Решение алгебраических уравнений непрерывными дробями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.524 + 519.615.4

В.Е. Долгой, В.И. Шмойлов

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫМИ

ДРОБЯМИ

Приводятся аналитические выражения, представляющие все корни произвольного алгебраического уравнения n-й степени через коэффициенты исходного уравнения. Эти формулы состоят из двух отношений бесконечных определителей Теплица, диагональными элементами которых являются коэффициенты алгебраического уравнения. При вычислении отношений определителей Теплица используется модифицированный алгоритм Ру-тисхаузера. Для нахождения комплексных корней применяется метод суммирования расходящихся непрерывных дробей.

Алгебраические уравнения; нули полиномов; определители Теплица; расходящиеся непрерывные дроби; г/<р-алгоритм.

V.E. Dolgoy, V.I. Shmoilov SOLVING ALGEBRAIC EQUATIONS USING CONTINUOUS FRACTIONS

There are given analytic expressions introducing all roots of arbitrary algebraic n-th equation using coefficients of initial equation. These formulas consist of two proportions of Toeplitz infinite determinants with algebraic equation coefficients as diagonal elements. Modified Rut-ishauser’s algorithm is using for calculation Toeplitz determinants ratio. For complex roots determination is used method of divergent continued fractions summability.

Algebraic equation; zero of polynomial; Toeplitz’s determinants; divergent continuous fractions; r/ - algorithm.

Введение

Известный американский специалист Р. Хемминг в монографии “Численные методы” [1] отмечал: “Задача нахождения корней многочленов возникает достаточно часто для того, чтобы оправдать тщательное изучение и разработку специальных методов ее решения. Различным известным методам нахождения действительных линейных и квадратичных множителей можно посвятить целую книгу. Тот факт, что существует так много методов, показывает, что не существует ни одного вполне ". , -

каций, которые используются для нахождения нулей полиномов [2].

Предлагаемый метод решения алгебраических уравнений использует формулы Эйткена и модифицированный QD-адгоритм Рутизхаузера, который позволяет эффективно вычислять значения отношений определителей Теплица высоких по.

расходящихся непрерывных дробей.

1. Постановка задачи

n :

f (x) = xn + ахxn 1 +... + an_jx + an. (1.1)

Запишем следующую производящую функцию:

1

1 2 п

1 + а1х + а2х +... + апх

= 1 + с1х + с2х +... + стхт +....

(1.2)

Коэффициенты а. в (1.1) и (1.2) совпадают. Коэффициенты Ст поеледова-тельности (1.2) могут быть найдены из линейного рекуррентного уравнения

ст = —(аст 1 + а2ст 2 +... + аст п), с0 = 1, с, = —а .

т V 1 т—1 2 т—2 п т—п/’ 0 ’1 1

Для определения корней алгебраического уравнения

хп +а хп—1 +... + ап_ 1 х + ап = 0 (1.3)

Эйткен предложил формулы [3]:

х, = Нш

(1.4)

Нш

с 3 1 ст+2

ст+2 ^т+3 : с т+1 = х1 х 2

с т ст+1 с т х1

+ т с ст+2 )

= хп

(1.5)

11Ш

ст+1 ст+2 ст+3

ст+2 ст+3 ст+4 с т +1 ст+2

ст+3 ст+4 ст+5 ст+2 ст+3 х1х2х3

ст с т +1 ст+2 ст с т +1 х1х2

ст+1 ст+2 ст+3 с т +1 ст+2

ст+2 ст+3 ст+4 )

х,

(1.6)

хп = 11ш

^ Н (т+1) гг (т+1) ^

Нп Нп—1

Н

(т)

п

н(т)

11п—\ У

где

н

( т)

п

с с

т+п—1 т+п

с

т+п—1 с

т+п

н (т) = 1 11 о 1,

ТО есть

с

т

с

т

ІІШ

Ст+2 С т+3

С с

т+п т+п+1

СС

у т+п-1 т+п

т + п +1

т +1

т+2

Ст+2 Ст+3

С с с

т+2п-1 т+п-1 т+п

С

т + п -1 С

т+п

Ст+2п-2 Ст+п-2

т + п -1

С

т + п -1 С

т+п

С

т+2п-4 у

.(1.7)

Здесь х^ > х2 > х3 > ... > |хп| .

