CC BY
25
УДК 519.633:536.21
Л. С. Петрова, Я. В. Крюкова
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС), г. Омск, Российская Федерация
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ВЫСОКОИНТЕНСИВНОГО НАГРЕВА ТЕЛ С ПОКРЫТИЯМИ ПРИ ОБРАБОТКЕ ПОВЕРХНОСТИ ЛАЗЕРНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ
Аннотация. В статье представлена нелинейная математическая модель нагрева двухслойного тела с учетом конечной скорости распространения тепла и температурной зависимости свойств материалов. Получено численное решение нелинейной гиперболической задачи теплопроводности для случая, когда поглощение энергии излучения моделируется объемным источником тепла. Рассмотрена реализация метода сеток с использованием трехслойной неявной разностной схемы при решении нелинейной задачи теплопроводности в двухслойном теле с учетом релаксации теплового потока и условий сопряжения в случае идеального контакта на стыке слоев. Описанный алгоритм расчета температурного поля при высокоинтенсивном нагреве тела с покрытием, учитывающий зависимость теплофизических характеристик материалов от температуры, основан на реализации метода прогонки с итерационным уточнением коэффициентов. Разработаны программы и представлены результаты расчетов температурных полей с использованием нелинейных гиперболических уравнений теплопроводности и соответствующих линейных с учетом среднеинтегральных значений теплофизических и оптических характеристик материалов. На основе сравнения полученных результатов обосновывается необходимость учета температурной зависимости свойств материалов при исследовании процессов высокоинтенсивного нагрева тел. Разработанная математическая модель на основе системы нелинейных гиперболических уравнений может использоваться при создании технологических процессов с применением методов обработки поверхности многослойных тел лазерным излучением.
Ключевые слова: математическая модель, задачи теплопроводности, численные методы, система нелинейных гиперболических уравнений теплопроводности, метод прогонки, условия сопряжения.
Liliya S. Petrova, Yana V. Kryukova
Omsk State Transport University (OSTU), Omsk, the Russian Federation
MATHEMATICAL MODELING OF HIGH-INTENSITY HEATING PROCESSES OF BODIES WITH COATINGS DURING SURFACE PROCESSING BY LASER RADIATION
Abstract. The article presents a nonlinear mathematical model of heating a two-layer body with allowance of the finite velocity of heat propagation and the temperature dependence of the properties of materials. A numerical solution of the nonlinear hyperbolic heat conduction problem is obtained for the case when the absorption of the radiation energy is modeled by a volumetric heat source. The implementation of the grid method using a three-layer implicit difference scheme in solving a nonlinear heat conduction problem in a two-layer body with allowance for the relaxation of the heat flux and the conjugation conditions in the case of ideal contact at the interface junction is considered. The described algorithm for calculating the temperature field for high-intensity heating of a coated body, taking into account the dependence of the thermophysical characteristics of materials from temperature, is based on the implementation of the sweep method with iterative correction of the coefficients. Programs are developed and the results of calculating the temperature fields are presented using nonlinear hyperbolic heat conduction equations and the corresponding linear ones taking into account the average integrated thermal and optical characteristics of the materials. Based on a comparison of the results obtained the necessity of taking into account the temperature dependence of the properties of materials during the study of processes of high-intensity heating of bodies.The developed mathematical model on the basis of a system of nonlinear hyperbolic equations can be used to create technological processes using methods for processing the surface of multilayer bodies by laser radiation.
Keywords: mathematical model, heat conduction problems, numerical methods, system of nonlinear hyperbolic heat conduction equations, sweep method, conjugation conditions.
В настоящее время исследования методов обработки различных материалов с применением концентрированных потоков энергии является перспективным направлением в области создания технологических процессов по модифицированию поверхностных слоев материалов и изделий для повышения надежности и долговечности деталей, узлов систем и меха-
низмов. Среди наиболее распространенных методов обработки материалов концентрированными потоками энергии (плазменного, лазерного, электроконтактного упрочнения, комбинированной обработки) одно из основных мест занимают методы обработки лазерным излучением. В современных научных исследованиях (И. А. Исакин [3], Н. А. Смирнова, А. И. Мисюров [14], В. С. Майоров [4], П. А. Огин, К. Я. Васькин [9] и др.) отмечается практическая значимость технологического процесса поверхностной лазерной обработки ответственных узлов конструкций различного назначения, деталей машин и обрабатывающего инструмента. Исследователями выделяются следующие преимущества лазерного облучения перед другими методами обработки: локальность упрочнения, высокоскоростной нагрев и охлаждение, отсутствие механического воздействия, автоматизация процесса, обработка изделий сложных форм, технико-экономическая эффективность.
Особую актуальность проблема восстановления изношенных поверхностей и продления срока службы изделий приобретает в современных условиях для железнодорожной отрасли. В большинстве исследований для решения задачи повышения износостойкости и контактно-усталостной прочности локомотивных и вагонных колесных пар рекомендуется использование поверхностной лазерной обработки. Исследованию и сравнению трех способов обработки металла с использованием концентрированных пучков энергии и оценке износа гребней колесных пар локомотивов посвящена работа С. Ю. Петрова, А. И. Костюкевича, А. А. Рябова [10]. В работе И. О. Шепелевой [16] описывается применение технологий лазерного и плазменного упрочнения в качестве метода повышения ресурса и снижения износа бандажей колесных пар электровозов. Работа С. И. Губенко [2] посвящена исследованию структурных изменений при лазерном воздействии на предварительно термически упрочненную колесную сталь. Исследователями А. В. Богдановым, Н. В. Грезевым, С. А. Шмелевым, М. А. Мурза-ковым, Ю. В. Маркушовым [1] сравниваются технологии лазерного и плазменного упрочнения для решения задачи повышения износостойкости и контактно-усталостной прочности железнодорожных колес и рекомендуется использование волоконного лазера. Необходимо отметить мнение авторов об эффективности лазерной обработки в железнодорожной сфере не только для решения задачи повышения прочностных характеристик в рамках трибосисте-мы «колесо - рельс», но и для применения лазерной термообработки в промышленных циклах ОАО «РЖД» (упрочнение надрессорных балок и боковин тележек грузовых вагонов в зоне пятниковых узлов и в зонах буксовых проемов соответственно; упрочнение фрикционных клиньев вагонов, гильз цилиндров тепловозов и др.) [1, с. 31].
