Решение геометрических ЗАДАЧ В MATHCAD Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.67

Эсетов Ферхад Эзединович

кандидат педагогических наук, доцент. Дагестанский государственный педагогический университет f1012@rambler.ru

Рамазанова Ирина Маиловна

кандидат педагогических наук, доцент. Дагестанский государственный педагогический университет f1012@rambler.ru

Юсупов Юсуф Магомедгадиевич

Дагестанский государственный педагогический университет f1012@rambler.ru

Решение геометрических

ЗАДАЧ В MATHCAD

Ferkhad E. Esetov

candidate of pedagogical Sciences, associate professor. Dagestan State Pedagogical University f1012@rambler.ru

Irina M. Ramazanova

candidate of pedagogical Sciences, associate professor. Dagestan State Pedagogical University f1012@rambler.ru

Yusuf M. Yusupov

Dagestan State Pedagogical University f1012@rambler.ru

The decision of geometrical

TASKS IN MATHCAD

Аннотация. В статье исследуются возможности использования пакета MathCAD при подготовке учителя математики к профессиональной деятельности. Выделены проблемы использования математических пакетов при подготовке учителя математики и возможные пути их преодоления. Указаны причины, преимущества и характерные особенности использования пакета MathCAD. Приведен алгоритм решения геометрических задач в MathCAD, с целью привития навыков работы с пакетом MathCAD, в частности рассмотрены задачи на нахождение уравнения стороны, высоты, медианы и уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно противоположной стороне, при заданных вершинах треугольника.

Ключевые слова: информационные технологии, профессиональная подготовка, математические пакеты, подготовка учителя математики, решение геометрических задач в MathCAD.

Annotation. The article examines the possibility of using of MathCAD in the preparation of mathematics teachers to the profession. The problem of the use of mathematical packages in the preparation of teachers of mathematics and possible ways to overcome them is highlighted. The reasons, benefits and features of using the package MathCAD are pointed. An algorithm for solving geometric problems in MathCAD, with the aim of imparting skills to package MathCAD, in particular, consider the problem of finding the equation side, height, and the equation of the median line passing through the vertex parallel to the opposite side, given the vertices of a triangle is considered.

Keywords: information technology, training, math packages, training of mathematics teachers, the decision of geometrical problems in MathCAD.

Стремительное развитие вычислительной техники, появление целого ряда математических пакетов диктуют изменения в построении и изучении курсов математики и информатики, как в школах, так и в вузах. Особенно остро стоит проблема в высшей школе: ограниченность количества учебных часов, с одной стороны, и растущий поток информации, с другой, приводят не только к необоснованному сокращению курса математики в вузах, но и к отсутствию у студентов навыков работы с математическими пакетами, что, к сожалению, сказывается на профессиональной подготовке будущих учителей. Использование математических пакетов органично дополнило бы изучение ряда дисциплин и сократило бы время на выполнение курсовых и дипломных проектов. С их помощью студенты могли бы проверить результаты решения задач, выпол-

ненные вручную. Развитая в этих пакетах графика, позволяет наглядно представить результаты решения задач.

Конечно, использование математических пакетов связано с рядом проблем. Во-первых, лицензионные версии пакетов стоят достаточно дорого, и не все студенты могут их приобрести для работы дома, хотя эту проблему можно решить, если работать с ними в вузе. Во-вторых, внедрение этих пакетов связано с изучением правил работы в пакете, изучением интерфейса, а время на эти работы не выделяется. Еще одним серьезным, но вполне преодолимым препятствием к использованию пакетов является отсутствие в аудитории компьютеров. В-третьих, отсутствие должной квалификации у педагогов [1], решение этой проблемы видится в повышении квалификации преподавателей. Еще

145

одной проблемой применения математических пакетов в преподавании математики является недостаточное их методическое сопровождение. В последнее время появилось много книг, описывающих функциональные возможности пакетов с примерами из различных областей знаний [2]. Но очень мало книг, которые можно использовать как учебную и методическую литературу для отдельных курсов и дисциплин в процессе обучения в вузе. При этом, сложность работы в пакете должна соответствовать поставленным задачам. Надо отметить, что на физико-математическом факультете ДГПУ математические пакеты используют при изучении дисциплин «Численные методы», «Информационные технологии в математике», «Элементарная математика», «Компьютерное моделирование» и других, а также в ходе учебной практики. Ко всем дисциплинам разработаны методические пособия, как в помощь студенту, так и преподавателю. Конечно, как указывалось выше, препятствием для широкого использования пакетов является как недостаточная оснащенность компьютерами, так и отсутствие должной квалификации у педагогов. Такое отставание в этой области приводит к тому, что выпускник вуза не владеет современными компьютерными технологиями в должной мере.

