CC BY
82
MS С 11Y99
РЕШЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ f (f(x)) = exp(x)
К.А. Рубцов, G.F. Romerio
Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: rubtsov@bsu.edu.ru
Аннотация. Описана методика решения функционального уравнения f (f (ж)) = ex, использующая гомоморфизм сложения на основе понятия еуперлогарифма. Методика предполагает взаимосвязь между непрерывным повторным возведением в степень и тетрадной. Расширение этой методики предложено для решения обобщенного функционального уравнения f (f (ж)) = u(a, ж) и аналогичных ему. Гомоморфизм сложения, используемый при решении функционального уравнения, находит практическое применение в алгоритмах гиперформата, описывающего сверхбольшие числа.
Ключевые слова: гомоморфизм, еуперлогарифм, тетрация, сверхстепень, алгоритм, гиперформат.
Введение. Более века назад в математике была поставлена задача решения функционального уравнения f (f (x)) = ex, В 1950 году Н, Kneser в работе [1] нашел реальное аналитическое решение. Однако, в дальнейших исследованиях |2,3| отмечается, что полученное решение в работе |1| определено неоднозначно и не может быть вычислено. В последующие годы неоднократно предпринимались попытки найти решение этого функционального уравнения. Например, в работе |4| указана взаимосвязь поиска решения с обобщенными экспоненциальными и логарифмическими функциями. Отмечена их важность будущего применения в вычислительной технике для расширения формата чисел, аналогичных числам с плавающей занятой в арифметике |5,6|, Во всех приведенных исследованиях, включая работу J.C.Appleby |7|, осуществлялся поиск приближенного решения функционального уравнения f (f (x)) = ex, В настоящей работе, авторы поставили задачу точного решения этого уравнения. Эта задача была решена методом, основанным на использовании гинеронерации «Тетрация» и ее инверсии.
1. Поиск решения. Рассмотрим два частных случая: fi(fi(x)) = e + x и f2(f2(x)) = е • х. Эти уравнения легко решить: /i(x) = е/2 + х и /2(х) = у/ё ■ х, Сравнивая исходные функциональные уравнения и получаемые результаты, можно сделать следующий
f(f(x)) = ex
fi f2 f(x) =
-0(e) * x ;
Работа выполнена в рамках проекта «Исследование и разработка эффективных гомоморфных методик для техники и информационных технологий» (регистрационный номер: 8.8539.2013).
• ранг оператора «*» идентичен рангу функции ex, то есть рангу операции степени, и желательна его коммутативность;
• ранг функции ф(е), вероятно, выше ранга л/е, а функция аналогична последовательности е/2, у/ё, V'(e)- то есть характеризует разделение на две операции предыдущего ранга.
Из поставленной задачи и вышеизложенного прогноза можно сделать выводы о методике решения:
1. Следует использовать операции рангом выше чем ex,
2, Дня сохранения структуры формулы решения и её преобразования необходимо использовать гомоморфизм.
2. Тетрация и обратные функции. Последовательность операций a + b, a • b, ab
можно продолжить и ввести ba [8,9], где ba - операция названная Тетрация. (Имеется несколько наименований этой операции: «Hyperpower», « Tetration» 110-121, «Power Tower» 1131, «Гинероператор-4», «сверхстенепь», «сунерстепень» |14|, Далее, в статье применяется термин Тетрация — русскоязычный аналог Tetration. Эта операция определенна в четвертом разряде иерархии Grzegorczyk, дня которой авторы использовали примечание Морера [9]: xx = 2x.) Тетрация - операция, имеющая ранг выше, чем ab. Она не коммутативна и имеет две различные обратные операции тина «корень» и тина «логарифм». Наиболее удачными названиями являются «сунеркорепь» и «сунерлога-рифм», В работе |14| предложен простой вариант обозначений этих обратных операций. Так, если ab = c ^ b = loga c, то ba = c b = slogac, оде slogac - суперлогарифм от c по основанию a, а сверхкорень обозначен согласно [21]. В работе [14] дана формула (1), инвариантная относительно операций:
n ту
1R,
ifc+?Ra) = Г1 R a (V n е N, дня n = 1, a < b), (1)
к
где П & а • п- Ранг операции (полагаем, что п = 1 — ранг сложения, п = 2 — ранг умножения и т.д.), г - номер инверсии (г = 1 - без инверсни, г = 2 - отношение инверсии типа «корень», г = 3 - отношение инверсии типа «логарифм»), к - число повторений операции (к = 1 не пишется), а, Ь - аргументы. При п = 4, а > 1, к ^ 0из (1) нетрудно получить |15,16| дня Тетрации и суперлогарифма:
(А-+в1о§аЬ)а= ^^ и (-А-+в1о ^)а = 10ёо. 10 (2)
к повторении а к повторений а
3. Гомоморфизм сложения.