Дальнейшая разработка методов использования лазерного излучения для достижения нового уровня эксплуатационных характеристик происходит в направлении развития комбинированных и гибридных технологий, в том числе нанесения защитных покрытий на поверхность и их последующей лазерной обработки. Для решения актуальной задачи модифицирования поверхностных слоев материалов с использованием концентрированных потоков энергии необходима оценка параметров процесса на основе определения температурного поля на поверхности и в объеме материала, позволяющего выбрать требуемый режим обработки поверхности. Широким диапазоном изменения температур при высокоинтенсивном нагреве тел с покрытиями обосновывается необходимость учета зависимости теплофизиче-ских характеристик от температуры и релаксации теплового потока. В этом случае математическое моделирование тепловых процессов основывается на системе нелинейных уравнений теплопроводности гиперболического типа.
Выделяются два основных подхода математического моделирования тепловых процессов при обработке лазерным излучением в зависимости от используемого метода. Математическое моделирование лазерного нагрева на основе параболического уравнения теплопроводности представлено в работах Р. В. Гришаева, Ф. Х. Мирзаде, М. Д. Хоменко, Н. А. Колесниченко, Н. В. Волгушевой, Н. Л. Бошковой, Г. В. Кузнецова, Т. А. Нагорновой и др. Решение таких задач осложняется нелинейностью граничных условий. Исследованию задач теплопроводности с учетом релаксации теплового потока и решению гиперболического уравнения теплопровод-
ности посвящены работы А. Г. Шашкова, В. А. Кудинова, И. В. Кудинова, А. Э. Кузнецова, В. Б. Веселовского, Ю. И. Широкова, А. И. Губина, Ю. А. Малой и др.
В работах большинства российских и иностранных исследователей при решении задач для нелинейного гиперболического уравнения теплопроводности рассматриваются точные и приближенные аналитические методы. Наряду с использованием операционного метода или сочетания метода пространственно-временных квадрантов и операционного метода (Ю. А. Малая, А. И. Губин, А. Г. Шашаков, В. А. Бубнов, С. Ю. Яповский) реализуется методика группового анализа дифференциальных уравнений на основе построения симметрий гиперболического уравнения теплопроводности (Pakdemirli M., §ahin A. Z., Wafo Soh С.).
Учитывая, что, по мнению исследователей, выбор оптимальных технологических режимов невозможен без предварительных численных расчетов, а применение точных и приближенных аналитических методов сопряжено с резким возрастанием трудоемкости выполняемых преобразований, особенно в случае многослойных конструкций, и недостаточно представлено в отношении решения нелинейной гиперболической задачи теплопроводности, актуализируется проблема использования численных методов решения поставленных задач.
Реализация численных методов решения задач для линейного гиперболического уравнения теплопроводности представлена в исследованиях В. Ф. Очкова, А. П. Солодова [15], Л. А. Мержиевского, А. Н. Корчагиной [7], Н. И. Никитенко [8] и др. Решение нелинейной задачи теплопроводности для уравнения гиперболического типа в однослойном теле описано в работе [12]. Численное решение нелинейной задачи гиперболической теплопроводности в двухслойном теле для случая поверхностного поглощения приводится в работе [11]. Необходимо отметить, что исследований, посвященных численному моделированию процесса теплопроводности в обрабатываемом лазерным излучением двухслойном теле с учетом конечной скорости распространения тепла и температурной зависимости свойств материалов, для случая объемного поглощения нами не обнаружено.
Рассмотрим задачу о лазерном нагреве тела с покрытием при обработке концентрированными потоками энергии с учетом моделируемости поглощения энергии излучения объемным источником тепла (глубина проникновения теплоты соизмерима с толщиной слоя, в котором поглощается энергия излучения). Используем постановку задачи, решение которой с применением приближенного аналитического метода представлено в работе [6, с. 146 -148]. Предполагая, что диаметр области нагрева намного больше глубины проникновения тепла, задача рассматривается в одномерном приближении по пространственной координате.
Плотность потока энергии излучения задается как функция времени q0 (г) = qmax sin — с мак-
max t
симальным значением плотности теплового потока qmax = 0,5 1013 Вт/м2 и длительностью импульса td = 5 не. Время релаксации тепловых потоков Trl =Тг2 = 5 -10"10 с . На внешних
границах заданы граничные условия второго рода. На стыке слоев заданы условия сопряжения с учетом идеального контакта. Температура в начальный момент времени является постоянной и равной 300 К, скорость изменения температуры в начальный момент времени принимается равной нулю. Толщина слоя покрытия и основы рассматривалась одинаковой: L1 = L2 = 0,4 мкм. Расчет температурного поля проводился для образца с материалом покрытия молибденом, теплофизические и оптические характеристики которого имеют вид [6, с. 146]:
1(Т) = 173,8-9,2-10"2 • Т + 4,29-10"5 • Т2 -7,59-10"9 • Т3, Вт/(м • К); (1)
сх (Т) = 216,7 + 0,103 • Т- 6,8•Ю-5 • Т2 + 2,01 • 10-8 • Т3, Дж/(кг • К); (2)
Г (Т) = 1,02-104 -3,8•Ю-2 •Т, кг/м3 ; (3)
А{Т) = 0,99•Ю-4 • Т, « = 107 1/м .
