Решение дискретных двумерных уравнений типа свёртки на больших прямоугольниках Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9, 519.612

DOI 10.18522/0321-3005-2015-4-84-90

РЕШЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИИ ТИПА СВЕРТКИ НА БОЛЬШИХ ПРЯМОУГОЛЬНИКАХ

© 2015 г. Д.И. Ханин

Ханин Дмитрий Игоревич - аспирант, кафедра алгебры и дискретной математики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: dihan@mail.ru

Khanin Dmitry Igorevich - Post-Graduate Student, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: dihan@mail.ru

Статья посвящена решению многомерных дискретных уравнений типа свёртки на прямоугольниках и указывает пути реализации алгоритма, в котором для решения конечной системы используются некоторые вспомогательные уравнения с операторами типа свёртки, допускающие эффективное решение: уравнения с циклическими матрицами и уравнения свертки в полупространстве. Для решения последних предлагается решать одномерные уравнения Винера - Хопфа.

Ключевые слова: многомерные дискретные свертки, уравнения на прямоугольнике, теплицевы матрицы, численное решение.

This paper is devoted to the solution to the multi-dimensional discrete convolution-type equations on the rectangles and points out the paths for realization of algorithm, in which some auxiliary equations with convolution-type operators, allowing an effective solution (equations with cyclic matrices and a convolution equation in the half-spaces) are used in the solitution to the finite system. To solve the ones it is proposed to solve one-dimensional Wiener-Hopf equations.

Keywords: multidimensional discrete convolution, the equation on the rectangle, the Toeplitz matrices, numerical solution.

Решению одномерных и многомерных уравнений Винера — Хопфа, а также конечных систем линейных уравнений с теплицевыми матрицами посвящено большое количество работ (см., например, [1—8] и указанную там литературу), хотя остаётся открытым вопрос об оптимальном алгоритме решения подобных задач в случае систем большого размера.

Данная статья посвящена решению многомерных уравнений типа свёртки на многогранниках и основывается в первую очередь на работе [9], где излагаются основные теоретические положения, позволяющие приближенно решать дискретные уравнения типа свёртки на многогранниках, используя решения некоторых бесконечных систем с операторами типа свёртки. Во многих случаях приближённое решение бесконечных систем оказывается проще непосредственного решения исходной конечной, но достаточно большой системы. Однако в упомянутой работе не раскрываются детали алгоритма, необходимые для его численной реализации. Данная статья является продолжением работы [9], конкретизирующая и дополняющая её для непосредственного использования в расчётах. В большинстве ранее опубликованных исследований на оператор свёртки накладываются специфические требования, например положительная определенность, либо другие условия, сужающие класс рассматриваемых операторов (см., например, [4, 5, 7]), либо же для численной факторизации символа оператора решаются достаточно большие линейные системы уравнений с

теплицевыми матрицами (см., например, [3]), в то время как в данной работе, наоборот, производится численная факторизация символа с целью последующего приближённого решения определённых конечных систем уравнений.

Кроме того, теоретические исследования в данной работе подкреплены численными экспериментами, проведенными с помощью математического пакета MATLAB.

Вспомогательные утверждения и обозначения

Рассмотрим произвольное множество мс22, где 2 - множество целых чисел. Для введённого множества обозначим через Ри проектор, действующий в пространстве 1р (22), определённый по

I 1 е и, [0, \<£и.

Здесь и далее в тексте работы р фиксировано и удовлетворяет неравенству 1 < р < гл.

Под !'_ будем понимать проектор, действую-

[у,,/>о, [о, /<0.

Определение. Оператор, действующий в пространстве 1А22) (1</><со) по формуле

формуле (Pu у) =

щийв l„(Z) по правилу СР+»|/), =

(Ах),. = ¡Xj, где i = (г\,г2) е Z2, ae/^Z2), называется оператором канонической свёртки (или просто оператором свёртки).

Если a =0 при | i |> r (| i | - норма вектора i) для некоторого r, то оператор свёртки A называется финитным.