Лемма 1. Если у = /(#) - функция действительного переменного, то при а > {[е имеет место тождество:
х * у = а .
□ В Тетрадии и обратных ей операциях отсутствуют некоторые полезные зависимости, имеющиеся в степени. Частично преодолеть эти ограничения позволяет гомоморфизм. Согласно [17], гомоморфизм
.. )) = F¿( )). (3)
Приняв в (3): <^(z) = slogaz, i = 1 n = 2 a1 = x, a2 = y F1(a1,a2) = x + y, a F/(a1,a2) = x * y, получим гомоморфизм сложения с помощью суперлогарифма (2). В статье принято ограничение а > согласно свойствам Тетрадии |11|:
sbgjxr * y) = slogax + stagay, (4)
откуда
x * y = (si°gax+siogay)a. (5)
Полученный гомоморфизм сложения (4) правильное представить во взаимосвязи с основанием сунерлогарифма. Тогда, тождество (5) примет вид:
x [S] y = (si°gax+siogay)a. ■ (6)
Зависимость (6) имеет, в частности, свойства:
[а] [«]
1. Коммутативность: x * y = y * x, если a = x, a = y.
[x] [y]
2. Ранг оператора " *" соответствует степени, так как x * y = xy и x * y = yx.
Из (4) видно, что найденный гомоморфизм аналогичен умножению в тождество loga(x-y) = loga x+loga y. Таким образом, в поиске решения функционального уравнения f (f (x)) = ex как и f (x) = ^(e) * x , полученный гомоморфизм полностью отвечает поставленным требованиям.
4. Решение функционального уравнения f (f (x)) = ex.
Теорема 1. Функция любого переменного f (x) = (0, 5 + slnx) * e является точным решением уравнения f (f (x)) = ex,
□ Для нахождения решения функционально го уравнения f (f (x)) = ex, следует определить ^(e), такое, что f (x) = ^(e) * x. Как уже отмечалось, эта функция должна быть подобна обратной операции тина «корень», по она не может быть сунеркорпом. Так как оператор «*» в формуле /(х) = V'(e) * х аналогичен умножению дня /2(х) = у/ё ■ х, то
[е]
аналог корпя можно записать как ф(е) * ф(е) = е , аналогично у/ё ■ \fe = е. Тогда,
[e]
искомая функция принимает вид f (x) = ^(e) * x, а функцию ex можно записать как
x [e]
ex = e * x, Откуда,
f(f(x))
[e]
-0(e) * ^(e)
[e] x
* x = ex . (7)
[е]
Из равенства "(e) * "(e) = e найдем функцию "0(e), учитывая Лемму 1:
[el
e = "(e) * "(e) = (sloSe^(e)+sl°ge^(e)) e = 2-sloge^(e)e = 2-sln^(e)e. ^
2 • sln"(e) = sine sln"(e) = ^ V' (e) = 1/2(5 • (9)
Таким образом, искомая функция f (x) согласно (8):
л/ \ 11 \ [el i/2 [el
f (x) = "(e) * x = ' e * x.
Для проверки подставим "(e) = 1/2e из (9) в (7):
f (f (x))
1/2e [e] 1/2e
w x = (sln((V2)e) +sl„((V2)e))e W x
= (1/2+1/2) e Щ x = e [*] x = (slne + slnx)g = (1+slnx)e = e(slnxe) = ex . Итак, решение f (f (x)) = ex имеет вид:
f (x) = (1/2)e * x = (0,5+slnx)e . ■ (10)
5. Общее решение функционального уравнения f (f (x)) = u(a,x). Лемма 2. Решением уравнения f (f (x)) = u(a,x) для любой действительной функции двух переменных будет f (x) = 1/na У x = (1/n+slogaX) a.