(4)
В качестве материала основы образца рассматривалась сталь 40Х с температурными зависимостями свойств следующего вида [6, с. 146]:
1 (Т) = 40,62 + 0,013 • Т - 4,847 • 10-5 • Т2 + 2,405 • 10-8 • Т3, Вт/(м • К); (5)
с2 (Т) = 364,726 + 0,507 • Т-1,048•Ю-4 • Т2, Дж/(кг• К); (6)
р2 (Т) = 7,918-103 - 0,032• Т, кг/м3. (7)
Математическая модель процесса теплопроводности в обрабатываемом лазерным излучением двухслойном теле с учетом релаксации теплового потока и температурной зависимости свойств материалов для случая, когда поглощение энергии излучения моделируется объемным источником тепла, включает в себя систему нелинейных гиперболических уравнений теплопроводности [5. с. 176, 177]:
Т1 ЭГ( "
ЭТ(х,гЛ + ^ (Т)р(Т)Э71 (х,г) = Э { )ЭТ (х,т)
1(Т)р(Т) ЭГГ )+" (Т)р(Т) Э^ "ЭХ(Т) эх
+
+ае ахА (Т) д0 (г) + тглае Э
-ах Э(А (Т ) 40 (Г))
Эт
0 < х < х, 0 <т<гт;
(Т2 )Р2 (Т ^) + (Т2 )Р2 (Т2 = | [*, (Т ^
начальные условия:
х < х < Ь, 0 <т<тт;
Ту (х, 0) = Т0, хе [0, Ь], у = 1,2;
ЭТУ (х,т)
Эт
0, хе [0, Ь], у = 1,2;
Т=0
условия на внешних границах:
ЭТ1( х, т)
Эх ЭТ2 (х,Т)
= 0, 0 <Т<Т
х=0
Эх
= 0, 0 <т<Т
х=Ь
граничные условия на стыке слоев:
Т (х*,г) = Т2 (х',т);
(8)
(9)
(10) (11)
(12)
(13)
(14)
1 (Т)
ЭТ (х,т)
Эх
+ Т
г ,2
ёт
1 (Т1)
ЭТ (х,т) Эх
= 12 (Т )
ЭТ2 (х,т)
Эх
+ Г
х* г1 ёт
1 (Т2 )
Э 2Т2 (х,т)' Эх
,0 <Т<Т
(15)
где Ту (х, т) - температура тела в точке х в момент времени т для соответствующего слоя (для покрытия у = 1, для основы у = 2); 1 (Т), 12 (Т2) - коэффициенты теплопроводности, " (Т), с2 (Т2) - теплоемкости, р1 (Т), р2 (Т2) - плотности веществ; тгу - время релаксации теплового потока для соответствующего слоя; А(Т1) - поглощательная способность материала; а - коэффициент поглощения; д0 (г)- плотность потока энергии излучения.
х=х
х=х
х=х
Для реализации метода сеток при решении задачи (8) - (15) используем прямоугольную пространственно-временную сетку Отт = {xi = (. -1)к, . = 1,N; т] = ]к, j = 0,М} . Число узлов по пространственной координате определяется по соотношению N = N1 + N2 +1, где Nу -
количество промежутков, на которое разбивается слой покрытия или основы.
При рассмотрении трехслойной неявной разностной схемы и замене частных производных по времени и пространству на соответствующие разностные аналоги [13, с. 455] в нелинейных гиперболических уравнениях теплопроводности (8), (9), получаем разностные уравнения вида:
Т]+1 _ Т] т ( у] +1 + у] р+1 - Т] у]-1 + у] - р-1 Л
+1 -t1,i ^1,. + ''г,1 /1,. ^ / 1,. 1,. 1.. _ 11,. 1 1,. 1,. 1,. =
к к 2 к 2 к ^
1 (1 + ] 71].+; _ л]- +ллт т] - 71].+; Л
к
V
2
к
2
к
+ /
]+1.
У
Т]+1 _ Т1 Т ( у+1 + у] Т1+1 _ Т1 у1-1 + у] Т1 _ Т1 -1 Л
„,/+1 2,. 2,. . "V,2 /2,. ^ /2,. 2,. 2,. /2,. ^ /2,. ^ 2,. ^ 2,.
у2,.-+
к
к
2
к
2
к
У
1 (11 +] ] - 72Т1 ] +11 т>+ - 1 Л
к
к
к
(16)
(17)
где у,.1 = су (Т^ )Л (Т^) • 10-9, ] =1 ) • 10-6, у = 1,2; су (?]), г (Т]1), Л (Т^)
вычисляются по формулам (1) - (3), (5) - (7), . = 2, N - 1, ] = 1,М - 1. Формула для определения +1 имеет вид:
+Т, те
-цк(.-1)
'______ Т1+1 - Т1 . як (У +1) , ,+ жа як (У +1)
0,99 • 10-4 -атах яп —у--+ Asj+1 соб-^-
к
та Т
\
У
(18)
где AsJ/ +1 = А (Т]1) и вычисляется по формуле (4), ¡и = а = 10 1/мкм .
