Решение модельных уравнений экономических задач с учетом временного лага операционным методом Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ

БЖИХАТЛОВ Х.Г.,АТАБИЕВА А.Х.

РЕШЕНИЕ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С УЧЕТОМ ВРЕМЕННОГО ЛАГА ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ

Аннотация. В статье проводится анализ и разработка эффективных методов решения модельных задач экономического характера с учетом временного лага. Взаимодействия между элементами социально-экономического процесса, как правило, не происходят мгновенно. Между причинами и следствиями имеется промежуток времени, называемый лагом (отклонением аргумента). Учет влияния лага в математических моделях экономических моделях экономических задач представляет большой интерес. Рассматривается модель экономического цикла, опирающегося на основной закон экономического баланса. Задача сводится к дифференциальному уравнению с запаздывающим аргументом. В сфере экономики подобные уравнения различных порядков встречаются в инвестиционных задачах, в демографических задачах и в задачах оптимального управления. Проводится анализ решения этого уравнения в зависимости от корней его трансцендентного характеристического уравнения. Предлагается метод нахождения оригинала по ее изображению с помощью разложения по экспоненциальным функциям. Приводится пример, подтверждающий эффективность предложенного метода.

Ключевые слова: временной лаг, дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом, модель экономического цикла.

BZHIHATLOV Н.С.,АТАВ1ЕУА А.Н.

THE SOLUTION OF THE MODEL EQUATIONS ECONOMIC TASK TAKING INTO ACCOUNT THE TIME LAG OF THE OPERATION METHOD

Abstract. In the article effective methods for solving economic model tasks in term of time lag are analyzed and developed. As a rule, the interactions among elements of the socio-economic process do not occur instantly. There is a period of time between causes and effects that is called the lag (deviation of the argument) The influence of the lag in the mathematical models of economic tasks is of great interest. The model of economic cycle based on the main law of economic balance is viewed. The problem is reduced to a differential equation with retarded argument. In the economic sphere these equations of different orders take place in the investment tasks, demographic problems and optimal control problems. The analysis of the solutions of this equation depending on roots of its transcendental characteristic equation is carried out. A method of deconvolution according to its image using an exponential function decomposition is proposed. An example confirming the effectiveness of the proposed method is given. Key words: time lag, differential equation with retarded argument, model of economic cycle.

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом находят широкое применение во многих технических и экономических задачах. Особенно велики приложения этих уравнений к математическим моделям в экономике.

Математическое моделирование существенно расширяет возможности экономического анализа, позволяет получать качественно новые результаты и является важным условием развития экономической теории и совершенствования управления народным хозяйством.

Простейшая модель воспроизводства национального дохода выражается линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Анализ решения подобных уравнений полностью разработан[1].

Взаимосвязи между элементами социально-экономического процесса, как правило, не мгновенны. Между причинами и следствиями, стимулирующим воздействием и его эффектом,

вложением ресурсов и получением продукции, имеется промежуток времени, называемый временным лагом (или лагом запаздывания).

В сфере экономики подобные уравнения различных порядков встречаются в инвестиционных задачах, в демографических задачах и в задачах оптимального управления. Например, в инвестиционных задачах существует лаг запаздывания между вложением производственных ресурсов и выпуском продукции, между инвестициями и потреблением, между инвестициями и наличием капитала и тому подобное. В демографических задачах также присутствует лаг запаздывания, связанный со временем, необходимым человеку для достижения трудоспособного возраста или для получения профессионального образования.

Современная экономика нуждается в новых, более рациональных подходах к исследованию экономических явлений, которые помогают проанализировать задачи с использованием дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

В целом ряде задач экономической динамики временной лаг представляет собой характеристику не запаздывания событий, а их упреждения.

В наших рассуждениях лаг будет означать отклонение аргумента соответствующего дифференциального уравнения.

В сфере экономики подобные уравнения различных порядков встречаются в инвестиционных задачах, в демографических задачах и в задачах оптимального управления [2].