Произвольному линейному ограниченному оператору A , действующему в lp (Z2), можно поставить в

соответствие функцию

(pA(t)= sup \\PuAPvl

p(u.v)>t

где и, v cz Z2 и p(u,v) - расстояние между множествами u и v. Это функция обладает рядом свойств, описанных в работе [10] и позволяющих использовать её для эффективных оценок возникающих погрешностей при нахождении приближённого решения уравнений, рассматриваемых в статье [9] и в данной работе.

Далее будет использоваться конечное дискретное преобразование Фурье Fn, действующее в конечномерном пространстве Cn, по правилу

(Fny)к=^аУ]е " ■ Известно, что обратное

7=1

преобразование Фурье действует по формуле

7=1

к = 1,2,...,n .

Аналогично двумерное конечное дискретное

преобразование Фурье определяется следующим образом:

^ „2 -1)01-1) 2т(*2-1)р2-1)

х«2 У ^ ■ ^ ■ У]. / ^ ^

I Я, «2

Тогда z = — ZEzj,

2ш(*1-1)(Л-1) 2«(*2-1)(А-1)

п, П-,

е 1 е 2

Если ae/^Z2), а (F™n)(t,T) = a(t,T)= £ £ aAjithTh.

то

Кроме того, пусть F(1): 1г(2) —> IV(Г) и F(2): /1(22) ^(Г2) - одномерное и двумерное преобразования Фурье соответственно

( Г = ¡и' С \\ и' |= 11 - единичная окружность;

(С(Г). 1Г(Г2) - алгебры Винера). Если ае/, (7).

4-Х

а = {"Л,у2! то (^О)а)(0 = а(0 = X «/ •

Общая структура описываемого алгоритма

Целью данной работы является описание алгоритма приближённого решения уравнения РмАРмх = Ь, где А:1р(г2)^1р(г2) - оператор свёртки с ядром ае/1(22); М = [0,п1 -1]х[0,«2-1] -дискретный параллелепипед. Также предполагается, что существуют такие неотрицательные целые числа да}1-1 < щ , да(1) < щ, да(2) < п2 и т(2) < п2, что а, , =0, если выполнено хотя бы одно из сле-

Л> 1)2 '

дующих условий: <-т[1>, > ]2 <-т(2>,

)2 > т22).

Опишем алгоритм нахождения приближённого решения х - массива с индексами из М .

зададим натуральные числа /,, < — и Ь2< —.

Разобьём множество М на подмножества

и = \1л,п1-1л -1 ]х[£2,и2 -¿2 -1],

= [«1 - Ц.> П\ П2-12-1],

у3 = пх — 1] х \п2 -Ь2, п2 -1], у4 =[0,11-1]х[12,и2-12-1], Н-! =[0,11-1]х[0,12-1],

=[и1-Х1,и1-1]х[0,Х2-1], м/3 =[и1-Х1,и1-1]х[и2-Х2,и2-1], н>4 =[0,1! -1]х[и2 -Ь2,п2 -1]. Введём полупространства П, = Z х [0, + да), П2 = (-да, и1-1]х2, П 3 = Z х (-со, п2 -1], П4 = [0, + оо) х Z и углы Кх = [0, + оо) х [0, + со) , К2 = (-оо, ^ — 1]х [0, + оо), Къ = (-оо, щ -1]х(-оо, и2-1], = [0, + оо) х и2 -1].

В работе [11] доказано, что операторы РМАРМ обратимы на достаточно больших прямоугольниках (л, >п\,п2 >«о ) и нормы обратных операторов (РМАРМ)~1 равномерно ограничены тогда и только

тогда, когда обратимы операторы Рк АРК

г г

(г =1,2,3,4). Будем предполагать эти условия выполненными. Как будет продемонстрировано ниже, данный алгоритм эффективно работает при больших п1 и п2 .

Приближённое решение на множестве u

Сопоставим оператору A и двумерному параллелепипеду M циклическую матрицу

См ~ (Ci(-)j)i,jEM'

где i (-) j - вычитание по модулю n = (щ, n2) для мультииндексов i = , /2), j = (j, j), и

ct = Yj aj г таких, что О <ik <пк -1. к = 1,2.

j=i (mod п),

\3к\<пк

Пусть К = supMIIС^ II. Известно, что Г<=о. Введём также константу S = sup^ || (РмАРму11|< -юо.