Модифицируя метод прогонки для пятиточечной разностной схемы, используем метод простой итерации для итерационного уточнения коэффициентов. В этом случае на каждом временном слое расчет значений сеточной функции происходит до тех пор, пока значения на текущей итерации не перестанут отличаться от предыдущего приближения. При этом системы (16), (17) являются линейными относительно Т+1 и Т2?+1 соответственно и принимают
вид:
2кк2 у 7+1 - Т.) + тдк2 [у + у) • - Т.) - (у]-1 + у]) • 7 - ТЦ-1)
=к2 [(л^л.+лл.+1) • (с - с) - л+л) • (тГ - Т£ )]+2/:к2к2;
2кку. (Т^1 -ТЪ) + тг,2кк [у + ]^(Т^1 -Т])-(] + у]^(Т] -Т]-1) = к2 Г( л + Л2,.+1) • (Т2++1 - Т2Л+1) - (Л-1+Л) • (Т- - Т2^г+.11)'
(19)
(20)
где ^ - номер итерации. Для определения прогоночных коэффициентов системы (19) и (20) приводят к виду:
А • Т - В • Т + С • Т = V
Л,. у,.+1 "у,. 1уЛ ~ ^уА у,.-1 "'у
(21)
2
2
где у = 12; = к2 (^ +1+1), Бт,, = к2 (1,1-; + 21^., + ) + 2кЛ% + Т^Л2 / + й),
Су,,=к2 (1;.+^), ^ = -2/:к л+Гг ^Т^-1 ( й+у;:-1) - Л27й [2/+Гг д (Й+2^,1+Й-1 )~
^ =Тг,2л2Т2"1 (й + й-)-л2^ [2кй2,1 +Гг,2 (й + 2й + й-)".
Подставляя соотношение прогонки Т.- =а1-1 • Ту.+1 +Д-1 в уравнение (21), получаем формулы для расчета прогоночных коэффициентов на каждой итерации:
Ау,1
а =
Д =
Бу,1 - Су, -Ц-/
Су,1 Д- - ^
Бу,1 - Су, -а-:.
(22) (23)
Определяя коэффициенты ^у 1 на первом временном слое, используем соотношение для фиктивных узлов Ту-1 = Т0, полученное из аппроксимации начального условия (11):
^ = -2/'кЛ - ЛТ [2кй*,1 + Ггд (й + /0,1) ^ =-Л2Т201 Г2к/2,1 +Гг,2 (й +/2,1)
(24)
(25)
Для определения начальных прогоночных коэффициентов а, Д используется неоднородное уравнение (8), моделирующее температурное поле покрытия в случае объемного поглощения, и граничное условие (12). Следовательно, для вывода формул начальных прогоночных коэффициентов можно использовать соотношения, полученные в работе [12, с. 128] при решении задачи теплопроводности в обрабатываемом лазерным излучением однослойном материале для случая объемного поглощения. При аппроксимации левого граничного условия с погрешностью О (Л2) и в зависимости от временного слоя формулы для коэффициентов а1, Д1 имеют вид:
а
+1
2к2 (Лд +12)
2кЛ2Й + Тг ДЛ2 (/ + /) + 2к2 (11 + 1.2)'
д;+1 =
2/'к2Л2 - Тг,1Л2Т1,^-1 (й + й-1 ) + Щ 2кЛ2й + ТгДЛ2 (й + 2/ + й- )
2кЛ2 й + ТгДЛ2 (й + й ) + 2к2 (1Л +12)
Д1 =■
у0
1
2кЛ2/ +ТгДЛ2 (й + й) + 2/,'к2Л2
2кЛ2^, +Тг ДЛ2 (й + Й) + 2к2 (1;, + 1.2 )•
(26)
(27)
(28)
Прогоночные коэффициенты в точке контакта двух сред выводим из аппроксимации граничного условия четвертого рода с погрешностью О (Л2 + к). Разностные аппроксимации
для КТ^-.Т..и 12Т(х'.т.))ЭТ2(х,Т-»
Эх
получаем с применением разло-
.ЭТ(х,т) , ,ЭТ2(х,г) жения функций 11 (Т,)- и 12 (Т2 )-
Эх
Эх
в ряд Тейлора в окрестностях точек х < ; и
Л
х< ; соответственно до членов первого порядка относительно —, где х< ;
х * х *
1 -1 1
2
1 — 2
х=х
х= х
2
2
2
X
х*+1 + х' „ Э (^,Э71(х,Т*)
1 = -. При этом аппроксимация частных производных —I Л1 (71)—1-—
+- 2 Эх V Эх
2
и
ЭХ (Л (Т )
ЭТ2( х,Т*) Эх
проводится с учетом уравнений теплопроводности (8), (9) и раз-
ностных уравнений (19), (20). Используя аппроксимации для смешанных частных производных [13], получаем соотношение:
Д* ,2' Т*+1 _ТТ+1
* + Л * Т * Т * , п
М 1,. -1 1,. 1,. -1 , к
----1—
2 к 2
Г+1 - Т] * Т ^ к к
(,
у* * + у * Г+1 -Т * У * + у-1 Т * -Т] *
1-Л
2
к
к
-
+
+-
к
л*. +Л1. Г+1 -Т1 • л*. +Л1. г+\-Т1 1,. 1,. 1,. 1,. 1,. -1 1,. -1 1,. -1 1,. -1
к
2-' ¡_ 2"' тт+1 _тт+1
1 +Л2/+1 Т2,.*+1 Т2,.* - к
2
2
к
У/-
Т'+1 - 7]
2,. * 2,. *
к
к
к
у * + у * Г+*1 -Т] * у1' *+ у-*1 Г * -Т]-1 Л
' 2,. ' 2,. 2,. 2,. ' 2л ' 2л 2,. 2,.
