Реперные функции для многокритериальных задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

13. Подиновский В.В., Потапов М.А. Теоретические основы и системы поддержки принятия многокритериальных решений // Материалы XXXIV Международной конференции "Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе" (20 - 30 мая 2007 г., Гурзуф, Украина). Приложение к журналу «Открытое образование». 2007. С. 87-89.

14. Подиновский В.В. Анализ задач многокритериального выбора методами теории важности критериев при помощи компьютерных систем поддержки принятия решений // Известия АН. Теория и системы управления. 2008. № 2. С. 64-68.

15. Подиновский В.В. Интервальная информация о важности критериев в анализе многокритериальных задач принятия решений // Научно-техническая информация. Серия 2. Информационные процессы и системы. 2007. № 6. С. 15-18.

16. Нелюбин А.П., Подиновский В.В. Методы оптимизации в анализе многокритериальных задач принятия решений при интервальной информации о важности критериев или ценности шкальных градаций // Научно-техническая информация. Серия 2: Информационные процессы и системы, 2011. № 8. С. 22-29.

17. Нелюбин А.П., Подиновский В.В. Билинейная оптимизация в анализе многокритериальных задач методами теории важности критериев при неточной информации о предпочтениях // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. № 5. С. 802-813.

18. Нелюбин А.П., Подиновский В.В. Алгоритмическое решающее правило, использующее ординальные коэффициенты важности критериев со шкалой первой порядковой метрики // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2012, Т. 52, № 1. С. 48-65.

19. Нелюбин А.П., Подиновский В.В. Аналитические решающие правила для упорядоченных по важности критериев со шкалой первой порядковой метрики общего вида // Автоматика и телемеханика. 2014. № 9. С. 97-107.

System for multicriterial choice and analysis with incomplete preferences

Vladislav Vladimirovich Podinovskii, professor, National research university Higher School of Economics

Mihail Andreevich Potapov, leading research scientist, Institute of Computer Aided Design of the RAS

Andrey Pavlovich Nelyubin, junior research scientist, Mechanical Engineering Research Institute of the RAS

Ivan Sergeevich Solovyev, junior research scientist, Institute of Computer Aided Design of the RAS

Alexandr Alexandrovich Pavlov, junior research scientist, Institute of Computer Aided Design of the RAS

We demonstrate implementation of conciliative solutions for multicriterial choice problems that are analyzing by methods of criteria importance theory and used under imprecise preferences in a dialog system intended for wide range of applications.

Key words: interactive choice and analysis, multicriteria decision making, imprecise preferences, dialog system.

УДК 519.816

РЕПЕРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ

ЗАДАЧ

Владислав Владимирович Подиновский, д-р техн. наук, профессор, e-mail: podinovski@mail.ru, Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики ",

http://www.hse.ru

Введено понятие реперной функции. Она оцифровывает все элементы конечного упорядоченного множества так, что для тех его элементов, которые могут играть роль реперных

уровней и, в частности, быть охарактеризованы содержательными оценками (например, словесными оценками «отлично», «хорошо» и т.д.), назначаются соответствующие числовые оценки (например, 5, 4 и т.д.).

Ключевые слова: упорядоченное множество, функция перечисления, функция полезности (ценности), лексимин, рейтинг.

1. Функции ценности, или полезности, широко используются для моделирования предпочтений, в том числе в задачах управления. Они могут вводиться либо изначально (известный пример - взвешенная сумма частных критериев в многокритериальных задачах принятия решений [1]), либо использоваться для представления полученного упорядочения объектов (управлений, стратегий, планов, вариантов решений и т.п.) по предпочтительности. Далее будет рассматриваться второй из указанных случаев.

Пусть на непустом множестве А произвольной природы задан строгий порядок Р. Он может иметь смысл предпочтения, или превосходства в полезности, и тогда аРЬ означает, что элемент а предпочтительнее, или полезнее элемента Ь. Но может иметь и смысл обратного предпочтения, или превосходства во вредности, и тогда аРЬ означает, что элемент а вреднее элемента Ь, или что элемент а менее предпочтителен, чем элемент Ь.

