CC BY
26
_Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ_13_
№ 3 2008
531.534: 620.22- 419.8
РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ СТАТИКИ АНИЗОТРОПНЫХ КОМПОЗИТНЫХ КОРПУСОВ АНТЕННЫХ РЕФЛЕКТОРОВ
Асп. Н. А. ДАНГ
Показано влияние на деформацию корпуса рефлектора учёта нелинейных деформационных соотношений. В качестве метода решения применяется метод конечных элементов (МКЭ), а с)ля решения нелинейной задачи - метод Ньютона.
Influence on a strain of the case of a reflector of the account of nonlinear deformation ratio is displayed. The finite element method alongside with Newton methodffor a nonlinear task) were applied
Деформированное состояние будем описывать компонентами тензора деформаций Грина- Лаг-ранжа с и выделим в них линейные F. и нелинейные г| (квадратичные) составляющие
е = е + г|. (I)
Для решения нелинейной задачи статики воспользуемся итерационным шаговым методом. Будем считать, что для Ш- го шага все деформации известны
е(„,) =£(„,)+TW (2)
Здесь и далее нижним индексом в круглых скобках будем отмечать принадлежность к конкретному шагу решения. Деформации на ( m + 1 )-ом шаге требуется определить
e(»i+1)= 8(,»+1)+ rl(w+i)= е(/и) +Ае(»0'
(3)
где Ае(„;)= (8(ж+1)+ Tl(w+i)) "(S»)+ ■%))= Ле(»0 + AlW (4)
Для выражения (4) заметим, что компоненты приращения деформаций Ае(ш) пропорциональны приращениям перемещений AU(H¡) (т.е. они являются линеаризованными относительно m -го шага), а в нелинейные приращения деформаций Ат|(ш) входят коэффициенты, пропорциональные квадратам или произведениям приращений перемещений AU(í)(). По известным приращениям перемещений AU(m) всегда можно вычислить приращение полных деформаций, воспользовавшись (4).
Для описания напряженного состояния будем пользоваться компонентами напряжений второго тензора Пиолы- Кирхгофа а и считать, что на ( m )-м шаге нам эти напряжения известны, а на ( m + 1 )-м шаге их требуется определить
№ 3
2008
Для линейно-упругого тела приращения напряжений Д(Т(от) пропорциональны приращениям деформаций Де )} т.е.
Асг,«,)=ЕЛе(».)-
где Е представляет коэффициенты упругости (при использовании векторно-матричной символики Е будет квадратной, симметричной, положительно определённой матрицей). Зная приращения перемещений Ди(Н)), вычисляются Де(н|) (4), затем приращения напряжения (6) и напряжения (5).
Будем считать, что {т + 1)-я итерация приводит к равновесному состоянию, и для этого равновесного состояния запишем формулировку принципа возможных перемещений. Считая силы ''мертвыми", пользуясь компонентами тензора деформаций Грина—Лагранжа и компонентами тензора напряжений Пиолы—Кирхгофа, эту формулировку можно записать относительно начальной конфигурации
ЯК
и Г — - ^ 1/11+1 )
(7)
(ш+!) Р^ " работа внешних сил на возможных перемещениях; V - объём рассматриваемого тел2; - поверхность, где заданы поверхностные силы: g - объёмные силы; 8 е - возможные деформации; 5 II - возможные перемещения. Считается, что на поверхности Яц = 5 — Б р заданы нулевые перемещения и 11= 5и = О на поверхности .
Поскольку на (т )-м шаге перемещения 11(т), деформации С(;))) считаются известными, то в (7) для вариаций переметцений и деформаций следует воспользоваться выражениями
§и(И,+1) = 5Аии); 5е(»,+1)= 8Ае(«1)= §Де(«о + 5Аг1(,И); тогда с учётом (4), (5), (6) уравнение (7) можно записать в виде
Л|(5Д?{т) + 8ДП(7И1)) (с1я) + Е(Д8(;н) + Аг[(„о))= 8
системы 8е ст
,м ....." (w+l) dv =54,+.)
(8)
гае 5 /(И(+1)= Ш5 Я5ди-)Р^-
s.