к
2
к
+
+
к
л*. + Л1. Г+1 - Т1. л*. + Л1. Г+1 - Т1,
2,. +1 2,. +1 2,. +1 2,. +1 2,. 2,. 2,. 2,.
к
к
(29)
Подставляя в уравнение (29) соотношение прогонки = а*-1 • + /<-1 и выражая Т Г1 = Т*:1 = Т2* +,1, получаем формулы для прогоночных коэффициентов в точке х = х*:
2к
а, =
2 (л . + л . ,) + 2ктг! (л . , + л1. ,)
\ 2,. 2,. +1 / гЛ \ 2,. +1 2,. +1 / _
3.
р. да.
(30)
(31)
где да.. = 2 кЬ .-1 [к (л.* + Л - ) + Тг,2 (л.* - + л - )] + к 7 [тг д у + ] ) + Тг,2 (у,, + у>)
+2кк 7 (у> + у,, )+2 кТ* [тг,2 (л + Л)+Тг ,1 (Л- + Л) - Тг ,1 (л+1 + л,-+1)]+2 к 2 к 2 -
-^ТгдТм (Л -1 + Л -1)+к 2 (Т* - Т*-1) [Тг ,1 (у-1 + у,)+Тг,2 (] + у]..)
+ 2к
(Л + Л ) + Тг,1 К, +л22,- )'
р . = 2к2 (л*. +л. ,)(1 -а. ,) + !*. + Л*
\ 1,. 1,. -1 А . 1 / 2,. 2,.
-2 ^,2«. .-1 (л1> -1 + К* -1 ) + Тг ,2 (У/ + у,' ) + Тг ,1 (К,' + у1/ ) .
На первом временном слое коэффициент /3. • в точке сопряжения имеет вид:
да1
33* = тЬ (32)
" 1 (ум- +ум- ) + Тг,2 (У,- + У20i•)]
+ к 2Т. 0
где да1 = 2к/.-1 [к (л + Л/,- ) + Тг,2 (ЛlSi.- + л0,- )
+2кк2т; (у-+у,.-)+2кт; [тг,2 (л,+л10.-)+Тг,1 л,,+л,.) - Тгд (л2s,i.+1++) -2 Т ,2т;..0-1 Л-1+л10, -1), р\* =2 к [Тг,2 (л1;.- + л10,)+Тг ,1 л + л0,,)] - 2кТга (лlSi. -+лл, -)
+ 2 к2 к2 *
+
х = х
х=х
2
г ,2
2
2
2
2
г,1
2
2
+2 к2
1 +11/-1)(:-а1 --! )+!',, + 1',, +1 ] + 2кЛ2 / + й,, ) + Тг,2 (й/ + Й/ ) + Тг,1 К> + й-).
Учитывая, что при определении значений температуры на правой границе рассматривается однородное гиперболическое уравнение (9), моделирующее температурное поле материала основы, и граничное условие (13), для вывода формул можно использовать соотношения, полученные при решении задачи о лазерном нагреве тела с покрытием при обработке концентрированными потоками энергии в случае поверхностного поглощения, приведенные в работе [11]. Следовательно, формулы для вычисления значений температуры на правой границе, в том числе для первого временного слоя, полученные из аппроксимации правого граничного условия с погрешностью О (Л2), имеют вид:
= 2к 2ДМ-; 1 + Х^-;) + Т2^Л2 К (2к + Тг,2) + Тг ,2 (2 й,! + й-)] - Т^Т^ (К,! + К-) _
2,! 2кЛ2йм + Тг ,2 Л2 (/,! + й,! ) + 2к2 (12.,! +12',!-! )(1-а-, )
Т1 =
2к 2ДЫ-; (12.,! +1, N-! ) + Т2,!Л I ЙN (2к + Тг,2 ) + Тг,2Й°,! ]
2,! 2кЛ2 й.,! + Тг,2Л2 ( + К,! ) + 2к21 +-, ) (1 - а!-, ) ■
(33)
(34)
В алгоритме расчета температурного поля реализуется модификация метода прогонки для системы уравнений с пятидиагональной матрицей, предусматривающая использование процедуры расчета значений сеточной функции на верхнем (промежуточном и первом) временном слое с итерационным уточнением коэффициентов.
На этапе прямой прогонки сначала вычисляются начальные прогоночные коэффициенты для поверхностного слоя с использованием формул (22), (23), (24) (26) - (28), далее прогоночные коэффициенты в точке контакта двух сред по формулам (30) - (32), затем определяются прогоночные коэффициенты для материала основы из соотношений (22), (23) (25).
Расчет температурного поля осуществляется на этапе обратной прогонки, начиная с вычисления значений температуры на правой границе по формуле (33) для промежуточного слоя или по формуле (34) для первого слоя. Значения сеточной функции в остальных узлах на текущей итерации устанавливаются с помощью основного соотношения прогонки.
Процесс определения температурного поля на верхнем временном слое завершается в случае, если максимальное отклонение значений температуры на текущей и предыдущей итерациях не будет превосходить заданной точности. При этом значения сеточной функции, полученные на текущей итерации, определяют значения функции на верхнем временном слое.
