задача Коши(3) не имеет решение в аналитическом виде, поэтому необходимо воспользоваться численными методами. На основе работы [31] нам удалось получить нелокальную неявную конечно-разностную схему (IFDS), которая решалась модифицированным методом Ньютона [32]. Были рассмотрены вопросы устойчивости и сходимости IFDS. Показано, что она безусловно устойчива и сходится с первым порядком точности.
Постановка задачи
Далее в исследовании, математическая модель динамики ЭЛ на стадии подъема будет основываться на уравнении (3), и будет определяться главным образом видом функции
Модель ГОЕ-8Л- а на стадии подъема
Так как изменение ЭЛ это процесс насыщением и выходим на логистическую кривую, то помимо эффекта памяти, нужно учитывать в модели характерную
t
0
нелинейность для уравнения Риккати. Для чего положим:
F(s(t),t) = —a(t)s(t)2 - b(t)s(t) + c(t),
где a(t), b(t), c(t) G C1 [0, T] - непрерывные функции. Тогда задача Коши (3) примет вид:
90ats(t) = — a(t)s(t)2 — b(t)s(t)+ c(t), s(0) = so. (4)
В работе [14], модельная кривая для задачи (4) принимает вид логистической кривой за счет особого вида функций, определяющих коэффициенты a(t), b(t), c(t) нелинейного уравнения, а именно:
2t
a(t) = c(t) = N¡72, b(t) = 0.
подставив которые в (4) получим задачу Коши, определяющую математическую модель IDE-SA- a на стадии подъема:
s( t) 22t 2t
30ats(a)=- -Nb- + _ s(0) = so. (5)
Полученная задача Коши (5) дискретизируется на равномерной вычислительной сетке. Для чего разделим отрезок [0, T] на N - узлов сетки, с шагом дискретизации h = T/N. Тогда функция решения s(t) будет иметь свой сеточный аналог s(t0 или s^ где i = 0, ...,N — 1, аналогично для a(t),b(t), c(t) разностными аналогами будут ai,bi,ci . Так же отметим что для численного решения (5) будем пользоваться численной схемой EFDS, и в виду дальнейшей необходимости частого пересчета (5) будем использовать эффективные параллельные реализации EFDS алгоритмов [33] численного решения на языке С.
Уточнение параметра о решением обратной задачи
Ранее, в работах [13, 14, 36] по моделированию процессов БЛ, виды функций коэффициентов и значения всех параметров и определялись подбором до достижения высоких значений статистических коэффициентов: И2 детерминации [26,27] и корреляции Пирсона [28] с обработанными наблюдаемыми данными по числу солнечных пятен (рис. 1-4), что делало задачу трудоёмкой и неизбежно приводило к большим затратам времени. Поэтому необходимо автоматизировать процесс нахождения интересующих нас значений параметров, что приводит нас к обратным задачам [29].
Запишем задачу Коши (5) в виде обратной задачи на для восстановления значения :
Эо^М = —N37^ + N7*' 5(0) =5о'= (6)
Здесь фг - экспериментальные данные, г = 0,..,М — 1; М - число наблюдений, причём N = М. Задача (6) представляет собой задачу одномерной
оптимизации для восстановления значения параметра а по имеющемуся набору экспериментальных данных ср^.
Задача одномерной оптимизации (6) была решена с помощью известного итерационного метода Левенберга-Марквардта ньютоновского типа второго порядка [37]. Основа алгоритма решения обратной задачи заключается в том, чтобы в ходе итерационного цикла, начиная с некоторого заданного а = а0 и 6а - начального приращения а0, многократно решая прямую задачу Коши (5) с помощью явной конечно-разностной схемы (ЕРОБ), вычислить оптимальное приращение Да. В итоге, при корректном подборе параметров и регуляризации алгоритма Левенберга-Марквардта решения обратной задачи с заданной точностью должно определяться оптимальным значением а*.
Все расчёты, связанные с решением как прямой задачи (5) так и обратной (6) проводились с помощью алгоритмов, реализованных на языке С с использованием технологий ОрепМР [34] и СИБА [35]. Визуализация результатов моделирования, представленных ниже, проводилась в пакете прикладных программ МАТЬАБ.
Результаты моделирования
Результаты вычисления а по обратной задаче (6) можно верифицировать. Построим модельные кривые (5) с значениями а восстановленными на основе данных 23-го и 24-го циклов БА на этапе подъема. После чего сопоставим результаты с полученными в работе [14].
