CC BY
4
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 44. №3. C. 86-103. ISSN 2079-6641
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
" https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-44-3-86-103
Научная статья
Полный текст на русском языке
УДК 519.642.2
Исследования напряженно-деформированного состояния геосреды эманационными методами на примере а("Ь)-модели
переноса радона
Д. А. Твёрдый1'2*, Е. О. Макаров2'3, Р. И. Паровик1'2
1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, е. Паратунка, ул.Мирная, д. 7, Россия
2 Камчатский государственный университет им. Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4, Россия
3 Камчатский филиал ФИЦ Единая геофизическая служба РАН, 683006, г. Петропавловск-Камчатский, бульвар Пийпа, 9, Россия
Аннотация. Непрерывный мониторинг вариаций объемной активности радона с целью поиска ее аномальных значений, предшествующих сейсмическим событиям, является одной из эффективных методик исследования напряженно-деформированного состояния геосреды. Предлагается задача Коши, описывающая перенос радона с учетом его накопления в камере и наличия эффекта памяти геосреды. Модельное уравнение представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение с непостоянными коэффициентами с производной в смысле Герасимова-Капуто дробного переменного порядка. В ходе математического моделирования, в среде MATLAB, переноса радона эредитарной а(1)-моделью получено хорошее соответствие с экспериментальными данными. Это указывает на то, что эредитарная а(1)-модель переноса радона является более гибкой, что позволяет с помощью нее описывать различные аномальные вариаций в значениях объемной активности радона в следствии напряженно-деформированного состояния геосреды. Показано, что порядок дробной производной может отвечать за интенсивность процесса переноса радона связанную с характеристиками геосреды. Показано, что за счет порядка дробной производной, а также квадратичной нелинейности в модельном уравнении результаты численного моделирования дают лучшую аппроксимацию экспериментальных данных радонового мониторинга, чем по классическим моделям.
Ключевые слова: математическое моделирование, нелинейные уравнения, эффект насыщения, дробные уравнения, дробные производные, эредитарность, эффекты памяти, нелокальность по времени, объёмная активность радона, напряженно-деформированное состояние, геосреда, предвестники землетрясений
Получение: 19.10.2023; Исправление: 26.10.2023; Принятие: 28.10.2023; Публикация онлайн: 02.11.2023
Для цитирования. Твёрдый Д. А., Макаров Е.О., Паровик Р. И. Исследования напряженно-деформированного состояния геосреды эманационными методами на примере а(1)-модели переноса радона // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 44. № 3. C. 86-103. EDN: AOBZGA. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-44-3-86-103.
Финансирование. Исследования выполнены в рамках гранта Президента РФ МД-758.2022.1.1 по теме "Развитие математических моделей дробной динамики с целью исследования колебательных процессов и процессов с насыщением"
Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.
Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.
* Корреспонденция: А E-mail: [email protected] ф
Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License © Твёрдый Д. А., Макаров Е. О., Паровик Р. И., 2023 © ИКИР ДВО РАН, 2023 (оригинал-макет, дизайн, составление)
Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. nauki. 2023. vol. 44. no. 3. P. 86-103. ISSN 2079-6641
MATHEMATICAL MODELING
" https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-44-3-86-103
Research Article
Full text in Russian
MSC 34A08, 34A34
Research of Stress-Strain State of Geo-Environment by Emanation Methods on the Example of a(t)-Model of Radon
Transport
D.A. Tverdyi1'2*, E. O. Makarov2'3, R.I. Parovik1'2
1 Institute for Cosmophysical Research and Radio Propagation FEB RAS, 684034, p. Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia
2 Vitus Bering Kamchatka State University 683032, Petropavlovsk-Kamchatsky, st. Pogranichnaya, 4, Russia
3 Kamchatka branch Unified Geophysical Service of the RAS, 683006, Kamchatka Petropavlovsk-Kamchatsky, Piipa boulevard, 9, Russia
Abstract. Continuous monitoring of variations in the volumetric activity of radon in order to search for its anomalous values preceding seismic events is one of the effective techniques for studying the stress-strain state of the geosphere. We propose a Cauchy problem describing the radon transport taking into account its accumulation in the chamber and the presence of the memory effect of the geo-environment. The model equation is a nonlinear differential equation with non-constant coefficients with a derivative in the sense of Gerasimov-Kaputo of fractional variable order. In the course of mathematical modeling, in MATLAB environment, of radon transport by the ereditary a(t)-model a good agreement with experimental data was obtained. This indicates that the ereditary a(t)-model of radon transport is more flexible, which allows it to describe various anomalous variations in the values of volumetric activity of radon due to the stressstrain state of the geosphere. It is shown that the order of the fractional derivative can be responsible for the intensity of the radon transfer process associated with the characteristics of the geo-environment. It is shown that due to the order of the fractional derivative, as well as quadratic nonlinearity in the model equation, the results of numerical modeling give a better approximation of the experimental data of radon monitoring than by classical models.
Key words: mathematical modeling, nonlinear equations, saturation effect, fractional equations, fractional derivatives, hereditarity, memory effects, nonlocality in time, radon volumetric activity, stressstrain state, geo-environment, earthquake precursors
Received: 19.10.2023; Revised: 26.10.2023; Accepted: 28.10.2023; First online: 02.11.2023
For citation. Tverdyi D. A., Makarov E. O., Parovik R. I. Research of stress-strain state of geo-environment by emanation methods on the example of a(t)-model of radon transport. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2023, 44: 3, 86103. EDN: AOBZGA. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-44-3-86-103.
Funding. The research was carried out within the framework of the grant of the President of the Russian Federation MD-758.2022.1.1 on the topic "Development of mathematical models of fractional dynamics in order to study oscillatory processes and processes with saturation"
Competing interests. There are no conflicts of interest regarding authorship and publication.
Contribution and Responsibility. All authors contributed to this article. Authors are solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by all authors.
