CC BY
19
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2017. № 2(18). C. 59-64. ISSN 2079-6641
DOI: 10.18454/2079-6641-2017-18-2-59-64
УДК 517.938
ОБ ОДНОМ МОДЕЛЬНОМ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ
БЕРНУЛЛИ
С. В. Мышкин
Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4 E-mail: [email protected]
В статье рассмотрено модельное интегро-дифференциальное уравнение Бернлулли. Это уравнение сводилось к дифференциальному уравнению с производными дробных порядков и решалось численно с помощью итерационного метода Ньютона. В зависимост от раличных значений управляющих параметров были построены расчетные кривые.
Ключевые слова: уравнения Бернулли, метод Ньютона, производная дробного порядка
© Мышкин С. В., 2017
MSC 37N30
ON ONE MODEL INTEGRAL-DIFFERENTIAL BERNULL EQUATION
S. V. Myshkin
Vitus Bering Kamchatka State University, 683032, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia E-mail: [email protected]
The model integro-differential Bernlulli equation is considered in the paper. This equation was reduced to a differential equation with derivatives of fractional orders and solved numerically with the help of Newton's iteration method. Depending on the values of the control parameters, calculated curves were constructed.
Keywords: Bernoulli equations, Newton's method, the derivative of a fractional order
© Myshkin S.V., 2017
Введение
В последние годы дробные дифференциальные уравнения (ДДУ) и дробные инте-гро-дифференциальные уравнения (ДИДУ) становятся предметом исследования как в математике, так и в разных областях науки. Потребность в ДДУ И ДИДУ объясняется тем что, современным моделям необходимо наличие эффекта памяти, имеющего зависимость не только от момента времени, но и от предыдущих данных, которые могут быть успешно получены при использовании дробного исчисления.
Развитие теории эредитарных динамических систем началось с работы итальянского математика Вито Вольтера , который ввел термин эредитарность для описания эффекта последействия или памяти и впервые исследовал эредитарный осциллятор [1]. Математическое описание эредитарного осциллятора представляло собой интегро-дифференциальное уравнение с ядром, которое называется функцией памяти. В дальнейшем исследования эредитарных динамических систем были связаны с выбором функции памяти. В силу, того что различные среды могут обладать фрактальными свойствами, то функцию памяти целесообразно выбрать степенной. Тогда интегро-дифференциальные уравнения можно переписать как дифференциальные уравнения дробных порядков, теория которых достаточно хорошо разработана [2]. В литературе такие уравнения называют фрактальными, они описывают процессы с частичной потерей памяти. Фрактальные динамические системы наиболее полно исследовались в монографиях [3-5] и могут быть, например, использованы при моделировании экономических процессов [6-8].
Одним из таких уравнений, описывающих эредитарные динамические системы может быть эредитарное уравнение Бернулли.
Постановка задачи и методика решения
Рассмотрим следующее интегро-дифференциальное уравнение:
t
Г(1-о)! Х—)* + а {t) x {t)= b (t) (t), в = 0,0 < a < 1, (1)
где a (t),b (t) - заданные функции, t e [0, T] - время, T > 0 - время моделирование процесса.
Уравнение (1) является аналогом уравнения Бернулли или его обобщение на случай эредитарности.
Уравнение (1) можно переписать в терминах производной Герасимова-Капуто дробной порядка а в виде:
д$х (П) + a (t) x (t)= b (t) xe (t), (2)
для которого справедливо локальное начальное условие:
x (0) = ф, ф - const. (3)
Задача (2) и (3) является задачей Коши, которую мы будет в дальнейшем исследовать. Заметим, что в случае когда в уравнении (1) в = 2, то оно переходит в эредитарное уравнение Риккати, которое в частном случае было исследовано в работе [9]. В случае, когда а = 1, то мы получим классическое уравнение Бернулли.