Рис. 5. (черная кривая) - нормированные на максимум данные 23го цикла SA; (красная кривая) - модельная кривая IDE-SA-а при а = 0.5 с коэффициентами (R2 = 0.80, corr = 0.91); (синий кривая) - модельная кривая IDE-SA-а с уточненным параметром а = 0.498 с (R2 = 0.80, corr = 0.91 )
[Figure 5. (black curve) - maximum-normalised data from SA cycle 23; (red curve) -IDE-SA-а model curve at а = 0.5 with similarity coefficients (R2 = 0.80, corr = 0.91); (blue curve) - IDE-SA-а model curve with refined parameter а = 0.498 with (R2 = 0.80, corr = 0.91) ]
На рис. 5 ниже представлены результаты моделирования: модельные кривые при so = 0.031109, T = N = 66 по 5 исходной модели IDE-SA- сс подбором вручную значения порядка дробной производной сс и модельные кривые по (5) с уточненными параметрами. Параметр сс восстанавливается решением одномерной задачи оптимизации на основе данных 23-го цикла SA на этапе подъема (рис. 2) после нормировки на максимум.
Рис. 6. (черная кривая) - нормированные на максимум данные 24го цикла SA; (красная кривая) - модельная кривая IDE-SA- а при а = 0.5 с коэффициентами (R2 = 0.68, corr = 0.87); (синяя кривая) - модельная кривая IDE-SA- а с уточненным параметром а = 0.528 с (R2 = 0.72, corr = 0.87)
[Figure 6. (black curve) - maximum normalised data from the 24th SA cycle; (red curve) - IDE-SA- а model curve at а = 0.5 with similarity coefficients (R2 = 0.68, corr = 0.87); (blue curve) - IDE-SA- а model curve with refined parameter а = 0.528 with (R2 = 0.72, corr = 0.87)]
На рис. 6 модельные кривые при s0 = 0.008898, T = N = 63 по 5 исходной модели IDE-SA- с ручным подбором порядка дробной производной и модельные кривые по (5) с уточненными параметрами. Параметр сс восстанавливается решением одномерной задачи оптимизации на основе данных 23-го цикла SA на этапе подъема (рис. 2) после нормировки на максимум.
На рис. 7 ниже представлены результаты моделирования при s0 = 0.005607, T = N = 52 по 5 модели IDE-SA- сс с уточненными параметрами, где сс восстанавливается по алгоритму Левенберга-Марквардта.
0,8
0,6
0.4
0.2
■ ■ J \л\
У* я
* ■
4 . ■ ■ ■■■■ 1
"Г
rvV
л-
г!»
fOi fiv nV л xV ¿Л' '/Л
л
v
v nr nr nr
л
i>*
Л ^
л*
Рис. 7. (черный кривая) - нормированные на максимум данные 25го цикла SA; (синяя кривая) - модельная кривая IDE-SA-a с уточненным параметром a = 0.537 с (R2 = 0.76, corr = 0.94) [Figure 7. (black curve) - maximum-normalised data from the 25th SA cycle; (blue curve) - IDE-SA-a model curve with refined parameter a = 0.537 with (R2 = 0.76, corr = 0.94)]
Заключение
В работе было показано, что с помощью итерационного метода Левенберга-Марквардта можно восстанавливать значение показателя дробной производной в ГОЕ-БА-а модели БА, на основе дополнительной информации полученной из обработанных экспериментальных данных по числу солнечных пятен на этапе подъема БА.
Показано, что при оптимальном выборе соответствующих параметров моделирования а("Ь),Ъ("Ь),с("Ь), в также подборе значения а методами обратных задач, ГОЕ-БАа модель БА дает более точное приближение данных по числу солнечных пятен за 23, 24 и 25 циклы БА на этапе подъема, за сравнительно малое время.
Аббревиатуры
SA Solar Activity
RP Reverse Problem
IDE Integro-Differential Equations
IFDS Implicit Finite-difference Method
EFDS Explicit Finite-difference Method
MNM Modified Newton Method
ODE Ordinary Differential Equations
PDE Partial Differential Equations
Список литературы
1. Chen P. F. Coronal Mass Ejections: Models and Their Observational Basis, Living Reviews in Solar Physics, 2011. vol.8, no. 1, pp. 1-93 DOI: 10.12942/lrsp-2011-l.
2. Муртазов А. К. Физика земли. Космические воздействия на геосистемы 2-е изд. пер. и доп.. Москва: Юрайт, 2021.268 с. ISBN 978-5-534-11473-7.
