Решение математических задач средствами наглядных образов Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

THE SOLUTION OF MATHEMATICAL PROBLEMS BY MEANS OF VISUAL IMAGES

Dalinger V.

doctor ofpedagogical Sciences, Professor, head of the Department of mathematics and methods of teaching

mathematics of Omsk state pedagogical University, Omsk

РЕШЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СРЕДСТВАМИ НАГЛЯДНЫХ ОБРАЗОВ

Далингер В.А.

доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и методики обучения математике Омского государственного педагогического университета, г. Омск

Abstract

The article deals with the use of visual images of mathematical objects in solving mathematical problems, with the possibility of explicit or implicit use of these images. Examples illustrating the effective use of visual images in solving various mathematical problems are given.

Аннотация

В статье рассматривается вопрос об использовании наглядных образов математических объектов в решении математических задач, причем возможно явное или неявное использование этих образов. Приведены примеры, иллюстрирующие эффективное использование наглядных образов в решении различных математических задач.

Keywords: mathematical problems, visual images of mathematical objects, explicit use of mathematical objects, implicit use of mathematical objects.

Ключевые слова: математические задачи, наглядные образы математических объектов, явное использование математических объектов, неявное использование математических объектов.

Анализ школьной практики обучения учащихся математике показывает, что основной упор учителя делают на логическое мышление, то есть на работу левого полушария головного мозга: иначе говоря, в обучении имеет место "левополу-шарный крен". По исследованиям же психологов известно, что до 80% информации человек получает через зрительный канал. Что же касается математики, то уместно привести здесь слова великого К. Гаусса: "Математика - наука не столько для ушей, сколько для глаз".

Психологами и физиологами доказано, что левое полушарие специализируется на вербально-символических функциях, а правое - на пространственно-синтетических.

В работе учителя математики больший акцент делается на использовании формально-логических средств, на оперирование знаковыми системами без необходимой опоры на образные компоненты.

Итак, встает проблема: "Как сделать обучение математике таким, чтобы оно строилось на сбалансированной работе и левого, и правого полушарий головного мозга, то есть на разумном сочетании логического и наглядно-образного мышления?"

В настоящее время широкое распространение получил термин "визуальное мышление", то есть зрительно-наглядное, означающее, как пишет Р.Артхейм, "мышление посредство визуальных (зрительных) операций" [10].

Визуальное мышление есть деятельность, обеспечивающая создание образов, оперирование ими, перекодирование их в заданном или произвольном направлении, использование разных систем отсчета для построения образа, выявление в образе различных признаков и свойств объекта, значимых для человека.

В.П.Зинченко и Н.Ю. Вергилес так определяют понятие визуального мышления: "Визуальное мышление - это человеческая деятельность, продуктом которой является порождение новых образов, создание новых визуальных форм, несущих определенную смысловую нагрузку и делающих знание видимым" [5].

Основой принципа визуализации служит когнитивная графика, цель которой состоит в создании комбинированных когнитивных моделей представления знаний, которые сочетают в себе символический и геометрический способы мышления и способствуют активизации процессов познания. Но использование визуальной информации не должно приводить к другой крайности - "правополушар-ному крену", следует также использовать вербальную информацию; оптимальным является разумное сочетание обоих способов представления информации в процессе обучения и визуальный, и вербальный.

Наглядность играет в процессе обучения непосредственные и опосредованные функции. К непосредственным функциям относятся: познавательная, управление деятельностью учащихся, интерпретационная, эстетическая, непосредственности рассуждений. К опосредованным функциям следует отнести такие: обеспечение целенаправленного внимания учащихся, запоминания и повторения учащимися учебного материала, реализация прикладной направленности.

М.И. Башмаков и Н.А. Резник по поводу используемой на уроке наглядности отмечают: "Каждый учитель использует на уроке наглядный материал - формулы и чертежи на доске, рисунки и схемы на экране, плакаты и таблицы на стенах, модели и образцы в руках у учеников. Первая цель

учителя состоит в том, чтобы ученик смотрел на предъявляемые ему зрительные образы. Этой цели достичь легко. Вторая цель состоит в том, чтобы ученик смотрел и видел то, что заложено в этих образах. Культура зрительного восприятия требует такого же длительного и серьезного воспитания, как культура письма и речи" [1].

