Реологические свойства многослойных материалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.4.027

В. В. АРТЕМЧУК (Д11Т)

РЕОЛОГ1ЧН1 ВЛАСТИВОСТ1 БАГАТОШАРОВИХ МАТЕР1АЛ1В

У CTarri розглянуто питания, пов'язаш з ввдновленням зношених деталей рухомого складу шаруватими покриттями. При побудов1 математично! модел1 зношення багатошарового матер1алу як об'екту реологп зроблено neBHi припущення, що дае можливють використовувати методи мехашки i мехашки сущльних се-редовищ.

Ключовi слова: зношеш детал^ шарувате покритгя, математична модель, зношення, багатошаровий ма-тер1ал

В статье рассмотрены вопросы, связанные с восстановлением изношенных деталей подвижного состава слоистыми покрытиями. При построении математической модели износа многослойного материала как объекта реологии сделаны определенные допущения, которые дают возможность использовать методы механики и механики сплошных сред.

Ключевые слова: изношенные детали, слоистое покрытие, математическая модель, износ, многослойный материал

The issues related to renewal of worn-out parts of a rolling stock with the layered coatings are considered in the article. In developing a mathematical model of wearing a multilayer material as an object of rheology certain assumptions, which enable using the methods of mechanics and mechanics of continuous medium, are done.

Keywords: worn-out parts, layered coating, mathematical model, wear, multilayer material

При вщновленш деталей електрол1тичним способом, наплавленням або напиленням на основний матер1ал, змшюючи параметры про-цесу можна отримати шари з р1зними мехашч-ними властивостями. Властивосп кожного шару, товщини, а також !х комбшацп ютотно ви-значають характеристики покриття, а також роботу детал1 теля вщновлення.

Основною задачею нанесених вщновлюю-чих шар1в е тдвищення ресурсу та надшносп експлуатацп вщновлених деталей.

Метою дано! роботи е побудова математично! модел1 багатошарового матер1алу, як об'екту реологп [1].

Перш за все вщзначимо, що будь-яке ф1зич-не тшо не можна розглядати як континуальний (безперервний) об'ект, але якщо максимальний диспергований елемент мае розм1ри значно ме-нше розм1ру елементу, деформацп якого роз-глядаються, то в даному випадку можна вважа-ти, що тшо (шар) е квазюднорщним. Якщо найменший об'ем мютить ашзотропш диспер-говаш елементи вешяких ор1ентацш, то такий матер1ал можна вважати квазпзотропним. На-дал1 вважаемо, що зроблеш припущення вико-нуються для кожного шару I тим самим можуть бути використаш методи мехашки [2] I мехаш-ки суцшьних середовищ [3].

Оскшьки теля вщновлення деталь взаемо-д1ятиме з шшими деталями, то питания зносу ютотно визначаються не тшьки властивостями покриття, але характером контакту И з шшими тшами, тому до зроблених допущень додамо

можлив1сть застосування механ1ки контактнет взаемодп [4].

Розглядаючи елементи покриття як елементи об'ему, ми маемо право при зроблених допущениях використовувати шють р1внянь ди-нам1ки у форм1

I P = 0; ZM =

(1)

як1 записан1 у вигляд1 р1внянь р1вноваги з ура-хуванням принципу Д'Аламбера.

Сили, що д1ють на елементарний об'ем, для якого виписаш р1вняння (1), можуть бути об'емними, пропорцшними мас1 елементу або поверхневими. Поверхнев1 сили можуть бути зовшшшми або внутршшми. Вщшсши !х до одинищ площ1, приходимо до поняття напру-ження. Сукупнють напруження на площинках, ор1ентованих р1зним чином по вщношенню до координатних осей визначають напружений стан елементу I е тензором другого рангу 31т, вщносно якого виконуеться постулат Больцма-на, що приводить до сшввщношення

Slm ~ Sml •

(2)

1ндекси в тензор1 напруження Slm прийма-ють значения вщ 1 до 3.

Положения елементу в npocTopi описувати-мемо рад1ус-вектором r (з компонентами х1 = x, x2 = y, x3 = z). Пюля деформацп даний елемент описуватиметься рад1ус-вектором r', а зеув його буде р1вний r' — r . Цей зеув зазвичай позначають як вектор, компоненти якого piBHi

© Артемчук В. В., 2011

U = X, - X.

i = 1,3

(3) i коефщент Пуассона

1 даний вектор називають вектором деформаци [3].