□ Согласно теореме 1 можно решить функциональное уравнение типа
/(/(... ./'■:.'•))■ ■ ■) . 4-V-'
n повторений f
Решение этого уравнения:
f(x) = 1/na * x = (1/n+slog»x)a. ■
Методику решения с применением гомоморфизма, приведенную в теореме 1 и лемме 2, целесообразно использовать и дня решения уравнения
f (f (... /(x)) ...) = u(a,x) . (11)
4-V-'
nf
Рассмотрим решение уравнения f(f (x)) = u(a,x), оде u(a,x) - функция 2-х переменных. Тогда запишем функцию U(x,n):
U(x, n) = u(x, u(x,... u(x, x))...) .
4-V-'
nx
Обозначим обратную ей функцию как «Ь»: если и (а, х) = у, то Ь(а,у) = х.
Из полученных функций и леммы 2 запишем гомоморфизм сложения на базе Ь(а, х):
[а]
Ь ♦ с = и (а, (Ь(а,Ь) + Ь(а,с))) , оде «♦»- оператор, используемый для компактного
[а]
обозначения этого гомоморфизма. Далее ищем функцию f (х): f (х) = д(а) ♦ х, где [а] [«]
д(а) ♦ д(а) = а и а ♦ х = и(а,х), Откуда, найдем вспомогательную функцию д(а) и искомое решение f (х):
/ (х) = у (а) 0 х = II ^а, 0 х = II ^а, ^а, С/ ^а, + Ь (а, х) Дня общего случая (11), решение имеет вид:
/ (х) = II ^а, —^ (} х = и ^а, ^а, II ^а, —^ ^ + £ (а, х)
Заключение. При решении функционального уравнения f (f (х)) = ех авторы ис-[а]
пользовали оператор « * ». Этот оператор удобно применять для построения новых форматов чисел, аналогичных известному формату с плавающей запятой. В работах |19,20| авторы предлагают несколько алгоритмов и программ дня таких форматов. В одном из форматов число В представляется как:
В = (п+81о§^)а = Л](гаа) , (12)
где п € Z, а € И, а > 1, й € [1; а[, й € И, Если для базиса а (12) принять одно из значений, например а = 10, ил и а = 2, то получим упрощенную запись:
В = (п+в^^) 10 = й * пю и В = (п+в1°§^ 10 = й * п2 . (13)
*
сверхстепепи. Алгоритм преобразования в новый формат чисел и обратно выполняется по формулам (2).
В заключение, следует отметить, что полученное решение (10) может быть вычислено, так как функции хе и э1п(х) имеют аппроксимации. Авторы предлагают аппроксимацию, основанную на формулах (2) и приближении э1п(х) ~ 1п(х) для х € [1; е], Из (6) и известных аппроксимаций |18,19| можно записать:
{в1п(ех) — 1, если х ^ 0,
э1п(1п(х)) + 1, если 1 < х, (14)
х — 1 .
Гинерформат чисел (12) рационализирует вычисление сверхлогарифмов (14) путем применения стандартных вычислительных процедур дня логарифмов. В частности, приближенное вычисление функции э1п(х) можно реализовать алгоритмом [21]:
1. Преобразовать число x в новый формат x = d * ne,
2. Преобразовать x = d * ne x* = d • en.
3. Вычислить sln(x) = ln(x*) = n + ln(d), так как d G [1; e[.
Авторы использовали указанные алгоритмы в программах преобразования форматов чисел и гиперкалькуляторе |23,24|. Элементы этого исследования были изложены па ICM 119,201, Авторские права па изложенный в статье материал, а также на алгоритмы и программы защищены |22|,
Литература
1. Kneser Н. Reelle analytische Lösungen der Gleichung ^(^(x)) = ex und verwandter Funktionalgleichungen /7 .J. Reine angew. Math. 1950. 187. B.56-67.
2. Baker I.N. The iteration of entire transcendental functions and the solution of the functional equation f (f (z)) = F (z) 11 Math. Ann. - 1955. - 120. - P.174-180.