Безусловная устойчивость предложенной неявной разностной схемы с погрешностью аппроксимации О (г + Л2) обеспечивает успешное применение метода прогонки за счет вы-
полнения условия |а| < 1,1 = 1,! -1, исключающего быстрый рост погрешности округления,
и отличия знаменателей прогоночных коэффициентов от нуля.
Реализация программы численного решения задачи (8) - (15) осуществлялась в системе МаШСАО и в среде программирования Беу-С++. Для сравнения и анализа результатов расчетов температурных полей с использованием нелинейных гиперболических уравнений теплопроводности и соответствующих линейных с учетом среднеинтегральных значений теп-лофизических и оптических характеристик материалов получено численное решение линейной задачи в двухслойном теле для случая объемного поглощения.
Численное решение линейной задачи получено с использованием метода прогонки при следующих среднеинтегральных значениях теплофизических и оптических характеристик:
1 =121 Вт/(м• К), 1 = 33,8Вт/(м• К), /' = 2,744-106 Дж/(м3 • к), й = 4,605-106 Дж/(м3 • К), А = 0,098.
На рисунках 1, 2 представлены результаты расчетов температурных полей при решении нелинейной (ТМЬ) и линейной (ТЬ) задач. Графики распределения температуры по толщине покрытия и основы при т = 2 нс и при т = 5 нс приведены на рисунке 1. На рисунке 2 представлены графики функции изменения температуры во времени при х = 0 мкм и при х = = 0,4 мкм.
1.8x10
,3
1.6x10
(тац,). (ТЦ
(™ц1); "гЦ
1.4x10
1.2x10
3
1х103 800 600 400 200 0
0.2
0.4 х;
0.6
0.8
Рисунок 1 - Распределение температуры по толщине покрытия и основы: при Т = 2 нс (ТЖ0,ТЬ0) и при Т = 5 нс (ТЖ^ТЦ)
1.8x10
3
1.6x10
(™Ц
1.4x10
1.2x10
3
1x103 800 600 400 200 0
* * * *
* у ......••
✓ * / и • • • . *
✓ / . у ^ • * _ #»
* * * • • . • . <+ ■
_ ъ
Рисунок 2 - Изменение температуры во времени: при X = 0мкм (ТЖ0,ТЬ0) и при х = 0,4 мкм (ТЫЬ1,ТЬ1)
Полученные результаты сравнимы с результатами расчетов, представленными в работе [6, с. 149 - 150] с использованием приближенного аналитического метода, сочетающего метод пространственно-временных квадрантов и операционный метод. Сопоставимость результатов, рассчитанных при решении предложенным численным методом и приближенным аналитическим, обосновывает достоверность полученных результатов.
На основе существенных отличий в полученных результатах расчетов температурных полей при решении нелинейной и линейной задач можно утверждать о необходимости учета температурной зависимости свойств материалов при обработке лазерным излучением тела с покрытием в случае объемного поглощения.
0
0
2
3
4
5
т
Представленная нелинейная математическая модель нагрева двухслойного тела с учетом релаксации теплового потока и температурной зависимости теплофизических и оптических характеристик материалов позволяет повысить точность расчета температурных полей при исследовании тепловых процессов с воздействием лазерного излучением на многослойные материалы и может быть эффективна при разработке технологий лазерной обработки в промышленных циклах ОАО «РЖД» и лазерного упрочнения гребней колесных пар.
Список литературы
1. Упрочнение колесной стали волоконными лазерами [Текст] / А. В. Богданов, Н. В. Грезев и др. // Наукоемкие технологии в машиностроении / Брянский гос. техн. ун-т. -Брянск. - 2016. - № 9. - С. 30 - 37.
2. Губенко, С. И. Исследование возможности локального лазерного упрочнения зоны выкружки железнодорожных колес [Текст] / С. И. Губенко // Бюллетень результатов научных исследований / Петербургский гос. ун-т путей сообщения. - Санкт-Петербург. - 2014. - № 1 (10). - С. 31 - 37.
3. Исакин, И. А. Методы поверхностной лазерной обработки металлов и сплавов [Текст] / И. А. Исакин // Аспирант / Южный ун-т (ИУБиП). - Ростов-на-Дону. - 2016. - № 2. - С. 49 - 58.
4. Лазерные технологии обработки материалов: современные проблемы фундаментальных исследований и прикладных разработок [Текст] / Под ред. В. Я. Панченко. - М.: Физма-тлит, 2009. - 664 с.
5. Малая, Ю. А. Математическое моделирование лазерного нагрева тел с покрытиям на основе нелинейного гиперболического уравнения теплопроводности [Текст] / Ю. А. Малая, А. И. Губин // Вестник Национального технического университета «Харьковский политехнический институт». Сборник научных работ. Тематический выпуск «Энергетические и тепло-технологические процессы и оборудование» / Нац. техн. ун-т «Харьковский политехнический институт». - Харьков. - 2012. - № 7. - С. 174 - 181.
6. Малая, Ю. А. Математическое моделирование процессов теплопроводности с учетом релаксации теплового потока [Текст]: Дис. ... канд. техн. наук: 05.13.18 / Юлия Анатольевна Малая. - Днепропетровск, 2015. - 183 с.
7. Мержиевский, Л. А. Численное моделирование распространения теплового импульса во фрактальной среде [Текст] / Л. А. Мержиевский, А. Н. Корчагина // Материалы междунар. конф. «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» (Новосибирск, 30 мая - 4 июня 2011 г.). URL: http://conf.nsc.ru/files/conferences/ шкшк-90/ШШех^38636/46433/Корчагина-Расширенные%20 тезисы.pdf (доступ свободный).