По определению, строгий порядок Р - это иррефлексивное и транзитивное (а потому и асимметричное) бинарное отношение: для любых а, Ь, с е А неверно аРа и из аРЬ и ЬРс следует аРс (и, если верно аРЬ, то ЬРа неверно). Кроме того, будем полагать, что строгий порядок Р является линейным: для любых неравных элементов а, Ь е А верно либо аРЬ, либо ЬРа. Таким образом, все множество А оказывается упорядоченным (по полезности или же вредности). Упорядоченное множество, полученное из А при помощи Р, будем обозначать Ах.

Определенная на А и принимающая числовые значения функция щ называется представляющей на А строгий порядок Р, если щ(а) > щ(Ь) верно тогда и только тогда, когда верно аРЬ. Если Р - отношение предпочтения (превосходства в полезности), то щ называется функций полезности (или ценности) и обозначается буквой и (или у). Для этой функции более предпочтительному (более полезному) элементу соответствует большее ее значение.

Далее будем полагать, что множество А содержит п > 3 элементов, так что среди них существует наибольший а и наименьший а* элементы: для любого а Ф а верно а*Ра и для любого а Ф а* верно аРа*. Если Р - отношение полезности, то а* - наихудший, наименее полезной элемент, а а* - наилучший, наиболее полезный. Поскольку множество А конечно, то представляющая функция щ существует. Однако она не является единственной: если р - возрастающая числовая функция, то р(щ) также является представляющей функцией.

Среди всех представляющих функций выделяют функцию перечисления Щ, которая приписывает п элементам множества А натуральные значения от 1 до п, так что Щ(а*) = 1 и Щ(а*) = п. Значения этой функции получаются в результате последовательного перечисления элементов множества от наименьшего к наибольшему. Во многих отношениях такая функция ценности является достаточно привлекательной. Однако ей присущи и недостатки. Например, при большом числе элементов п ее значения оказываются тоже большими, что не всегда удобно, так как, например, затрудняет их содержательную интерпретацию. С другой стороны, все элементы получают номера «на равных основаниях» в соответствии с их местом в упорядоченном множестве Ах, хотя среди них могут быть такие, которые, с точки зрения выраженности полезности или вредности явно выделяются (или могут быть выделены) среди всех остальных. Для устранения этих недостатков предлагается новый класс представляющих функций, которые имеют также и свои привлекательные свойства.

2. Пусть среди элементов множества А выделено г < п реперных элементов а1 = а*, а2, ..., а = а , занумерованных в порядке упорядочения согласно строгому порядку Р, т.е.

верно а2Ра1, а3Ра2, ..., СРаг~1. В конкретных задачах в роли реперных могут выступать элементы, полезность или вредность которых имеет содержательную интерпретацию, и поэтому им можно приписать некоторые характеристические значения конструируемой функции у Для упрощения записи далее будем полагать, что ц(а1) = 1, у(а2) = 2, ..., у(С) = г. Для элементов, находящихся в упорядоченном множестве между соседними реперными элементами а и а1+1 (обозначим их число через ф, значения функции ценности назначим следующим образом: элементам приписываются, в порядке возрастания их номеров, значения функции ценности, выражаемые простыми дробями ]т2л, ••,

. Эти дроби показывают, на каком «расстоянии», выражаемом числом «шагов»

длиной 1/(^ + 1), находится полезность или вредность рассматриваемого элемента от «реперной» полезности или вредности / Назначение указанных дробных значений можно считать результатом своеобразной линейной интерполяции. Разумеется, вместо простых дробей можно использовать и десятичные (с приемлемым числом значащих цифр), однако при этом наглядность, по-видимому, уменьшится.

Введённые указанным способом представляющие функции будем называть реперными и обозначать у/. Значения реперной функции у/ будем называть рейтинговыми индексами элементов. Если Р - отношение превосходства в полезности, то будем говорить о реперной функции полезности и использовать обозначение иг.

3. В многокритериальных задачах считаются заданными множество объектов X и определённый на нем векторный критерий/ = (/1,/2, ...,/т), т > 2, состоящий из частных критериев/ Под частным критерием/ понимается функция с областью задания X и числовой областью значений Объект х полностью характеризуется его векторной оценкой /(х) = (/1(х), /2(х), ..., /т(х)), так что сравнение объектов по полезности или вредности сводится к сопоставлению их векторных оценок. Множество всех векторных оценок (область значений векторного критерия/ есть Z = Z1 х Z2 х ... х Zm.