* Correspondence: A E-mail: [email protected] ^jj
The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License © Tverdyi D. A., Makarov E. O., Parovik R. I., 2023
© Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation, 2023 (original layout, design, compilation)
Введение
Радон (222Rn) - инертный радиоактивный газ с периодом полураспада T = 3.85 суток, является дочерним продуктом распада радия (226Ra), который в свою очередь постоянно содержится в земной коре. Поэтому 222Rn поддаётся непрерывному мониторингу с помощью газоразрядных счётчиков. В тоже время 222Rn, как показали результаты многочисленных работ [1-3], может служить индикатором процессов, меняющих напряженно-деформированное состояние геосреды, который отражает различные вариации (аномалии) в значениях объемной активности 222Rn (RVA). В ряде случаев такие аномалии могут предшествовать сильными землетрясениям, и являться его предвестниками в поле 222Rn [4]. Сведения об информативности радонового (эманационного) метода для поиска предвестников землетрясений приведены в работах [5-7].
Непрерывный мониторинг 222Rn и его миграции в верхнем слое грунта представляет интерес с точки зрения разработки методики прогноза сильных землетрясений в сейсмоопасных регионах, таких как Камчатка. В качестве инструмента исследования динамики изменения 222Rn является математическое моделирование, которое основано на применении ODE либо на PDE [8] целочисленных порядков с соответствующими начальными и краевыми условиями.
Для описания механизмов миграции эманации 222Rn в подземных водах, в пористых или трещиноватых геологических средах разработаны математические модели, которые рассматриваются в рамках эманационного метода [8]. В частности физико-химическая модель [9], модель гидротермальной системы [10], а также модель «геогаза» [11]. Но наибольший интерес в рамках данного исследования для нас представляют модели в основе которых лежат механические представления, учитывающие изменение вертикальной скорости газового потока под действием тектонических напряжений [12] и подмешивание или инжекцию радона в поток грунтовых вод [13].
Как известно, существуют диффузионные и конвективные механизмы переноса 222Rn в вертикальном направлении [14]:
• диффузия за счет градиента концентрации 222Rn;
• эффузия за счет градиента давления в земной коре;
• тепложидкостная конвекция, обусловленная подъемной силой, индуцированной геотермальным градиентом;
• газоподъемная сила в пористой среде при заполнении пор водой;
• изменение порового давления под действием изменяющихся напряжений в горном массиве;
• турбулентные эффекты в почвенном воздухе при изменении метеорологических факторов.
Замечание 1. На последней стадии подготовки землетрясений структурная неоднородность геосреды приводит к возникновению концентрации напряжений «сжатия-растяжения» в разломных зонах.
Сложность поиска предвестников землетрясений в поле подпочвенного 222 Кп состоит в том, что из всего многообразия факторов, влияющих на динамику его концентрации в области установки датчиков, надо выявить причину, связанную с изменениями напряженно-деформированного состояния среды.
Замечание 2. Если наблюдения проводятся в районе с развитой гидрохимической системой, то ее общая реакция на деформационное воздействие пропорциональна интегральной сумме пространственно-временных вариаций деформационного поля. При этом внутренняя свободная энергия молекул таких газов, как радон, гелий может превышать порог потенциального барьера, препятствующий их выходу из кристаллической решетки в межпоровое пространство геосреды. В результате чего, в подпочвенном воздухе и в газах, растворенных в подземных водах, происходит формирование радоновых аномалий.
Нами в работе использован новый подход для описании динамики накопления 222Кп в камере с учетом эффекта эредитарности, основанный на применении математического аппарата дробного исчисления (РО) [15-17]. Процесс накопления было предложено описывать - уравнением Риккати, а эффект памяти среды с помощью дробной производной типа Герасимова-Капуто переменного порядка а (1). На основе такого дробного уравнения (РЕ) выводится эредитарная а (Ь)-модель для описания вариаций КУЛ в следствии процессов переноса радона в геосреде, где параметр а(" ) - указывает на то, что интенсивность процесса переноса 222Кп меняется от времени. Данная модель является обобщением ранее разработанной модели с постоянным значением а для описания только процесса накопления 222Кп с выходом значений КУЛ на некий постоянный уровень насыщения [18,19]. Показано, что за счёт обобщения до эредитарной а(Ь)-модели можно описывать также процессы инжекции 222Кп в поток грунтовых вод, которые в виде данных представляются как сложные импульсы (всплески) т.е. аномальные вариации КУЛ, возникающие предположительно из-за изменений напряженного состояния среды.
В настоящем исследовании, для обработки данных, проведения математическо моделирования динамического процесса и визуализации результатов, был использован разработаный авторами программный комплекс «РБКЕ 3.0» на языке МЛТЬЛБ (свидетельство о регистрации программ для ЭВМ №2022668730 от 11.10.2022).
О пунктах мониторинга подпочвенных газов и их оснащении
Регистрация концентрации 222 Кп и его короткоживущих дочерних продуктов распада возможна по всем трем видам излучений, сопровождающих радиоактивный распад. На Камчатке, в условиях необходимости обеспечивать
непрерывность мониторинга динамики концентрации Ил длительное время с целью поиска предвестников землетрясений, наиболее надежным и метрологически простым оказался метод регистрации по в - излучению продуктов распада КаС и КаВ с помощью газоразрядных счетчиков [20]. Счетчики помещаются в накопительных камерах (оцинкованное ведро объемом 10 литров), как правило на двух глубинах зоны аэрации 1 и 2 м от поверхности земли. Переход от импульсов к объемной активности Кп (КУЛ) осуществляется по эмпирической формуле КУЛ (Бк/м3) = 9 ■ N (где N - число зарегистрированных датчиками в - излучения импульсов за минуту), полученной в результате одновременной регистрации сертифицированными радиометрами RS-410F фирмы femto-TECH (США), РРА-01М-03 фирмы ООО НТМ-Защита (Россия) и датчиками в -излучения.
В настоящее время функционирует сеть из шести пунктов. Наряду с регистрацией КУЛ фиксируются метеорологические параметры (температура воздуха и атмосферное давление) и концентрации других подпочвенных газов. Пункты оснащены аппаратурными комплексами для регистрации концентрации подпочвенных газов [20]. Подробные сведения о пунктах мониторинга подпочвенных газов на Камчатке и их расположение приведены в работе [21,22].
Для пунктов радонового мониторинга характерна различная реакция в виде вариаций КУЛ на воздействие метеорологических величин. Наиболее сильное влияние на изменение КУЛ в зоне аэрации оказывают резкие перепады атмосферного давления, связанные с циклонической активностью, а также промерзание верхнего слоя грунта в зимний период.