8. Никитенко, Н. И. Проблемы теории и моделирования интенсивных нестационарных процессов тепло- и массопереноса [Текст] / Н. И. Никитенко // Промышленная теплотехника / Нац. акад. наук Украины, Ин-т техн. теплофизики. - Киев. - 1997. - Т. 19 (№ 4-5). - С. 131 - 137.
9. Огин, П. А. Повышение ресурса мелкоразмерного инструмента за счет модификации изнашиваемых поверхностей при помощи оптоволоконного лазера [Текст] / П. А. Огин, К. Я. Васькин // Труды IV междунар. науч.-техн. конф. «Теплофизические и технологические аспекты повышения эффективности машиностроительного производства» (Резниковские чтения) / Тольяттинский гос. ун-т. - Тольятти, 2015. - Ч. 1. - С. 143 - 145.
10. Петров, С. Ю. Упрочнение гребней и снижение износа колесных пар [Текст] / С. Ю. Петров, А. И. Костюкевич, А. А. Рябов // Мир транспорта / МИИТ. - М. - 2013. - № 2. - С. 62 - 69.
11. Петрова, Л. С. Математическое моделирование процессов нагрева многослойных тел при обработке потоками энергии высокой интенсивности на основе системы нелинейных гиперболических уравнений теплопроводности / Л. С. Петрова // Интернет-журнал «Науковедение». -2017. - Т. 9 (№ 4). URL: http://naukovedenie.ru/PDF/02TVN417.pdf (доступ свободный).
12. Петрова, Л. С. Математическое моделирование процессов нагрева тел при воздействии концентрированных потоков энергии на основе нелинейного гиперболического уравнения теплопроводности [Текст] / Л. С. Петрова, В. А. Горош, Н. В. Заложный // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск. - 2017. - № 2 (30). - С. 124 - 133.
13. Самарский, А. А. Теория разностных схем: Учебное пособие [Текст] / А. А. Самарский. - М.: Наука, 1977. - 656 с.
14. Смирнова, Н. А. Особенности образования структуры при лазерной обработке [Текст] / Н. А. Смирнова, А. И. Мисюров // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Машиностроение / МГТУ им. Н. Э. Баумана. - М. - 2012. - № SP2. - С. 115 - 129.
15. Солодов, А. П. Mathcad: Дифференциальные модели [Текст] / А. П. Солодов, В. Ф. Очков / Национальный исследовательский ун-т МЭИ. - М., 2002. - 239 с.
16. Шепелева, И. О. Плазменное и лазерное упрочнение бандажа колеса [Текст] / И. О. Шепелева // Вестник научных конференций. - Тамбов: Юком, 2015. - № 2 - 6 (2). - С. 168 - 170.
References
1. Bogdanov A.V., Grezev N.V., Shmelev S.A., Murzakov M.A., Markushov Y. V. Hardening of wheel steel with fiber lasers [Uprochnenie kolesnoj stali volokonnymi lazerami], Naukoyomkie tekhnologii v mashinostroenii - High technology in mechanical engineering, - Bryansk, 2016, no. 9, pp. 30 - 37.
2. Gubenko S. I. Investigation of the possibility of local laser hardening of the railroad wheel fencing zone [Issledovanie vozmozhnosti lokalnogo lazernogo uprochneniya zony vykruzhki zheleznodorozhnyh koles]. Byulleten rezultatov nauchnyh issledovanij - Newsletter of research results, - St. Petersburg, 2014, no. 1 (10), pp. 31 - 37.
3. Isakin I. A. Methods of surface laser treatment of metals and alloys [Metody poverhnostnoj lazernoj obrabotki metallov i splavov]. Aspirant - Graduate student, - Rostov-na-Donu, 2016, no. 2, pp. 49 - 58.
4. Lazernye tehnologii obrabotki materialov: sovremennye problemy fundamental'-nyh issledovanij i prikladnyh razrabotok (Laser technologies of material processing: modern problems of fundamental research and applied developments) / Ed. V. Y. Panchenko. Moscow: Fizmatlit, 2009, 664 p.
5. Malaya Y. A., Gubin A. I. Mathematical modeling of laser heating of bodies with coatings based on the nonlinear hyperbolic heat equation [Matematicheskoe modelirovanie lazernogo nagreva tel s pokrytiyam na osnove nelinejnogo giperbolicheskogo uravneniya teploprovodnosti]. Vestnik Nacionalnogo tekhnicheskogo universiteta «Harkovskij politekhnicheskij institut», Sbornik nauchnyh rabot, Tematicheskij vypusk «Energeticheskie i teplotekhnologicheskie processy i obo-rudovanie» (Bulletin of the National Technical University «Kharkiv Polytechnic Institute», Collection of scientific works, Thematic issue «Energy and heat engineering processes and equipment»), Kharkiv, 2012, no. 7, pp. 174 - 181.
6. Malaya Y. A. Matematicheskoe modelirovanie processov teploprovodnosti s uchetom relaksacii teplovogo potoka (Mathematical modeling of thermal conductivity processes taking into account the relaxation of heat flow). Thesis for a degree of Candidate of Technical Sciences, Dnepropetrovsk, 2015, 183 p.