На множестве Z задано отношение нестрогого порядка Я*, которое является квазипорядком (оно рефлексивно и транзитивно). Это отношение имеет смысл нестрогого превосходства в полезности, или же ценности: запись уЯ*г означает, что векторная оценка не менее полезна (не менее предпочтительна) или же не менее ценна, чем векторная оценка 2. Отношение Я* считается полным: для любых векторных оценок у, г е Z верно уЯ*г или гЯ*у. Это отношение порождает на Z отношения строгого превосходства Р* и безразличия I* следующим образом: уР*г верно, когда верно уЯ*г и неверно гЯ*у, а у1*г верно, когда верны оба соотношения уЯ*г и гЯ*у. Отношение I* есть отношение эквивалентности (оно рефлексивно, транзитивно и симметрично). Оно разбивает множество Z на классы эквивалентности (классы безразличия), состоящие из эквивалентных (связанных отношением I*) векторных оценок. Далее множество классов эквивалентности будем обозначать буквой А. На множестве А отношение Р* порождает отношение строгого предпочтения - строгий линейный порядок Р следующим образом: для разных классов а, Ь е А верно аРЪ, когда для любых векторных оценок у из а и г из Ь верно уР*г.

Будем считать, что множество А конечно и содержит п > 3 элементов. Теперь для введённого множества А с определённым на нем отношением Р можно использовать введённые выше понятия реперной функции и реперных оценок. Конкретизация введённых конструкций для нескольких типов многокритериальных задач рассматривается ниже. При этом будем полагать, что все критерии имеют общую область определения - конечное множество Zo, так что областью значений векторного критерия является множество Zт.

Пусть критерии имеют равную важность, причём уменьшение значений одних критериев не компенсируется увеличением значений других критериев (точные определения см. в [2]). В этом случае возникает семейство отношений предпочтения, названных в [2, 3] симметрически-лексикографическими, или Ж-отношениями. Такие

отношения используются для описания предпочтений в различных задачах оптимизации и принятия решений (см., например, [4 - 7]).

Далее будем рассматривать случай, когда область значений критериев - множество 70 - состоит из первых q натуральных чисел: 70 = {1, 2, ..., д}, q >2. Этот случай реализуется, например, когда шкала критериев д-балльная. Он возникает и после нумерации словесных оценок в порядке возрастания их полезности.

4. Будем полагать, что отношение превосходства на Z имеет смысл отношения предпочтения, или превосходства в полезности, и использовать в роли представляющей реперную функцию полезности иг. Будем считать также, что большие значения критериев предпочтительнее меньших.

Здесь будем рассматривать случай, когда уменьшение меньших значений одних критериев не компенсируется увеличением больших значений других критериев. Соответствующее Ж-отношение известно под названием лексиминного. Примеры использования лексиминного отношения в прикладных задачах можно найти в [8 - 10].

Пусть ух = (у(1), у(2),..., у(т)) - вектор, полученный из вектора у = (уь у2, ., ут) упорядочением его компонент по неубыванию: у(1) < у(2) < ... < у(т). Лексиминное отношение нестрогого предпочтения - полный квазипорядок Я*" - определяется так: уЯ"г верно, если выполнено одно из следующих т + 1 условий: 1) у(1) > 1) у(1) = г(1), у(2) > г^; ...; т) у0) = 7 = 1, 2, ..., т - 1,у(т) > ^ т + 1)у0) = г0> 7 = 1, 2, ..., т. Соотношение уР"2 верно, если выполнено одно указанных условий, кроме последнего, а у1 "г верно, если выполнено условие т + 1, т.е. если у^ = ^ . Поэтому, например, при т = 3 один из классов

эквивалентности I" составляют векторные оценки (2, 1, 1), (1, 2, 1) и (1, 1, 2). Каждый такой класс, содержащий векторную оценку у, можно представлять вектором у^. Для упорядоченного множества классов эквивалентности I" используем обозначение 7и: это упорядочение задаётся отношением Ри, которое порождается отношением Р".