3 даним вектором зв'язують тензор ик таким чином

' du, du, du, du

Л

5x, Sx ÖX: öx,

(4)

k J

У вираз1 (4) за однаковими шдексами, що дв1ч1 зустр1чаються, виконуеться шдсумову-вання вщ 1 до 3.

До р1внянь мехашки (1) необхщно приедна-ти сшввщношення м1ж тензором деформацш uik i тензором напружень Slm, яке записувати-мемо у вигляд1

* (:

uik , Slm , uik

, Smm ) = 0:

(5)

Slm - ^ uaaßlm

- 2ц M

lm

(6)

де Х = %- з ц е константою Ляме;

ц - модуль пружносп другого роду; X - об'емний модуль пружносп. 1з сшввщношення (6) можна отримати

X 1

и'т = " 2ц(3Я + 2ц) ' ^ 5'т + 2ц ^ . (7)

У сшввщношеннях (6) 1 (7) Ь1т е символом Кронекера.

У техшчнш л1тератур1, як правило, викорис-товують модуль Юнга

E =

9 XV 3Х + ^

v =

3Х~ 6 Х +

де ик, $1т - вщповщш похщш в чась

Р1вняння типу (5) називають реолопчними р1в-НЯННЯМИ [1] 1 ВОНИ СШЛЬНО 3 (1) дозволяють зроби-ти задачу про деформацш тша цшком визначе-ною.

Якщо розглядати зацачу, як зацачу контактно! взаемодп, то вказаш сшввщношення пови-нш бути доповнеш сшввщношеннями, що опи-сують контактну взаемодда (ковзання, кочення або вертшня).

Для розкриття залежностей (5) в реологп [1] вводять три фундаментальш реолопчш власти-восп: пружшсть, в'язюсть 1 пластичшсть (вну-тршне тертя). Решта вс1х складних властивос-тей е комбшащями вказаних фундаментальних властивостей.

Прийнято пружне тшо називати тшом Гука, а реолопчне р1вняння (5) для нього мае вигляд

Вщмпимо, що будь-який тензор другого рангу можна розкласти на два доданки, так, на-приклад

1

% - з и11 °гк + игк(0),

де ип = и11 + и22 + и33 = 121 = и - е деформащею

об'ему, а тензор ик (0) називають дев1атором з

нулями по головнш д1агонал1 \ вш вщбивае змшу форми при постшному об'емь Под1бне представления мае мюце \ для тензора напружень

т = 3 + $1т(0) .

Величина 3 = -р,

де р - пдростатичний або статичний в термо-динам1чному сенс1 тиск.

Для характеристики в'язкосп вводяться тшо (або рщина) Ньютона, реолопчне р1вняння (5), для якого мае вигляд:

Slm =~ РЪЫ + 2 Л u

lm(0) :

(8)

де ^ - коефщент (зсувно!) в'язкосп, вш мае розм1рн1сть напруження, помножено! на якийсь час i вим1рюеться в пуазах (1 пз = 1 дша-см2-с).

Наступну фундаментальну властивють прийнято розглядати як тшо Сен-Венана, коли напруження Slm(0) менше деяко! меж1 vlm(0), то

воно е абсолютно твердим, а якщо

Slm(0) _ Vlm(0) :

(9)

то матер1ал пластично тече.

Перерахован1 т1ла зручно представляти за допомогою наступних механ1чних моделей:

- т1ло Гука (H ) - сшральна пружина;

- т1ло Ньютона (N) - рщинний елемент у вигляд1 цилшдра, наповненого в'язким маслом, в який з деяким зазором вставлений поршень (демпфер);

- т1ло Сен-Венана (Stv) - елемент сухого тертя у вигляд1 вантажу, що покоиъся на гори-зонтальнш площин1.

Bei елементи можуть бути сполучен1 м1ж собою паралельно ( | ) або послщовно (-). При паралельному з'еднанн1 повне навантаження на т1ло складаеться з навантажень, що передають-ся окремим елементам, i швидк1сть подовження

u,k =-

елеменпв однаковь При послщовному з'еднан-ш повна швидюсть подовження дор1внюе сум1 швидкостей складових елеменпв, причому ко-жний з них передае повне навантаження.

Мехашчна модель, вщтворююча поведшку тша, описаного Кельвшом у робоп [5], представлена на рис. 1.