В работе [9] сформулирована и доказана следующая

Теорема 1. Пусть операторы PK APK обрати-

i i

мы во всех углах К, соответствующих углам параллелепипеда M . Приближённое решение x системы PMAPM x = b на множестве u можно искать в

виде Р\ = РС[,,Ь.

При этом справедлива оценка || Рих0 - l'u х ||<

А-11| •£>,!)■*• IIb || +

iii>/

+2<PÄ-i ОУ II а II -К- У b II +tpA_l (2/)- II a|| -S-1| b ||, где x0- точное решение, / = min Рц.1.2 [9, теорема 5, с. 63].

Введём дополнительные двумерные массивы С и х размером я, х я2 (с индексами из М ) каждый. Инициализируем массив С по формулам

^ hk ~ üл.п + ah~"i k + ah J2-rh + ак-"1к-"г ' Cjv0 = °jv0 +а7Г»1,0 ^ C0J2 = a0,j2-n2 +a0,j2 '■>

Co,o = «0,0; для 0< jl <n1 , 0<12<n2 .

Будем решать уравнение Cx = b .

Далее пусть ~ j = x^, j , где упорядоченная

пара индексов (у,. j2)<=u.

Решение линейных уравнений с циклической матрицей широко известно. Коротко изложим алгоритм для рассматриваемого случая.

Введём двумерные массивы и X разме-

ром щ х п2 каждый и с помощью двумерного конечного преобразования Фурье заполним их соответствующим образом так, чтобы были выполнены равенства

c'^j-'c, BF=(F^„2r'b

F _ Bh, 12

j1,j2 CF ■ j1, j2

Проведём преобразование Фурье матрицы XF, домножим элементы на коэффициент

и за-

nn

1n2

пишем результат в массив x : x =

1

■F . XF.

- n1,n2

Замечание. Для ускорения работы алгоритма можно использовать быстрое преобразование Фурье. Для этого необходимо ввести натуральные числа йх = 2^°Ё2 "

=2[Tog 2п2

двумерный массив lb, где

и дополнительный

b .■ .■ = b,■ .■ для

j1,j2 j1,j2

= 0 - иначе.

0-7i <пх-\ и 0 <у2 <п2 -1 и Л

Путём элементарного обобщения доказательства теоремы из статьи [9, теорема 5] получим, что для дискретного параллелепипеда М = [0, dx -1] х [0, d2 -1] выполнено

II ^А-рис~$ II -II Л-' II -C£u\ai D-^'IIb || + +2<Pa-i II a || -K-1| b || +(pA_l (2/)-1| a|| -S-1| b || .

Пусть C = C^. . Тогда для отыскания приближённого решения на множестве u следует решить уравнение Cx = b и положить ~ , ^ = x, у2, где

Ü\, 72) е и ■

Приближённое решение на множествах vi

В работе [9] сформулирована и доказана следующая

Теорема 2. Приближённое решение X уравнения PMAPMx = b на множествах vi (i = 1,2,3,4)

можно искать в виде 1\ х = 1\ {Ри АРи ) 11).

При этом справедлива оценка \\Pvx0-Pvx\\<<PiP Ар ^(О'Н AW-S- IIb II где х0 -

ГЬ ГГ

точное решение; I = min /З,./,, [9, теорема 2, с. 59].

Далее изложим алгоритм для нахождения приближённого решения на множествах vi , основанный на численном решении одномерных уравнений Винера - Хопфа. Все рассуждения будут проведены для множества v , однако путём несложных преобразований могут быть перенесены на любое vi. Один из возможных способов решения одномерного уравнения Винера - Хопфа будет приведён ниже.

Опишем возможную процедуру приближённого нахождения первых L координат решения уравнения /I , | х = /^1). Пусть хе1тРп^~ точное решение системы Р„ АР„ х = Р„ b .