Обозначим количество оценок ке20 в векторной оценке у через ек(у) и пусть ек(у) = е1(у) + е2(у) + ... + ек(у). Количество классов эквивалентности 1и - число элементов множества 7и - определяется по формуле [11]:

и =(т+д -1)!. т!(д -1)!

Например, при т = 3 и д = 5; число этих элементов г" = 7!/(3! 4!) = 35 .

Функция перечисления ие в рассматриваемом случае задается формулой [12]:

д-2 ,

ие(у) =УС"-кк, л + еа(у) +1

' ^ т-ек (у)+д-к-1 д ' к=1

где Ст - биномиальные коэффициенты: Ст т-/[к-(т к) ] при т > к и Скт = 0 при т < к.

Среди всех векторных оценок естественно выделяются в качестве реперных оценки вида у1 = (/, 7, ..., 1). Например, если успеваемость школьников оценивается в пятибалльной шкале, то векторные оценки у1 = (1, 1, ..., 1), у2 = (2, 2, ..., 2), у3 = (3, 3, ..., 3), у4 = (4, 4, ..., 4), у5 = (5, 5, ..., 5) можно характеризовать словесными оценками «очень плохо», «плохо», «посредственно», «хорошо», «отлично» и поставить им в соответствие значения реперной функции полезности 1, 2, 3, 4 и 5. Чтобы рассчитать значения реперной функции иг для векторных оценок, лежащих между соседними реперными оценками, нужно знать их количество. Число элементов г", находящихся в упорядоченном множестве 7" между соседними реперными элементами у1 и у11, равно иг(1+1, 1+1, ..., 1+1) - иг(], 1, ..., 1) - 1. Нетрудно получить следующую расчётную формулу:

<и = ст+д -1 -1 -1,1=1,2,..., д -1.

Например, при m = 3 и q = 5 имеем: tj = 14, tj = 9, 1j = 5, tj = 2, и поэтому знаменатели tj +1 дробных частей значений реперной функции полезности ur равны соответственно 15, 10, 6 и 3.

Обозначим через уц векторную оценку, составленную из m чисел, равных минимальной компоненте у- векторной оценки у. Для значений функции ur(y) можно записать следующую формулу, имеющую смысл смешанной дроби:

ur ( у)=у-j ( y);u;( . tj+1

Например, для у = (2, 5, 4) имеем у- = 2, ум = (2, 2, 2), ue(у) = 24, ue(ум) = 16 , tj = 9 . Поэтому ur (у) = 210 .

5. Рассмотрим теперь случай, когда в многокритериальной задаче критерии f имеют разную важность (значимость, весомость), причём для величин их важности Д известны соотношения Д : Д : ...: Дт (точные определения понятий, связанных с количественной важностью критериев, см. в [13 - 16]). Полагая, что все числа Д рациональные, несложно указать натуральные числа ni, для которых верны соотношения:

$1 : Д : Д = «1 : n2 : nm.

Теперь, используя предложенный в [13 - 16] прием «клонирования», заменим каждую векторную оценку у расширенной векторной оценкой у, которая формируется следующим образом: вначале ставится n1 раз компонента у1, затем «2 раз компонента у2, и т.д. Например, при m = 3, n1 = 2, «2 = 1, «3 = 4 для у = (5, 2, 3) получим у = (5, 5, 2, 3, 3, 3, 3). Векторные оценки вида у можно рассматривать как векторы значений равно-важных критериев (числом n1 + «2 + ... + nm), при помощи которых оцениваются объекты из множества X. Поэтому далее можно применять все полученные выше результаты для случая равноважных критериев.

Рассмотрим простой пример. Пусть m = 2, q = 5, n1 = 2, «2 = 1. Тогда каждой векторной оценке у = (у1, у2) будет соответствовать расширенная векторная оценка у = (уру2,у3) = (у1,у1,у2). Следовательно, значения реперных функций полезности j(у) можно рассчитать, используя приведенную выше формулу при у = у. Например, если у = (2, 4), то у = (2,2,4) и ur (у) = 210.

Прием «клонирования» в прикладной задаче с лексиминным отношением предпочтения был использован в [10] для построения функции перечисления.