В силу того, что уравнение (2) является нелинейным, то задачу Коши (2) и (3) будем решать с помощью численных методов. Для этого необходимо временной интервал [0, Т] разбить на N равных частей с шагом дискретизации т = Т/И. Функцию решения х (г) будем аппроксимировать сеточной функцией х(^) и функции а (г), Ь (г) функциями а^ и Ьj. Дробную производную Герасимова-Капуто в уравнении (2) аппроксимируем согласно работе [10]:
С учетом аппроксимации (4) от дифференциальной задачи Коши (2) и (3) переходим к дискретной задаче Коши вида:
Задача Коши (5) представляет собой систему алгебраических уравнений, которую мы решим с помощью метода Ньютона [11]. Метод можно представить в виде итерационной формулы:
где F (Xm) - вектор, содержащий нелинейные члены системы (5), m - число итераций, J(Xm) - матрица Якоби с определителем |J(Xm) | = 0 для обеспечения сходимости метода.
Результаты моделирования
Рассмотрим работу метода (6) на примере. Выберем функции a (t) = sin (t) и b (t) = cos(t), в = -2, количество расчетных точек N = 100, а время моделирования T = 30. Точность е = 10-5.
Рис. 1. Расчетные кривые: кривая а - получена по методу (6) при а = 0.99; кривая б - точное решение классического уравнения Бернулли
(5)
Xm+1 = Xm - J-1 (Xm) F (Xm),
(6)
Из рис. 1 можно сделать вывод, что численное решение совпадает с классическим при а ^ 1, причем сходимость с нужной точностью наступила за четыре итерации, что свидетельствует о хорошей скорости сходимости метода для этого примера.
Рассмотрим другой пример, когда функции а (?) = 2ехр (?),Ь (—?) = 4ехр (-1), а остальные параметры возьмем из предыдущего примера.
Рис. 2. Расчетные кривые: кривая a - получена по методу (6) при а = 0.99; кривая б - точное решение классического уравнения Бернулли
Аналогично можно заметить (рис. 2), что и в этом случае метод работает хорошо при а ^ 1, сходимость метода с нужной точностью для этого примера наступила за три итерации.
В случае медленной сходимости метода необходимо использовать модифицированный метод Ньютона или другие численные методы.
Заключение
В работе предложено эредитарное уравнение Бернулли, с помощью метода Ньютона получено численное решение и построены расчетные кривые. Показано, что в предельном случае, когда а ^ 1 расчетные кривые, полученные по численному методу хорошо согласуются с точным решением для классического уравнения Бернулли. Сходимость метода с заданной точностью составила первые итерации, что говорит о хорошей скорости сходимости.
Одно из дальнейших продолжений этой работы может быть обобщение уравнения (2) на случай переменной эредитарности согласно работам [12,13]. Здесь может возникнуть обратная задача при наличии экспериментального материала: восстановить переменный порядок дробной производной по имеющимся данным, что даст представление об изменении фрактальной размерности среды. С другой стороны интерес представляет случай, когда переменный порядок производной представляет собой случайную функцию.
Автор выражает благодарность научному руководителю, к.ф.-м.н., Р.И. Паровику за ценные советы и замечания по содержанию данной научной статьи.
Список литературы
[1] Volterra V., "Sur les 'equations int'egro-diff'erentielles et leurs applications", Acta Mathematica, 35:1. (1912), 295-356.
[2] Нахушев А. М., Дробное исчисление и его приложения, Физматлит, М., 2003, 272 с. [Nahushev A.M. Drobnoe ischislenie i ego prilozhenija. Moskva. Fizmatlit, 2003. 272 ].
[3] Petras I., Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation, Springer, Beijing and Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2011, 218 с.
[4] Tarasov V. E., Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media, Springer, New York, 2011, 505 с.
[5] Учайкин В. В., Метод дробных производных, Артишок, Ульяновск, 2008, 512 с. [Uchajkin V. V. Metod drobnyh proizvodnyh. Ul'janovsk: Artishok, 2008. 512 ].
[6] Tarasova V. V., Tarasov V. E., "Elasticity for economic processes with memory: Fractional differential calculus approach", Fractional Differential Calculus, 6:2 (2016), 219-232.
[7] Makarov D.V., Parovik R. I., "Modeling of the economic cycles using the theory of fractional calculus", Journal of Internet Banking and Commerce, 21:S6 (2016).
[8] Самута В. В., Стрелова В. А., Паровик Р. И., "Нелокальная модель неоклассического экономического роста Солоу", Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2012, №2(5), 37-41. [Samuta V.V., Strelova V.A., Parovik R.I. Nelokal'naja model' neoklassicheskogo jekonomicheskogo rosta Colou.Vestnik KRAUNC. Fiziko-matematicheskie nauki. 2012. vol. 5. no 2. 37-41. ].