Очевидно, что используя формулы Эйткена можно непосредственно находить только действительные корни алгебраического уравнения (1.3). Способ нахождения старшего по модулю действительного корня алгебраического уравнения (1.3), описываемый формулой (1.4), как известно, принадлежит Д. Бернулли. Применим описанный в [4] г/$>-алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей к определению комплексных корней алгебраического уравнения (1.3).

2. Представление нулей полинома

Запишем формулы Эйткена (1.4-1.7) в развернутом виде. В результате несложных преобразований получим конструкции из отношений определителей мат, -ного уравнения (1.3).

Формулу (1.4) можно представить отношением определителей:

X — —

—^1 —^2 —&3 — —1 —а1 2 а2 — —а3

—1 —а — 2 — аъ 0 —1 —а1 — 2

0 —1 —а 2 а2 — 0 0 —1 —а1

0 0 —1 —а1 0 0 0 —1

—а — 2 — аъ —1 —а1 — 2

—1 —а 2 а2 — 0 —1 —а1

0 —1 —а1 0 0 —1

(2.1)

(1.3) :

С

С

т+2п—3

X

п

С

С

С

С

С

т+п—2

т

т

С

С

С

С

С

т+п—1

Хт =

1 1 3 — а4 — а5 ... — а 2 а2 1 £ 1 — а4 ...

— а й 1 — аз — а4 ... -1 — щ - а2 - а3 ...

1 — а — а2 - а3 ... 0 -1 — щ 2 а2 1

0 —1 — а - а2 ... 0 0 -1 - а1 ...

— а2 — аз -а4 ... — щ 2 а2 1 -а3 ...

— а 2 а2 1 - а3 ... -1 — а 2 а2 1

-1 — а - а2 ... 0 -1 - а1 ...

(2.2)

— 0"з — а4 — а5 1 6 — а7 ...

— а2 — 0*3 —а4 -а5 —аб ... - а2 - а3 -а4 - а5

— щ — -2 - а3 -а4 - а5 ... -а1 - а2 -а3 -а4

—1 а - а2 - а2 -а4 ... -1 - а1 - а2 - а3

0 -1 -а1 - а2 -а3 ... 0 -1 - а1 -а2

— Оз -а4 - а5 1 6 - а2 - а3 -а4

— -2 - а3 -а4 - а5 ... - а1 -а2 - а3

— а - а2 - а3 -а4 ... -1 - а1 - а2

-1 - а1 - а2 - а3 ...

(2.3)

Хз =-

— а — а-+1 — а,'+ 2 — а,+3 ■■■ — а,■—1 — а,. — а1+1 — а1+2

— а-—1 — а,. — а-+1 — а-+2 ... — а,— 2 — а-—1 — а,. — а,'+1

— а,—2 — а,—1 — а,. — а-+1 - — а,—3 — а,— 2 — а-—1 — а

— а-—3 — а,—2 — а-—1 — а - — а,—4 — а-—3 — а,— 2 — а,—1

— а,. — а-+1 — а,.+ 2 ... — а- —1 — а — а-+1

— а-—1 — а,. — а-+1 ... — а,—2 — а-—1 — а

— а,— 2 — а-—1 — а ... — а-—3 — а,—2 — а-—1

.(2.4)

Отношения определителей (2.1-2.4), выражающие корни алгебраического уравнения (1.3) через его коэффициенты, будем называть функциями Х(п). Для

функций Х(п) введём обозначение

Хг" ) = X- (а1,а2,-а„ ).