В данном исследовании а также работах [18, 19] были использованы данные, полученные на нескольких пунктов сети мониторинга подпочвенных газов на Камчатке. Их расположение привязано к речным долинам, которые трассируют разломные зоны. В следствии того что, зоны динамического влияния разломов имеют повышенную проницаемость, которая способствует стоку подпочвенных газов в атмосферу [1,23].
В частности использованы данные с пункта MRZR расположенного на базе скважины «Морозная-1» (Елизовский район). Использовался датчик СБМ-19 в накопительной камере (стандартное ведро как и ранее). В пункте регистрация КУЛ осуществляется в накопительных камерах на глубинах 0.2 и 1.0 метров, с шагом в 10 минут в течении 96 часов, как показано на рис. 1. Данный пункт создан с целью расширения сети мониторинга подпочвенных газов и поиска связи между вариациями уровня грунтовых вод и концентрации подпочвенного 222Кп, так как на этой скважине проводится регистрация уровня воды в скважине.
Так как нас интересует математическое моделирование возможных механизмов возникновения именно аномальных вариации КУЛ, то из представленных данных на рис. 1 следует выделить именно момент всплеска:
Далее в численных экспериментах, для сопоставления с результатами математического моделирования, будут использоваться данные, описывающие только сам всплеск КУЛ, как на рис. 2.
Рис. 1. Используемые в данном исследовании наблюдаемые данные с пункта регистрации MRZR
[Figure 1. The observed data used in this study is from the MRZR registration point ]
Рис. 2. Выделенный из данных полученных с пункта MRZR всплеск RVA,
продолжительностью 22.5 часа [Figure 2. RVA burst isolated from data obtained from the MRZR point, lasting 22.5 hours ]
Математическая модель процесса переноса радона в геосреде
В работе [21] была предложена математическая модель накопления КУЛ в накопительной камере:
алщ
dt
= -AcA(t) + SA, A(0) = Ao,
(1)
где А("") € С1 [0, Т] - КУЛ, Бд/т3; - константа отвечающая за диффузионный механизм переноса, Бд/(т3с); Л0 - кратность воздухообмена (ЛЕК), с-1; А0 -константа, определяющая значение КУЛ в момент времени " = 0; " € [0, Т] -текущее время моделирования; Т > 0 - общее время моделирования.
Модель (1) представляет собой задачу Коши и далее мы будем ее называть классической в силу того, что она хорошо изучена и встречается во многочисленных работах по радоновой тематике [13,21,24].
Будем исходить из предположения о том, что процесс переноса 222Кп происходит в проницаемой геосреде [25], а значит можно провести обобщение классической модели (1) для учета эредитарности.
Определение 1. Пористость среды понимается как наличие изолированных пор дает замедление процесса диффузии (субдиффузия), а проницаемость среды -может быть обусловлена наличием проводных каналов между порами приводит к полетам Леви, т.е. к ускорению диффузии (супердиффузии). Данные процессы относятся к явлениям аномальной диффузии, которые изучались в работе [17], и математически описаны при помощи интегро-дифференциального исчисления [15, 16,26]. А в работах [25,27] было дано описание переноса 222Кп в пористом грунте с помощью механизмов аномальной диффузии и конвекции.
Определение 2. Эредитарность, наследственность или память - свойство системы или среды помнить некоторое время оказанное на нее воздействие. Понятие было определено в работе итальянского математика Вито Вольтерра [28], там же были сформулированы принципы эредитарности. В тоже время, согласно принципам В. Вольтерра эредитарность также описывается с помощью интегро-дифференциальных уравнений с разностными ядрами - убывающими функциями памяти.
Если в качестве ядра использовать степенную функцию, тогда это позволит нам перейти к использованию в нашем исследовании математического аппарата дробного исчисления [15, 16, 26]. В итоге получим интегро-дифференциальное уравнение вида:
30а(1)Л(а)= ?(Л("),а), (2)
где Э^Л^) - дробная производная типа Герасимова-Капуто [29,30], где 0 < а < 1 - показатель степени дробной производной.
Замечание 3. Функция сс("Ь) € С[0, Т] - указывает на то, что интенсивность процесса переноса 222Кп меняется от времени, т.е. меняется во времени: проницаемость среды, пористость и т.д. Учет переменного порядка дробной производной позволяет описывать аномальные всплески в КУЛ, обусловленные изменениями проницаемости (сжатием-растяжением) геосреды.
Оператор дробного дифференцирования Э^Л^) в уравнении (2) действует на функцию А("Ь) € С[0,Т] следующим образом:
Э0?А(а) =
01-а(1)Г (1 -a(t))
T^T^d* (3)
(t - a)a(t) ' v '
л 4 1
где производная Л("Ь) = ^Л, Г(.) - известная гамма-функция Эйлера, монотонно убывающей на интервале от 0 до 1, 0 - параметр, имеющий размерность времени [31]. Параметр 0 здесь был введен для соблюдения размерности в
модельном уравнении (4). Однако в практических расчетах мы будет полагать
е = i.
Замечание 4. Заметим, что эредитарность определяемая на интервале (0, t) -ограниченная. Т.е. учитывается только та история процесса, что свершилась в ходе эксперимента, начавшегося с момента времени t = 0. Именно по этому пределы интегрирования в (3) от 0 до t е [0, T].
Существуют другие определения производной дробного переменного порядка, также называемых (VO) согласно [32]. Подробнее об этом и возможных приложениях других видов дробных производных VO можно узнать из работ [3234].
Определение 3. Задача Коши для (2) с (3) примет вид:
30at(t)A(a)= F(A(t),a), A(0) = A0, (4)
которую мы будем назвать эредитарной сс^)-моделью RVA.
Замечание 5. Заметим, что эредитарная сс(^-модель RVA (4) при значении порядка дробной производной a(t) = i и правой части F(A(t),a) = —A0A(t) + SA перейдет в классическую модель RVA (1). Этот факт указывает на сохранение свойств, полученного ранее решения по классической модели RVA (1), а также на наличие новых свойств, которые применяются к исследованию вариаций RVA в пунктах наблюдений.