3. Schiermeier Q. Solar wind hammers the ozone layer, Nature, 2005 DOI: 10.1038/news050228-12.
4. Quassim M. S., Attia A. F. Forecasting the global temperature trend according to the predicted solar activity during the next decades, Memorie della Societa Astronomica Italiana, 2005. vol. 76, no. 4, pp. 1030.
5. Joglekar P. J., Agarwala R. A. Variation of atmospheric radio noise level with sunspot number, Proceedings of the IEEE, 1973. vol.61, no. 2, pp. 252-253 DOI: 10.1109/PR0C.1973.9023.
6. Weigend A., Huberman B., Rumelhart D. E. Predicting the Future: A Connectionist Approach, International Journal of Neural Systems, 1990. vol.01, no. 03, pp. 193-209 DOI: 10.1142/S0129065790000102.
7. Casdagli M. Chaos and Deterministic versus Stochastic Non-Linear Modelling, Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), 1992. vol.54, no. 2, pp. 303-328.
8. Mirmomeni M., Lucas C., Araabi B. N., Shafiee M. Forecasting sunspot numbers with the aid of fuzzy descriptor models, Space Weather, 2007. vol.5, no. 8, pp. 1-10 DOI: 10.1029/2006SW000289.
9. Dikpati M., Toma G., Gilman P. A. Predicting the strength of solar cycle 24 using a flux-transport dynamo-based tool, Geophysical Research Letters, 2006. vol. 33, no. 5, pp. 1-4 DOI: 10.1029/2005GL025221.
10. Lantos P., Richard O. A. On the Prediction of Maximum Amplitude for Solar Cycles Using Geomagnetic Precursors, Solar Physics, 1998. vol.182, no. 1, pp. 231-246 DOI: 10.1023/A:1005087612053.
11. Salvatore M., Morabito F. C. A New Technique for Solar Activity Forecasting using Recurrent Elman Networks, Proceedings of International Enformatika Conference, IEC'05, August 26-28, 2005. vol. 7, pp. 68-73.
12. Gholipour A., Abbaspour A., Araabi B. N., Lucas C. Enhancements in the Prediction of Solar Activity By Locally Linear Model Tree, Proceedings of the 22nd IASTED International Conference on Modelling, Identification, and Control (MIC 2003), February 10-13, Innsbruck, Austria, 2003, pp. 157-160.
13. Tverdyi D.A., Parovik R. I. Mathematical modeling in MATLAB of solar activity cycles according to the growth-decline of the Wolf number, Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 2022. vol.41, no. 4, pp. 47-64 DOI: 10.26117/2079-6641-2022-41-4-47-64.
14. Tverdyi D.A., Parovik R. I. Нелокальная задача Коши для уравнения риккати с производной дробного порядка как математическая модель динамики солнечной активности, Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН, 2020. Т. 93, №1, С. 57-62 DOI: 10.35330/19916639-2020-1-93-57-62.
15. Volterra V. Sur les équations intégro-différentielles et leurs applications, Acta Mathematica, 1912. vol. 35, no. 1, pp. 295-356 DOI: 10.1007/BF02418820.
16. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier Science Limited, 2006. 523 pp. ISBN 9780444518323.
17. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. Москва: Физматлит, 2003. 272 с. ISBN 5-9221-0440-3.
18. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. Москва: Наука, 2005.199 с. ISBN 5020337218.
19. Бураев А. В. Некоторые аспекты математического моделирования региональных проявлений солнечной активности и их связи с экстремальными геофизическими процессами, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии Наук, 2010. Т. 12, №1, С. 88-90.
20. Постан М. Я. Обобщенная логистическая кривая: ее свойства и оценка параметров, Экономика и математические методы, 1993. Т. 29, №2, С. 305-310.
21. Rzkadkowski G., Sobczak L.A generalized logistic function and its applications, Foundations of Management, 2020. vol.12, no. 1, pp. 85-92 DOI: 10.2478/fman-2020-0007.
22. Reid W.T. Riccati differential equations. New York, USA: Academic Press, 1972. 216 pp.
23. Taogetusang S., Li S.MNew application to Riccati equation, Chinese Physics B, 2010. vol.19, pp. 080303 DOI: 10.1088/1674-1056/19/8/080303.
24. Gerasimov A. N. Generalization of linear deformation laws and their application to internal friction problems, Applied Mathematics and Mechanics, 1948. vol. 12, pp. 529-539.
25. Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent - II, Geophysical Journal International, 1967. vol. 13, no. 5, pp. 529-539 DOI: 10.1111/j.1365-246X.1967.tb02303.x.
26. Hughes A. J., Grawoig D.E. Statistics: A Foundation for Analysis. Boston: Addison Wesley, 1971.525 pp. ISBN 978-0201030211.
27. Chicco D., Warrens M. J., Jurman G.The coefficient of determination R-squared is more informative than SMAPE, MAE, MAPE, MSE and RMSE in regression analysis evaluation, PeerJ Computer Scienc, 2021. vol.299, pp. e623 DOI: 10.7717/peerj-cs.623.
28. Cox D. R. Hinkley D.V. Theoretical Statistics, 1st edition. London: Chapman & Hall/CRC, 1979. 528 pp. ISBN 9780412161605.
29. Кабанихин С. И., Искаков К. Т. Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач. Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 2001. 315 с. ISBN 5-94356-022-Х.
30. Uchaikin V. V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. Vol. I. Background and Theory. Berlin: Springer, 2013.373 pp. ISBN 978-3-642-33911-0 DOI: 10.1007/978-3-642-33911-0.
31. Sun H., Chen W., Li C., Chen Y. Finite difference schemes for variable-order time fractional diffusion equation, International Journal of Bifurcation and Chaos, 2012. vol.22, no. 04, pp. 1250085 DOI: 10.1142/S021812741250085X.
32. Tverdyi D. A., Parovik R. I. Investigation of Finite-Difference Schemes for the Numerical Solution of a Fractional Nonlinear Equation, Fractal and Fractional, 2022. vol.6, no. 1:23, pp. 1-27 DOI: 10.3390/fractalfract6010023.
33. Твёрдый Д. А., Паровик Р. И. Об эффективности параллельных алгоритмов численного решения некоторых модельных задач дробной динамики, Материалы II Международного семинара «Вычислительные технологии и прикладная математика», Благовещенск, Россия, 12 - 16 Июнь, 2023, С. 210-212 DOI: 10.22250/9785934933921_210.
34. Борзунов С. В., Кургалин С. Д., Флегель А. В. Практикум по параллельному программированию: учебное пособие. Санкт-Петербург: БХВ, 2017.236 с. ISBN 978-59909805-0-1.
35. Sanders J., Kandrot E. CUDA by Example: An Introduction to General-Purpose GPU Programming. London: Addison-Wesley Professional, 2010.311 pp. ISBN 978-0-13-138768-3.
36. Tverdyi D. A., Parovik R. I. Application of the Fractional Riccati Equation for Mathematical Modeling of Dynamic Processes with Saturation and Memory Effect, Fractal and Fractional, 2022. vol. 6, no. 3:163, pp. 1-35 DOI: 10.3390/fractalfract6030163.
37. Gill P. E., Murray W., Wright M.H. Practical Optimization. Philadelphia: SIAM, 2019.421 pp.
äik
Информация об авторах
Твёрдый Дмитрий АлександровичА - кандидат физико-математических наук, научный сотрудник лаборатории электромагнитных излучений института космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, Паратунка, Россия, © ОЯСГО 0000-0001-6983-5258.
Паровик Роман Иванович А - доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник лаборатории моделирования физических процессов института космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, Паратунка, Россия, © СЖСГО 0000-0002-1576-1860.
References
[1] Chen P. F. Coronal Mass Ejections: Models and Their Observational Basis, Living Reviews in Solar Physics, 2011, vol. 8, no. 1, pp. 1-93. DOI: 10.12942/lrsp-2011-1
[2] Murtazov A. K. Fizika zemli. Kosmicheskie vozdejstviya na geosistemy 2-e izd. per. i dop. [Physics of the earth. Space impacts on geosystems 2nd ed. additional]. Moscow, YUrajt, 2021, 268 pp., isbn: 978-5-534-11473-7 (In Russian)
[3] Schiermeier Q. Solar wind hammers the ozone layer, Nature, 2005, DOI: 10.1038/news050228-12
[4] Quassim M. S., Attia A. F. Forecasting the global temperature trend according to the predicted solar activity during the next decades, Memorie della Societa Astronomica Italiana, 2005, vol. 76, no. 4, pp. 1030.
