Решение методом произведения областей 0-плоскостной задачи дифракции волн на наклонной границе раздела диэлектрических сред в прямоугольном волноводе Текст научной статьи по специальности «Физика»

В. В. Ващенко, В. П. Чумаченко: РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ Н-ПЛОСКОСТНОЙ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ВОЛН НА НАКЛОННОЙ ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА

радюф1зика

радиофизика кабюриубтсз

УДК 621.372.8

В. В. Ващенко, В. П. Чумаченко

РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ Я-ПЛОСКОСТНОЙ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ВОЛН НА НАКЛОННОЙ ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕД В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ

Рассматривается известная задача дифракции электромагнитных волн на прямолинейной границе раздела диэлектрических сред. Решение находится с помощью недавно предложенного варианта метода произведения областей, который использует определенного вида тригонометрические разложения для представления искомой функции внутри выпуклых многогранников. Путем сравнения полученных результатов с данными других авторов, установлены применимость и эффективность этого подхода при исследовании волноводных устройств, содержащих наклонную границу раздела сред.

ВВЕДЕНИЕ

Применение метода произведения областей к решению двумерных внешних и внутренних задач дифракции волн обычно связывается с возможностью представления произвольно-многоугольной области определения поля в виде общей части (произведения) простых базовых областей, каждая из которых являет собой всю плоскость вне определенного звена граничного контура. В такой области уравнение Гельмгольца допускает разделение переменных в эллиптической системе координат, что приводит к построению искомой функции в виде разложений по функциям Матье (см., например, [1, 2]).

Применение этого метода приводит к надежным и устойчивым вычислительным алгоритмам. Следует, однако, заметить, что расчет значений функций Матье

© Ващенко В. В., Чумаченко В. П., 2007

является более сложной задачей, чем расчет значений других специальных функций, а соответствующее программное обеспечение не является общедоступным. Это заметно суживает круг возможных пользователей названного метода.

В работе [3], основываясь на основной идее метода произведения областей, была предложена более простая форма представления решения уравнения Гельм-гольца для частного (но все же весьма общего) вида многоугольной области определения - произвольного выпуклого многоугольника. Было показано, что, рассматривая этот объект в виде пересечения полуплоскостей, решение можно представить в виде определенного типа тригонометрических разложений. Предполагалось, что граничные задачи для более сложных многоугольных областей могут быть решены путем их расчленения на выпуклые многоугольники и последующего применения метода сшивания.

Эта идея была эффективно использована для решения ряда волноводных задач, в том числе включающих границы раздела диэлектриков [4-6]. В работах [4-6] прямоугольные границы раздела расположены перпендикулярно стенкам волноводов. В настоящей работе метод применяется для решения задачи дифракции Нто-волн на наклонной границе раздела сред в Н-плоскости прямоугольного волновода. Отметим, что рассматриваемая конфигурация является хорошо

изученном, и исследовалась в прошлом многими авторами с помощью различных методов [7-11]. Исчерпывающее решение этой задачи было дано в работе [12] методом полуобращения.

Целью нашей работы является проверка на известной задаче применимости и эффективности развиваемого подхода при наличии наклонной границы раздела с тем, чтобы в последующем расширить область его приложений на более сложные конфигурации.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИСХОДНОЙ

ФУНКЦИИ

Рассматриваемая структура изображена на рис. 1. Плоскость раздела двух сред с относительными диэлектрическими проницаемостями 81 и 82 перпендикулярна широким стенкам и наклонена под углом а к его оси. Слева на неоднородность набегает Нш0-волна единичной амплитуды. Задача заключается в нахождении

г-компоненты электрического поля Бг = и • е^. Искомая функция и удовлетворяет уравнению Гельмгольца

Au + kj • u = 0,

(1)

где к2 = к2 = к0 • 81 слева от границы раздела, к2 =

= к2) = кд • 82 справа от нее, к0 = 2п/Х, а X является длиной волны в свободном пространстве.

Обозначим и как и~1) в области I, и~1) в области 1,

и"-2) в области 2 и и1(11' в области II.