Далее выберем функцию в эредитарной сс(^-модели RVA F(A(t),a) в виде:
F(A(t), а) = —a(t)A(t)2 — A0AU) + SA(t),
где SA(t) е C[0,T] - функция источника эманации 222Rn, а появляющийся член модели с квадратичной нелинейностью и коэффициентом a(t) е C[0, T] - слагаемое отвечающее за сток RVA за счет атмосферного давления, т.е. за счет метеоусловий.
В итоге, эредитарная сс^)-модель RVA примет конкретный вид:
90at(t) A(a) = —a(t)A(t)2 — A0AU) + SA(t), A(0) = A0, (5)
Замечание 6. Уравнение в (5) представляет собой дробное уравнение Риккати, для которого характерна квадратичная нелинейность. У нас же в задаче (4) случай дробного уравнения Риккати, которое было широко исследовано работах [19,35].
Дробное уравнение Риккати, с модельной кривой близкой к логистической [37] хорошо описывает процессы с насыщением, а переменный порядок cc(t) дробной производной дает широкий диапазон для уточнения математической модели с насыщением и учитывает эффект переменной памяти изучаемой динамической системы.
Эредитарная a(t)-модель RVA исследовалась численно с помощью нелокальной неявной конечно-разностной схемы (IFDS) первого порядка точности [35,36], там же исследовались вопросы устойчивости и сходимости.
Результаты моделирования
Рассмотрим применение указанной выше математической модели для описания аномальных всплесков КУЛ, по данным одного из пунктов мониторинга 222Кп Петропавловск-Камчатском геодинамическом полигоне.
Пример. Эредитарная а("Ь)-модель КУЛ (5). Значения параметров модели N = 134, Т = 134, А0 = 0.014, Атах = 1,Л0 = 0.05, а(1) = 1 -(Я-1с03 (3г1 )2),а(") = -2Л0 + 7Л0(2соз ( ^ )2 + соз (- п )^,БЛ(") =
6Л0 (^ вш (^)2 + ()2) .
На рис.3 представлены графики функций в эредитарной а("Ь)-модели КУЛ (5):
Рис. 3. Изменение параметров модели от времени для Примера [Figure 3. Changing model parameters from time to time for Example ]
Параметры функций a(t), a(t), SA(t) и Л0 были уточнены на основе обработанных данных RVA. Периодические колебания a(t) моделируют изменения проницаемости среды, деформационные процессы «сжатия-растяжения».
По данным RVA, всплеск на рис. 2 на пункте MRZR по форме напоминает инжекцию 222Rn в потоке воды вследствие изменения напряжено-деформированного состояния земной коры. На рис. 2 виден резкий подъём, и через некоторое время более плавный спад RVA, который может сопровождаться незначительным повышением значений RVA и далее до исходного уровня, или близкого к исходному.
Над данными, представленными на рис. 2 проведены следующие действия: сглаживание с помощью метода «Simple moving average» [38] c окном в 2 значения; сдвиг на минимальное значение; нормировка на максимальное значение.
Основное отличие предложенной здесь эредитарной а("Ь)-модели КУЛ от эредитарной а-модели КУЛ из работ [18, 19] в переменном значении порядка дробной производной. Такое обобщение дает возможность нам смоделировать изменения проницаемости геосреды.
0.8 S0,6
Ч 0.4
0.2
1 + - to о ab
— < + $ + + + + / b оа. /"П-Г Н-Н++++ о +-Ч Л= * о \ а +|+|++++ \ —
+ 0 + + О
+ аг" »0 о ! оо
..<£> c-i> 1-Ф ^ пФ ц1> а-Ф vi>
г°г г°г г°г г0г г0гч ^v " г°г
Рис. 4. a) Данные всплеска RVA, из пункта MRZR с шагом в 10 минут; b) результаты моделирования по (5) с коэффициентом детерминации (R2 = 0.91) и коэффициентом корреляции Пирсона (Corr = 0.96) [Figure 4. a) RVA burst data from MRZR in 10 minute increments; b) simulation results for (5) with determination coefficient (R2 = 0.91) and Pearson correlation coefficient (Corr = 0.96) ]
На рис. 4 сначала наблюдается резкий рост значений КУЛ обусловленный интенсификацией переноса 222Кп в условиях напряженно-деформированного состояния геосреды. Это также отражено на графиках функции а(1) рис. 3с и 5А(1) рис. 3Ь. В результате сжатия геосреды происходит выдавливание 222Кп из пор и трещин, т.е. его инжекция.
Необходимо отметить, что функция а(1), связанная с атмосферным давлением, на этом же отрезке времени убывает (рис. За). Это также способствуют росту значений КУЛ.
Далее мы видим, что через некоторое время (6 часов) происходит убывание значений КУЛ, такое убывание отмечено на рис. 3Ь и рис. 3с. Это связано с тем, что источник эманирования 222Кп начинает иссякать и процесс переноса становится менее интенсивным, возможно происходит растяжение геосреды. Здесь включаются механизмы связанные с метеоусловиями (атмосферное давление) рис. 3а, воздухообменом с атмосферой. Далее мы можем наблюдать незначительные всплески значений КУЛ, которые также связаны с напряженно-деформированным состоянием геосреды, однако общая тендеция к снижению уровня 222Кп сохраняется.
Рис. 5. Зависимость во времени: а) от значения дробной производной; b) модельной
кривой (5) для Примера [Figure 5. Time dependency: a) on the value of the fractional derivative; b) model curve (5) for Example]
Эффект памяти (эредитарности), возникающий в модели из-за введения дробной производной САМ, представлен на рис.5а. Этот оператор характеризует интенсивность изменения КУЛ и отражает диссипацию КУЛ, как показано на рис. 5Ь. Здесь мы некоторую задержку во времени из-за эффекта памяти данной динамической системы.