Поскольку слагаемые в (8) имеют разные порядки малости и можно считать, что выражения:
Щ5Де('ш) Е Ат|(Ш) ¿V = 0(Де3); [бД<()ЕДе(й))^=0(Де3); *5 А П(,„) Е АЛ(„,) ¿У = 0(Аг4)-,
имеют третий и четвёртый порядки малости. Оставив в (8) слагаемые, имеющие первый и второй порядки малости, окончательно можно записать
Я|(8Де;т)ЕДб(„,+8Дг1(/„,)а(„,))^ =
№3
2008
& = Л|8Аи;/я,)ё^+ ДбДХО^- \\\(ЬАг'[П1) . (9)
Г .V V
Полученная формулировка Задачи (9) позволяет для МКЭ построить итерационный процесс решения. соответствующий методу Пыотона.
Рассмотрим оболочку вращения, представляющую собой поверхность, образованную вращением образующей вокруг оси. В качестве переменных величин, характеризующих местную геометрию оболочки вращения, выберем радиус кривизны дуги меридиана . второй главной радиус /?, и угол 0 между нормалью к срединной поверхности и осью симметрии (рис. I). Радиус К, равен расстоянию от срединной поверхности по нормали до точки пересечения с осыо симметрии. Все три введенные выше величины ( Я., Я7 и & ) являются функцией расположения точки Л на поверхности.
Рис. I. Геометрические характеристики оболочки вращения
Форма срединной поверхности оболочки после деформации носит название упругой поверхности оболочки. Она может быть охарактеризована тремя проекциями полного иеремещеия произвольно взятой точки А (рис. 2) на оси Х,у и г . Обозначим эти проекции соответственно через М, V и XV.
Рис.2. Свячагшая система координат и перемещения
№3
2008
Оболочки вращения будем набирать конечными элементами конических оболочек. Коническую оболочку (рис. 3) будем характеризовать начальным радиусом параллели г0 и углом конусности 0, который огсчитывается от оси вращения до вектора внешней нормали П по направлению часовой стрелки (рис.1, 3).
у
Ч
.....
/ ч 11
• - /
\ Ч
Рис.3. Координаты отсчета конечного элемента
Для конической оболочки при осесимметричном деформировании деформационные соотношения имеют вид [1 ]:
e=u'+-(w')2 2 '
еу = sy=cru + srw
icv =-crw'-s;w-src,u %„=-2srcrv+2srv>
eos ^
(10)
sinQ. = ^
dx
где и, V, IV — меридианальное, окружное и нормальное перемещения; Сг --;
Г Г
X - координата вдоль образующей от начального сечения КЭ; 0- угол между внешней нормалью и осью вращения; Г - радиус параллели Г = Го+Х СО$&: Г0- радиус параллели в начальном сечений конуса. Как видно из (10), в деформационных соотношениях только в деформации е. содержится не-
линейная составляющая
№3
2008
Тогда согласно (4) определяем полное приращение меридианальной деформации
Ле,(//„ = = 2(и;'с»)+
Обозначив = и Л= Аи1'^, получим для приращения деформации Ае^т)
линеаризованные составляющие
(11)
и нелинейные составляющие
1 ,,
(12)
2 4 ^
Линеаризованные обобщенные деформационные соотношения представим в матричном форме
(13)
или в развернутом виде
Г Л/
Де , 4" /<к
сг
Чы 0
0
Ак . . -5 С
Г г 0
УЛ
О
-¿У г
/¿х1
и о
о о
-25 с + 25 ¿А
Г / ак.
Ац
("О
А»
Такая же связь справедлива и для возможных линеаризованных обобщенных деформаций
Соотношения упругости с учетом начальных и температурных деформаций, аналогичные (6), для многослойной оболочки представим в виде:
АМ(и) = БАе(и)+ДЫ0-ДКг (14)
где [д^д^д
- приращение внутренних силовых факторов;
- приращение обобщенных деформаций; й - матрица приведённых жёсткостных характеристик стенки оболочки; приращение начальных силовых факторов ЛМП = 0. Начальные составляющие сило-
вых факторов учитываются на первом шаге
м
Г=1
йл" —с с >г -
10 ~ ° 11^10 -'12 '-20 ^
'20
1\\20 = Мш = 0;
приращение температурных составляющих внутренних силовых факторов Д]\г = 0, а на первом шаге
вычисляем:
А/2
А/2
Ы1Т = | о^, М1Г = | а1Тг4г ^2г = ] т\2г&> = \тиг
-А/2 -А/2 » (1 ->2) А А
где температурные составляющие напряжений вычисляются через температурные деформации
<т1Т = (Епа? + Епа^)АТ (1 ~>2),
здесь ДГ - приращение температуры; , (£ - коэффициенты линейного температурного расширения (КЛТР) в меридиональном и окружном направлениях; £у - коэффициенты упругости. С учётом (13), (13') первое слагаемое левой части (9) для конической оболочки можно представить так
№4,
Е „ ц^д „ пЬ,
V I - ^ ^ и и(ш) гах, (]5)
где / - длина образующей конической оболочки. Для определения второго слагаемого в левой части уравнения (9) воспользуемся (12) и запишем.