В настоящее время существует достаточно много программ (пакетов) для решения математических задач. Они отличаются количеством охватываемых функций, графическими возможностями, качеством и удобством интерфейса с

пользователем, возможностью обмена данными с другими пакетами и т.д. На факультете на сегодняшний день используется пакет MathCAD 14. Простота освоения пакета, дружественный интерфейс, невысокие требования к возможностям компьютера явились главными причинами того, что именно этот пакет был выбран нами для обучения.

Характерной особенностью пакета MathCAD является использование привычных стандартных математических обозначений, то есть документ на экране выглядит точно так же, как обычный математический расчет. Пакет ориентирован, в первую очередь, на проведение численных расчетов, но имеет встроенный символический процессор Maple, что позволяет выполнять аналитические преобразования. В отличие от упомянутых выше пакетов, MathCad является средой визуального программирования, то есть не требует знания специфического набора команд [3]. Достоинством пакета является «живая» архитектура вычислений -при изменении значения переменной математическое выражение, в котором она используется, автоматически пересчитывается.

В курсе высшей математики или в курсе аналитической геометрии всегда предлагаются задачи на нахождение уравнений прямых. Задачи не сложные, но достаточно громоздкие и требующие аккуратных вычислений и выкладок. Приведем скриншоты решения задач с использованием пакета MathCAD.

м Mathcad - [treugolnik]

М Mathcad • [treugolnik)

Файл Правка Вид Добавить Формат Инструменты Символика Окно Справка Д Файл Правка Вид Добавить Формат Инструменты Символика Окно Справка

D - g£ Н 1 # а 7 U е 1 « « 1 г 1 да 1? = 1 Ь П и МО* -|| @ JD-cSB|SQi7| * в| « О, | Ь I /Н В & I й, !£П||100% -|| ©

j в 4< [:=:] »= Й <? Й «в *| j в * Н *• й <? У *1

Задача. Пусть даны вершины треугольника АВС. Найти а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты СН; в) уравнение медианы AM: г) точку N пересечения медианы AM и высоты СН; д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; е) расстояние от точки С до прямой АВ.

AM- медиана, СН- высота,

N- точка пересечения медианы и высоты. Через точку С проведена прямая, параллельная стороне АВ.

Н В

Йт

AV=A(1,-1) :В = В(10,3) С = С(-6,2)

а) Найдем уравнение стороны АВ, проходящей через две заданные точки А и В:

х-ах у- Эу

Если даны точки А(ау,а„),В(Ьх>Ь,,) ,то уравнение прямой ------=--------

V ^ V У1 Ьх~°х Ьу-ау

Перепишем уравнение в виде: (by - гц,)(х - а^ = (bx - а^-(у - Эу)

Раскроем скобки: (by - ау)-х-(bx - aj-y- V(by - Зу) + y(bx - aj = О

Окончательно, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, в общем виде: (Ьу ■ *у) ■* " (Ьх “ *х) У - Vby + Vbx = 0

Подставим в уравнение координаты соответствующих точек:

->(-1)-10 - у (lO - l)-3 - х [(-1) - з] = О

После преобразований, получим: —» (-1) 10 - у (lO - l) - 3 - х -[(-1) - 3 J = О

Йс;

Следовательно, —> "получено уравнение стороны АВ.’

<□

J | Normal _

▼ | Times New Roman Cyr В / U | |s-| s | |

б) Составим уравнение высоты СН. Высота проходит через точку С, перпендикулярно стороне АВ. Для нахождения требуемого уравнения воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку C(Cj,Cy) в заданном направлении: у-Су=1с-(х-сх)

Так как высота СН перпендикулярна АВ, то их угловые коэффициенты: к = —

к1

by Зу

Угловой юэффициент kj прямой АВ может быть найден по формуле: ki =---

bx_ax

Подставим вместо к его выражение в уравнение прямой, получим:

-11 \ "O’*'3*) < ^

у'су=Г'(х'Сх) у-су=_Г^(х-^)

1 у “у

Выполним преобразования: (Ьу - Зу) (у- Су) = -|bx - a^j (х - с^

(ьу-ау)(у-су) + (ьх-ах).(х-сх) = 0

Получим в общем виде уравнение высоты, проходящей через точку C(Cj,Cy) и перпендикулярной прямой, проходящей через точки А^Эу) и B(bx,by):

х(ьх - \) + У-(ьу - ■у) - vOv ■ “у) ■ vfc - н) = 0

Подставим теперь в полученное уравнение соответствующие координаты точек -> 2 -[(-1) - 3] - (-6) (lO - 0 + х (lO - l) - у -[(-1) - 3] = О

После преобразований будем иметь: —> 9-х + 4-у + 46 = 0

Следовательно, —> "получено уравнение высоты."

