CC BY
180
УДК 678
Н.А. Лукьянов, М.А. Степанов, А.А. Королёв
ФГБОУВПО «МГСУ»
РЕОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И УРАВНЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ УПРУГО-ВЯЗКО-ПЛАСТИЧНОЙ МАССЫ
Рассмотрен процесс валкового нагнетания упруго-вязко-пластичного материала. Составлены дифференциальные уравнения движения и неразрывности с учетом тензора напряжений, который определяет объемное напряженное состояние тела. Получена зависимость для определения относительного изменения объема упруго-вязко-пластического тела при валковом нагнетании. Определена зависимость частичного упругого восстановления размеров тела от времени релаксации напряжений. Поведение упруго-вязко-пластичной массы рассмотрено на примере реологической модели тела Бингама.
Ключевые слова: реологическая модель, валковые устройства, уравнение течения, вязко-упругие массы, полимерные материалы.
В современных строительных материалах широкое применение нашли полимеры. Вязко-упругие и вязко-пластичные массы используются при изготовлении шпаклевок и других строительных смесей и отделочных материалов. Изучением деформации и течения пластичных тел занимается особый раздел механики — реология. Использование знаний о поведении (течении) различных материалов позволяет решать широкий спектр практических инженерных задач.
Огромный вклад в развитие и формирование реологии внес всемирно известный ученый Маркус Рейнер. Им рассмотрены вопросы механики деформации различных тел, пластическое течение и вязкостные свойства многофазных систем, поведение материала при одномерном и более сложном напряженном состоянии. Дано математическое описание процессов [1, 2].
Изучением процесса валкового нагнетания при переработке пластмасс и полимеров занимались Бернхард, МакКелви, Торнер [3—6]. Вальцевание и ка-ландрование резиновых смесей рассмотрено в работах Бекина и Лукача [7, 8]. Были установлены закономерности происходящих процессов, определено давление на валки, характер линий тока.
Проводились научные исследования вязкоупругих свойств полимеров при различной температуре и влажности [9]. Получены зависимости вязкоупругих характеристик расплава полимера от скорости сдвига, температуры и влажности. Реологические характеристики строительных растворов приводятся в работе Захарова [10].
Рассмотрим движение полимерного материала в зазоре валкового нагнетательного устройства (рис. 1).
Объемное напряженное состояние тела определяется тензором напряжений [11, 12]. При прохождении упруго-вязко-пластичной массы между нагнетательными валками один из размеров (толщина пласта) значительно меньше
ВЕСТНИК
МГСУ-
5/2013
Рис. 1. Течение упруго-вязко-пластичного материала в зазоре между валками
Рис. 2. Элементарный объемный элемент раскатанного пласта
(
dt
+ у.
( ду
_у
dt
дух
дх ду
+ у.
ду
Л
др
(
+ у„
_у_
дх
+ у,
дуу ^ дУ
дх др
дс X
дх
его длины и ширины. Рассмотрим элементарный объемный элемент dV раскатанного пласта, представленного в виде прямоугольника (рис. 2).
Вследствие малости размеров по оси 2 и то, что течение материала происходит в одном направлении, напряжениями по этой оси координат можно пренебречь. Приняв допущение, что напряжения по оси 2 равны нулю, т.е. тхг = 0, туг = 0, тгх = 0, т гу = 0 и с г = 0, определим тензор напряжений.
Р =
ху
с
, (1)
ух у
где с — нормальное напряжение, Па; т — касательное напряжение, Па.
Чтобы решить задачу о течении упруго-вязко-пластичной массы в зазоре между валками, необходимо составить дифференциальные уравнения движения и неразрывности.
Уравнение движения сплошной несжимаемой среды Навье — Стокса имеет три компоненты [13]. Для данного случая (плоскостная раскатка материала) с учетом тензоров напряжений это уравнение упрощается и принимает следующий вид:
( дт
ду
ху
дГхл
ду 5с,
дх
ду
+ pg X
+ pg у
(2)
(3)
где р — плотность, кг/м3; V , V — компоненты скорости, м/с; ^ — время, с;
^^ Х У ^^
р — давление, Па; с х, с у — нормальные напряжения, Па; т
ху ■
ух
каса-
тельные напряжения, Па; g , g — ускорение свободного падения, м/с2.
х у
Уравнение неразрывности Сен-Венана, которое выражает принцип сохранения массы, для случаев установившегося движения и несжимаемой жидкости с учетом проведенных упрощений имеет следующий вид:
Р
Р
dvx
dx
dVy
dy
= 0.
(4)
(5)
Реологическое поведение материала зависит не только от приложенного напряжения, но и от возникающей вследствие этого деформации [11, 12]. Аналогично тензору напряжений запишем тензор деформаций.
л = 8 х 1 ху!2 " = Ух/2 8у
где 8 — линейная деформация; у — угловая деформация.
Составим соотношения между линейной деформацией и нормальными напряжениями: ^ (
е x =- (s x y);
E
= 1 (S У x )'
(6)
(7)
где Е — модуль упругости при линейной деформации, Па; ц — коэффициент Пуассона.