После этого граничные условия для функции и могут быть записаны в виде:

(j) (II) 3u(2) дМП)

u = u , - = - при x

дх дх

(1) п u = 0 при y = a,

(j) n u = 0 при y = -a,

(3)

(4)

(5)

(1) _ (j) du1 _ du(j) - _ а /м

u = u , —— = —— при y = 0. (6) ду dy

Запишем теперь представления функции и во всех областях, введенных на рис. 1. Для регулярных участков волноводов мы, как обычно, получим:

(I) / Л u = Фт(y> a) • е

-у®-( х +1) » ( Л у1:)-(х +1)

+ X Rn' ф« (y' a ^ е ,

п = 1

х < -l,

(II)

u = X Tn • Фп(y> a )• e

n=1

-уП:1)-( х - l)

(7)

, х >l, (8)

, Л . (nп( y + a(I) 1n п | ,j ( где Фп(y, a) = sin^a--1) , Yn = ^j - kl, Y

j Y(II) = 1 , Yn =

= /у^- к2, а коэффициенты отражения Е„ и Тп

подлежат определению.

Далее, пользуясь техникой, описанной в [3], поле в области 1 запишем в виде суммы:

(I) (1) дм( дм( ^ , /0ч

u = u , —— = —— при х = -l, (2)

дх

дх

(1) _ (1) u = X ui ,

i = 1

(9)

Рисунок 1 - Геометрия задачи

ISSN 1607-3274 «Радюелектрошка. 1нформатика. Управлшня» № 1, 2007

6

В. В. Ващенко, В. П. Чумаченко: РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ Н-ПЛОСКОСТНОЙ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ВОЛН НА НАКЛОННОЙ ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА

где нумерация функций-слагаемых соответствует нумерации сторон треугольника, а сами они определяются следующими формулами:

, 0 { л \

и1 _ X Ап ' У' а) ' е

п _ 1

7®-( х + I)

= !(3)Ап -Фп( X'7 )•«

п _ 1

(3) (1) , л

г„ ■( У - а)

(2) (1) ~ 7» • У

= 2)А„ -Ф„(X' а)• * '„ * +

п _ 1

(2) (1) ~

1) ,л У1 • У

+ С • Ф1(х' а) • е ,

(10)

(11)

(12)

Из граничного условия (13) имеем:

■Л 1) _ ^ (С) X1) (2)

С

X КСХ' • Ап,

п _ 1

(19)

г(2) (1) , (2) (1)т ~

(С)а 1) г лл/ лм -[ у1 + 'V У«

где _ -[Фп(хМ' а)/Ф1(^М' «)]• е .

После подстановки (9)-(12) в граничное условие (4) умножим полученное равенство на 1 • Фк(х, /) и проинтегрируем от -I до /. Мы получим:

X (3)ак^Ч+(С^-с^-(3А _ 0,

п _ 1

к _ 1,

(20)

(3)( 1) _ I пъ I к2 (2)(1) _ I пл I к2 где Тп _ Л "2/ I - к1, Тп _ Н—,1 - к,

2а

Коэффициент С1) определяется из дополнительного точечного условия:

41)(М) _ 0.

(13)

(3)1) (С) (1) где акп и а\ - известные интегралы.

Последнее уравнение, с учетом (19), перепишем

в виде:

(3)

Ак _ X

п_1

(3) (1) (2)

акп '

А

(21)

(2)

Аналогично строим представление и для функции и :

(2) _ Л (2) (.,л

и - X и\ , (14)

! _ 1

(2) 1)„ () ^п113 ■ (X -/) .... и1 _ X Вп 'Фп(У^ * , (15)

п _ 1

и32) _ X(3)Вп -Фп(X'1 )• е

п_1

(3) (2) , . - Г„ • (У + а)

(16)

(2) (2) ~ 7» • У

и22) _ X(2)Вп -Фп(X' ау е п * +

п_1

(2) (2) ~

, „(2) - У1 • У

+ С • Ф1 (XX' а) • е ,

(17)

(2) (2) I пя! ,2 (3) (2) I пя! ,2 ,

где Уп - к2, Тп _ ./| -=""71 - k2, а коэф-

2/

фициент С2) находится с помощью условия:

и22)(М) _ 0.

(18)

АЛГЕБРАИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ

Изложим теперь кратко процесс получения системы алгебраических уравнений, которой удовлетворяют неизвестные коэффициенты разложений.

где (3у 1) _ (3)а(1) + (С)аС1МС).( 1)

где акп акп + ак • 1п .

Воспользуемся далее первым из граничных условий (2). Подставим в него выражения (7) и (9)-(12), а затем спроектируем полученное равенство на ортогональный функциональный базис {фп(у, а)}. Мы получим, с учетом (19):

Р _ Я + (1А + ^ (2)~(1) (2А ( , Рк _- 8кш + Ак + X Ркп • Ап, (22)

п _ 1

(2)-(1)

где Ркп - некоторые известные выражения.