Резкий всплеск КУЛ, вероятно, связан с деформациями, которые вызывают изменения потока радона сквозь площадку под накопительной камерой. При этом воздействие импульса напряжения может быть различной интенсивности и длительности. Как было показано выше, моделей, описывающих миграцию радона в горных породах, достаточно много. Опираясь на них можно предположить, что на фоне постоянного потока радона, попадающего в камеру, где располагается датчик, может возникнуть избыточный объем радона, связанный с различной реакцией среды на деформационные процессы (по моделям из работ, перечисленных ранее). Этот избыточный радон, в зависимости от глубины или объема среды, в котором он высвободился, попадает в поток подземных вод или в образующиеся новые трещины и устремляется за счет движения в потоке воды, диффузии и конвекции к поверхности земли. Этим процессом определяется восходящая относительно фоновых значений часть аномальной кривой КУЛ. Так как радон после своего образования непрерывно распадается, то максимум аномальной кривой КУЛ определяется объемом высвободившегося радона и временем поступления с глубины, где он начал свою миграцию.
Ниспадающая часть на графиках аномальных всплесков КУЛ в накопительных камерах связана с распадом радона в случае прекращения его избыточного поступления в камеру. Однако на графиках видно, что в большинстве случаев уменьшение КУЛ происходит гораздо быстрее, чем это определялось бы законом радиоактивного распада и свойствами радона. К примеру, в случае, представленном на рис. 4 ниспадающая часть аномальной кривой осложнена вариациями, а вся аномалия вернулась к фоновым значениям менее чем за сутки,
хотя в случае простого процесса распада избыточного радона в камере возврат к удвоенным фоновым значениям должен был произойти за время около 4 суток. С чем может быть связано такое быстрое уменьшение радона в накопительной камере, а так же в ряде случаев вариации кривой КУЛ? Процессом, приводящим к этому, может служить конвективный поток воздуха через накопительную камеру, который связан с прогревом верхнего слоя грунта, изменением атмосферного давления на различных периодах, а так же порывами ветра, приводящим к возникновению эффекта «пульверизатора» [22].
Следовательно, процессы, которые приводят к появлению избыточного объема радона в накопительной камере могут быть связаны с растяжением среды (увеличение свободных пор, образование новых трещин, заполнение пор флюидом и выталкивание газообразного радона на поверхность), сжатием среды (выдавливание радона, увеличение эманирования за счет избыточной энергии вследствие нагрева среды от трения или десорбция в следствие микроколебаний и тд.), а так же с изменениями конвективного потока подпочвенного воздуха. При этом изменения конвективного потока наиболее интенсивно влияют на форму кривой, особенно после прекращения поступления избыточного радона в подпочвенный воздух.
Заключение
В работе была разработана и применена эредитарная сс("Ь)-модель КУЛ для описания динамики накопления 222Кп с учетом эффекта наследственности. Проведена апробация модели на одном пунктов мониторинга 222 Кп на Петропавловск-Камчатском геодинамическом полигоне. В работе приводится интерпретация результатов моделирования. Показано, что порядок дробной производной может отвечать за интенсивность процесса переноса 222 Кп (эффект памяти), который связан с характеристиками геосреды: пористостью, проницаемостью и т.д. Нелинейное слагаемое в модельных уравнении определяет закон накопления 222Кп близкий к логистическому, который описывается уравнением Риккати. Такая нелинейность дает быстрый рост значений КУЛ и выход на насыщение - некоторый постоянный уровень. Показано, что предложенная модель хорошо описывает более сложные импульсы (всплески) КУЛ за счет конкретного вида функций входящих модельное уравнение.
Дальнейшее развитие эредитарная сс("Ь)-модели заключается в идентификаций функций, входящих в модельное уравнение с помощью решения соответствующих обратных задач. Также имеет интерес учет в модельных уравнениях деформаций геосреды различных форм, как по аналогии с работой [13].
Аббревиатуры
RVA Radon Volumetric Activity
222 Rn Radon
ODE Ordinary Differential Equations
PDE Partial Differential Equations
FC Fractional Calculus
FE Fractional Equation
AER Air Exchange Rate
IFDS Implicit Finite-difference Method
Список литературы
1. Рудаков В. П. Эманационный мониторинг геосред и процессов. Москва: Научный мир, 2009.175 с. ISBN 978-5-91522-102-3.
2. Neri M., Giammanco S., Ferrera E., Patane G., Zanon V. Spatial distribution of soil radon as a tool to recognize active faulting on an active volcano: The example of Mt. Etna (Italy), Journal of environmental radioactivity, 2011, pp. 863-870 DOI: 10.1016/j.jenvrad.2011.05.002.
3. Barberio, M.D., Gori, F., Barbieri, M., Billi, A., Devoti, R., Doglioni, C., Petitta, M., Riguzzi, F., Rusi, S. Diurnal and Semidiurnal Cyclicity of Radon (222Rn) in Groundwater, Giardino Spring, Central Apennines, Italy, Water, 2018. vol. 10(9), no. 1276 DOI: 10.3390/w10091276.
4. Imme G., Morelli D. Radon as earthquake precursor, In book: Earthquake Research and Analysis - Statistical Studies, Observations and Planning, 2012, pp. 143-160 DOI: 10.5772/29917.
5. Hauksson E. Radon content of groundwater as an earthquake precursor: evaluation of worldwide data and physical basis, Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 1981. vol. 86, no. B10, pp. 93979410 DOI: 10.1029/JB086iB10p09397.
6. Cicerone R. D., Ebel J.E., Beitton J. A systematic compilation of earthquake precursors, Tectonophysics, 2009. vol.476, no. 3-4, pp. 371-396 DOI: 10.1016/j.tecto.2009.06.008.
7. Petraki E., Nikolopoulos D., Panagiotaras D., Cantzos D., Yannakopoulos P. et al. Radon-222: A Potential Short-Term Earthquake Precursor, Earth Science & Climatic Change, 2015. vol.6, no. 6 DOI: 10.4172/2157-7617.100028.
8. Паровик Р. И. Математическое моделирование неклассической теории эманационного метода. Петропавловск-Камчатский: Камчатский государственный университет им. Витуса Беринга, 2014. 80 с. ISBN 978-5-7968-0452-0.
9. Понамарев А. С. Фракционирование в гидротерме как потенциальная возможность формирования предвестников землетрясений, Геохимия, 1989. №5, С. 714-724.
10. Барсуков В. Л., Варшал Г. М., Гаранин А. В., Замокина Н. С. Значение гидрогеохимических методов для краткосрочного прогноза землетрясений / Гидрогеохимические предвестники землетрясений. Москва, Наука, 1985, С. 3-16.