Нажмите F1 для справки.

Ф

_ Нажмите F1 для справки.

м

о

м

146

|y| Mathcad - [treugolnik)

|y| Mathcad - [treugolnik]

fl Файл Правка Вид Добавить Формат Инструменты Символика Окно Справка fl Файл Правка Вид Добавить Формат Инструменты Символика Окно Справка

J D-c#y|«BiS4 * %i В| о п | ■" * |»В=|@а Ф П||шо% -II @| J D - Н | # & ^ | Л %]8g|o с* | ■■■ в- | W в = | fe Ф П11 ioo% -|| © |

| В 4 М -= Л <Г |3 “t *1 | В 4 [ill] *= I* <? |3 *1

b„ + c

“x =

by + Cy

— ^=‘ 2

У~°у

в) Составим уравнение медианы AM.

Точка М(ш^.Шу) лежит посредине между точками В и С, поэтому ее координаты вычисляются по формулам:

Уравнение прямой, проходящей через точку A(aj,ay) и точку MOBj.my), имеет вид: - ах Шу - Эу

Последнее уранение перепишем в виде: ^Щу — ayj-^x — - а^-^у — ayj

Подставим теперь m, и Шу: ^ У ^ - ayj-(x- а^) - “ ^ (у- а^г)

Тоща (Ьу + Су - 2ау) (х - aj = (bx + Cj - 2aJ (у - Зу) Сгруппируем:

(Ьу + Су - 2ау) -х - (bx + % - 2axJ -у - ax-(by + =у " 2ау) + “уО"* + "it" 2а,,) = О Раскроем скобки и упростив, получим окончательно уравнение медианы :

(Ьу + Су - 2.ау)-х - (Ьх + с* - 2-а^-у + Зу-Ь,, + Зу-^ - а^Ьу - а*-<7 = 0

Подставим теперь соответствующие координаты точек. Получим:

-> (-1) (-6) - 3 - у-[(—б) + 10 - 2] - 2 + (-1) -10 + х [2 - 2-(-1) + з] = 0

ЕЬ:

Выполним вычисления : -э 7-х - 2-у -9=0

<Ь:

Следовательно,

□

получено уравнение медианы.

г) Найдем точку пересечения медианы AM и высоты СН. Для этого необходимо решить следующую систему уравнений, составленную из уравнений высоты и медианы:

Э-х+4-у = -16'j

7-х- 2-у = 9 )

Запишем матрицу А коэффициентов при неизвестных, вектор-столбец неизвестных X и вектор-столбец свободных членов В:

9 4

В-

( -46

1-2) \у) \ 9

Для решения системы воспользуемся матричным методом. В матричном виде система уравнений имеет вид А -X = В, а ее решение X = А * -В, где - А * -обратная матрица.

Введем обозначение для определителя: Д = |а| Вычислим: Д —> (-2) -9-4 -7

1 2 ^

Окончательно, Д - -46 Найдем обратную матрицу А

23 23

1_ __9 1^46 46)

Умножив обратную матрицу на столбец свободных членов, получим решение: 28 ^

23

403

46

Окончательно, X

Г-!.2^

V,—8.761)

Получили координаты точки пересечения : х - -1.217 у - -8.761

<о_______________________________________________________

Нажмите F1 для справки.

м т © ш S ш

Нажмите F1 для справки.

о в э о

м

||| Mathcad - [treugolnik]

М Mathcad • [treugolnik]

fl Файл Правка Вид До6авить_Формат Инструменты Символика Окно Справка |Q Файл Правка Вид Добавить Формат Инструменты Символика Окно Справка_

D-cSH|eay|*4l0|«^|',-r I 1W В = I В» В>П||мо%_-|| В)|||Р-й:а|а&У'|&|^ЙИЧ'"=' | ffi> Р = I В. 1? П||1°о%_-|| э

II В 4 [15] - К <? S3 “0 *i I

||H4[ii!]«°№<?gw*i|

^ [ fines New Roman Суг ^ 112 ~^~|| В 1 U | [s| = = | != |— | :

▼ | Tines New Roman Суг

31в 1 д IB* я\-= i= | «■ «■

д) Найдем уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно АВ.