Из равенства нормальных производных в плоскости X _ -/, с учетом (19), (21) и (22), следует:

(1)Ак =8кш ^а^Ап,

п=1

(23)

(1)-(1)

где у 'акп - известно.

Таким образом, все коэффициенты разложений, относящиеся к областям 1 и I, выражаются через неиз-(2)

вестные { Ап}. Аналогично в области 2 и II, все коэф-

(2)

фициенты разложений выражаются через { Вп}. Используя теперь граничные условия (7) и произведя очевидные исключения неизвестных, мы получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений,

содержащих только {(2)Ап} и {(2)Вп}. Последняя система решается методом усечения.

ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Описанный алгоритм был реализован в виде программы для ЭВМ. Ниже приводятся результаты тестовых расчетов, подтверждающие адекватность и эффективность используемой методики.

В качестве первого теста для анализа корректности алгоритма и скорости сходимости вычислительной процедуры был использован закон сохранения энергии.

Для его выполнения |А|2 в выражении

1(1тСтПТ)) • N2 + 1т(гПП))- Тп\=

= ЧуЯ- И 2

(24)

должно быть равно 1. На рис. 2 представлены результаты расчета |А|2 по формуле (24) в зависимости от порядка усечения Ы, которое, для удобства представления данных, выбрано одинаковым для всех рядов.

Видно, что значение |А|2 достаточно быстро сходится к его точному значению.

На рис. 3 представлены коэффициенты прохождения, рассчитанные для структуры с параметрами 8! = 1, а = 45°, 2а/X = 0, 7 при изменении относительной диэлектрической проницаемости 82 в пределах от 1 до 11. Из рисунка следует, что результаты расчета хорошо согласуются с данными работы [12].

Рис. 4 представляет графики зависимости коэффициентов отражения для различных значений частотного параметра от угла наклона границы раздела сред.

Как можно видеть, и в этом случае результаты близки к известным.

Эффективность алгоритма и его достоверность подтверждаются также и для других значений параметров структуры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе подтверждена возможность расширения области приложений недавно предложенного варианта метода произведения областей на волноводные устройства, содержащие наклонные границы раздела сред. Развиваемый подход основывается на представлении искомого решения уравнения Гельмгольца в выпуклой многоугольной области в виде определенного вида тригонометрических разложений. В качестве тестовой рассмотрена известная Я-плоскостная задача дифракции волн на границе раздела двух диэлектриков в прямоугольном волноводе. Ее решение показало, что, хотя изначально метод ведет к довольно громоздкой бесконечной системе алгебраических уравнений, структура этой системы такова, что возможно аналитическое исключение неизвестных коэффициентов разложений,

1 2 3 4 5 6 7 8 У 10 И 12 13 14 15 1& 17 18 19 20 Н

Рисунок 2 - Зависимость \А\2 от порядка усечения N при s1 = 1, s2 = 6, 8, 2a/k = 0, 7, a = 30°

Рисунок 3 - Зависимость коэффициентов прохождения от 82 при 81 = 1, а = 45° и 2а/X = 0, 7 (линии - предложенный метод, кружки -данные из [12])

0.45 О Л

0.35 0.3 0.25, 0 2 0.15 0.1 0.05

Г-- "14 2а/Л=0 В

................. 0.7

Ых-

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

1С, degrees

Рисунок 4 - Зависимости коэффициента отражения

от значения 2a/k и угла наклона границы раздела диэлектрических сред при sj = 1, S2 = 2, ^ = 90° - a (линии - предложенный метод, кружки -данные из [12])

8

ISSN 1607-3274 «Радюелектронжа. 1нформатика. Управлшня» № 1, 2007

n

А. В. Крапивной, В. П. Чумаченко, Я. В. Чумаченко: О РАССЕЯНИИ ПЛОСКОЙ СКАЛЯРНОЙ ВОЛНЫ ИМПЕДАНСНОЙ СФЕРОЙ

относящихся ко всем звеньям граничного контура, кроме самой границы раздела. Последняя система разрешима методом усечения. Численные эксперименты и сравнение с результатами других авторов подтвердили, что построенный таким образом алгоритм обеспечивает эффективное и надежное определение характеристик рассеяния структуры во всем диапазоне значений ее геометрических и электрических параметров, представляющих интерес для приложений.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Чумаченко В. П. О расчете Н-плоскосных волноводных узлов с многоугольной границей // Радиотехника и электроника. - 1986. - Т. 31, № 12. - С. 2335-2342.

2. Chumachenko V. P. Domain-product technique solution for the problem of electromagnetic scattering from multi-angular composite cylinders // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2003. - Vol. 51, No. 10. -P. 2845-2851.