3. Kuezma M. Functional Equations in a Single Variable / Warsaw: PWN-Polish Scientific Publishers, 1968.
4. Mathematics of Computation, October 1991. 57;196. P.723-733.
5. Clenshaw C.W., Lozier D.W., Olvcr F.W.J., Turner P.R. Generalized exponential and logarithmic functions /7 Comput. Math. Appl. 1986. 128 (5/6). P.1091-1101.
6. Clenshaw C.W., Olvcr F.W..J., Turner P.R. Level-index arithmetics an introductory surverv /7 Numerical Analysis and Parallel Processing, Lecture Notes in Math. vol. 1397, SpringerVerlag, New York, 1989.
7. Appleby J.C. Notes on Hexponcntiation /7 The Mathematical Gazette. 1995. 79; №484 1995. A short investigation on finding expressions for h(x), such that h(h(x)) = exp(x).
8. Eisenstein G. Entwicklung von. aaa // J. reine angew. Math. - 1844. - 28 - B.49-52.
Г [*(...)]!
9. Maurer H. Uber die Funktion y = x Lx J für ganzzahliges Argument (Abundanzen) // Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg. 1901. 4. P.33-50.
10. Goodstein R.L. Transfinite ordinals in recursive number theorv // .Journal of Symbolic Logic. 1947. 12.
nx = xx...
Edue. Sei. Technol. 1989. 20. P.297-305'.
12. Wolfram MathWorldiM, http://mathworid.wolfram.com/Tetration.html
13. Wolfram MathWorld™, http://mathwoiid.wolfram.com/PowerTower.html
14. Рубцов К.А. Алгоритмизация инхредиентов во множестве алх'ебраических операций // Кибернетика. 1989. №3. С.111-112.
15. Rubtsov К. Integro-differential objects of a new nature /7 The Proceeding ICM 94. Zurich, Section: 8, AMS-Classification number: 26 (short communications), P.57.
16. Рубцов К.А. Новые математические объекты // Белх'ород: БелГТАСМ, Киев: НПП ИН-ФОРМАВТОСИМ. 1996, 251 с.
17. Математическая энциклопедия / М.: Сов. энциклопедия, 1977. Т.1. С.1061.
18. Super-logarithm, from Wikipedia - The linear approximation approach by Rubstov and Rome-rio, http://en.wikipedia.org/wiki/Superlogarithm
19. Rubtsov K.A., Romerio G.F. International Congress of Mathematicians, Madrid 2006: Abstracts, Posters, Short Communications, Mathematical Software, Other Activities, p. 22-23, Hyper-operations as a tool for science and engineering.
20. Rubtsov К.A., Romerio G.F., International Congress of Mathematicians, Hyderabad 2010: Abstracts, Short Communications, p. 626-627, Applications of a number notation hyperformat for science and engineering.
21. Rubtsov K.A., Romerio G.F. Hvperoperations, for science and technology. New algorithmic-tools for computer science - Lambert Academic Publishing, 2011, 185 p.
22. Romerio G.F., Rubtsov C.A. Iperformato Rubtsov-Romerio (RRH) /7 Societa' Italiana degli Autori ed Editori (SIAE), Roma, 2005, 2010.
23. Рубцов К.A., Romerio G.F. Гипероперации в математическом моделировании и научных исследованиях. Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-25: сб. трудов XXV Междунар. науч. конф.: Т. 1. Секция 1,2, 2012, с. 67-70.
24. Рубцов К.A., Romerio G.F. Алгоритмизация гиперформата чисел в научных исследованиях. Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-25: сб. трудов XXV Междунар. науч. конф.: Т. 10. Секция 12, 2012, с. 118-122.
THE SOLUTION OF THE FUNCTIONAL EQUATION f (f (x)) = exp(x) BY MEANS OF A HOMOMORPHISM
K.A. Rubtsov, G.F. Romerio
The National Research University "Belgorod State University" / "BelSU", Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: rubtsov@bsu.edu.ru
Abstract. The solution strategy of the f (f (x)) = ex functional equation is described using a homomorphism with the super-logarithm as mapping function. The strategy shows the analytical relationship between continuous iterated exponentiations and tetration. An extension of the same strategy is proposed for the solution of a generalized f (f (x)) = u(a,x) functional equation. A practical application is mentioned for the definition of a super-format for the notation of very large numbers.
Key words: homomorphisms, computabilitv and recursion theory, arithmetic functions, computational number theory.
