CC BY
55
DOI 10.18454/IRJ.2016.47.137 Брыков Н.А.
Ассистент кафедры плазмогазодинамика и теплотехника, Балтийский государственный технический университет
«ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. Устинова, Санкт-Петербург РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Аннотация
В статье рассмотрено численное решение нелинейной нестационарной задачи теплопроводности для определения температурного поля в многослойной пластине с внутренними источниками тепла. В модели учитывается зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, и моделируется излучение на границах пластины. Изложена неявная двухслойная схема для метода прогонки. Дискретизация нестационарного уравнения теплопроводности производится с помощью локально одномерной, абсолютно устойчивой схемы. Представлены результаты расчета.
Ключевые слова: нестационарная теплопроводность, излучение на границе, метод прогонки.
Brykov N.A.
Assistant of the Department of heat engineering and plasmagasdynamic, BALTIC STATE TECHNICAL UNIVERSITY
«VOENMEH» named after D.F. Ustinov, St. Petersburg SOLUTION OF NONLINEAR TRANSIENT HEAT CONDUCTION PROBLEM
Abstract
The article deals with the numerical solution of nonlinear transient heat conduction problem for the determination of the temperature field in a multilayer plate with internal heat sources. The model takes into account the dependence of thermal conduction coefficient on the temperature, and is modeled on the radiation plate boundaries. Presented is an implicit two-layer scheme for the sweep method. Discretization of transient heat equation is performed by locally-dimensional, absolutely stable scheme.
Keywords: transient heat conduction, radiation on the borders, sweep method.
Широкое применение многослойных элементов конструкций в различных отраслях техники обусловило необходимость разработки методов их расчета при различных тепловых воздействиях Кроме внешнего теплового воздействие на материал достаточно часто встречаются случаи, когда теплота возникает внутри объема тела за счет внутренних источников (стоков), например, за счет прохождения электрического тока или химических реакций. Такое объемное тепловыделение может быть определено мощностью внутренних источников теплоты. Расчет температурного поля внутри тела в высокотемпературных установках является одной из основных инженерных задач.
Рассмотрим двухслойную пластину с толщинами 52 и составленную из материалов с различными теплофизическими свойствами. На рис.1 схематично изображена геометрия рассматриваемого объекта. Пластина состоит из 2 различных материалов №1 и №2. В первом материале присутствуют два внутренних точечных источника теплоты с координатами Схист1,уист1) и (хист2,уист2).
Рис. 1 - Геометрия объекта
Нестационарный перенос тепла в двумерном случае может быть описан следующем уравнением:
ат д ( ЛдТ\ д ( атч
где р - плотность материала, с - удельная теплоемкость, T - температура, X(T) - коэффициент теплопроводности, зависящий от температуры, Q - точечные внутренние источники теплоты, i = 1 при 0 < х < и i = 2 при < х < i, = 51 - координата стыка слоев пластины, I = 51 + 52 - толщина пластины. Здесь и далее индексы «1», «2» относятся, соответственно, к первому и второму слоям пластины.
В начальный момент времени температура обоих слоев пластины равномерно распределена по толщине и равна: t = 0: Т = Т2 = const. Граничные условия определяющие особенности протекания процесса на поверхности стенки, задаются следующим образом:
Внутренняя и внешняя поверхности пластины (левая и правая граница) соприкасаются с газовой фазой, поэтому на этих границах целесообразно сформулировать граничное условие третьего рода - взаимосвязь между потоком тепла за счет теплопроводности от твердой стенки и тепловым потоком из газовой фазы внутри канала за счет температурного напора. Также произведём учет теплообмена за счет излучения. Теплоперенос излучением будем рассматривать на основе закона Стефана-Больцмана. Таким образом, граничные условия на левой и правой границах будет выглядеть так:
дТ
Х = 0: -Х*дх= а1<(Т1вн — Т^ + Е1а(тв — Т4:) дТ
х = 1: ъ — =а2(Т2вн -Т)+ е2<г(т*я — Т4),
где а - коэффициент теплообмена, Т1ен и Т2вн - температура газовой фазы, соответственно, слева и справа от пластины, £ - приведённая степень черноты, а - постоянная Стефана-Больцмана.
Верхняя и нижняя границы пластины принимаются адиабатическими:
д Т
у=0, 0<х<1: -Х1—=чн =0,
дТ
у = к, 0 < х < I: —Л,— = а„ = 0,
дх
где I =1,2 - слои пластины.
На поверхности соприкосновения слоев пластины запишем граничное условие, определяющее равенство температур и тепловых потоков на стыке материалов:
Т1(1,1р) = Т2(1,1п),
Мдг) =—>№
> дх 'x=ip Удх/Х=1р'
Здесь Т1 и Т2- температуры соприкасающихся слоёв пластины.
Зависимости коэффициентов теплопроводности от температуры Л1(Т) и Л2(Т) являются справочными данными. В случае двухслойной пластины, где в качестве первого материала рассмотрим сталь 20, а в качестве второго - асбест, то эти зависимости имеют следующий вид [1]:
Л1 = - 1.3711 • 10-8 • Т3 +2.6431 • 10-5 • Т2 - 0.047798 • Т + 69.772,
Л2 = 0,14+ 0,00019 •Т. (2)
Интерполяция данных с целью определения полинома для теплопроводности стали осуществлялась кубическими сплайнами с граничными условиями отсутствия узла. Для численного расчета удобно ввести в рассмотрение единое уравнение для теплопроводности многослойной пластины:
Л = Л1 при 0 < х < 1р, ЛЛ=Л2 при 1р < х < I.
