CC BY
47
УДК 681.5.015 DOI: 10.17213/0321-2653-2016-3-46-50
РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ1
SOLUTION OF BOUNDARY INVERSE HEAT CONDUCTION PROBLEMS BASED ON THE OPTIMIZATION METHODS
© 2016 г. А.Н. Дилигенская
Дилигенская Анна Николаевна - канд. техн. наук, доцент, Diligensky Anna Nikolaevna - Candidate of Technical Sci-
кафедра «Автоматика и управление в технических систе- ences, assistant professor, department «Automation and Control
мах», Самарский государственный технический универси- in Technical Systems», Samara State Technical University,
тет, г. Самара. E-mail: [email protected] Samara. Russia.E-mail: [email protected]
Статья посвящена решению граничной обратной задачи теплопроводности как задачи оптимального управления системой с распределенными параметрами, в которой искомая плотность теплового потока рассматривается в качестве управления. Формулируется задача минимизации ошибки равномерного приближения вычисляемого модельного температурного состояния к заданному. На основе параметрического представления искомого управляющего воздействия, ограниченного классом полиномиальных функций, осуществляется редукция к задаче параметрической оптимизации, решение которой базируется на альтернансном методе. Проведены вычислительные эксперименты, решены обратные задачи для некоторых модельных функций.
Ключевые слова: граничная обратная задача теплопроводности; параметрическая оптимизация; альтернансный метод; равномерное приближение.
In this paper a boundary heat conduction problem has been formulated as an optimal control problem of an object with distributed parameters, where the heat flux density is used as a control action. It is actually to minimize the discrepancy between assigned temperature and the exact solution. The set of control actions is limited to the class of polynomial functions. The parameterisation of control actions reduces the problem to a problem of mathematical programming. To solve this problem the special optimization method based on the alternance properties of the sought optimal solutions is applied.
Keywords: boundary inverse heat conduction problem; parametric optimization; an alternance method; uniform approximation.
Введение Решение граничных ОЗТ [3 - 5] по резуль-
татам измеренных в лабораторных или промышленных условиях температурных полей в некоторых фиксированных точках позволяет получить температуру поверхности, плотность теплового потока или значения конвективных коэффициентов теплоотдачи, недоступные для непосредственного измерения.
стик процесса по доступной экспериментально
„ , м „ В большинстве случаев для решения обрат-
полученной информации [1, 2].
ных задач теплопроводности используются чис-
1Работа выполнена при финансовой поддержке ленные ^теды представленные в литературе РФФИ (проект № 15-08-06872 и проект № 14-08-00446). достаточно широко [1, 2], аналитические подхо-
Исследование нестационарных тепловых процессов, идентификация и диагностика теплового оборудования, оптимизация режимов теплообмена могут основываться на решении обратных задач теплопроводности (ОЗТ), обеспечивающем восстановление условий и характери-
ды, как правило, требующие определенных допущений [5], рассматриваются значительно реже, в то время как описание идентифицируемой характеристики в виде точной или приближенной аналитической зависимости является актуальной задачей инженерной теплофизики.
Разработка численных алгоритмов, обеспечивающих заданную точность, требует применения методов регуляризации сформулированных некорректных задач, не обладающих устойчивостью к малым возмущениям входных данных [1, 6], а также исследования получаемых решений на существование и единственность.
Решение ОЗТ может быть основано на другом подходе, позволяющем установить структуру искомой характеристики, рассматриваемой в качестве оптимального управляющего воздействия, и тем самым определить ее с точностью до некоторого вектора параметров, оптимальные значения которых находятся из решения задачи оптимизации выбранного функционала качества, минимизирующего отклонение расчетного температурного состояния от заданного. Таким образом, производится процедура редукции исходной задачи к задаче параметрической оптимизации [7, 8].
Для решения сформулированной задачи параметрической оптимизации используется альтернансный метод, основывающийся на че-бышевских свойствах оптимальных решений, обладающих наилучшим равномерным приближением к заданному состоянию.