11. Varhegyi A., Baranyi I., Somogyi G. A. Model for the vertical subsurface radon transport in «geogas» microbubbles, Geophys. Transactions, 1986. vol. 32, no. 3, pp. 235-253.
12. King C. Y. Gas-geochemical approaches to earthquake prediction / Isotopic geochemical precursors of earthquakes and volcanic eruption, Proceedings of an Advisory Group Meeting held in Vienna (Vienna, September 9-12). Vienna, International atomic energy agency, 1991, pp. 22-36.
13. Dubinchuk V.T. Radon as a precursor of earthquakes/ Isotopic geochemical precursors of earthquakes and volcanic eruption, Proceedings of an Advisory Group Meeting held in Vienna (Vienna, September 9-12). Vienna, International atomic energy agency, 1991, pp. 9-22.
14. Новиков Г. Ф. Радиометрическая разведка. Ленинград: Наука, 1989. 407 с. ISBN 5-247-00832-4.
15. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier Science Limited, 2006. 523 pp. ISBN 9780444518323.
16. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. Москва: Физматлит, 2003. 272 с. ISBN 5-9221-0440-3.
17. Uchaikin V. V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. Background and Theory, vol. 1. Berlin: Springer, 2013.373 pp. ISBN 978-3-642-33911-0 DOI: 10.1007/978-3-642-33911-0.
18. Tverdyi D.A., Parovik R. I., Makarov E. O., Firstov P. P. Research of the process of radon accumulation in the accumulating chamber taking into account the nonlinearity of its entrance, E3S Web Conference, 2020. vol.196, no. 02027, pp. 1-6 DOI: 10.1051/e3sconf/202019602027.
19. Tverdyi D. A., Parovik R. I. Application of the Fractional Riccati Equation for Mathematical Modeling of Dynamic Processes with Saturation and Memory Effect, Fractal and Fractional, 2022. vol. 6(3), no. 163, pp. 1-35 DOI: 10.3390/fractalfract6030163.
20. Makarov E. O. Firstov P.P., Voloshin V. N. Instrumental complex for registration concentration of subsurface gas to find precursory anomalies strong earthquake of Southern Kamchatka, Seismic instruments, 2012. vol.48, no. 2, pp. 5-14.
21. Фирстов П. П., Макаров Е. О. Динамика подпочвенного радона на Камчатке и сильные землетрясения. Петропавловск-Камчатский: Камчатский государственный университет им. Витуса Беринга, 2018. 148 с. ISBN 978-5-7968-0691-3.
22. Фирстов П. П., Макаров Е. О., Глухова И. П., Будилов Д. И., Исакевич Д. В. Поиск предвестниковых аномалий сильных землетрясений по данным мониторинга подпочвенных газов на Петропавловск-Камчатском геодинамическом полигоне, Геосистемы переходных зон, 2018. Т. 2, №1, С. 16-32 DOI: 10.30730/2541-8912.2018.2.1.016-032.
23. Фирстов П. П., Рудаков В. П. Результаты регистрации подпочвенного радона в 1997-2000 гг. на Петропавловск-Камчатском геодинамическом полигоне, Вулканология и сейсмология, 2003. №1, С. 26-41.
24. Vasilyev A. V., Zhukovsky M. V. Determination of mechanisms and parameters which affect radon entry into a room, Journal of Environmental Radioactivity, 2013. vol.124, pp. 185-190 DOI: 10.1016/j.jenvrad.2013.04.014.
25. Parovik R. I., Shevtsov B. M. Radon transfer processes in fractional structure medium, Mathematical Models and Computer Simulations, 2010. vol. 2, no. 2, pp. 180-185 DOI: 10.1134/S2070048210020055.
26. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. Москва: Наука, 2005.199 с. ISBN 5020337218.
27. Parovik R. I. Mathematical modeling of radon sub diffusion into the cylindrical layer in ground, Life Science Journal, 2015. vol.11, no. 9, pp. 281-283.
28. Volterra V. Functional theory, integral and integro-differential equations. Moscow: Science, 1982 ISBN 9780598446336..
29. Gerasimov A. N. Generalization of linear deformation laws and their application to internal friction problems, Applied Mathematics and Mechanics, 1948. vol. 12, pp. 529-539.
30. Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent - II, Geophysical Journal International, 1967. vol. 13, no. 5, pp. 529-539 DOI: 10.1111/j.1365-246X.1967.tb02303.x.
31. Рехвиашвили С.Ш., Псху А. В. Дробный осциллятор с экспоненциально-степенной функцией памяти, Письма в ЖТФ, 2022. Т. 48, №7 DOI: 10.21883/PJTF.2022.07.52290.19137.
32. Patnaik S., Hollkamp J. P., Semperlotti F. Applications of variable-order fractional operators: a review, Proceedings of the Royal Society A, 2020. vol. 476, no. 2234, pp. 20190498 DOI: 10.1098/rspa.2019.0498.
33. Coimbra C. F. M. Mechanics with variable-order differential operators, Annalen der Physik, 2003. vol. 12, no. 11-12, pp. 692-703 DOI: 10.1002/andp.200310032.
34. Ortigueira M.D., Valerio D., Machado J. T. Variable order fractional systems, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2019. vol.71, pp. 231-243 DOI: 10.1016/j.cnsns.2018.12.003.
35. Tverdyi D. A., Parovik R. I. Investigation of Finite-Difference Schemes for the Numerical Solution of a Fractional Nonlinear Equation, Fractal and Fractional, 2022. vol. 6(1), no. 23, pp. 1-27 DOI: 10.3390/fractalfract6010023.
36. Tvyordyj D. A. Hereditary Riccati equation with fractional derivative of variable order, Journal of Mathematical Sciences, 2021. vol.253, no. 4, pp. 564-572 DOI: 10.1007/s10958-021-05254-0.
37. Rzkadkowski G., Sobczak L. A generalized logistic function and its applications, Foundations of Management, 2020. vol.12, no. 1, pp. 85-92 DOI: 10.2478/fman-2020-0007.