Ьу — Зу

Угловой коэффициент к прямой АВ находится из выражения : к| = --

Ьх-=х

Уравнение прямой, проходящей через точку С имеет вид: у - ус = к2 -(х -

Так как искомая прямая параллельна прямой АВ, то угловые коэффициенты равны, т.е. k2 = kj. Подставим в уравнение прямой выражение для углового коэффициента:

у-СУ= цЗ^'(Х_Сх) =*■ (у-Су)(Ьх-ах)=(Ьу-^(Х-Сх) =*■

(ЬУ " “у) X - (Ьх - »х) У - V(by - »у) + су(Ь* ~ “х) = 0 Раскроем скобки и выполним преобразования:

(ЬУ " "у) -X - (Ьх - »х) У + Vе* ” V'y + Ьх су - Ьу S = 0

Получено уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. Подставим в общее уравнение значения соответствующих координат:

■у=-1 *х=> Ьх=10 by = 3 <^ = -6 Су = 2

Йт;

->(-1) '(-б) - у (ю - l) - 2 - 3 -с—б) +2-10 -х-[(-1) -з]= 0

юле вычислений получим уравнение прямой :

-> 4-х- 9 у+ 42 = 0

Й^

Следовательно, -» "получено уравнение прямой, параллельной прямой АВ."

!_□_______________________________________________________________

■Ja2+B2

Введем обозначение S

Йс;

Подставим в формулу соответствующие знзгения коэффициентов уравнения прямой АВ гаюрдинаты точки С:

е) Найдем расстояние от точки С до прямой АВ.

Воспользуемся формулой расстояния отточки С(с,.,Су) до прямой А-х+ В-у+ D = 0: А + В -Су + D Тогда расстояние с

вычисляется по формуле: d := |s|

А = 4 В = -9 D = -13

(-13) + 4 (-6) + 2 (-9)

х = -6 Су = 2

После вычислений получим:

■/16 +81

Окончательно, получим расстояние от точки до прямой АВ: d = 5.584

Нажмите F1 для справки.

Нажмите F1 для справки.

м

mi

щ\ II Э © а т

147

Рассмотренные выше задачи создают лишь общее представление о возможностях пакета Mathcad при решении задач аналитической геометрии. Более глубокое изучение вопроса требует привлечения специальных руководств и пособий, некоторые из которых перечислены в списке литературы [2], [3].

Литература:

1. Будовская Л.М. Использование компьютерных технологий в преподавании математики / Л.М. Будовская, ВИ. Тимонин // Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 5. URL: http:// engjournal.ru/catalog/pedagogika/hidden/736.html

2. Рагулина М.И. Информационные технологии в математике. Москва : Академия, 2008, 304 с.

3. Расолько ГА. Использование информационных технологий в курсах вузовской математики : учеб.-метод. пособие: в 3 ч. / ГА. Расолько, Ю.А. Кремень, Н.В. Бровка, Л.Г. Третьякова. Решение задач в пакете MathCad. Минск : БГУ, 2010. Ч. 1. 320 с.

4. Эсетое Ф.Э. Подготовка учителя математики на основе информационных технологий / Ф.Э. Эсе-тов, М.Ф. Эсетов, М.Н. Юзбекова // Научный журнал: научные исследования и образование: НОУ ВПО «Московский институт государственного управления и права». 2015.№ 19. С. 333-336.

Внедрение в учебный процесс компьютерной техники позволяет существенным образом изменить методику изучения некоторых вопросов курса математики, связанных с осуществлением громоздких, многократно повторяющихся вычислительных процедур, построением графиков и поверхностей, наглядным представлением результатов решения задачи [4].

Literature:

1. Budovskaya L.M. The use of computer technologies in teaching mathematics / L.M. Budovskaya, V.I. Timonin // Engineering journal: science and innovations, 2013. iss. 5. URL: http://engjournal.ru/ catalog/pedagogika/hidden/736.html

2. Ragulina M.I. Information technologies in mathematics. Moscow : Academy, 2008. 304 p.

3. Rasol’ko G.A. The use of information technologies in courses of higher school mathematics : manual: in 3 vols. / G.A. Rasolko, Yu.A. Kremen, N.V. Brovk, L.G. Tretyakov. The solution of tasks in a MathCad package. Minsk: BGU Press, 2010. P. 1. 320 p.

4. Esetov F.E. Training of the mathematics teacher on the basis of information technologies / F.E. Esetov, M.F. Esetov, M.N. Yuzbekova // Scientific journal: Scientific researches and education. Moscow Institute of Public Administration and Law. 2015. № 19. P. 333-336.

148