Постановка задачи
Стандартная постановка граничной ОЗТ [9, 10] состоит в восстановлении плотности теплового потока или температуры на недоступной для непосредственного контроля поверхности исследуемого объекта по результатам измерения температуры в некоторых точках внутри тела или на другой поверхности.
В данной работе рассматривается процесс нестационарной теплопроводности применительно к линейной одномерной модели, описываемый однородным уравнением Фурье в относительных единицах и цилиндрических координатах
Ш( x,t) 5ф
= a
2е( x, ф) +1 ш( x, ф)^
cx
2
x cx
(1)
0 < x < R;0 <ф<ф°
с краевыми условиями второго рода
«ад=0; =4(ф),
cx cx
е( x,0)=о,
(2) (3)
где R - радиус цилиндра; а - коэффициент температуропроводности; X - коэффициент теплопроводности.
ОЗТ формируется как задача оптимального управления объектом с распределенными параметрами, в которой искомая плотность теплового потока рассматривается в качестве управляющего воздействия и*(ф) = д*(ф), подчиненного ограничению
Я(ф)^, ф> 0 (4)
принадлежности соответствующему множеству V. Требуется по заданной температурной зависимости 9* (ф) в некоторой фиксированной точке х* е[0, R] определить управление и*(ф), минимизирующее разность между 9*(ф) и решением 9(х*, ф) краевой задачи (1) - (3), соответствующим искомой функции и*(ф).
Для решения задачи производится оценка температурного отклонения 9(х*,ф) от 9*(ф) в равномерной метрике и формулируется следующая задача. Для объекта (1) - (3) необходимо найти подчиненное ограничению (4) управляющее воздействие и*(ф), при котором на задан-
ном интервале соотношение
0, ф0
достигается минимаксное
I(u) = max е(x , ф) -е (ф)
фе[0,ф0]
^ min . (5)
ueV
Для решения рассматриваемой ОЗТ необходимо сужение множества V в (4) до класса физически реализуемых в процессе идентификации достаточно гладких функций [1], что обес-
печивает условно-корректную постановку задачи. Такое требование выполняется, если осуществлять поиск решений в классе полиномиальных функций вида
N
Кф) =Z СпфП
(6)
n=0
+-
2
J0 ^т x/R)
RcJ m=1 J2Ä4m )
xj u(x, A)exp
( 2 R 2
(ф-т)
d т.
ходной постановки задачи (5) к эквивалентной задаче параметрической оптимизации относительно вектора А
фе[0,ф" ]
I1(A) = max е(x , ф, A) -е (ф)
^ min . (7)
A
Решение А0 задачи (7) базируется на использовании свойств оптимальных температурных распределений 9(х*,ф,А0) в условиях наилучшего равномерного приближения к заданному состоянию 9*(ф) [12].
На их основе однозначно устанавливается характер кривой погрешности аппроксимации температурного состояния, достигающей в некоторых точках знакочередующихся максимальных по абсолютной величине отклонений, общее число которых равно (N+2). В соответствии с этим составляется замкнутая система уравнений для этих предельных отклонений, решение которой с помощью численных методов дает оптимальные значения вектора параметров А0, позволяющих произвести аппроксимацию искомой характеристики полиномиальной зависимостью.
Задаваясь возрастающими значениями N = 1,2..., возможно восстановить и*(ф) с любой требуемой точностью.
Результаты вычислительного эксперимента
Эффективность предложенного метода подтверждена решением ОЗТ для серии модельных примеров с различными видами зависимостей, задающих искомую функцию тепловых потерь при исследовании нестационарного процесса теплопроводности для цилиндра с заданными геометрическими и теплофизическими характе-
-6 2 /
ристиками R = 0,1 м, а = 4,34 -10 м / . Результаты проведенного эксперимента представлены на рис. 1 - 3 и в таблице.