Представляет особый интерес решение модельных уравнений, соответствующих экономическим задачам, учитывающим эти явления. Такие задачи не требуют точного аналитического выражения решения. Поэтому решение дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом с помощью преобразования Лапласа, обращение преобразования Лапласа при помощи ортогональных полиномов приобретает важное значение. [3-5].

Актуальность таких исследований вызвана тем, что современная экономика бурно развивается и нуждается в более рациональных подходах к исследованию экономических явлений и моделях, более точно описывающих, изучаемые процессы.

Учет отклонения аргумента (временной лаг) имеет важное значение, т.к. наличие ее может существенно повлиять на характер решения, а иногда может привести к неустойчивости решения.

Рассмотрим простую модель экономического цикла Колецкого, которая опирается на основной закон экономического баланса (национальный доход в основном распределяется на потребление, на накопление и на независимые расходы) [6] ,а именно:

Y(г) = С • Y(г) +1(г) + А(г), (1)

где Y (г) - национальный доход (выпуск продукции),

I (г) - накопление (капиталовложение),

С • Y (г)

С - постоянный коэффициент, - потребление (мультипликатор),

А(г)- независимые расходы.

Известно, что для исследования экономических процессов в рамках модели Колецкого вводятся и другие величины, характеризующие данные процессы. Основными из них являются: К (г) - запас наличного основного капитала в момент времени ^ B(t)=K|(t) - инвестиции в момент времени t.

Отметим, что в реальности существует временной лаг > 0 между различными величинами, характеризующими экономический процесс. Величина инвестиций в момент времени г зависит от величины национального дохода в момент времени г и от запаса наличного капитала и потребления в момент времени г- ^ . С учетом временного лага имеем следующие зависимости между введенными выше величинами:

Y = I + А

1 С , (2)

I(г) = I |в(Г)Л

Г'Г , (3) K|(t) =В а- Г ) (4)

С помощью (3) из (1) нетрудно получить линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка с запаздывающим аргументом, описывающего изменение запаса наличного капитала К(0 от времени:

= аК (Г) - ёК (Г -г) ( , (5)

0 < а < 1 Ь > 0, где , - факторы, определяющие объем капиталовложений.

К )

Очевидно, что если найдем закон изменения , решая дифференциальное уравнение с

запаздывающим аргументом (5), то с учетом (4) найдем и законы изменения других величин, характеризующих воспроизводство.

В дальнейшем для простоты возьмем единичный лаг ( Г = 1). Тогда будем иметь следующее дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом:

= аК ^) - ЪК ^ -1) ( . (6) Решение последнего ищут методом Эйлера в виде:

К (0 = К0 ^

К0 = К (0| ^ где - начальное условие задачи.

Имеем:

dK (t) _ K и

dt - KX K(t -1) _ K0XeX(t-l) _ K0e~Xe

^ _ _

. (8)

Подставляя (7) в (6), получим трансцендентное характеристическое уравнение для опреде-

X

ления :

X _ a - be ~X (9)

Ясно, что характер решений уравнения (6), согласно (7) существенным образом зависит от

X ^ X X>0

значения характеристических чисел . Если вещественно, то при

limK(t) _ limK0eXt _ ад

t ^^ t ^^ w / w 4

и решение является неустойчивым (имеет взрывной характер), а

3 n lim K(t) _ lim K0 e - X' _ 0

X < 0

при и решение устойчивое (имеет затухающий характер).

Пусть теперь X комплексное число:

X _ а + ia (10) Тогда решение уравнения (6) можно представить в виде: K(t) _ K0еа cos(at + s)

s

где ю и можно найти из начальных условий.

Известно, что характеристическое уравнение (9) помимо решений (10) будет иметь и реше-

Л = а- ¡а

ния , которые, однако, к новым независимым решениям уравнения (6) не приво-

дят.

Таким образом, в случае комплексных корней характеристического уравнения решение дифференциального уравнения (6) имеет колебательный характер с частотой а , причем при

а >0 оно стремится к да (взрывное решение), а при а <0 оно стремится к 0 (затухающее решение).