4 4 4

Теорема 3. Пусть г0еГ- фиксированное число. Тогда одномерные операторы Винера -Хопфас ядром ат (?) = (/• <1)) '«(/.г,,) обратимы.

Доказательство. Действительно, из обратимости операторов Pк APK на ^ (Ki) для всех

г г ^

г (1 < /' < 4) следует, что а((. г) Ф 0 для всех / е Г и г е Г. а также отсюда же следует равенство нулю двумерного вектора индекса к(а) = О",. л-2) = (0.0). Первое из этих условий влечёт за собой тот факт, что аТ (/) ф 0 при /е Г. а второе - что индекс

(/) равен л-, = 0. Одновременное выполнение

этих двух условий равносильно обратимости рассматриваемого одномерного оператора Винера -Хопфа. Теорема доказана.

Рассмотрим оператор Р2 = / 0 /•. ставящий в соответствие вектору а е / (У.1) последователь-

ность функций ak(r)=

j^Z

k&Z. На обе час-

2 7Г

Значение последнего интеграла можно находить численно, используя, например, значения компо-

2ти-Х)(т-Х)

нент решения при т - е приближённой формуле

1 n 1 ^

2m(J-\)(m-\) 2m(J-\)(m-\) nn

c )• e c

j = 1,2,.

, что можно делать

П ]=1

с помощью быстрого преобразования Фурье, выбирая число пс как достаточно большую степень двойки.

ти уравнения Рп^АРпх = Ь подействуем оператором Р2. Получим х = Р2Ь, или, что то же самое, Р2РиАРиР ]/\х = (Р2Ъ)(т). Для простоты обозначим Ь = Ь(т) = (Р^з)(т), х = х(т) = (Р2х)(т), Р+АР+=Р+А(т)Р+=(Р2РпАРпР2ь)(т) - оператор, который при каждом фиксированном т = г0 становится оператором Винера — Хопфа с символом ат = а(?,т0). Таким образом, приходим к уравнению Р+А(т')Р+х = Ь(т). Отсюда для каждого фиксированного г получаем х(т) = (Р+А(т)Р+у1 Ь(т). Далее х = /<2 'х. Иными словами,

Приближённое решение линейных уравнений с одномерным оператором Винера - Хопфа

Пусть ait) e iiïl ') - символ обратимого одномерного оператора Винера - Хопфа T(a)\lp(Z+)-> lp(Z+ ).

Из общей теории известно, что ail) = а1 (1)а (/), где

a+(t) = Yjaktk ' a-(t) = ^а-кг~к ■> при этом a+(t),

к=0 к=0

a~(t) - символы обратимых операторов Винера — Хопфа Т(а+) и Т(а ). Также известно, что

Т(а) = Т(а )Т(а ), откуда (Т(а)у1 = (Т(а ))"' (Т(а ))"',

причём (Т(сР)У1 и (Т(.а)У1 В Слу"

чае когда ait ) - конечный многочлен Фурье, а1 (/) и a~(t) - также конечные многочлены Фурье, причём все корни уравнения сГ (!) = 0 лежат во внутренней области контура Г , а все корни уравнение a+(t) = 0 — во внешней. Однако отыскание коэффициентов а~ (/) и а (I ) вызывает некоторую трудность.

Для соответствующей факторизации выпишем сопровождающую матрицу символа a(t) и воспользуемся теоремой Рисса.

В данном случае мы имеем одномерный обратимый оператор Винера — Хопфа с символом a(t). При этом для некоторых целых неотрицательных

™2 ,

чисел m1 и т2 выполняется a(t) = ^akt , причём

к=-т|

а^Ф 0 и а ф 0 . Для нормированного многочле-

на

a(t)tm

выпишем сопровождающую матрицу Y

размером (т1 + т2) х (т1 + т2)

(

Y =

ООО

1 о о

О 1 о

О 0 1

ООО

о -

о -

о -

1(-т1+1)

1{-т1+ 2)

2(-т1+ 3)

1 -

a

m

2

a

-m

0

a

m

2

a

m

2

n

c

nc , по

a

m

2

a

m

2

a

m

Сформулируем вспомогательное утверждение. Лемма 1. Пусть матрица СеМпхл(С) имеет

Го о о ... о -8о л

вид

G =

1 О О О 1 о О 0 1

ООО

О -g! О -g2 О -g3

1 -g.