Пример 1
Рассматривались непрерывные монотонные функции. На рис. 1 изображены результаты решения ОЗТ (1), (2) при модельной функции
) = е2ф
Число N, обеспечивающее требуемую точность аппроксимации, задает структуру искомого управления, а соответствующие коэффициенты сп, п = 0, N, образующие вектор параметров А = (сп), п = 0,N, могут быть найдены
на последующем этапе параметрической идентификации.
Редукция к задаче параметрической оптимизации и ее решение
Для дальнейшего решения задачи рассматривается параметрическое представление (6) искомого управления и(ф,А), характеризующееся заданным числом (N+1) искомых параметров и вектором их значений А. Температурное поле 9( х,ф,А) также является функцией вектора А и находится как решение краевой задачи (1) - (3) [11] при и(ф) = и(ф, А) в зависимости от выбранного N и вектора А:
2 ф
9( х, ф, А) =-1 и(т, А^ х +
&у 0
Здесь с, у - удельная теплоемкость и плотность нагреваемого материала; цт, т = 0,1,2... - бесконечная последовательность корней уравнения •ЛСл) = 0; ^0(*), -Л(*) - функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков соответственно.
На основе параметрического описания управления и(ф, А) и температурного распределения 9(х,ф,А) осуществляется переход от ис-
^(ф) = е2ф-1, фе[0,2] и N = 3.
х
qo 1,0
0,5
1 л У 2
Погрешность восстановления модельных функций, %
0
0,5
1,0
1,5
Ф
Рис. 1. Идентифицируемая плотность тепловых потерь д0(ф) (1) и ее аппроксимация (2) полиномом третьего порядка
Пример 2
Рассматривались непрерывные гладкие функции с одним экстремумом на интервале идентификации. На рис. 2 изображены результаты решения ОЗТ (1), (2) при модельной функции д0(ф) = зт(0,75тсф), фе[0,1] и N = 2. до
1,0
0,5
1
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 Ф
Рис. 2. Идентифицируемая плотность тепловых потерь д0(ф) (1) и ее аппроксимация (2) полиномом второго порядка
Пример 3
Рассматривались непрерывные гладкие функции, имеющие два экстремума на интервале идентификации. Результаты решения ОЗТ (1), (2) при модельной функции
40 (ф) = зт(1,7лф), фе[0,1] при N = 4 представлены на рис. 3.
40
0,5
/
jf*
1
0
-0,5
-1,0
-1,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 Ф
Рис. 3. Идентифицируемая плотность тепловых потерь д0(ф) (1) и ее аппроксимация (2) полиномом четвертого порядка
q0(v) N = 2 N = 3 N = 4 N = 5
е2ф-1, фе[0,2] 14 3,0 1,00 <1,0
sin(0,75^), фе[0,1] 5 1,5 0,02 <<1,0
sin(1,7^), фе[0,1] 30 18,0 10,0 1,8
Заключение
Предложенный подход позволяет находить решения с достаточной точностью. При увеличении количества экстремумов в восстанавливаемой функции для получения удовлетворительного качества аппроксимации необходимо увеличивать степень аппроксимирующего полинома.
Литература
1. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 280 с.
2. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009. 458 с.
3. Beck J.V., Blackwel B., St. Clair C.R. Inverse Heat Conduction. Ill- Posed Problems. New York. J. Wiley and Sons, 1985 // Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. мл. Некорректные обратные задачи теплопроводности: пер. с англ. М.: Мир, 1989. 312 с.
4. Mishra P.C. Simulation of an Inverse Heat Conduction Boundary Estimation Problem Based on State Space Model // International Journal of Engineering and Technology. 2014. Vol. 6, № 1. P. 343 - 349.
5. Babaei A., Mohammadpour A. Solving an inverse heat conduction problem by reduced differential transform method // New Trends in Mathematical Sciences. 2015. Vol. 3, №. 3. P. 65 - 70.
6. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 286 с.
7. Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э. Специальные методы оптимизации в обратных задачах теплопроводности // Изв. РАН. Энергетика. 2002. № 5. С. 144 - 155.
