CC BY
10
Расположим вершины графа на параллельных прямых линиях, которые соответствуют уровню вершины. Некоторые вершины можно «разбить» на несколько
составляющих точно так же, как можно разделить область на карте. Полученный граф представлен на рисунке 2. Количество ребер графа не изменилось.
Рисунок 2. Графическое представление графа
Общая карта в итоге будет представлять собой подграф графа R, который является бесконечной сетью «треугольников».
Для окраски полученного графа, можно воспользоваться следующим алгоритмом:
1. При движении от вершины к вершине по самому низкому уровню используем попеременно две краски (красный-зеленый)
2. Если возникнет ситуация, когда невозможно покрасить последнюю вершину, потому что она противоречит поставленной задачи (например, нечетное количество стран «замыкающих круг»), то используем третью краску
3. На следующем уровне используем другую пару красок (синий - желтый), проверяя условие задачи на связях уровня и на связях уровня ниже (связи с уровнем выше мы не учитываем, так как движемся снизу-вверх)
4. Продвигаемся вверх до нулевого уровня
На третьем этапе алгоритм может прерваться в том случае, если вершина V, которую необходимо закрасить уже соединена с вершинами всех четырех красок. Чтобы определить цвет вершины V необходимо найти множество вершин цвета С соседних с V, которые можно раскрасить в другой цвет, а вершину V окрасить в цвет С. В итоге замена цвета такой вершины будет представлять собой конечную рекурсивную функцию. Максимальная глубина рекурсии будет равна №К, где К - уровень вершины V, N - всего количество уровней.
В поисках вершины, которая может изменить цвет, функция будет двигаться от верхнего уровня к нижнему. И самой последней возможной итерацией будет проверка вершины низшего уровня.
Надо сказать, что на низшем уровне вершины при окраске опираются только на заданную пару цветов и на связи с вершинами своего уровня. Следовательно, будет использовано максимум три цвета.
Предположим, что это не так и области А, В, С и D лежат на самом низком уровне и окрашены в разные цвета. Поскольку при окраске низшего уровня мы опирались на связь вершин в пределах лишь этого уровня, то стоит предположить, что все четыре области граничат между собой. Плюс ко всему все они граничат с областью охватываемой уровнем выше. Эту область мы можем обозначить за вершину Е. Итого у нас получается полный граф, состоящий из пяти вершин А, В, С, D и Е. Но по теореме Понт-рягина - Куратовского: «Граф является планарным тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, изоморфных К3,3 и К5» [2, стр.34]. А значит на карте его отобразить не получится.
Приведенный алгоритм не является поиском хроматического числа планарного графа. В отличие от известных алгоритмов (алгоритм А.П.Ершова, алгоритм оптимальной раскраски) предложенный вариант не преследует цели минимизации цветов для раскраски. Мы сразу используем четыре цвета для планарного графа, даже в том случае, когда достаточно всего трех или двух цветов.
Список литературы
1. Асанов М.О. Дискретная математика: графы, мат-роиды, алгоритмы: Учебное пособие. 2-е изд., ипср. и доп. СПб.: Лань, 2010. - 368 с.
2. Бояринцева Т.И. Теория графов: метод. указания. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. - 37 с.
3. Харари Ф. [Нагагу F.] Теория графов. М.: Мир, 1973. - 300 с.
РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА
Якубовский Евгений Георгиевич
Национальный Минерально-Сырьевой Университет «Горный», Инженер-программист, Санкт-Петербург
В общей теории относительности (ОТО) и специальной теории относительности (СТО) понятие абсолютно твердое тело не применимо. Покажем, что в этих теориях можно применять понятие абсолютно твердого тела.
Для этого обобщим уравнение Эйлера на произвольное вращающееся абсолютно твердое тело, получив конечную трехмерную скорость распространения сигнала. Уравнение Эйлера имеет вид
dp
dt
+ [w, p] = F
dM
dt
+ [w,M] = K
Попробуем записать его в релятивистском инвариантном виде
+ Tlknpkp" /mc + glsWsknpkp" /mc2 = Fl /c,
ds
dM + glsWsknMkMn /(ей) = Kl /c,l,k,n = 0,...3
ds
Где величина
Г
l
kn
это символ Кристоффеля,
Wlkm = Wlmk = ~Wmkl
тензор вращения, анти симмет-
ричныи по первому и остальным индексам, и симметричный по второму и третьему индексам и имеющий размерность обратного времени. При этом
Wk0 = W 0k = EknV
/л/g E
dx'1 dx
E¡mn _
lmn
где E антисиммет-
pqk
__
dxp dxq dx ± 1
er
нулю. Величина
J
kn
. Четырехмерный тензор M 23 = M1,-M13 = M 2, M12 = M 3
M 01, M 02, M 03
составляют вектор
I (ф - *)
c . Вели-
ричный тензор, равный
где е антисимметричный тензор, равный — 1 в зависимости от четности перестановки индексов. Если перестановка индексов четная, то выбираем знак плюс, в случае нечетной перестановки индексов получаем знак минус. Остальные компоненты тензора вращения равны
чина ' внешняя сила и внешний момент силы. При этом скорость трехмерного вращения окажется меньше скорости света.