Решения сформулированной краевой задачи основано на методе конечных разностей, используется неявная двухслойная схема (рис.2), метод прогонки [2]. Введём в рассмотрение расчетную сетку с пространственными шагами hx и hy. Дискретизация уравнения (1) произведём с помощью локально одномерной, абсолютно устойчивой схемы А.А. Самарского. Суть данного метода заключается в том, что один шаг по времени т проходит за два этапа: на первом этапе, который соответствует промежуточному временному слою (п + 1/2) проводится дискретизация уравнения (1) только по одному из пространственных направлений, на втором этапе - дискретизация проводится по другому направлению.
Рис. 2 - Разностная сетка области решения
Учёт зависимости коэффициента теплопроводности от температуры и включения в граничные условия излучения на границе вносят нелинейность в рассматриваемую задачу. Для устранения нелинейности в расчетную схему (Рис.3) вводятся несколько итерационных циклов: для определения ЦТ); для определения температуры в члене для учёта излучения в левом (ЛГУ) и правом (ПГУ) граничных условиях Условия выхода из этих итерационных циклов в общем виде можно записать как:
тах1Т?+1 —Т?1 тах|Т |
где £ - точность вычислений, Т* - температура в ¿-ом узле на 5 итерации.
В результате аппроксимации частных производных уравнения (1) конечными разностями получим следующую
систему линейных алгебраических уравнений:
1 / 11 11'
Г";2 _ Г." 1 1 Гп;2_Гп;2 1 Гп;2_Гп;! „-^^ = ^ О, О. , I + вЬ.
1
Г;".1 _ Г. . 2 1 / 7:П+1 _ Т."+1 Т.П.+ 1 _ ТП+1Ч
' / + 1 ¿.7 ,л+1 ¿.7 ¿.7-"
^__ I 1"+1 ' ^_тП+1 _I I ПП
си ~2—=луН^—лу—^—лу—)+в-
1
где п , п+- и"п + 1 - текущий, промежуточный и новый временной слой. Входящие в эти уравнения
2 1 / 1 1
п+— 1 I п+— п+—
значения коэффициента теплопроводности на гранях между ячейками определяются как у . = "• (А^-2
С2/2,; = 1 • (С£ + Я"+2) и А",;^ = 1 • (А".1 + А?++Ю, = 1 • СЯ1-+1 + А".1). Значения коэффициента
теплопроводности в i-й ячейке на новом временном слое определяется по формулам (2).
Результаты численного двумерного расчета представлены на рис.4. Рассматривается пластина с размерами I = Л = 1 м, толщина первого слоя 51 = 0.7 м. Внутренние точечные источники теплоты имеют координаты: хист1 = 0.5 м, Уист1 = 0.2 м и хист2 = 0.2 м, уист2 = 0.7 м. Мощность источников в1 = 9е6 Вт/м2, в2 = 5е6 Вт/м2. Температура окружающей среды Гвн = 700К, коэффициент теплоотдачи а = 40 Вт/(м2 К). Степень черноты левой границы £1 = 0.5, правой - £1 = 0.2.
На рис.4 отображено изменение температурного поля многослойной пластины в различные моменты времени. График (а) соответствует сечению у = 0.1 м, график (б) - у = 0.2 м, график (б) - у = 0.5 м, график (б) - у = 0.7 м. Температурные "пики" на графиках (б) и (г) обусловлены внутренними источниками теплоты.
Определение констант подготовка к расчёту
Цикл по времени
Итерационный цикл для определения А(Т)
Итерационный цикл
для определения температуры в ЛГУ
Итерационный цикл
для определения температуры в ИГУ
Рассчитываем прогоночные коэффициенты для слоёв
Рассчитываем А(Т)
Рассчитываем температуру ПГ
Конец цикла для определения температуры в ИГУ
Рассчитываем температуру на новом временном слое
Конец цикла по времени
повторение всех итерационных циклов для оси ординат
Конец цикла для определения А(Т)Г
Конец цикла для определения температуры в ЛГУ
Рис. 3 - Блок схема расчета
Рис. 4 - Изменение температурного профиля пластины в времени в различных сечениях пластины
За счет достаточно большого различия в порядке значений коэффициента теплопроводности рассматриваемых материалов на поверхности их соприкосновения наблюдается резкое изменение температуры.
Заключение
Изложенная модель позволяет исследовать нестационарные температурные поля многослойных элементов при различных внутренних и внешних тепловых нагрузках, зависимости коэффициента теплопроводности от температуры и с учётом излучения на границах На основе модели обобщенной задачи теплопроводности создан программный комплекс для численного исследования процессов теплопереноса.
Литература
1. Чиркин В.С. Теплофизические свойства материалов ядерной техники. М.: Атомиздат, 1968 г. - 484 с.
2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука, 1989. - 432 с.
References
1. Chirkin V.S. Teplofizicheskie svojstva materialov jademoj tehniki. M.: Atomizdat, 1968 g. - 484 s.
2. Samarskij A.A., Gulin A.V. Chislennye metody: Ucheb. posobie dlja vuzov. - M.: Nauka, 1989. - 432 s.