8. Diligenskaya A.N., Rapoport E.Ya. Analytical methods of parametric optimization in inverse heat-conduction problems with internal heat release // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2014. Vol. 87, № 5. P. 1126 - 1134; Дилигенская А.Н., Рапопорт Э.Я. Аналитические методы параметрической оптимизации в обратных задачах теплопроводности с внутренним тепловыделением //
0
Инженерно-физический журн. 2014. Т. 87, № 5. С. 1082 - 1089.
9. Короткий А.И., Михайлова Д.О. Восстановление граничных управлений в параболических системах // Тр. ИММ УрО РАН. 2012. Т. 18, № 1. С. 178 - 197.
10. Япарова Н.М. Численное моделирование решений обратной граничной задачи теплопроводности // Вестн.
ЮУРГУ. Серия математическое моделирование и программирование. 2013. Т. 6, № 3. С. 112 - 124.
11. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. М.: Высшая школа, 2003. 299 с.
12. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. М.: Наука, 2000. 336 с.
References
1. Alifanov O.M. Obratnye zadachi teploobmena [Return problems of heat exchange]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1988, 280 p.
2. Kabanikhin S.I. Obratnye i nekorrektnye zadachi [Return and incorrect tasks]. Novosibirsk, Sib. nauch. izd-vo, 2009, 458 p.
3. Bek Dzh., Blakuell B., Sent-Kler Ch. ml. Nekorrektnye obratnye zadachi teploprovodnosti [Incorrect return problems of heat conductivity]. Moscow, Mir Publ., 1989, 312 p.
4. Mishra P.C. Simulation of an Inverse Heat Conduction Boundary Estimation Problem Based on State Space Model // International Journal of Engineering and Technology. 2014. V. 6. № 1. Pp. 343-349.
5. Babaei A., Mohammadpour A. Solving an inverse heat conduction problem by reduced differential transform method // New Trends in Mathematical Sciences. 2015. V. 3. №. 3. Pp. 65-70.
6. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Metody resheniya nekorrektnykh zadach [Methods of the solution of incorrect tasks]. Moscow, Nauka Publ., 1979, 286 p.
7. Rapoport E.Ya., Pleshivtseva Yu.E. Spetsial'nye metody optimizatsii v obratnykh zadachakh teploprovodnosti [Special methods of optimization in the return problems of heat conductivity]. Izvestiya RAN. Energetika, 2002, no. 5, pp. 144-155. [In Russ.]
8. Diligenskaya A.N., Rapoport E.Ya. Analiticheskie metody parametricheskoi optimizatsii v obratnykh zadachakh teploprovod-nosti s vnutrennim teplovydeleniem [Analytical methods of parametrical optimization in the return problems of heat conductivity with an internal thermal emission]. Inzhenerno-fizicheskii zhurnal, 2014, vol. 87, no. 5, pp. 1082-1089. [In Russ.]
9. Korotkii A.I., Mikhailova D.O. Vosstanovlenie granichnykh upravlenii v parabolicheskikh sistemakh [Restoration of boundary managements in parabolic systems]. Tr. IMM UrO RAN, 2012, vol. 18, no. 1, pp. 178-197.
10. Yaparova N.M. Chislennoe modelirovanie reshenii obratnoi granichnoi zadachi teploprovodnosti [Numerical modeling of solutions of the return boundary problem of heat conductivity]. Vestnik YuUrGU. Seriya Matematicheskoe modelirovanie i pro-grammirovanie, 2013, vol. 6, no. 3, pp. 112-124. [In Russ.]
11. Rapoport E.Ya. Strukturnoe modelirovanie ob"ektov i sistem upravleniya s raspredelennymiparametrami [Structural modeling of objects and control systems with the distributed parameters]. Moscow, Vysshaya shkola, 2003, 299 p.
12. Rapoport E.Ya. Al'ternansnyi metod v prikladnykh zadachakh optimizatsii [Alternansny method in application-oriented tasks of optimization]. Moscow, Nauka Publ., 2000, 336 p.
Поступила в редакцию 20 июня 2016 г.