Суммируя значения уравнений (6) и (7), получим относительное изменение объема упруго-вязко-пластического тела при валковом нагнетании, которое равно
A = sx +ey = —
У E
- , ■ г- , (8)
Течение материала зависит от его физико-химических свойств, таких как температура, влажность, концентрация, форма и расположение молекул. Течение упруго-вязко-пластичной массы в каналах валковых нагнетательных устройств проявляет вязко-упругие свойства. Так при выходе раскатанного пласта из вальцов он частично восстанавливается, увеличиваясь в поперечном размере. Это происходит в результате упругого последействия и зависит от времени релаксации напряжений. Реологическое уравнение Олдройда [14] связывает напряжение со скоростью сдвига и временем релаксации:
х + Трх = ц(у + Тзу), (9)
где т — касательное напряжение, Па; Т' — время релаксации, с; п — ньютоновская вязкость, ПА-с; у — скорость сдвига, с4; Тз — время запаздывания, с.
После того как пластическая масса проходит через валковое устройство и на нее перестает действовать нагрузка, происходит мгновенная релаксация напряжений. Материал ведет себя как упруго-вязко-пластическое тело Бингама (рис. 3).
При мгновенном восстановлении это тело
Рис. 3. Реологическая мо- измсняст только УПРУГУЮ Деформацию, т.е. при дель тела Бингама т < тт реологическое уравнение имеет вид
ВЕСТНИК
5/2013.
т = yG,
(10)
где у — угловая деформация; G — модуль упругости при сдвиге, Па.
При дальнейшем восстановлении размеров тела происходит вязко-пластическое течение, т.е. при т > тт реологическое уравнение принимает вид
где п — вязкость при сдвиге, Па • с; у — скорость сдвига, с4; тт — предел текучести при сдвиге, Па.
Проведя ряд математических преобразований в уравнениях (10) и (11), и найдя из этих уравнений скорость сдвига у, получим общее реологическое уравнение упруго-вязко-пластического тела, которое принимает вид
Выводы. 1. Течение упруго-вязко-пластичного материала в зазоре между нагнетательными валками рассмотрено с помощью дифференциальных уравнений движения и неразрывности с учетом тензора напряжений.
2. Получена зависимость для определения относительного изменения объема упруго-вязко-пластического тела при валковом нагнетании.
3. Поведение упруго-вязко-пластичной массы рассмотрено на примере реологической модели тела Бингама.
1. Reiner M. Deformation, strain and flow: an elementary introduction to rheology. London, 1960.
2. Рейнер М. Реология. М. : Наука, 1965. 223 с.
3. Бернхард Э. Переработка термопластичных материалов. М. : Химия, 1965. 747 с.
4. МакКелви Д.М. Переработка полимеров. М. : Химия, 1965. 442 с.
5. Торнер Р.В. Основные процессы переработки полимеров (теория и методы расчета). М. : Химия, 1972. 453 с.
6. Торнер Р.В. Теоретические основы переработки полимеров (механика процессов). М. : Химия, 1977. 462 с.
7. Бекин Н.Г. Валковые машины для переработки резиновых смесей (основы теории работы). Ярославль, Ярославский технологический институт, 1969. 80 с.
8. Лукач Ю.Е., Рябинин Д.Д., Метлов Б.Н. Валковые машины для переработки пластмасс и резиновых смесей. М. : Машиностроение, 1967. 296 с.
9. Влияние температуры и влагосодержания на реологические свойства расплава ПЭТФ / М.Б. Дубинский, В.М. Лактионов, О.Ю. Сабсай, А.И. Мжельский, М.Л. Фридман // Пластические массы. 1986. № 3. С. 20—22.
10. Захаров В.А., Пустовгар А.П. Реология строительных растворов для механизированного нанесения // Строительные материалы. 2008. № 2. С. 8—9.
11. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М. : Наука, 1969. 420 с.
12. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М. : Машиностроение, 1975. 399 с.
13. Туренко А.В. Расчет глиноперерабатывающего оборудования и прессов пластического формования для производства керамических строительных изделий. М. :
т = nY +тт,
(11)
(12)
Библиографический список
МГСУ 2004. 114 с.
14. Эйрих Ф. Реология. М. : Иностранная литература, 1962. 824 с.
Поступила в редакцию в феврале 2013 г.
О б а в т о р а х : Лукьянов Николай Андреевич — кандидат технических наук, профессор кафедры механического оборудования и деталей машин, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, moidm@gis.mgsu.ru;
Степанов Михаил Алексеевич — кандидат технических наук, заведующий кафедрой механического оборудования и деталей машин, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, moidm@gis.mgsu.ru;
Королёв Андрей Анатольевич — аспирант кафедры механического оборудования и деталей машин, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, moidm@gis.mgsu.ru.