Попытки визуализировать математику, сделать ее более наглядной, предпринимались уже давно. Еще древние математики пытались самые элементарные алгебраические тождества и теоремы представлять в геометрическом виде. Позже сторонниками разумной визуализации математики выступали такие выдающиеся ученые как Леонард Эйлер, Бернхард Риман, Давид Гильберт.

Без наглядных образов знания учащихся становятся бессодержательными и это приводит к формализму. Вообще следует подчеркнуть, что там, где можно дать тому или иному математическому объекту наглядную интерпретацию, это следует делать в обязательном порядке.

Проблема реализации принципа наглядности в обучении математике может получить принципиально новое решение, если удастся найти такое методическое обеспечение деятельности ученика, которое позволит включать функции его визуального мышления для получения продуктивных результатов в овладении математическими понятиями, способами деятельности, для усиления развивающей функции наглядности.

Дидактически выверенное использование наглядных образов в обучении математике может превратить наглядность из вспомогательного, иллюстрирующего средства, в ведущее, продуктивное методическое средство, способствующее математическому развитию учащихся.

Язык образов является основным средством наглядности при изучении абстрактных математических понятий, позволяющих осознанно оперировать понятиями и умозаключениями, закреплять и «оживлять» их в памяти.

В обучении наглядные образы выполняют важные функции: приобретение, хранение и репродуцирование информации; создание упреждающей программы поведения; эталонная функция; регулирование действий и т.д.

И.С. Якиманской [9] разработаны следующие показатели, определяющие уровень оперирования учащимися образами: широта оперирования образом, полнота образа, его обобщенность и динамичность.

Главная идея когнитивно-визуального подхода к формированию знаний, умений и навыков в процессе обучения математике - широкое и целенаправленное использование познавательной функции наглядности. Когнитивно-визуальный подход направлен на воспитание «математического зрения». Для накопления визуального опыта полезны специальные задачи - визуализированные.

Визуализированной назовем задачу, в которой образ явно или не-явно задействован в условии, ответе, задает метод решения задачи, создает опору

каждому этапу решения задачи либо явно или неявно сопутствует на определенных этапах ее решения [3, 6].

Визуализированные задачи позволяют передать информацию об учебных возможностях, определенных особенностях умственной деятельности учащихся и тем самым служат инструментарием для диагностики учебных и личностно значимых качеств, а также является одним из основных инструментов реализации когнитивно-визуального подхода к обучению математике.

Визуальный поиск - это процесс порождения новых образов, новых визуальных форм, несущих конкретную визуально-логическую нагрузку и делающих видимым значение искомого объекта или его свойства. Исходной позицией такого процесса является запас готовых, известных учащемуся визуальных образов, структура и элементы информации, визуально обозримые связи между ними. Визуализированные задачи служат средством формирования навыков визуального поиска.

В решении математических задач образ может использоваться либо явно, либо неявно, но и в том, и в другом случае эти приводит к поиску пути решения задачи. Ниже мы приведем примеры неявного и явного использования наглядного образа при решении математических задач.

I. Неявное использование наглядного образа

1) При каких значениях параметра а система уравнений имеет более двух решений

[lax + 4 y = -8,

[x + lay = 49a2.

Решение задачи облегчается, если в каждом из уравнений системы увидеть прямую. В данном случае образ прямой используется нами неявно (прямые не строятся). Две прямые могут пересекаться (одно решение), быть параллельными (ни одного решения), совпадать (бесконечное множество решений - это как раз то, о чем спрашивается в задаче).

Преобразуем систему:

la 8

У =--x —,

4 4

1 49a2

У =--x--.

la la

Прямые совпадают, если равны их угловые коэффициенты и равны свободные члены, тем самым имеем такую систему:

la 1

4 = la

49a2 8

la 4.