38. Johnston F. R., Boyland J.E., Meadows M., Shale E.Some properties of a simple moving average when applied to forecasting a time series, Journal of the Operational Research Society, 1999. vol. 50, no. 12, pp. 1267-1271 DOI: 10.1057/palgrave.jors.2600823.
Информация об авторах
Твёрдый Дмитрий АлександровичА - кандидат физико-математических наук, научный сотрудник лаборатории электромагнитных излучений института космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, Паратунка, Россия, © ОЯСГО 0000-0001-6983-5258.
Макаров Евгений ОлеговичА - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Камчатского филиала Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального исследовательского центра "Единая геофизическая служба Российской академии наук"(КФ ФИЦ ЕГС РАН), Камчатский край, г. Петропавловск-Камчатский, бульвар Пийпа, 9, Россия, Петропавловск-Камчатский, Россия, © СЖСГО 0000-0002-0462-3657.
Паровик Роман ИвановичА - доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник лаборатории моделирования физических процессов института космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, Паратунка, Россия, заведующий международной интегративной научно-исследовательской лабораторией экстремальных явлений Камчатки, КамГУ имени Витуса Беринга, г. Петропавловск-Камчатский, Россия, © СЖСГО 0000-0002-1576-1860.
References
[1] Rudakov V. P. Emanacionnyj monitoring geosred i processov [Emanational monitoring of geoenvironments and processes]. Moscow: Science World, 2009, 175 pp. (In Russian).
[2] Neri M., Giammanco S., Ferrera E., Patane G., Zanon V. Spatial distribution of soil radon as a tool to recognize active faulting on an active volcano: The example of Mt. Etna (Italy), Journal of environmental radioactivity, 2011, vol. 102(9), pp. 863-870. DOI: 10.1016/j.jenvrad.2011.05.002.
[3] Barberio, M.D., Gori, F., Barbieri, M., Billi, A., Devoti, R., Doglioni, C., Petitta, M., Riguzzi, F., Rusi, S. Diurnal and Semidiurnal Cyclicity of Radon (222Rn) in Groundwater, Giardino Spring, Central Apennines, Italy. Water, 2018, vol. 10(9), no. 1276. DOI: 10.3390/w10091276.
[4] Imme G., Morelli D. Radon as earthquake precursor, In book: Earthquake Research and Analysis - Statistical Studies, Observations and Planning, 2012, pp. 143-160. DOI: 10.5772/29917.
[5] Hauksson E. Radon content of groundwater as an earthquake precursor: evaluation of worldwide data and physical basis, Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 1981, vol. 86, no. B10, pp. 9397-9410. DOI: 10.1029/JB086iB10p09397.
[6] Cicerone R. D., Ebel J. E., Beitton J. A systematic compilation of earthquake precursors, Tectonophysics, 2009, vol. 476, no. 3-4, pp. 371-396. DOI: 10.1016/j.tecto.2009.06.008.
[7] Petraki E., Nikolopoulos D., Panagiotaras D., Cantzos D., Yannakopoulos P. et al. Radon-222: A Potential Short-Term Earthquake Precursor, Earth Science & Climatic Change, 2015, vol. 6, no. 6. DOI: 10.4172/2157-7617.1000282.
[8] Parovik R. I. Matematicheskoe modelirovanie neklassicheskoj teorii emanacionnogo metoda [Mathematical modeling of the non-classical theory of the emanation method]. Petropavlovsk-Kamchatsky, Vitus Bering Kamchatka State University, 2014, 80 pp.(In Russian).
[9] Ponamarev A. S. Frakcionirovanie v gidroterme kak potencial'naya vozmozhnost' formirovaniya predvestnikov zemletryasenij [Fractionation in hydrothermal fluid as a potential opportunity for the formation of earthquake precursors]. Geohimiya [Geochemistry], 1989, no. 5, pp. 714-724 (In Russian).
[10] Barsukov V. L., Varshal G.M., Garanin A.V., Zamokina N.S. Znachenie gidrogeohimicheskih metodov dlya kratkosrochnogo prognoza zemletryasenij [Significance of hydrogeochemical methods for short-term earthquake prediction], In book: Gidrogeohimicheskie predvestniki zemletryasenij [Hydrogeochemical precursors of earthquakes], 1985, Moscow: Science, pp. 3-16.
[11] Varhegyi A., Baranyi I., Somogyi G. A. Model for the vertical subsurface radon transport in «geogas» microbubbles, Geophys. Transactions, 1986, vol. 32, no. 3, pp. 235-253.
[12] King C. Y. Gas-geochemical approaches to earthquake prediction, In: Isotopic geochemical precursors of earthquakes and volcanic eruption, Proceedings of an Advisory Group Meeting held in Vienna (Vienna, September 9-12), Vienna, International atomic energy agency, 1991, pp. 22-36.
[13] Dubinchuk V. T. Radon as a precursor of earthquakes, In: Isotopic geochemical precursors of earthquakes and volcanic eruption, Proceedings of an Advisory Group Meeting held in Vienna (Vienna, September 9-12), Vienna, International atomic energy agency, 1991, pp. 9-22.
[14] Novikov G. F. Radiometricheskaya razvedka [Radiometric intelligence]. Leningrad: Science, 1989, 407 pp., isbn: 5-247-00832-4.(In Russian).
[15] Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam, Elsevier Science Limited, 2006, 523 pp.
[16] Nahushev A. M. Drobnoe ischislenie i ego primenenie [Fractional calculus and its application]. Moscow, Fizmatlit, 2003, 272 pp. (In Russian).
[17] Uchaikin V. V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. Vol. I. Background and Theory. Berlin, Springer, 2013, 373 pp., isbn: 978-3-642-33911-0. DOI: 10.1007/978-3-64233911-0.
[18] Tverdyi D.A., Parovik R.I., Makarov E.O., Firstov P.P. Research of the process of radon accumulation in the accumulating chamber taking into account the nonlinearity of its entrance, E3S Web Conference, 2020, vol. 196, no. 02027, pp. 1-6. DOI: 10.1051/e3sconf/2020196020278.
[19] Tverdyi D. A., Parovik R. I. Application of the Fractional Riccati Equation for Mathematical Modeling of Dynamic Processes with Saturation and Memory Effect, Fractal and Fractional, 2022, vol. 6(3), no. 163, pp. 1-35. DOI: 10.3390/fractalfract6030163.