3. Chumachenko V. P. Efficient field representation for polygonal region // Electronics letters. - 2001. - Vol. 37, No. 19. - P. 1164-1165.

4. Chumachenko V. P., Karaghuha E., Petrusenko I. V. Accurate analysis of waveguide junctions with rectangular coupling cavity // Microwave and Optical Technology Letters. - 2001. - Vol. 31, No. 4. - P. 305-308.

5. Chumachenko V. P., Tarapov S. I., Eker S. Scattering by a lossy dielectric cylinder in a waveguide cross-junction // IEE Proceedings. - Microwaves, Antennas and Propagation. - 2002. - Vol. 149, No. 4. - P. 229-236.

6. Chumachenko V. P. Accurate model of E-plane waveguide junction with loaded rectangular coupling cavity // Microwave and Optical Technology Letters. - 2002. - V. 34, No. 5. - P. 351-354.

7. Chow Y. L., Wu S.-C. A moment method with mixed basis functions for scattering by waveguide junctions // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. -1973. - Vol. MTT-21, No. 5. - P. 333-339.

8. Kashyap S. C. Slant Dielectric Interface Discontinuity in a Waveguide // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. - 1975. - Vol. MTT-23, No. 2. - P. 257-260.

9. Капилевич Б. Ю., Силин Н. С. Отражение от диэлектрического клина в прямоугольном волноводе // Изв. вузов. Радиофизика. - 1976. - Т. 19, № 1. - С. 135-140.

10. Zuckerman D. N., Diament P. Rank reduction of ill-conditioned matrices in waveguide junction problems // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. -1977. - Vol. MTT-25, No.5. - P. 613-619.

11. Ильинский А. С., Воронов А. А. Метод интегральных уравнений в задаче о дифракции волн на наклонной границе раздела двух сред в волноводе // Вычислительные методы и программирование. - М.: Изд-во моск. ун-та, 1978. - Вып. 28. - С. 177-194.

12. Кириленко А. А., Рудь Л. А. Дифракция волн на наклонной границе раздела диэлектрических сред в прямоугольном волноводе // Радиотехника и электроника. -1977. - № 10. - С. 2057-2067.

Надшшла 15.01.07

Розглядаетъся eidoMa задача дифракцИ електромаг-ттних хеилъ на nрямoлiнiйнiй межi мiж деома дiелект-ричними середоеищами. Розе'язок знаходитъся за допо-могою нещодаено запропоноеаного eaрiaнтa методу до-бутку областей, який еикористоеуе пееного еиду триго-нометричт розеинення для зображення шуканоЧ функцИ есередит опуклих багатокутните. Шляхом noрieняння отриманих резулътaтie з даними тших aeтoрie естаное-лено мoжлиeiстъ застосуеання та ефектиетстъ цъого тдходу при дoслiдженнi хеилъоеодних пристроге, як мктятъ похилу межу рoздiлу середоеищ.

The known problem of electromagnetic wave scattering by a rectilinear dielectric interface is considered. The solution is found with the help of a recently proposed version of the domain-product technique, which exploits certain trigonometric expansions to represent the sought-for function inside a convex polygon. The comparison of the data obtained with the results of other authors has shown the validity and efficiency of the technique in studying waveguide devices with a slant interface.

УДК 537.874.6

А. В. Крапивной, В. П. Чумаченко, Я. В. Чумаченко

О РАССЕЯНИИ ПЛОСКОЙ СКАЛЯРНОЙ ВОЛНЫ ИМПЕДАНСНОЙ

СФЕРОЙ

Рассматривается задача рассеяния плоской скалярной волны реактивно нагруженной сферой. Теория основывается на свойстве локальности коротковолнового рассеяния и дает в явном виде значение поля на поверхности цели. Она учитывает кривизну поверхности, а также значение поля на ее затененной части. Многочисленные сравнения с точными решениями для сфер различных размеров с постоянными значениями поверхностного импеданса показали, что метод является более точным, чем приближение физической оптики, и требует приблизительно тех же вычислительных затрат. Приведен при© Крапивной А. В., Чумаченко В. П., Чумаченко Я. В., 2007

мер использования развитого подхода в случае сферы с изменяющейся поверхностной нагрузкой.

ВВЕДЕНИЕ

Задача рассеяния гармонических волн некоторым телом сводится, как известно [1], к граничным задачам для уравнения Гельмгольца. Их точное аналитическое решение существует только для нескольких относительно простых частных случаев, для которых возможно