Решая систему, получаем ответ к задаче:

2

a = —

l

2) Решите уравнение |x +1| + |x — 3 = 10

<

Традиционное решение выглядит так: числовая прямая точками х = -7 и х = 3 разбивается на три промежутка, на каждом из которых затем решается уравнение.

Используя неявно образ расстояния (а модуль это и есть расстояние между двумя точками), решающий может рассуждать так: «От меня требуют

найти такие значения х, сумма расстояний от которых до точек х = -7 и х = 3 равно 10. Ясно, что это лишь значения х принадлежащие отрезку [-7; 3]». Это утверждения можно продемонстрировать рисунком 1.

Рис. 1

3) Указать в каких точках функция, график которой изображен на рис. 2, не дифференцируема.

Рис. 2.

Отвечая на вопрос этой задачи, следует мысленно опираться на связь между дифференцируе-мостью функции и возможностью проведения касательной к графику функции, в точке с абсциссой х0. В данном случае в х:, х2, х3 функция не дифференцируема, так как в точках А, В, С нельзя провести касательную к кривой.

Рассмотрим примеры задач, решение которых значительно облегчается за счет явного использования соответствующего образа. Этот образ (график, рисунок, чертеж и т.п.) позволяет считывать информацию, тем самым обеспечивая наглядности познавательную функции (в отличие от иллюстративной).

II. Явное использование наглядного образа

1. Доказать тождество

Ж

агоБт х + агосоБ х = —.

2

Читателю известно доказательство тождества с помощью производной. Мы же воспользуемся образом слагаемых, стоящих в левой и правой частях

тождества: агсБШ х - это угол, синус которого равен х, а агссоБ х - это угол, косинус которого равен х; знак суммы означает сложение двух угол; в правой

части тождества

Ж 2

означает величину прямого

угла. Тем самым мы выходим на рис. 3.

Рис. 3

x

x

Имеем: — = sin ZA , — = cosZB. Из этих 1 1

равенства получаем: ZA = arcsin x,

ZB = arccosX, а так как треугольник прямоугольный и, используя теорему о сумме углов треугольника, окончательно получаем Ж

arcsin X + arccos x = -

2

2)

Доказать

тождество

1 1 „.о

arctg— + arctg- = 45°.

Это тождество доказывает рис. 4.

Рис. 4

Треугольник АСВ прямоугольный и равнобедренный (читателю предоставляется возможность доказать эти два факта). Из этого следует, что углы при основании ААВС равны по 45°. Следовательно,

1 1 „.о

мы доказали тождество aгctg— + aгctg— = 45 ,

используя явно образы углов и суммы углов.

3) Доказать, что если 0 < а < Ь, то

Ь - а , Ь Ь2 - а2 < !п— <■

b

a

2ab

Решать эту задачу будем с опорой на явный образ площади криволинейной трапеции и площади прямоугольников. На рис. 5 изображена ветвь ги-1

перболы у = —.

„ „

1п — - это площадь криволинейной трапеции а

ABKCD, ограниченной линиями х = а, x = Ь, у = 0 и 1

у = — , при x > 0.

Рис.5

S,

Действительно, имеем:

жсв = = = ln b - ln a = ln — J x a a

S„

= (b — a)-1 =

1 b — a

Из рисунка мы видим, что площадь криволинейной трапеции ABKCD, меньше площади трапеции ABCD и больше площади треугольника AМCD (это познавательная функция наглядности):

с <-- с <-- с

°АМСБ ^ ° АВКСБ ^ ° АВСБ

S

a)

1 1

— + -

a b

bb

ABCD

(b — a) =

b2 — a2

Точка С имеет координаты

V

b;b

f

координаты

V

a;1 a,

а точка В

Тогда

2 х 7 2ab Окончательно имеем:

b - a , b — - a2

-< ln — <-.

b a 2ab Здесь и далее график играет роль визуального образа функции.