Трансцендентное уравнение (9) имеет и другие решения. Наша задача заключается в выборе наилучших приближенных и численных методов решения указанных задач. Остановимся на операционном методе.

Преобразование Лапласа, лежащее в основе операционного исчисления, представляет собой линейное преобразование некоторой вещественной функции ОД вещественного t в другую функцию F(p) комплексного переменного: р = о + ш.

Это преобразование определяется соотношением:

,- pt

J e " ptf (t )dt

F(p) = 0 ,

где интеграл берется по положительной полуоси.

Обратное преобразование Лапласа, определяющее оригинал функции по её известному изображению, записывается в виде формулы:

1 ra0

f (t) = — f\ ep F(p)dp

9-77-7 Ja*-1Ю

2m

Эта формула носит название формулы Римана - Меллина (или формулы обращения преобразования Лапласа) и имеет фундаментальное значение в операционном исчислении.

Укажем на один метод обращения преобразования Лапласа с помощью ортогональных экспоненциальных полиномов.

В тех случаях, когда по каким-либо причинам по заданному операторному изображению

F (p) ф f(t)

невозможно точно восстановить функцию - оригинал , возникает вопрос о при-

ближенном методе обращения преобразования Лапласа. В одном из таких методов прибегают к помощи ортогональных экспоненциальных полиномов [7].

„ Wl(t),W2(t),—,Wn(t)

При наличии линеино независимом системы функции , строится

V(t),^2(tX-'-iVn (t) ортогональная система , такая, что:

V(t) = ¥i(tX ^2(t) = W2(t) + ^21 Vi (tX

Vn (t) = Vn (t) + An1 Vi (t) + An2 V2 (t) + ■ ■ ■ + Kn-1 Vn-1 (t).

Отсюда видно, что Vk ( ) ( ' ' ' ) является линеИноИ комбинацией функции

Vk (t) ,, . Vk(t)

с коэффициентом 1 при .

и A m V ^

Числа в (1) определяются из условия ортогональности :

(ук )

Лк1 - -7-^

Н к ^)} Д«)} й

Нормируя ортогональную систему , приходим к системе , такой, что:

(Д.,Dl )-|DiDjdt -]1,' - 1

1 0 1 [0,. * 0 1 (12)

Если в качестве линейно независимой системы взять систему экспоненциальных функций, Д

1 ^ т

то система функций предстает в виде:

,-т

V2«m П К " )

i=l

т , л

Е t к-1 т

Сте-к П (ак - а.) П (ак - а})

к-1 с = .-1 Г-к+1 (,3)

, Скм , (13)

ак у (t)

где - корни характеристического уравнения (9). Искомое решение (оригинал)

Дт ^ ,а1,а2,...,ат)

1 т\' 1'2' 'т/

раскладывается по функциям в виде:

У(t) -Е ЪтДт (t,аl,а2, .,ат )

т-1 , (14)

Ът

где т - коэффициенты Фурье пока неизвестной нам функции. Из (14) с учетом (12), находим, что:

да да т

Ът (а1,а2,.,ат ) - | У(t) Дт 0, ^ . • • , ат - { У(t )Е С ктв ^ (

0 0 к-1

Таким образом, имеет место операторное равенство:

да т т т

|у()£ Скте- £ Скт^(р) -2 Скт^(ак )

0 к-1 . к-1 к-1

7(ак) . ак где значение изображения в точках р= .

В итоге мы получили обращение преобразования Лапласа в виде разложения:

да т

у(/) -22 Скт7 (ак ) Дт (t,al,a2,. ,а т )

m=1 к=1 . (15)

На наш взгляд эта формула дает хороший результат при нахождении оригинала по ее изображению.

Обращение преобразования Лапласа с помощью ортогональных полиномов рассмотрим на следующих примерах.

1. Найти оригинал, если его изображение имеет вид:

F (p) = -Лтт

(Р + c)2

n , К (t )}={ } c = const

Ортогонализируя систему линейно независимых функций , ,

к = 1,2,...,п „ К (г)}

, получаем ортогональную систему функций .