ч

РН

Р

Pк = Pн

або в термшах дев1аторов отримуемо:

$1т(0) - 2 Ц Ы.

1т(0)

- 2ЦП

1т(0) ■

^ * (

*1т(0)

* 1 г т

(') = * Л «1т(0) (0)+ — | ^1т(0) (т)- е ^ аТ

, 2 'Л 0

А

(

8 =

С

2 ц,

А

с 2 ц,

в0 - -2—. На рис. 2 представлено залежносп в(*) при р1зних стввщношеннях дано! р1знищ.

Рк

Рис. 1. Модель тша Кельвша Реолопчна формула тша Кельвша: К = Н|У,

оскшьки тшо Гука (Н) \ тшо Ньютона (N) сполучеш паралельно, то для сил маемо:

де ^ - в язк1сть твердого тша.

Якщо навантаження задане, то з цього р1в-няння отримуемо

Рис. 2. Залежшсть деформацш тша Кельвша при постшному навантажеиш

У робой [1] передбачаеться у якосп основ-но1 аксюми реологп вважати, що будь-який ре-альний матер1ал волод1е вс1ма фундаменталь-ними реолопчними властивостями, але вира-женими р1зною м1рою.

Так, наприклад, при електрол1тичному вщ-новленш або газотерм1чному напиленш, шар який безпосередньо осщае на основний матер1-ал (адгезшний), повинен досить добре з'еднати-ся з основним матер1алом \ волод1ти певним опором по вщношенню до сколювання та вщ-шаровування.

Даний шар можна моделювати тшом Бшга-ма, реолопчна формула якого мае вигляд:

В = Н - (ЩЗК).

Мехашчна схема тша Бшгама (В) представлена на рис. 3. Наявшсть в данш модел1 тша Сен-Венана () дозволяе вщобразити здат-шсть даного шару опиратися сколюванню або мщшсть зчеплення (адгез1я) з основним матер1-алом детали

' Р

Рн

де и1т(0) (0) - початкова деформащя.

Для спрощення викладу позначимо через с = $1т(0); е = и1т(0) 1 розглянемо поведшку де-

формацй в при постшному навантаженш с, яке описуватиметься залежшстю

PN

Де 80 = и1т(0) (0) .

3 представлено! залежносп виходить, що характер змши деформацл визначаеться значениям

Р

Рис. 3. Схема модел1 тша Бшгама

е

В термшах напружень 1 деформацш для тша Бшгама маемо:

2ц и,

с = •

<

Н-

де & - характеристика зчеплення (адгезп).

У граничному випадку, коли ц = 0 ; ^ = 0 або при достатньо малих !х значениях основною властивютю даного шару буде властивють зчеплення з матер1алом деталь Надал! даний шар називатимемо першим шаром покриття.

Другий шар буде пром1жним м1ж першим 1 тренм шаром, який контактуе з шшими деталями.

Перейдемо до розгляду контактно! взаемодп вщновлено! детал!, що мае поверхнев! шари з шшими деталями (тшами).

У загальному випадку, контактна взаемод1я визначаеться способом кршлення покриття з деталлю. Розр1зняють наступи! вар!анти:

- покриття (шар, шари) постшно знаходять-ся у контакт! з деталлю в ус!х точках, але вшь-но прослизають в!дносно його;

- шар повн!стю зчеплений з основою детал!;

- може мати м!сце прослизання, коли дотичне напруження на поверхн! розд!лу перевершуе гра-ничне напруження зчеплення (тертя);

- шар, що знаходиться спочатку в повному контакт! з т!лом детал! може частково вщстава-ти вщ нього п!д д!ею навантаження.

Надат розглядатимемо ситуац!ю, коли покриття умовно складаеться як м!н!мум з трьох шар!в, причому перший шар (зчеплений з т!лом детал!) вщносно детал! може перем!щатися, прослизати тшьки тод!, коли дотичне напруження на поверхн! розд!лу перевершуе гранич-не напруження, тобто м!цн!сть зчеплення.

Що стосуеться третього шару (верхнього в покритт!), то в!н може перемщатися в!дносно першого в певних межах. 1ншими словами, пром!жний шар (другий) може «текти» ! повинен гасити дотичну напругу вщ третього шару, що контактуе з шшим т!лом (рис. 4).

т!ло А

¿1ТТГгт>,

т!ло детал! (В) Рис. 4. Схема контакту вщновлено! детал!