1 ,102 1 < ln-<-

4) Доказать неравенство

102 101 101

Доказательство аналогично предыдущему и наглядно проиллюстрировано на рис. 6.

Рис. 6

а

Действительно, имеет место двойное неравенство

с <-- с <-- с

SABKM < S ACEKM < S ACDM •

S

я

= f — = ln x|102 = ln102 — ln101 = In

L x 1101

ACEKM

102 101

S

ABKM

= (102 — 101)—1

1

102 102

S

ACDM

= (102-101)- — = —. 101 101

1 ,102 1 Окончательно имеем -< 1п-< -

102

101 101

5)Доказать неравенство х Н— > 2, где х >0

х

Основой для доказательства неравенства служит рис. 7.

1

X

В

л

X

Рис. 7

Площадь квадрата ЛБСБ будет равна

' 112

X Н— I . Из рисунка видно, что эта площадь

X ) и

С

1 1

1

1

D

а

Из рисунка 8 видно, что ^ /(х)оХ =

OCD ■■

'OAB ' SOAKD a0 .

м сумма площадей четырех прямоуголь- <( у )^у = S 1 + 1 + 1 = 4). ^^ с

Геометрический образ позволяет заключить,

больше, чем ников (1 + 1 + 1 + 1 = 4)

Значит, имеем

1

А 1Y „

x Н— I > 4, откуда

x )

что

V

х Н— > 2. Видим, что мы снова для доказатель х

ства явно использовали образ площади квадрата.

a о

f f (x )dx + f g (У Уу > a0 .

Заметим, что эта формула верна для любой

6) Пусть имеются функцияу=/(х) и ей обратная пары взаимообратных функций. функция х = <р(у), и пусть /(0)=0. Докажите нера-

венство: f f (x )dx + f g (y )dy > ab .

0

0

0

о

a

0

0

У b А К В С D

0 i a x

Рис. 8

7) Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению наибольшей и наименьшей из его диагоналей.

Доказательство Проведем оси симметрии заданного правильного восьмиугольника АА\ и ('(\ (рис. 9). Проведем

также ЕК ± АА\ и КБ ± ССь Тогда ЕК равна наименьшей диагонали восьмиугольника, а КБ -наибольшей.

Рис. 9

Путем перекладывания треугольников, указанным на рисунке способом, получаем, что

SABCFAiPClN = SEKDT = EK ' DT . ЭгО И Доказывает утверждение, содержащееся в задаче.

Замечание: Указанное в доказательстве перекладывание треугольников возможно, если соответствующие треугольники равны (в силу симметрии достаточно показать это для одной пары треугольников). Предоставляем читателю возможность доказать самостоятельно, что AAKB = ABCR.

Читатель, заинтересовавшийся поднятой в статье темой, найдет для себя ответы на многие вопросы в указанной ниже литературе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Башмаков М.И., Резник Н.А. Развитие визуального мышления на уроках математики // Математика в школе. - 1991. - №1.

2. Болтянский В.Г. Как развивать «графическое мышление» // Математика в школе. - 1978. -№3.

3. Далингер В.А. Формирование визуального мышления у учащихся в процессе обучения математике: Учебное пособие. - Омск: Изд-во ОмГПУ, 1999.

4. Захаров А.И. Неврозы у детей. - СПб: Дельта, 1996.

5. Зинченко В.П., Вергилес Н.Ю. Формирование зрительного образа. Исследование деятельности зрительной системы. - М.: Изд-во МГУ, 1969.

6. Князева О.О. Визуализированные задачи и методика их использования в процессе обучения началам математического анализа: Учебное пособие. - Омск: Изд-во ОмГПУ, 2003.

7. Резник Н.А. Технология визуального мышления // Информационная среда обучения. - СПб: Свет, 1997.

8. Чошанов М.А. Визуальная математика. -Казань: Абак, 1997.

9. Якиманская И.С. Образное мышление и его место в обучении // Советская педагогика. -1968. - №12.

10. Arnheim R. Visual thinking. - Berkley: Univ. of California Press, 1969.