Ограничимся случаем, когда п =4. Р&) = у/^) = е

2

р2 (1) = у (1) + Хр (t) = е- з е

6 , , 3

Рз (Г) = у (t) + АзР (Г) + Я32Р2 (') = е- 5е+е

Р&) = У4(<) + А4Р () + Я42Р2 () + Я43Р3 () = е-12е"3* + 6е- е

(Рк (t)}

Нормируя систему функций , приходим к системе:

D1(t) = 42Се

D2(t) = 4~е (бе - 4е )

D3(t) = л/бС(10е- 12е+ 3е^)

D4(t) = 42с (70е ^ - 120е + 60е - 8е )

, , вг ^) г = 1,2,3,4 Y(ак)

Подставляя в (15) найденные значения , где в роли

Р{Р) ф ДО t

участвует , получаем значения функции - оригинала в точках .

2. Используя модель экономического цикла Колецкого, найти функцию К(^ - запас наличного основного капитала в момент времени t, удовлетворяющую дифференциальному уравнению первого порядка с запаздывающим аргументом:

К '(г) = -6К (г -1) +1К (г) +1

6 . (16)

Как видно из уравнения, временной лаг т=1.

Применяя операционное исчисление для решения уравнения (16) и учитывая, что:

К ^) <- К (р) К у) <- рК(р) К^ -1) е ^РК(р)

?

операторное изображение исходного уравнения примет вид:

рК (р) = -6е " РК (р) +1К (р) + —

6 р

Региональные проблемы преобразования экономики, №12, 2015

K ( p) =

pi p + 6e p -

6

откуда: .

Выделим целую часть в выражении, стоящем в скобках:

f

K ( p) = -1 • P

6e-

1 -

1

6p

1 +

6e-

J_ 6p

y^ л 6e-p 1

Z ( p) =--—

p 6 p

K ( p) = \ • p

f

1 -

Z ( p) 1 + Z ( p).

л

Обозначим ~ ~ , тогда

Таким образом, появляется возможность найти значения функции K(t) в точках t (подобно примеру 1).

Найдем решение уравнения (16), удовлетворяющее начальному условию

K (t ) = 1 t е [0,1] ( ) о

при , аналитически (т.е. методом шагов). Оно имеет вид

K(t» = -f1 +1 t е (1,2]

при .

Для подтверждения, что формула (15) дает хорошее приближение. Приведем значения численного решения, полученного по формуле (15) и точного решения в некоторых точках: tochka chislen.resh tochnoe resh 1.00 11.250105323 11.271684414 1.20 3.818626071 3.842986311 1.40 -1.823593490 -1.828546971 1.60 -4.178581289 -4.194587315 1.80 -4.260599786 -4.284593669 2.00 -3.248055666 -3.239587416

Литература

1. Хайрер Э, Нерсетт С, Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи, М, «Мир», 1990.

2. Геворкян Э.А. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М., МЭСИ, 2001.

3. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены, М., «Наука», 1976.

4. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление, М., «Высшая школа», 1975.

5. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа, М., «Наука», 1974.

6. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. М., «Экономика», 1985.

7. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М., 1962.

References:

1. Hairer E., Nersett S., Wanner G. Solution of ordinary differential equations. Nonrigid tasks, М., «Mir», 1990.

2. Gevorkyan E.A. Differential equations with retarded argument. М., МESI, 2001.

3. Suetin P.K. Classical orthogonal polynomials, М., «Nauka», 1976.

4. Dinkin V.A., PrudnikovA.P. Operating calculus, М., «Visshaya shkola», 1975.

5. Krilov V.I., Skoblya N.C. Methods of approximate Fourier transformation and conversion of Laplace transformation. М., «Nauka», 1974.

6. Granberg A.G. Dynamic models of economy. М., «Economika», 1985.

7. Sege G. Orthogonal polynomials. М., 1962.

1

1

p

p