[9] Твердый Д. А., "Уравнение Риккати с переменной эредитарностью", Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2017, № 1(17), 44-53. [Tverdyj D. A. Uravnenie Rikkati s peremennoj jereditarnost'ju. Vestnik KRAUNC. Fiziko-matematicheskie nauki. 2017. no 1(17). 44-53. ].
[10] Паровик Р. И., Математическое моделирование линейных эредитарных осцилляторов, КамГУ им. Витуса Беринга, Петропавловск-Камчатский, 2015, 178 с. [Parovik R. I. Matematicheskoe modelirovanie linejnyh jereditarnyh oscilljatorov. Petropavlovsk-Kamchatskij: KamGU im. Vitusa Beringa. 2015. 178 ].
[11] Sweilam N. H., Khader M. M., Mahdy A. M. S., "Numerical studies for solving fractional Riccati differential equation", Applications and Applied Mathematics, 7:2 (2012), 595-608.
[12] Паровик Р. И., "О численном решении уравнения фрактального осциллятора с производной дробного переменного порядка от времени", Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2014, №1(8), 60-65. [Parovik R.I. O chislennom reshenii uravnenija fraktal'nogo oscilljatora s proizvodnoj drobnogo peremennogo porjadka ot vremeni. Vestnik KRAUNC. Fiziko-matematicheskie nauki. 2014. no 1 (8). 60-65. ].
[13] Паровик Р. И., "Конечно-разностные схемы для фрактального осциллятора с переменными дробными порядками", Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2015, №2(11), 88-95. Parovik R.I. Konechno-raznostnye shemy dlja fraktal'nogo oscilljatora s peremennymi drobnymi porjadkami. Vestnik KRAUNC. Fiziko-matematicheskie nauki. 2015. no 2 (11). 88-95. ].
Список литературы (ГОСТ)
[1] Volterra V. Sur les 'equations int'egro-diff'erentielles et leurs applications // Acta Mathematica. 1912. vol. 35, no. 1. P. 295-356.
[2] Нахушев А. М. Дробное исчисление и его приложения. М.: Физматлит, 2003. 272 с
[3] Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation. Beijing and Springer-Verlag Berlin Heidelberg: Springer, 2011. 218 p.
[4] Tarasov V. E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. New York: Springer, 2011. 505 с.
[5] Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
[6] Tarasova, V.V., Tarasov, V. E. Elasticity for economic processes with memory: Fractional differential calculus approach // Fractional Differential Calculus. 2016. vol. 6. № 2. P. 219-232.
[7] Makarov D. V., Parovik R. I. Modeling of the economic cycles using the theory of fractional calculus // Journal of Internet Banking and Commerce. 2016. Т. 21. № S6. С. 8.
[8] Самута В. В., Стрелова В. А., Паровик Р. И. Нелокальная модель неоклассического экономического роста Солоу // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2012. Т. 5. № 2. С. 37-41.
[9] Твердый Д. А. Уравнение Риккати с переменной эредитарностью // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2017. № 1(17). С. 44-53.
[10] Паровик Р. И. Математическое моделирование линейных эредитарных осцилляторов. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга. 2015. 178 с.
[11] Sweilam N. H., Khader M. M., Mahdy A. M. S. Numerical studies for solving fractional Riccati differential equation // Applications and Applied Mathematics. 2012. Т. 7. №. 2. С. 595-608.
[12] Паровик Р. И. О численном решении уравнения фрактального осциллятора с производной дробного переменного порядка от времени // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2014. № 1 (8). С. 60-65.
[13] Паровик Р. И. Конечно-разностные схемы для фрактального осциллятора с переменными дробными порядками // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2015. №. 2 (11). С. 88-95.
Для цитирования: Мышкин С. В. Об одном модельном интегро-дифференциальном уравнении Бернулли // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2017. № 2(18). С. 59-64. DOI: 10.18454/2079-6641-2017-18-2-59-64
For citation: Myshkin S. V. On one model integral-differential Bernull equation, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2017, 18: 2, 59-64. DOI: 10.18454/2079-6641-2017-18-2-59-64
Поступила в редакцию / Original article submitted: 25.05.2017