п—1

а,у (Я) = -

1

k=i_

■)i-j+1 п-1 ,

я Tg^+r

к=О гч к

при

Qij = ■

1

к=О

при i < j является обрат-

ределим матрицу

Тогда матрица Q(A) е Михи (С) с элементами

спектральной факторизации функции a(t) вычислим характеристический многочлен матрицы PY . Если бы коэффициенты матрицы PY были бы определены точно, то этот многочлен имел бы вид

M™2

= а_(Л)-Л 2. Численно же мы

придём к многочлену вида Î^"4 + к,

отбросив последние m2 членов которого, получим приближённое значение коэффициентов многочлена а_(J). При увеличении точности подсчёта интеграла отбрасываемые коэффициенты стремятся к нулю. Разделив многочлен a(t) на найденное приближённое значение многочлена а_ (/), получим приближённое значение коэффициентов многочлена а (/) (остаток также отбрасываем).

С помощью найденных приближённых коэффициентов и (/), а_(J) приближённо посчитаем

] I 1 п-1

к=О

ной к матрице (С - ЛЕ) при Лф 0, где Е - единичная матрица размера п х п .

Доказательство. Требуемый результат легко получить путём нахождения матрицы, обратной к матрице (С - ЛЕ), методом Гаусса.

С помощью сформулированной леммы и формул численного интегрирования приближённо оп-

z = T

— |b , а затем х = Т а

— |z, первые L коор-

динат которого послужат искомым приближением. Решение на множествах w

Пусть W = и;

i=1 i '

F = MUV1UV2UV3UV4 И

1

Р =- \{ЛЕ-\уЫЛ, где Е-

2m i

единичная матрица размером Qn1 + m2) х Qn1 + m2). Из теоремы Рисса [12, с. 445], вытекает, что Р -матрица проектора на максимальное инвариантное подпространство матрицы Y , соответствующее тем её собственным числам, которые лежат внутри единичного круга. При этом PY = YP . С другой стороны, по свойствам сопровождающей матрицы собственными числами Y являются корни много, . m,

члена a(t)t 1 , причём геометрическая кратность каждого собственного числа равна кратности соответствующего корня многочлена a(t)tm . Предполагая, что индекс функции a(t) равен 0, приходим к выводу, что проектор Р действует на m -мерное собственное подпространство матрицы Y . Спектр оператора PYP = PY , рассматриваемого как оператор на образе проектора Р, состоит из корней функции а_(!), а спектр оператора PYP, рассматриваемого как оператор на всём множестве векторов длины (тх +т2), включает в себя корни многочлена Фурье a_{t) и число 0 алгебраической кратности m. Таким образом, для приближённой

пусть на множестве V приближённое решение уравнения PMAPMx = b уже найдено.

В работе [9] была сформулирована и доказана Теорема 4. Пусть Pwx- точное решение системы уравнений PwAPwx = Pwb-PwAPvx, а х0 - точное решение системы уравнений PMAPMx = b . Тогда ||^х0-^х||<С-|М||-||^(х0-х)||.

Введём двумерный теплицев оператор А , действующий в пространстве /;Д|0. -11 /10./,2 -11) (и

соответствующую ему матрицу) с ядром а, таким 4X0 \ ,h = ah ' при I,/, |<Л-1. I j2 \< L2 -1.

Необходимо найти недостающую часть решения на множествах wi (i = 1,2,3,4).

При ml<Ll и т2< /,2 уравнение PwAPwx = Pwb-PwAPvx распадается на 4 уравнения

ÄPw х = Pwh-Pw APvx, где /'=1,2,3,4. Каждое из

i i i

последних уравнений решим численно одним из методов решения системы линейных уравнений (например, методом Гаусса).