х . — —

Известно, что попытки найти решения алгебраических уравнений степеней выше четвёртой в радикалах стимулировалось тем обстоятельством, что

2, 3 4 .

аналогии при решении уравнений в радикалах не сработал. И здесь уместно

,

функции Х(п) записываются аналогично их записи для алгебраических урав-

2, 3 4.

Если все корни уравнения и-й степени действительны, то значения этих корней со все большей точностью можно установить непосредственно, вычисляя последовательно значения определителей, входящих в формулы (2.1-2.4).

Функции Хг(и), определяемые выражениями (2.1-2.4), будем называть непрерывными дробями класса Х(п). Определение математических конструкций

(2.1-2.4), как непрерывных дробей особой структуры, позволяет естественно ввести такое фундаментальное понятие, как подходящая дробь, что значительно упрощает описание способа решения алгебраических уравнений с использованием функций Х(п) и г/ф-алгоритма.

Для комплексных корней уравнения (1.3), определяемых также формулами (2.1-2.4), непосредственное вычисление их значений невозможно. В самом деле, при действительных значениях коэффициентов аi алгебраического уравнения (1.3) значения определителей, входящих в формулы (2.1-2.4), не могут быть комплексными. Далее будут рассмотрены примеры решения алгеб-, . -обходимо дополнительно использовать г/$>-алгоритм.

Модуль и аргумент искомого комплексного числа для непрерывных дробей классаХ-^ определяются формулами:

кр - число отрицательных подходящих дробей из р подходящих дробей.

(2.11)

р^“ р

(2.12)

где Хр^ — р-я подходящая дробь выражений (2.1-2.4),

-

щим образом:

(\ — От - а

’-(н) ____ I 2 I . I И

— а — а>

—ах — а 2

— 1 — ах

'т(н) _ Х 23

1 1 22 1 —а2

—а2 ■"Г $ — ■"Г $ — —ах —а2 —а3

—а1 —а2 —а3 —1 —а1 —а2

—1 —а1 —а2 0 —1 —а1

—а2 3 а3 — —а1 —а2

—а1 —а2 —1 —а1

—а

3. Решение алгебраических уравнений с использованием г/р -алгоритма

Для определения подходящих непрерывных дробей, записываемых отношениями определителей Теплица, то есть определителей не общего, а весьма специ, -кации, известный рекуррентный алгоритм частных и разностей, или ОБ -Рутисхаузера. Так называемая упрощённая форма 0^-шгоритма описывается формулами [5]:

.... '.... (3.1)

е(т) = е (т+1) + X (т+1) — X(т)

П П—1 П П ’

е (т+1) х (т) _ х (т+1) П

П+1 П ^(т) '

(3.2)

ОБ-адгоритм, определяемый формулами (3.1) и (3.2), удобно представлять ( . 1):

Рис. 1. Граф QD-mгopumмa Рутисхаузера

—а2 —а3

21

П

Полагаем, что = 0. Элементы первой строки х1('я) составляют последовательные подходящие дроби Хессенбнрга (2.1). Значение непрерывной дроби Хес-сенбнрга (2.1) удобнее вычислять не с использованием линейных рекуррентных , -никновению “машинного нуля”, а представляя дробь Хессенбнрга (2.1) восходя.

(-■ап)

+

х,

(г-п+1)

х

■г =(-«1 )+-

(-а2 )+-

( аз ) +

^(г-3)

„(г-2)

„(г-1)

г = 1, 2, ....

(3.3)

Восходящую непрерывную дробь (3.3) запишем в эквивалентной форме:

(-«3 ) , , (-ап )

(-а1 )+(та2)) + -

(г-1)

х

(г-2) (г-1

■+ к +■

х

(г-п+1)) (г-н)

^(г-1)

(3.4)

В табл. 1 и 2 приведены результаты вычисления комплексных корней урав-

нения

4(1 + соб 1)х3 +(8 +16соб 1)х2 -16(1 + соб1)х +16 = 0

(3.5)

с использованием алгоритма Рутисхаузера и г/$ьшгоритма. Уравнение (3.5)

имеет корни: Х1 х2=2вг

■ 2, х = 2е1

х

■ 2в'

2.