6. Автор считает, что в данной работе новыми являются следующие результаты:

- предложено понятие реперной функции и показана его прикладная значимость;

- даны формулы для расчёта значений реперных функций ценности в задачах с лексиминным отношением предпочтения.

Литература

1. Подиновский В.В., Потапов М.А. Метод взвешенной суммы критериев в анализе многокритериальных решений: pro et contra // Бизнес-информатика. 2013. № 3. С. 41-48.

2. Подиновский В.В. Многокритериальные задачи с однородными равноценными критериями // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1975. № 2. С. 330-344.

3. Подиновский В.В. Симметрически-лексикографические задачи оптимизации и антагонистические игры // Автоматика и вычислительная техника. 1981. № 5. С. 55-60.

4. Подиновский В.В. Принцип гарантированного результата для частичных отношений предпочтения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. № 6. С. 1436-1450.

5. Подиновский В.В. Задача оценивания коэффициентов важности как симметрически-лексикографическая задача оптимизации // Автоматика и телемеханика. 2003. № 3. С. 150-162.

6.Podinovski V.V. Interval articulation of superiority and precise elicitation of priorities // European journal of operational research. 2007. Vol. 180. P. 406-417.

7. Sen A.K. Collective choice and social welfare. - San Francisco: Holden Day, 1970. - xii +255 p.

8. Алескеров Ф.Т., Катаева Е.С., Писляков В.В., Якуба В.И. Оценка вклада научных работников мет одом порогового агрегирования // Управление большими системами: сборник трудов. 2013.№ 44. С. 172-189.

9. Гончаров А.А., Чистяков В.В. Агрегирование предпочтений без учёта компенсаций и рейтингование. Препринт WP7/2010/04. - М.: Изд. Дом ГУ ВШЭ, 2010. 40 с.

10. Гончаров А.А., Чистяков В.В. Рейтингования без компенсаций и их применение // Проблемы управления. 2012. № 2. С. 45-52.

11. AleskerovF.T., Chistyakov V.V. The threshold decision making effectuated by the enumerating preference function // International Journal of Information Technology and Decision Making. 2013. Vol. 12. No. 6. P. 1201-1222.

12. Калягин В.А., Чистяков В.В. Модель некомпенсаторного агрегирования с произвольным набором оценок // Доклады РАН. 2008. Т. 421. С. 607-610.

13. Подиновский В.В. Количественные оценки важности критериев в многокритериальной оптимизации // Научно-техническая информация. Серия 2. Информационные процессы и системы. 1999. № 5. С. 22-25.

14. Подиновский В.В. Количественная важность критериев // Автоматика и телемеханика. 2000. № 5. С. 110-123.

15. Подиновский В.В. Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений: Учебное пособие. - М.: Физматлит, 2007. 64 с.

16 Podinovski V.V. The quantitative importance of criteria for MCDA // Journal of multi-criteria decision analysis. 2002. № 5. P. 1-15.

Reper functions for multicriterial problems

Vladislav Vladimirovich Podinovski, Dr. Habil., professor, national research university higher school of economics

We introduce a concept of reper function. It enumerates all elements of the finite ordered set so that for those elements which can play the role of reference levels and to be characterized by meaningful estimates (e.g., verbal assessments "excellent", "good", etc.) will be assigned the appropriate numerical scores (e.g., 5, 4, etc.).

Key words: ordered set, enumeration function, utility (value) function, leximin, rating.

УДК 351/354

НАРРАТИВ И ЭКЗИСТЕНЦИЯ КАК ПРИНЦИПЫ УПРАВЛЕНИЯ В СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

Александр Георгиевич Давтян, канд. физ.-мат. наук, НБИК факультет

e-mail: agvs@mail.ru Национальный исследовательский университет «Московский физико-технический институт» https://mipt.ru

Ольга Аркадьевна Шабалина, канд. техн. наук, каф. САПР и ПК e-mail: O.A.Shabalina@gmail.com Наталья Петровна Садовникова, д-р. техн. наук, каф. САПР и ПК

e-mail: npsn1@ya.ru Волгоградский Государственный Технический Университет

http://www. vstu.ru

В работе исследуется понятие времени в социально-экономических системах. Рассматривается управление в таких системах в контексте его неразрывной связанности с