[20] Makarov E.O. Firstov P.P., Voloshin V.N. Instrumental complex for registration concentration of subsurface gas to find precursory anomalies strong earthquake of Southern Kamchatka, Seismic instruments, 2012, vol. 48, no. 2, pp. 5-14.
[21] Firstov P.P., Makarov E.O. Dinamika podpochvennogo radona na Kamchatke i sil'nye zemletryaseniya [Dynamics of subsoil radon in Kamchatka and strong earthquakes]. Petropavlovsk-Kamchatsky, Vitus Bering Kamchatka State University, 2018, 148 pp. (In Russian).
[22] Firstov P.P., Makarov E. O., Gluhova I.P., Budilov D.I., Isakevich D.V. Poisk predvestnikovyh anomalij sil'nyh zemletryasenij po dannym monitoringa podpochvennyh gazov na Petropavlovsk-Kamchatskom geodinamicheskom poligone [Search for predictive anomalies of strong earthquakes according to monitoring of subsoil gases at Petropavlovsk-Kamchatsky geodynamic test site]. Geosystems of Transition Zones, 2018, vol. 2, no. 1, pp. 16-32. DOI: 10.30730/2541-8912.2018.2.1.016-032,(In Russian).
[23] Firstov P.P., Rudakov V. P. Rezul'taty registracii podpochvennogo radona v 1997-2000 gg. na Petropavlovsk-Kamchatskom geodinamicheskom poligone [Results of registration of subsoil radon in 1997-2000 at the Petropavlovsk-Kamchatsky geodynamic test site]. Vulkanologiya i sejsmologiya [Volcanology and seismology], 2003, no. 1, pp. 26-41 (In Russian).
[24] Vasilyev A. V., Zhukovsky M. V. Determination of mechanisms and parameters which affect radon entry into a room, Journal of Environmental Radioactivity, 2013, vol. 124, pp. 185190. DOI: 10.1016/j.jenvrad.2013.04.014.
[25] Parovik R. I., Shevtsov B. M. Radon transfer processes in fractional structure medium, Mathematical Models and Computer Simulation, 2010, vol. 2, no. 2, pp. 180-185. DOI: 10.1134/S2070048210020055.
[26] Pskhu A. V. Uravneniya v chastnyh proizvodnyh drobnogo poryadka [Fractional Partial Differential Equations]. Moscow, Science, 2005, 199 pp., isbn: 5020337218 (In Russian).
[27] Parovik R. I., Mathematical modeling of radon sub diffusion into the cylindrical layer in ground, Life Science Journal, 2015, vol. 11, no. 9, pp. 281-283.
[28] Volterra V. Functional theory, integral and integro-differential equations. Moscow, Science, 1982.(In Russian).
[29] Gerasimov A. N. Generalization of linear deformation laws and their application to internal friction problems, Applied Mathematics and Mechanics, 1948, vol. 12, pp. 529-539.(In Russian).
[30] Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent - II, Geophysical Journal International, 1946, vol. 13, no. 5, pp. 529-539. DOI: 10.1111/j.1365-246X.1967.tb02303.x3.
[31] Rekhviashvili S.S., Pskhu A.V. Drobnyj oscillyator s eksponencial'no-stepennoj funkciej pamyati [Fractional oscillator with exponential-power memory function], Pis'ma v ZHTF [Letters to ZhTF], 2022, vol. 48, no. 7. DOI: 10.21883/PJTF.2022.07.52290.19137,(In Russian).
[32] Patnaik S., Hollkamp J. P., Semperlotti F. Applications of variable-order fractional operators: a review, Proceedings of the Royal Society A, 2020, vol. 476, no. 2234, pp. 20190498. DOI: 10.1098/rspa.2019.0498.
[33] Coimbra C. F. M. Mechanics with variable-order differential operators, Annalen der Physik, 2003, vol. 12, no. 11-12, pp. 692-703. DOI: 10.1002/andp.200310032.
[34] Ortigueira M.D., Valerio D., Machado J.T. Variable order fractional systems, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2019, vol. 71, pp. 231243. DOI: 10.1016/j.cnsns.2018.12.003.
[35] Tverdyi D. A., Parovik R.I. Investigation of Finite-Difference Schemes for the Numerical Solution of a Fractional Nonlinear Equation, Fractal and Fractional, 2022, vol. 6(1), no. 23, pp. 1-27. DOI: 10.3390/fractalfract6010023.
[36] Tvyordyj D. A. Hereditary Riccati equation with fractional derivative of variable order, Journal of Mathematical Sciences, 2021, vol. 253, no. 4, pp. 564-572. DOI: 10.1007/s10958-021-05254-0.
[37] Rzkadkowski G., Sobczak L. A generalized logistic function and its applications, Foundations of Management, 2020, vol. 12, no. 1, pp. 85-92. DOI: 10.2478/fman-2020-0007
[38] Johnston F.R., Boyland J.E., Meadows M., Shale E. Some properties of a simple moving average when applied to forecasting a time series, Journal of the Operational Research Society, 1999, vol. 50, no. 12, pp. 1267-1271. DOI: 10.1057/palgrave.jors.2600823.
Information about authors
Tverdyi Dmitrii AlexsandrovichA - Ph. D. (Phys. & Math.), Researcher, laboratory of electromagnetic propogation Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation FEB RAS, Paratunka, Russia, <E ORCID 0000-0001-6983-5258.
Makarov Evgeny OlegovichA - Ph. D. (Phys. & Math.), Senior Researcher Kamchatka Branch of the Federal State Budgetary Institution of Science Federal Research Center "Unified Geophysical Service of the Russian Academy of Sciences 683023, Kamchatka Petropavlovsk-Kamchatsky, Russia ©ORCID 0000-0002-0462-3657.
Parovik Roman IvanovichA - D. Sci. (Phys. & Math.), Associate Professor, Leading researcher, laboratory of modeling physical processes Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation FEB RAS, Paratunka, Head of the International Integrative Research Laboratory of Extreme Phenomena of Kamchatka, Vitus Bering Kamchatka State University, Petropavlovsk-Kamchatsky, Russia, ©ORCID 0000-0002-1576-1860.