Для цитирования: Лукьянов Н.А., Степанов М.А., Королёв А.А. Реологическая модель и уравнение течения упруго-вязко-пластичной массы // Вестник МГСУ .2013. № 5. С. 43—48
N.A. Luk'yanov, M.A. Stepanov, A.A. Korolev
RHEOLOGICAL MODEL AND FLOW EQUATION FOR ELASTO-VISCOPLASTIC MIXTURES
Advanced building materials technologies widely employ polymers. Viscoelastic and viscoplastic mixtures are used in the manufacturing of building materials and finishing products. Rheology studies deformation and flow patterns of different bodies.
Markus Reiner developed mathematical formulations for rheological flows of viscous and plastic materials, processes of deformation of different bodies, behaviour of materials exposed to strain loads.
A rheological flow of any material depends on deformation. Integrated analysis of linear deformations and strain is used to identify a relative change in the volume of an elasto-viscoplastic body. The flow of materials depends on their physicochemical properties. The flow of an elastic-viscous-plastic mixture in channels demonstrates its viscoelastic properties. Rheological equation of Oldroyd is used to relate strain to speed of displacement and the time of relaxation. The flow of polymeric materials is examined using Bingham's rheological model.
Key words: rheological model, equation flow, viscoelastic mixtures, polymeric material.
References
1. Reiner M. Deformation, Strain and Flow: an Elementary Introduction to Rheology. London, 1960.
2. Reiner M. Reologiya [Rheology]. Moscow, Nauka Publ., 1965, 223 p.
3. Bernkhard E. Pererabotka termoplastichnykh materialov [Processing of Thermoplastic Materials]. Moscow, Khimiya Publ., 1965, 747 p.
4. MakKelvi D.M. Pererabotka polimerov [Processing of Polymers]. Moscow, Khimiya Publ., 1965, 442 p.
5. Torner R.V. Osnovnye protsessy pererabotki polimerov (teoriya i metody rascheta) [Basic Processes for Processing of Polymers (Theory and Analysis Methods)]. Moscow, Khimiya Publ., 1972, 453 p.
6. Torner R.V. Teoreticheskie osnovy pererabotki polimerov (mekhanika protsessov) [Basic Processes for Processing of Polymers (Process Mechanics)]. Moscow, Khimiya Publ., 1977, 462 p.
ВЕСТНИК с(оп,-
5/2013
7. Bekin N.G. Valkovye mashiny dlya pererabotki rezinovykh smesey (osnovy teorii raboty) [Rolling Machines for Processing of Rubber Mixtures (Fundamentals of Theory of Behaviour)]. Yaroslavl, Yaroslavskiy tekhnologicheskiy institute publ., 1969, 80 p.
8. Lukach Yu.E., Ryabinin D.D., Metlov B.N. Valkovye mashiny dlya pererabotki plast-mass i rezinovykh smesey [Rolling Machines Used to Process Plastic Materials and Rubber Mixtures]. Moscow, Mashinostroenie publ., 1967, 296 p.
9. Dubinskiy M.B., Laktionov V.M., Sabsay O.Yu., Mzhel'skiy A.I., Fridman M.L. Vliyanie temperatury i vlagosoderzhaniya na reologicheskie svoystva rasplava PETF [Influence of Temperature and Water Content on Rheological Properties of PETF Melt]. Plasticheskie massy [Plastic Passes]. 1986,no. 3, pp. 20—22.
10. Zakharov V.A., Pustovgar A.P. Reologiya stroitel'nykh rastvorov dlya mekhanizirovan-nogo naneseniya [Rheology of Building Mixtures for Mechanized Application]. Stroitel'nye ma-terialy [Construction Materials]. 2008, no. 2, pp. 8—9.
11. Kachanov L.M. Osnovy teorii plastichnosti [Fundamentals of Theory of Plasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1969, 420 p.
12. Malinin N.N. Prikladnaya teoriya plastichnosti i polzuchesti [Applied Theory of Plasticity and Creep]. Moscow, Mashinostroenie publ., 1975, 399 p.
13. Turenko A.V. Raschet glinopererabatyvayushchego oborudovaniya i pressov plas-ticheskogo formovaniya dlya proizvodstva keramicheskikh stroitel'nykh izdeliy [Analysis of Clay-processing Machines and Plastic Moulding Presses Used in Production of Ceramic Construction Products]. Moscow, MGSU Publ., 2004, 114 p.
14. Eyrikh F. Reologiya [Rheology]. Moscow, Inostrannaya literatura publ., 1962, 824 p.
About the authors: Luk'yanov Nikolai Andreevich — Candidate of Technical Sciences, Professor, Department of Mechanical Equipment and Elements of Machines, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; moidm@gis.mgsu.ru;
Stepanov Mikhail Alekseevich — Candidate of Technical Sciences, Director, Department of Mechanical Equipment and Elements of Machines, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; moidm@gis.mgsu.ru;
Korolev Andrey Anatol'evich — postgraduate student, Department of Mechanical Equipment and Elements of Machines, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; moidm@gis.mgsu.ru.
For citation: Luk'yanov N.A., Stepanov M.A., Korolev A.A. Reologicheskaya model' i uravnenie techeniya uprugo-vyazko-plastichnoy massy [Rheological Model and Flow Equation for Elasto-viscoplastic Mixtures]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 5, pp. 43—48.