[5] Joglekar P. J., Agarwala R. A. Variation of atmospheric radio noise level with sunspot number, Proceedings of the IEEE, 1973, vol. 61, no. 2, pp. 252-253. DOI: 10.1109/PROC.1973.9023
[6] Weigend A., Huberman B., Rumelhart D.E. Predicting the Future: A Connectionist Approach, International Journal of Neural Systems, 1990, vol. 01, no. 03, pp. 193-209. DOI: 10.1142/S0129065790000102
[7] Casdagli M. Chaos and Deterministic versus Stochastic Non-Linear Modelling, Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), 1992, vol. 54, no. 2, pp. 303-328.
[8] Mirmomeni M., Lucas C., Araabi B.N., Shafiee M. Forecasting sunspot numbers with the aid of fuzzy descriptor models, Space Weather, 2007, vol. 5, no. 8, pp. 1-10. DOI: 10.1029/2006SW000289
[9] Dikpati M., Toma G., Gilman P. A. Predicting the strength of solar cycle 24 using a flux-transport dynamo-based tool, Geophysical Research Letters, 2006, vol. 33, no. 5, pp. 1-4. DOI: 10.1029/2005GL025221
[10] Lantos P., Richard O.A. On the Prediction of Maximum Amplitude for Solar Cycles Using Geomagnetic Precursors, Solar Physics, 1998, vol. 182, no. 1, pp. 231-246. DOI: 10.1023/A:1005087612053
[11] Salvatore M., Morabito F.C. A New Technique for Solar Activity Forecasting using Recurrent Elman Networks, Proceedings of International Enformatika Conference, IEC'05, August 26-28, 2005, vol. 54, pp. 68-73.
[12] Gholipour A., Abbaspour A., Araabi B. N., Lucas C. Enhancements in the Prediction of Solar Activity By Locally Linear Model Tree, Proceedings of the 22nd IASTED International Conference on Modelling, Identification, and Control (MIC 2003), February 10-13, Innsbruck, Austria, 2003, pp. 157-160.
[13] Tverdyi D. A., Parovik R.I. Mathematical modeling in MATLAB of solar activity cycles according to the growth-decline of the Wolf number, Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 2022, vol. 41, no. 4, pp. 47-64. DOI: 10.26117/2079-6641-202241-4-47-64.
[14] Tverdyi D.A., Parovik R.I. Nelokal'naya zadacha Koshi dlya uravneniya rikkati s proizvodnoj drobnogo poryadka kak matematicheskaya model' dinamiki solnechnoj aktivnosti [Nonlocal Cauchy problem for the Riccati equation with fractional order derivative as a mathematical model of solar activity dynamics], Izvestiya Kabardino-Balkarskogo nauchnogo centra RAN [Bulletin of the Kabardino-Balkarian Scientific Center of the Russian Academy of Sciences], 2020, vol. 93, no. 1, pp. 57-62. DOI: 10.35330/1991-6639-2020-1-93-57-62.(In Russian)
[15] Volterra V. Sur les equations integro-differentielles et leurs applications, Acta Mathematica, 1912, vol. 35, no. 1, pp. 295-356. DOI: 10.1007/BF02418820.
ISSN 2079-6641
TBepgbiH A-A., napoBHK P.M.
[16] Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam, Elsevier Science Limited, 2006, 523 pp., isbn: 9780444518323.
[17] Nahushev A. M. Drobnoe ischislenie i ego primenenie [Fractional calculus and its application]. Moscow, Fizmatlit, 2003, 272 pp., isbn: 5-9221-0440-3 (In Russian)
[18] Pskhu A. V. Uravneniya v chastnyh proizvodnyh drobnogo poryadka [Fractional Partial Differential Equations]. Moscow, Science, 2005, 199 pp., isbn: 5020337218 (In Russian)
[19] Buraev A. V. Nekotorye aspekty matematicheskogo modelirovaniya regional'nyh proyavlenij solnechnoj aktivnosti i ih svyazi s ekstremal'nymi geofizicheskimi processami [Some aspects of mathematical modelling of regional manifestations of solar activity and their connection with extreme geophysical processes], Reports of the Adyghe (Circassian) International Academy of Sciences, 2010, vol. 12, no. 1, pp. 88-90.
[20] Postan M.Y. Obobshchennaya logisticheskaya krivaya: ee svojstva i ocenka parametrov [Generalized logistic curve: its properties and estimation of parameters]. Ekonomika i matematicheskie metody [Economics and mathematical methods]. 1993, vol. 29, no. 2, pp. 305-310 (In Russian)
[21] Rzkadkowski G., Sobczak L. A generalized logistic function and its applications, Foundations of Management, 2020, vol. 12, no. 1, pp. 85-92. DOI: 10.2478/fman-2020-0007.