Справедлива также формула для сложения скоростей
(х1
dx ds
cdt
1 -I £)2
p=1
cdt
dxl
= _ + glsw xm
= + » sm0
cdt
dx
момент инерции тела, в инерциаль-Мк1 = ^^ ной системе отсчета ° ьп0 связь мо-
мента импульса с тензором вращения и моментом инерции
Мы =Х(х'р1 -¿Рк) ЧЕ (Ф -I — 0,...3
При этом модуль скорости вращения ( окажется меньше скорости света, при любой величине
всегда
n
x
момента равен Компоненты
Рассмотрим описание движения частицы в вращающейся системе координат
х = х cosQt - y'sin Qt
t = x ' sin Qt + y' cosQt t
z = z .
При этом создастся гравитационное поле, из-за действия центробежных сил и метрический интервал равен
ds2 = [c2 - Q2(x '2 + y'2 )]dt2 - dx'2 - dy'2 - dz'2 + 2Qy'dx' dt - 2Qx ' dy' dt
.'2-
j2
t2
t2
— [с2 - О2(х '2 + у' 2 - (х'2 - (у'2 - dz'2 + 2Оу'2 ((х ' / у ')Л
В цилиндрической системе координат, этот метрический интервал имеет вид
2 = (с2 - О2г2(2 - (г2 - dz2 - г2йф1 - 2Ог
2
2
2
2
2
До преобразования координат эта система была Га-лилеевой и могла быть реализована материальными телами. Как же изменить радиус, чтобы в преобразованной системе координат она могла быть реализована материальными телами. При условии г ^ с / О действительная часть метрического интервала должна оставаться положительной, и метрический интервал был времениподобный. Для этого надо задать комплексный радиус при условии
| r |> c/ Q
r = c / Q + i Imr
по формуле г — ^ / о + а ии г . Физический смысл комплексного радиуса см. [2]. Тогда величина временного метрического тензора будет иметь положительную действительную часть
е00 — О2(1тг)2/ с2 + 2/01тг / с Л
00 и интервал будет
времениподобный, причем квадрат радиуса равен
г2 — с2 / О2 - (1тг)2 + 21с 1тг/ О
у ' и может иметь
отрицательную действительную часть. При этом определитель метрического тензора этой системы равен единице, и надо добиваться, чтобы выполнялось неравенство
Ор 2 ■> 0
гчл, ид ^ ^, что как будет показано, удовлетворяется. Это условие является условием реализуемости материальными телами данной системы отсчета в комплексном пространстве, а не условие положительной определенности пространственной части метрического интервала в действительном пространстве.