1

Номер дроби, I Значение подходящих дробей Значение модуля, Г1 Погрешность модуля, г<гп тіп Значение аргумента, Погрешность аргумента, <Р(Г<Рт тіп

0 1,220924067600 1.220924067600 0,779075932405 т 0,000000000000 1,000000000000 т

1 1,166054792820 1.193174069730 0,806825930266 0,000000000000 1,000000000000

2 0,457271639589 0,866683695979 1,133316304020 0,000000000000 1,000000000000

4 2.855819728860 1.535982125620 0,464017874380 т 0,628318530718 0,371681469282 т

8 0,916218026493 1.628770046970 0,371229953025 т 0,698131700798 0,301868299202 т

16 12,196583212100 1.847890285260 0,152109714739 т 0,923997839291 0,076002160709 т

32 3,843317264310 1.929075885880 0,070924114122 т 0,951997773815 0,048002226185 т

64 2,005784174240 1.959056634960 0,040943365045 т 0,966643893412 0,033356106588 т

128 -0,129973382076 1.936094593410 0,063905406585 0,998490688350 0,001509311650 т

256 1,376378788680 1,987249193310 0,012750806689 т 0,990151770198 0,009848229802

512 -6.402078713170 1.993746888830 0,006253111170 т 0,998205852895 0,001794147105

1024 -4,414311948660 1.996709675280 0,003290324721 т 0.999179712264 0,000820287736 т

2048 -2,331786544940 1.998132145250 0,001867854748 т 0,999667354876 0,000332645124 т

4096 -0,629161511589 1.998651230730 0,001348769270 т 0,999911354718 0,000088645282 т

8192 0,816053931871 1.999472346970 0,000527653034 т 0,999649950923 0,000350049077

16384 4,540491080410 1.999846182800 0,000153817198 т 0,999902696886 0,000097303114

32768 2,052437009810 1.999916316970 0,000083683028 т 0,999933210563 0,000066789437 т

65536 -0,238679671461 1.999889577150 0,000110422851 0,999996404268 0,000003595732 т

131072 1,248565967790 1 999973613170 0,000026386826 т 0,999980065310 0,000019934690

262144 -28,213818211700 1.999988822720 0,000011177283 т 0,999995864096 0,000004135904

524288 63,797892489700 1,999994624810 0,000005375191 т 0,999997771433 0,000002228567 т

1048576 9,590801968450 1.999997471920 0,000002528083 т 0,999998725105 0,000001274895 т

2097152 3,939400713830 1.999998804140 0,000001195860 т 0,999999201941 0,000000798059 т

4

х

х

4

Нахождение нулей полинома

х4 -4(1 + ^1)х3 +(8 + 16^1)х2 -16(1 + cosl)x + 16 = 0

2

Номер дроби, 1 Значение подходящих дробей Значение модуля, Гг Погрешность модуля, го-П ггйп Значение аргумента, <Р( Погрешность аргумента, тт

0 1,332701675670 1,332701675670 0,667298324333 т 0,000000000000 -1,000000000000 гп

1 2,045239523600 1,650967637550 0,349032362448 т 0,000000000000 -1,000000000000

2 6,856156912900 2,653704879480 -0,653704879482 0,000000000000 -1,000000000000

4 1,778375284680 1,984206918770 0,015793081226 т -0,628318530718 -0,371681469282 т

8 3,772152077520 2,044953268630 -0,044953268633 -0,698131700798 -0,301868299202 т

16 0,348172043086 1,968786611040 0,031213388957 -0,923997839291 -0,076002160709 т

32 0,993534847417 1,974703683030 0,025296316974 -0,951997773815 -0,048002226185 т