3 2 1

Розр!знятимемо контактну взаемодда у ви-гляд! ковзання ! у вигляд! кочення. При ковзан-н! поверхня т!ла А мае вщносну окружну шви-дк!сть в точщ контакту, а при коченш т!ло А \ покриття володдать в!дносними кутовими швидкостями навколо осей, паралельних пло-щин! торкання. Очевидно, що в реальних умо-вах кочення ! ковзання можуть мати мюце од-ночасно. Ми обмежимося розглядом ковзання при наступних допущениях:

- форми т!ла А \ детал! е неузгодженими;

- вважаемо, що т!ла знаходяться в умовах сталого в!дносного ковзання;

- деформацп т!л мал!.

3 останнього допущения для тензора дефо-рмац!й маемо вираз (зам!сть (4))

1 { I I

дui ^ дик дх, дх.

Поблизу точки дотику р!вняння поверхн! т> ла А запишемо у вигляд!

2 = ХарХаХр ,

причому по а, р проводиться п!дсумовування в!д 1 до 2.

Вюь 2 направлено всередину т!ла, а площи-на х1, х2 перпендикулярна ос! 2. Тензор хар -

двовишрний симетричний тензор, що характе-ризуе кривизну поверхн! т!ла А. Головш зна-

11

, Де

чення тензора хар Дор1внюють та

Я1 1 Я2 - головш ращуси кривизни поверхн! в точщ дотику. Так само для поверхн! покриття маемо

2 = ХсфХаХр ,

де в!сь 2 направлена протилежно ос! 2 .

Пщ д!ею прикладених сил поблизу точки первинного зггкнення на поверхн! т!л виникае втискування, ! т!ла стикатимуться по деякш к!-нцев!й д!лянц!, що е областю контакту.

Нехай и \ и' - вектори зсуву точок поверхн! обох т1л, а и2 I и'2 - !х проекцп на ос! 2 ! 2 вщповщно. Якщо Н е зближенням т!л, то тод! в точках контакту мае мюце

(2 + иг ) + (2' + и[ ) = Н ,

або

(Хар+Хар)ХаХр + иг + К = Н . (10)

У точках поза областю контакту виконува-тиметься нер1внють

(г + и2) + (+ и'2)>к .

Вибираемо ос1 х1 I x2 так, щоб тензор

Х«р + Хар був приведений до головних осей.

Головш значения даного тензора позначимо через А 1 В, яю через рад1уси кривизни Я1, Я2

1 Я/, Я2 виражаються таким чином [3]: пч 1 1 1 1

2 (А + В ) = — + — + — + — ;

Я1 Я2 Я1 Я2

4 ( А - В)2 =

1___1_

V Я1 Я2 )

1___1_

V Я1 Я2у

1 1

А (

Я Я

'2 J

11

VЯ1 Я2 )

С08 2ф,

%Е

-Л

1 - V

и, = -

%Е

12

и

Рг (X', /) >/( X - х')2 +(у - У)2

Р (X', У')

д/( X - X')2 +(у - у'}

.ах'ау';

тё^ёу',

Г

л-

Р ( X', У')

-ё^ёу' =

% Ч ( X - X')2 +(у - у')2

= к - Ax2 - Ву2,

де V, V' 1 Е, £" - коефщенти Пуассона 1 модул1 Юнга контактуючих тш;

Рг (X', у') - питоме навантаження в обласп контакту О.

Поставивши иг \ и[ в (11), приходимо до штегрального р1вняння:

~ (1 - V'2 1 - V2 1 де Г) = -+- .

I Е' Е J

У штегральному р1внянш (12) невщомими е Р2 (X', у') , область контакту О 1 к .

Герц висунув ппотезу, що область О мае елштичну форму. Тод1, якщо розм1ри обласп контакту мал1 пор1вняно з розм1рами контактуючих тш 1 рад1усами кривизни !х поверхонь, то

XV

Р ( x, у ) = СОП81 -Л1 - — - —

(13)

1 вибираемо константу так, щоб

Ц Рг ( X, у) ёxёy = Е ,

О

де ^ - повна стискаюча сила; а, Ь - нашвос1 елшса О, отримуемо:

де ф - кут м1ж тими нормальними перетинами поверхонь, в яких рад1уси кривизни р1вш Я1 1 Я'.