что
ям.
"■>аС"» ¿V = 2п\б(16)
О
Для КЭ конической оболочки аппроксимацию приращений перемещений принимаем в виде
Щт)= фа
или
где а = [о,, а,, а3, аА, о., а( а., й8]'- вектор-столбец коэффициентов аппроксимации. (Потом от этих коэффициентов выполняется стандартный переход к глобальным степеням свободы КЭ.) Приращение угла поворота нормали будет определено
Аии.О "1 0 0 0 0 0 0"
— 0 0 1 X X3 0 0 а
0 0 0 0 0 0 1 X
Ай^я0=Па-[о О О 1 2х Зх2 о о] а
Линеаризованные приращения деформаций для выбранной аппроксимации перемещений
будут иметь следующий вид Де(,н) = А11(Н)) = Ва =
№3
2008
О 1 О О О
С X г X г О О
О О О О О О —сг 1-с,х
О О О О —2 -6х О О
—.у с г г —^ их — с г г - 2с,х3 -^х -Зсгх О О
О 0 О О О О -2 згсг + 2 о.
Здесь учитывается, что
А =а2 + (а4 + 2х а5 + Зхав ); Д ¿;(т) = с, (ах + х а2) + («3 + х аА + х\ + х\) Д *у(т) = ~ 1 " ^^ а2 ~ $3 + " 0а4 + - 2С,.Х)Й5 + ~ 3Сгх\:
Л = ~Чс>а1 + (~ЧС,Х + ЧН ■
Для работы приращений внутренних сил получаем
|Я(5Де[„1)ЕЛ£(??0^=2я5атКаа1
V
где I
К, = |в ' ВВ Гйх
Аналогично получаем Д/5 Ат1с»»)ст(м) ¿¡V =2л" 8аа, 1
где 8а=\|ФТ N Фгск. о
При объемных силах §-0 и поверхностных силах р Ф 0 получаем
|Я(5Дс^5(т)^=2я5атРа(т)>
V
1 / ^Ра(т)=|ВТ ГЛ.
I) О
Переход от коэффициентов аппроксимации а к глобальным степеням свободы Дя(т) 0СУ" ществляется стандартным методом замены неременных. Компоненты ДЯ|П1) содержат приращения радиальных, осевых, касательных перемещений и углов поворота нормалей в узловых сечениях КЭ. После формирования разрешающей СЛАУ МК"Э с учетом граничных условий будем
иметь:
№3
2008
(K(m)-SCm))Aq(m) = AP(m)>
где ДР(т) = Рр- P(mJ - невязка внешних и внутренних сил. Определив Aq(m), вычисляем в середине КЭ приращения линеаризованных деформаций Д £^ = В(Х=[/.^ ДЧ(т)> приращение нелинейных
1 f 2
деформаций в середине КЭ Д - — , полное приращение деформаций в середине КЭ
Дех(ш)= Azx(„,)+ Углы поворота нормали в середине КЭ С0(„,+1) = С0(;н) + ДС0(Я1) и внут-
ренние силовые факторы в середине КЭ = + D Д е(Р1). После этого можно переходить к
следующему шагу итерационного процесса.
Сходимость решения задачи обычно оценивают по энергетической норме, и полученное решение называют обобщенным. Следует помнить, что решение получено на дискретных носителях аппроксимации. Также следует помнить, что точное решение в точке экспериментально подтвердить практически невозможно, поскольку в эксперименте используется конечная база тензометра.