Численные эксперименты

Для иллюстрации эффективности описанного алгоритма данный метод реализован с помощью программного пакета MATLAB. Осуществлён ряд

п—1

и

а

численных экспериментов для матриц с разным числом диагоналей и с разными символами. Для относительно небольших размерностей полученное приближённое решение сравнивалось со стандартным решением заданного уравнения как системы линейных уравнений (функция пакета МЛТЬЛБ). При этом наряду с относительной погрешностью фиксировалось время вычислений. Для больших размерностей решение исходного уравнения с помощью стандартных методов не проводилось, так как это требовало бы использования значительных ресурсов времени и оперативной памяти, поэтому для найденного приближённого уравнения вычислялась невязка, делённая на норму вектора правой части.

Ниже приведена табл. 1 для операторов с символом вида а(?15?2) = а1(?1)а2(?2) с корнями, указанными в таблице (для операторов такого вида легко проверять условие обратимости). Значения Ц и Ц имеют тот же смысл, какой они имели на протяжении всей статьи, погрешность понимается в смысле относительной погрешности; время 1 - это время, затраченное на исполнение описываемого алгоритма; время 2 - на реализацию стандартного алгоритма решения СЛАУ.

Таблица 2 иллюстрирует эффективность алгоритма для двумерных теплицевых матриц с диагональным преобладанием. Так называемый коэффициент доминирования показывает, во сколько раз модуль диагонального элемента превосходит сумму модулей всех остальных элементов ядра.

Таблица 1

Операторы с символом вида a(tx, ?2) = ц )a2 (t2)

«1 «2 Li ¿2 Время1 Невязка Время2 Погрешность

Старший коэфс эициент равен 3,273767 + 2,045127/ ; ц (^) , a2 (t2) имеют по 6 случайных корней

45 60 8 10 5,043242 3,62257 к-02 2,063022 3,08312&-02

90 100 15 17 5,629513 5,96401 £>-03 30,586821 6,93337& — 03

50 300 9 50 9,682352 2,60429& — 02

100 200 17 34 6,932107 3,97000& — 03

300 250 50 42 13,593646 4,097647е — 06

300 320 50 54 18,582094 4,167530е-06

370 450 62 75 29,721631 3,55874 k-07

490 500 82 84 51,675819 6,41121 fe —09

Старший коэфс )ициент равен 4,962705—1,640351' ; , a2(t2) имеют по 16 случайных корней

45 60 8 10 27,106256 3,583960-+ 00 2,072358 1,19696^-01

90 100 15 17 27,584938 6,794564е —01 30,726489 3,21636Cfe — 02

50 300 9 50 31,672393 8,976235г —01

100 200 17 34 28,804012 2,86660^-01

300 250 50 42 35,495961 8,122787е —03

300 320 50 54 40,556332 2,062627е — 03

370 450 62 75 51,912124 2,78535^-04

490 500 82 84 74,367843 2,26283^-05

Таблица 2

Иллюстрация эффективности алгоритма. Коэффициент доминирования 1,030000 + 00. Размер носителя 13x11

«1 «2 ¿1 ¿2 Время1 Невязка Время2 Погрешность

45 60 8 10 13,551939 9,478900--04 2,085164 1,722827е — 03

90 100 15 17 14,191773 4,54829&-05 31,122900 7,58748^-05

50 300 9 50 17,823183 4,659534? -04

100 200 17 34 15,359406 3,01552^-05

300 250 50 42 21,601895 4,35369^-10

300 320 50 54 26,220531 8,728183b-11

370 450 62 75 37,031220 5,83188Cfe — 13

490 500 82 84 58,624726 1,21622^-14

Литература

1. Тыртышников Е.Е. Тёплицевы матрицы, некоторые их аналоги и приложения. М., 1989. 184 с.

2. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е. Вычислительные процессы с тёплицевыми матрицами. М., 1987. 320 с.

3. Bini D.A., Fiorentino G., Gemignani L., Meini B. Effective fast algorithms for polynomial spectral factorization // Nu-mer. Algorithms. 2003. Vol. 34. P. 217-227.