Сшввщношення (10) через А 1 В можна за-писати у виглядк

Ax2 + Ву2 + иг + и'г = к . (11)

У раз1, коли поверхш тш навколо контакту можна розглядати як плосю \ навантаження ильки стискаюче, тод1 иг \ и'г обчислюють за формулами [5]:

1 - V2

Pz ( X, у ) =

Р (X', у') =

3 Е 2%аЬ

3Е 2%аЬ

2 2 '1 _У- •

-2 Ь2 '

а

'1 - 4 - 4 а2 Ь2

а поставивши Pz в (12), отримаемо тотожшсть пор1внюючи коефщенти при невщомих X та у справа \ зл1ва, отримаемо:

к =

Г_ок_•

* (а2 +^).(Ь2 + ф '

А =

В =

ЕЮ

ЕЮ

я 0 (а2 + а2 + ()•(Ь2 + ф

__

(Ь2 а2 +^)-(Ь2

(14)

(15)

(16)

(12)

3

де Г = - Г) .

4

Р1вняння (15) 1 (16) визначають нап1вос1 ел1-пса а та Ь, поставивши яю в (14), знайдемо зближення тш к.

Оск1льки матер1али контактуючих тш мають р1зн1 константи V \ Е , то контактний тиск Рг викликае тангенц1альн1 перемщення на повер-хн1 контакту, \ у кожно! поверхн1 вони будуть сво1, що приводить до прослизання. Дане про-слизання до деяко! м1ри може стримуватися те-ртям. Тому в центральн1й частин1 контакту ма-

2

2

2

иг =

тиме мюце повне зчеплення, а прослизання можливе ильки в зош, що примикае до меж1 обласп контакту.

У раз1, коли коефщ1ент граничного тертя достатньо великий, то прослизання може по-внютю виключитися.

Бшьш детально дане питания викладене в робой [4].

Якщо Е - нормальна сила, що здавлюе тша (рис. 4), то за вщсутносн сил тертя область контакту визначаеться теор1ею Герца. Проте при ковзаючому контакт! реальних тш виникають дотичш зусилля тертя Q , що д1ють по поверхш кожного тша в напрям1, протилежному руху.

Очевидно, що дотичш зусилля, яю д1ють на поверхш кожного тша в обласп контакту, е од-наков1 за величиною 1 протилежш за напрямом, тод1, якщо чл (Х, у) - дотичне зусилля на поверхш тша Л, а чс ( х, у) - для шару, то

Чл (x, У) = ~Чс (x, У)

враховуючи представления для иг \ и'г, отримаемо:

Е Е' -и7 (х, у) =--и'7(х, у) . (18)

Звщси випкае, що дотичш зусилля знахо-дяться у взаемнш залежносп з нормальним ти-ском. Якщо коефщ1ент тертя значно менше одинищ, то, як показано в робой [4], вплив до-тичних напружень на розподш нормальних \ на область контакту е малим \ можна вважати, що дотичш \ нормальш напруження незалежш.

Отже, напружено-деформований стан може бути визначений ïx суперпозищею.

3 шшого боку, з (17) випкае, що, якщо тшо i трепй шар мають однаков1 пружш постшш, то дотичш напруження через площину контакту викликають piBHi за величиною uz та u'z i протилежш за напрямом перемщення в будь-якш точщ контакту. Таким чином, викривлення поверхш одного тша супроводжуеться узгодже-ним викривленням поверхш шшого тша i пере-розподш нормального тиску не вщбуваеться. Тому форма i розм1ри обласп контакту визна-чаються ильки проф1лями контактуючих тш i ддачими нормальними навантаженнями i не за-лежать вщ дотичних зусиль.

Б1БЛ10ГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

1. Рейнер, М. Реология [Текст] / М. Рейнер. - М.: Наука, 1965. - 223 с.

2. Маркеев, А. П. Теоретическая механика [Текст] / А. П. Маркеев. - М.: Наука, 1990. - 416 с.

3. Ландау, Л. Д. Теория упругости. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М.: Наука, 1965. - 203 с.

4. Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия [Текст] / К. Джонсон. - М.: Мир, 1989. -510 с.

5. Lord Kelvin (Thomson, W.) Elasticity [Text] / Lord Kelvin (W. Thomson) // Encyclopedia Britannica. - 9th ed. - 1875.

Надшшла до редколегп 08.11.2010.

Прийнята до друку 10.11.2010.