64 1,937971654080 1,990412258620 0,009587741380 т -0,966643893412 -0,033356106588 т

128 -30,582211191500 2,039391626800 -0,039391626805 -0,998490688350 -0,001509311650 т

256 2,926554556880 1,999874774880 0,000125225118 т -0,990151770198 -0,009848229802

512 -0,625436948679 1,999744289590 0,000255710409 -0,998205852895 -0,001794147105

1024 -0,905803793245 2,000035054880 -0,000035054875 т -0,999179712264 -0,000820287736 т

2048 -1,715356294650 2,000237372720 -0,000237372721 -0,999667354876 -0,000332645124 т

4096 -6,358483205960 2,000532998420 -0,000532998424 -0,999911354718 -0,000088645282 т

8192 4,902545843910 2,000119406810 -0,000119406812 -0,999649950923 -0,000350049077

16384 0,881046001052 1,999949607690 0,000050392314 -0,999902696886 -0,000097303114

32768 1,948788674460 1,999981569160 0,000018430837 т -0,999933210563 -0,000066789437 т

65536 -16,758669720100 2,000059367150 -0,000059367147 -0,999996404268 -0,000003595732 т

131072 3,203718500850 2,000000857400 -0,000000857402 т -0,999980065310 -0,000019934690

262144 -0,141774945268 1,999998412280 0,000001587717 -0,999995864096 -0,000004135904

524288 0,062697880567 1,999998992680 0,000001007319 -0,999997771433 -0,000002228567 т

1048576 0,417065781062 1,999999336820 0,000000663184 т -0,999998725105 -0,000001274895 т

2097152 1,015382072280 1,999999600220 0,000000399776 т -0,999999201941 -0,000000798059 т

На рис. 2 показано распределение подходящих дробей, определяющих корни уравнения (3.5).

Рис. 2. Распределение подходящих дробей, определяющих корни уравнения (3.5)

Заключение

Для вычисления каждой вершины графа алгоритма Рутисхаузера требуется выполнение всего двух арифметических операций. Также чрезвычайно прост для программирования и г/$ьадгоритм, который используется при нахождении комплексных корней алгебраического уравнения. Все это делает предложенный в статье алгоритм нахождения всех корней алгебраического уравнения степени n весьма привлекательным для широкого его использования.

Особо хотелось бы обратить внимание на то, что формулы (2.1 - 2.4) есть аналитические выражения, представляющие корни полинома n-й степени через его коэффициенты. Используя формулы (2.1 - 2.4) можно устанавливать различные критерии, связанные с корнями полиномов общего вида. Численные методы, разу, . корней алгебраических уравнений n-й степени открывает новые возможности в исследовании математических моделей, которые тем или иным образом связаны с алгебраическими уравнениями высокого порядка.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1972. - 400 с.

2. Шмойлов В.К, Тучапский Р.И. Алгебраические уравнения. Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений. Библиографический указатель. - Львов: Меркатор, 2003. - 83 с.

3. Aitken A. On Bernoulli’s numerical solution of algebraic equations. - Proc. Roy. Soc., Edinburgh, Ser. A, 46 (1925/26), 289-305.

4. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Т.1. Периодические непрерывные дроби. - Львов: Меркатор, 2004. - 645 с.

5. Рутисхаузер Г. Алгоритм частных и разностей. - М.: ИИЛ, 1960. - 93 с.

Долгой Вячеслав Евгеньевич

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: [email protected].

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

.: 8(8634)371-606.

Кафедра высшей математики; аспирант.

Dolgoy Vladimir Iliich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: [email protected].

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: 8(8634)371-606.

The Department of Higher Mathematics; post-graduate student.

Шмойлов Владимир Ильич

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: [email protected].

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

Тел.: 8(8634)318-910.

Shmoilov Vladimir Iliich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: [email protected].

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: 8(8634)318-910.