4. Boettcher A., Halwass M. Wiener-Hopf and spectral factorization of real polynomials by Newton's method // Linear Algebra Appl. 2013. Vol. 438. P. 4760-4805.

5. Goodman T.N.T., Micchelli C.A., Rodriguez G., Seatzu S. Spectral factorization of Laurent polynomials // Adv. Comput. Math. 1997. Vol. 7. P. 429-454.

6. SayedA.H., Kailath T. A survey of spectral factorization methods // Numer. Linear Algebra Appl. 2001. № 8. P. 467496.

7. Bottcher A., Halwass M. A Newton method for canonical Wiener-Hopf and spectral factorization of matrix polynomials // Electron. J. Linear Algebra. 2013. Vol. 26. P. 873 -897.

8. Bottcher A., Silbermann B. Introduction to Large Truncated Toeplitz Matrices. N.Y., 1999. 259 p.

9. Козак А.В., Ханин Д.И. Приближенное решение больших систем уравнений с многомерными теплицевыми матрицами // Сиб. журн. вычисл. математики. 2015. № 1. С. 55-64.

10. Козак А.В., Симоненко И.Б. Проекционные методы решения многомерных дискретных уравнений в свёртках // Сиб. мат. журн. 1980. Т. XXI, № 2. С. 119-127.

11. Козак А.В. Локальный принцип в теории проекционных методов // Докл. АН СССР. 1973. Т. 212, № 6. С. 1287-1289.

12. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М., 1979. 592 с.

Поступила в редакцию

References

1. Tyrtyshnikov E.E. Teplitsevy matritsy, nekotorye ikh analogi i prilozheniya [Toeplitz matrix, some of their analogs and applications]. Moscow, 1989, 184 p.

2. Voevodin V.V., Tyrtyshnikov E.E. Vychislitel'nye prot-sessy s teplitsevymi matritsami [Computational processes with Toeplitz matrices]. Moscow, 1987, 320 p.

3. Bini D.A., Fiorentino G., Gemignani L., Meini B. Effective fast algorithms for polynomial spectral factorization. Nu-mer. Algorithms, 2003, vol. 34, pp. 217-227.

4. Boettcher A., Halwass M. Wiener-Hopf and spectral factorization of real polynomials by Newton's method. Linear Algebra Appl., 2013, vol. 438, pp. 4760-4805.

5. Goodman T.N.T., Micchelli C.A., Rodriguez G., Seatzu S. Spectral factorization of Laurent polynomials. Adv. Comput. Math., 1997, vol. 7, pp. 429-454.

6. Sayed A.H., Kailath T. A survey of spectral factorization methods. Numer. Linear Algebra Appl., 2001, no 8, pp. 467-496.

7. Bottcher A., Halwass M. A Newton method for canonical Wiener-Hopf and spectral factorization of matrix polynomials. Electron. J. Linear Algebra, 2013, vol. 26, pp. 873-897.

8. Bottcher A., Silbermann B. Introduction to Large Truncated Toeplitz Matrices. New York, 1999, 259 p.

9. Kozak A.V., Khanin D.I. Priblizhennoe reshenie bol'shikh sistem uravnenii s mnogomernymi teplitsevymi matritsami [An approximate solution of large systems of equations with multidimensional Toeplitz matrices]. Sib. zhurn. vychisl. matematiki, 2015, no 1, pp. 55-64.

10. Kozak A.V., Simonenko I.B. Proektsionnye metody re-sheniya mnogomernykh diskretnykh uravnenii v svertkakh [Projection methods for solving multidimensional discrete convolution equations]. Sib. mat. zhurn., 1980, vol. XXI, no 2, pp. 119-127.

11. Kozak A.V. Lokal'nyi printsip v teorii proektsionnykh metodov [Local principle in the theory of projection methods]. Dokl. ANSSSR, 1973, vol. 212, no 6, pp. 1287-1289.

12. Riss F., Sekefal'vi-Nad' B. Lektsii po funktsional'nomu analizu [Lectures on functional analysis]. Moscow, 1979, 592 p.

14 сентября 2015 г.