[22] Reid W. T. Riccati differential equations. New York, USA, Academic Press, 1972, 216 pp..
[23] Taogetusang S., Li S. M New application to Riccati equation, Chinese Physics B, 2010, vol. 19, pp. 080303. DOI: 10.1088/1674-1056/19/8/080303.
[24] Gerasimov A. N. Generalization of linear deformation laws and their application to internal friction problems, Applied Mathematics and Mechanics, 1948, vol. 12, pp. 529-539.
[25] Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent - II, Geophysical Journal International, 1967, vol. 13, no. 5, pp. 529-539.DOI: 10.1111/j.1365-246X.1967.tb02303.x.
[26] Hughes A. J., Grawoig D. E. Statistics: A Foundation for Analysis. Boston, Addison Wesley, 1971, 525 pp., isbn: 978-0201030211.
[27] Chicco D., Warrens M. J., Jurman G. The coefficient of determination R-squared is more informative than SMAPE, MAE, MAPE, MSE and RMSE in regression analysis evaluation, PeerJ Computer Scienc, 2021, no. 299, pp. e623. DOI: 10.7717/peerj-cs.623.
[28] Cox D. R. Hinkley D. V. Theoretical Statistics, 1st edition. London, Chapman & Hall/CRC, 1979, 528 pp., isbn: 9780412161605.
[29] Kabanihin S.I., Iskakov K.T. Optimizacionnye metody resheniya koefficientnyh obratnyh zadach [Optimization methods for solving coefficient inverse problems]. Novosibirsk, Novosibirskij gosudarstvennyj universitet, 2001, 315 pp., isbn: 5-94356-022-X (In Russian)
[30] Uchaikin V. V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. Vol. I. Background and Theory. Berlin, Springer, 2013, 373 pp., isbn: 978-3-642-33911-0. DOI: 10.1007/978-3-64233911-0.
[31] Sun H., Chen W., Li C., Chen Y. Finite difference schemes for variable-order time fractional diffusion equation, International Journal of Bifurcation and Chaos, 2012, vol. 22, no. 04, pp.1250085. DOI: 10.1142/S021812741250085X.
[32] Tverdyi D. A., Parovik R. I. Investigation of Finite-Difference Schemes for the Numerical Solution of a Fractional Nonlinear Equation, Fractal and Fractional, 2022, vol. 6, no. 1:23, pp. 1-27. DOI: 10.3390/fractalfract6010023.
[33] Tverdyi D. A., Parovik R.I. On efficiency of parallel algorithms for numerical solution of some model problems of fractional dynamics, Proceedings of the II International Workshop "Computational Technologies and Applied Mathematics Blagoveshchensk, Russia, 12 - 16 June, 2023, pp. 210-212. DOI: 10.22250/9785934933921_210.
[34] Borzunov S.V., Kurgalin S.D., Flegel A.V. Praktikum po parallel'nomu programmirovaniyu: uchebnoe posobie [Workshop on Parallel Programming: A Study Guide]. Saint Petersburg: BVH, 2017, 236 pp., isbn: 978-5-9909805-0-1 (In Russian)
[35] Sanders J., Kandrot E. CUDA by Example: An Introduction to General-Purpose GPU Programming. London, Addison-Wesley Professional, 2010, 311 pp., isbn: 978-0-13-1387683.
[36] Tverdyi D. A., Parovik R. I. Application of the Fractional Riccati Equation for Mathematical Modeling of Dynamic Processes with Saturation and Memory Effect, Fractal and Fractional, 2022, vol. 6, no. 3:163, pp. 1-35. DOI: 10.3390/fractalfract6030163.
[37] Gill P. E., Murray W., Wright M. H. Practical Optimization. Philadelphia, SIAM, 2019, 421 pp.
Information about authors
Tverdyi Dmitrii AlexsandrovichA - Ph. D. (Phys. & Math.), Researcher laboratory of electromagnetic propogation Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation FEB RAS, Paratunka, Russia, ©ORCID 0000-0001-6983-5258.
Parovik Roman IvanovichA - D. Sci. (Phys. & Math.), Associate Professor, Leading researcher laboratory of modeling physical processes Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation FEB RAS, Paratunka, Russia, ©ORCID 0000-0002-1576-1860.
о