Проверка достоверности разработанной модели осуществлялась аналогично [3] на экспериментальных образах трёхслойных параболических оболочек, полученных склеиванием несущих слоев со слоем заполнителя при нагреве. Оболочки имели диаметр 649 мм, при этом каждую из обшивок рефлектора (НС) формовали из четырёх монослоев углепластика со следующей структурой укладки:
"0° /- 60°/60°/0О]; [0°/- 70°/70° /0О]; [0О/-75°/75О/0°]. Толщина НС после
формования составляла 0,45...0,48 мм. Толщина монослоя h =0,12мм. Заполнитель - алюминиевые соты высотой Н= 10мм. Оправка аппроксимируется сферическим сегментом с внутренним радиусом (совпадающим с радиусом оправки) R = 1100мм и углом полураствора С| =16°.
Поскольку формование обшивок и последующее склеивание оболочки рефлектора происходит при повышенной температуре, в расчетах учитываются зависимости свойств углепластика от температуры. Так, например, при температуре 175° С были приняты следующие свойства углепластика: Е, = 128.8ГПа; £, = 2,8ГПа; G!2=0; G13 = G23 = G12; V)2 = 0,33; = - 2,125x10"f' 1/град.; Q^ = 63x10"6 1/град. Результаты расчетов и экспериментальных исследований удовлетворительно согласуются для угла укладки ф = 67° [4].
При решении нелинейных задач было выявлено, что при углах укладки ф < 67я, рефлектор имеет форму, похожую на ту, которая представлена на рис.4.
№ 3 2008
1110 1100 1090 ЮНО 1 1070 1060 1050 1010 1О30
О 50 100 150 200 250 300 350
г Imml
Рис.4. Отклонение профиля поверхности оболочки (схема армирования НС/0°/-60° /+60° /0°) после склеивания с нагревом: I- оправка: 2- рефлектор.
Для углов укладки ф > 67° характерная форма рефлектора имеет вид, показанный на рис.6. В диапазоне 67 < ф < 74 рефлектора принимает форму, показанную на рис.5. Можно предположить, что в этом диапазоне углов укладки имеет место смена равновесных форм, аналогичная потери устойчивости.
1 250
1200 f 1150 1100 1050
¡0 -60 60 О О О -60 60 01
__________1___________ ■ - . . ... . j 8а$е suif ¡ ( г» Reflector surf j
I
Ч i \ Ч ;
Чч ! ч
! ........... Чч !
X i
i t > V, . . .....1. .... . ...
i i X: i
[О -70 70 0 0 0 -70 70 О!
j í v.-1- ъ & e» i * Ф f
& Reflector surf
; j
i y ^ \
i i"'" '•»■W. j i — . _ ---
О 50 100 150 200 250 300 350
Рис.5. Отклонение профиля поверхности оболочки (схема армирования НС /0°/-70° /+70° /0°) после склеивания с нагревом; 1- оправка; 2- рефлектор.
№3
2008
[О -75 75 О О О -75 75 О:
г [тш]
Рис.6. Отклонение профиля поверхности оболочки (схема армирования НС /0°/-75° /+75° /0°) после склеивания с нагревом: I- оправка: 2- рефлектор.
Выводы
На базе МКЭ и метода Ньютона разработана модель, позволяющая рассчитывать нелинейные размерные отклонения формы трёхслойных сотовых конструкций корпуса рефлектора с учётом начальных и температурных напряжений. Выявлена зона укладки спиральных слоев, в которой происходит качественная смена равновесных форм.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Бпдсрман В. Л. Механика тонкостенных конструкций Статика М.,— Машиностроение, 1977. 488 с
2 Попов Б.Г. Расчет многослойных конструкций вариационно-матричными методами.— М Изд-во МГТУ им Н.Э. Баумана, 1993.-294с
3 Попов К. Г., Куланов И. М., Сумип Ю. В. Анализ размерных отклонений трехслойных параболических композитных рефлекторов при сборке.// Вестник МГТУ им. Н.Э Баумана. Сер «Машиностроение». - 2005 - № I — С. 22- 40.
4. Даиг Н. А. Решение задачи геометрической стабильности анизотропных композитных корпусов антенных рефлекторов// Вестник МГТУ им.Н.Э. Баумана Сер «Машиностроение» - 2008 - №2—С 25-41