7. Merzhievsky L. A., Korchagina A. N. Numerical simulation of the propagation of a thermal pulse in a fractal medium [Chislennoe modelirovanie rasprostraneniya teplovogo impulsa vo frak-talnoj srede]. Mezhd, konferenciya «Sovremennye problemy prikladnoj matematiki i mekhaniki: te-oriya, ehksperiment i praktika» (Int, conference «Modern problems of applied mathematics and mechanics: theory, experiment and practice»), Novosibirsk, 2011. http://conf.nsc.ru/files /conferences /niknik-90/fulltext/38636/46433/Korchagina-Extended%20 abstracts.pdf
8. Nikitenko N. I. Problems of the theory and modeling of intense nonstationary processes of heat and mass transfer [Problemy teorii i modelirovaniya intensivnyh nestacionarnyh processov teplo- i massoperenosa]. Promyshlennaya teplotekhnika - Industrial heat engineering, Kiev, 1997, vol. 19 (no. 4 - 5), pp. 131 - 137.
9. Ogin P. A., Vaskin K. Y. Increase the resource of a small-sized tool by modifying wear surfaces using fiber-optic laser [Povyshenie resursa melkorazmernogo instrumenta za schet modifikacii iznashivaemyh poverhnostej pri pomoshchi optovolokonnogo lazera]. Trudy IV Mezhd, nauch,-tekhn, konferencii «Teplofizicheskie i tekhnologicheskie aspekty povysheniya ehffektivnosti mashi-nostroitelnogo proizvodstva» (Reznikovskie chteniya) (Proceedings IV Int, scientific-techn, Conference «Thermophysical and Technological Aspects of Increasing the Efficiency of Machine-Building Production» (Reznikovsky Readings)), Tolyatti, 2015, p. 1, pp. 143 - 145.
10. Petrov S. Y., Kostiukevich A. I., Ryabov A. A. Strengthening ridges and reducing wear of wheel sets [Uprochnenie grebnej i snizhenie iznosa kolesnyh par]. Mir transporta - The world of transport. Moscow, 2013, no. 2, pp. 62 - 69.
11. Petrova L. S. Mathematical modeling of heating processes of multilayer bodies when processing high energy fluxes on the basis of a system of nonlinear hyperbolic heat equation [Ma-tematicheskoe modelirovanie processov nagreva mnogoslojnyh tel pri obrabotke potokami ehnergii vysokoj intensivnosti na osnove sistemy nelinejnyh giperbolicheskih uravnenij teploprovodnosti]. Internet-zhurnal «Naukovedenie» - Scientific open access journal «Naukovedenie». 2017, vol. 9 (no. 4). URL: http://naukovedenie.ru/PDF/02TVN417.pdf
12. Petrova L. S., Gorosh V. A., Zalozhnyy N. V. Mathematical modeling of heating processes of bodies under influence of concentrated energy flows based on nonlinear hyperbolic heat conductivity equation [Matematicheskoe modelirovanie processov nagreva tel pri vozdejstvii koncentriro-vannyh potokov ehnergii na osnove nelinejnogo giperbolicheskogo uravneniya teploprovodnosti]. Izvestiya Transsiba - Journal of Transsib Railway Studies. - Omsk, 2017, no. 2 (30), pp. 124 - 133.
13. Samarsky A. A. Teorija raznostnyh shem: uchebnoe posobie dlja vuzov (The theory of difference schemes: a textbook for high schools). M.: Nauka, 1977, 656 p.
14. Smirnova N. A., Misyurov A. I. Features of structure formation during laser processing [Osobennosti obrazovaniya struktury pri lazernoj obrabotke]. Vestnik MGTU im. N. E. Baumana. Seriya «Mashinostroenie» - Bulletin of MGTU N. E. Bauman. Series «Mechanical Engineering». Moscow, 2012, no. SP2, pp. 115 - 129.
15. Solodov A. P., Ochkov V. F. Mathcad: Differential models [Differencial'nye modeli]. Moscow, 2002, 239 p.
16. Shepeleva I. O. Plasma and laser hardening of the wheel brace [Plazmennoe i lazernoe uprochnenie bandazha kolesa]. Vestnik nauchnyh konferencij - Bulletin of scientific conferences. Tambov, 2015, no. 2 - 6 (2), pp. 168 - 170.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Петрова Лилия Сергеевна
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).
Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.
Кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Высшая математика», ОмГУПС.
Тел.: +7 (3812) 31-18-11.
E-mail: petrov.306@mail.ru
Крюкова Яна Витальевна
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).
Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.
Магистрант кафедры «Теплоэнергетика», ОмГУПС.
E-mail: ynchik@inbox.ru
БИБЛИОГРАФИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТАТЬИ
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Petrova Liliya Sergeevna
Omsk State Transport University (OSTU) 35, Marx st., Omsk, 644046, the Russian Federation. Ph. D. in Pedagogic, Associate Professor of the department «Higher Mathematics», OSTU. Phone: +7 (3812) 31-18-11. E-mail: petrov.306@mail.ru
Kryukova Yana Vitalevna
Omsk State Transport University (OSTU) 35, Marx st., Omsk, 644046, the Russian Federation. Undergraduate of the department «Power system», OSTU.
E-mail: ynchik@inbox.ru
BIBLIOGRAPHIC DESCRIPTION
Петрова, Л. С. Математическое моделирование процессов высокоинтенсивного нагрева тел с покрытиями при обработке поверхности лазерным излучением [Текст] / Л. С. Петрова, Я. В. Крюкова // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. -Омск. - 2018. - № 1(33). - С 118 - 129.
Petrova L. S., Kryukova Y. V. Mathematical modeling of high-intensity heating processes of bodies with coating under surface processing by laser radiation. Journal of Transsib Railway Studies, 2018, vol. 33, no 1, pp. 118 - 129 (In Russian).