Исследуем это движение вдоль прямой линии
z' = const, X ' / y' = const
y , т.е. рассматривается ли-
ния в плоскости сечения сферы. Тогда метрический интервал приобретет вид
ds2 = c2(1 -r2/r2g)dt2 -dr2
При этом уравнение Гамильтона-Якоби приобретет вид см. [1]§ 101
/1 2 / 2 \ Ч / dS ч 2 / dS ч 2 2 2 (1 - r / rg) 1 (—)2 - (—)2 = m c2
V сдГ dr . (1)
Ищем действие в виде S = Eot + Sr (r). Подстав-
ляя действие в уравнение (1), получим
Г <Е0Л2п „2/„2л -1 т 2c 2-,1/2
УХ g У
c
Е
sr (r) = J dr[(—)2 (1 - r2 / rg2)-1 - m2c2]1
r0
Зависимость
r (t)
dS
dE^
определяется уравнением
■ = const
откуда имеем
c(t -10) = -% J dr[^-E°r)2(1 -r2/rg2)-1 -1]-1/2(1 -r2/rg2)-1
mc2 i mc2 s s
'0
Так как падение на гравитационный радиус начина-
ется при определенном радиусе тела
Г
в момент времени
10
Е = тс2 - г02 / г;
; Гп
. При комплексном радиусе 0
Е = тс2^(1тг)2 / т2 - 2г 1тт/ т
= тс
имеем приобретает вид
,-т
с(*- = д/Тя2 - То2 |
¿Г
ского интервала
¿Я2 = с2(1 - г2/г_2)Л2 - ёг2 =
2 2 г„ - г
-ёг2 > 0
г - г
Т2 - г2
(1тг)2 - 2гг„ 1тг
г - г
(1тг0 ) - (1тг) + 21г (1тг - 1тг0)
при нулевой скорости, энергия системы равна
Л [л Т2 /-2 г0
(1тг)2[(1тг0 )2 - (1тг)2] + 4г; 1тг(1тг0 - 1тг) [(1тг0 )2 - (1тг)2]2 + 4г2(1тг - 1тг0)2
> 0
; . Т.е. интеграл
Т.е. действительная часть метрического интервала положительна. Этот интеграл будет колебаться на отрезке
[г0' г; К « г0
6 . В самом деле, при приближении к точке 0 он будет равен
2 2 2 2 г у1(1 - г / г;)(г - г0) I
ёг
2^
2г
Вычислим значение квадрата приращения метриче-
д/(1 - г2/т2)(Г2 - Т02) д/(1 - Т02/Т2)2Т0 Л/(г; + г0)2г0
Метрика времениподобная как в комплексной плоскости, так и в действительной плоскости и значит, реализуема. В комплексной плоскости она имеет вид
Чтобы не иметь комплексного значения, радиус от
г
точки 0 будет расти, при этом время будет расти. При
г
приближении радиуса к точке ; интеграл равен
ёг
у Г; (г; - Т
ёг
(1 - г2/г2)(г2 - Т2) рг - г2) ;0 ^(1 - г2/г2)(г2 - Т2)
¿Г
(1 - Г2/г2)(г2 - Т02)
+
а
;
т Г = Г0
Т.е. при 0
ёг
получаем нулевое значение интеграла.
При приближении радиуса к точке гравитационного радиуса, будет точка ветвления, но для действительности времени, радиус будет убывать, при этом время уменьшается, и будет возврат в прошлое, чтобы снова время росло. В комплексном пространстве будет аналогичное отражение, и система будет колебаться между точ-
Г г
кой ; и 0 . Интеграл равен
(1 - г2/ г2)(г2 - Г02)
г
I
I
I
ёг
;/у -0 ¿Г
(1 - г2/г2)(г2 - Г02)
- 2л/г0 -'
2г„
г0
7(г2/г82 - 1)(Г02 - г2) ^/(Г02/г2 - 1)2Г0 л/(г; + г0)2г0
Т.е. интеграл убывает от наибольшего значения Г
. В окрестности точки % интеграл равен
ёг
(г2/ г;1 - 1)(Г02 - г2) Л 2(Г02 - г2)
+
2^
2(Г0 + Г;)
+
ёг
ёг
(Г2/ Г;2 - 1)(Г02 - Г2)
1)(Г02 - г2)
ёг
(г2/ г2 - 1)(Г02 - г2)
+
I
ёг
I
ёг
7(г2/ Г;2 - 1)(Г02 - г2) Г0 7(г2/ Г;2 - 1)(Г02 - г2)
0
Т
Т
г
0
г
г
г
г
0
0
г
Г,
0
Т
Т
g
г,
Т
0
0
г
г
г
г
8
Т.е. интеграл растет от наименьшего значения. Т.е. с/(Гг — 1/ ¡1 — г2 /г2
будут колебания в интервале Г' Г0]. ^ ; . Но для внешнего наблю-
2 дателя время распространения светового сигнала от неко-
Для светового сигнала = 0. Значит, имеем г . „
Г0 г > Г0 торого 0 до дается интегралом
c(t - ío) = j
dr
V1 - r 2/rg2
= rg (arcsin--arcsin—) > 0
r
сг — г„ агс8тп—
Г
При этом имеем г . Электромагнит-
ная волна отражается, изменяясь по закону
. сг
r = rg sin
g
. ct
rg +1 Imr = rg sin —
g g r
g
1r l> rg
Имеем комплексное время при условии s
ct . ,л .Imr. — = arcsin(1 +1-)
r
r
Получается, что в этой системе координат, сигнал и материальная точка с конечной массой не может выбраться из области с гравитационным радиусом
Ге — с / О
при действительных координатах. Т.е. вращающаяся система координат находится внутри «черной дыры». При комплексном радиусе
Для этого вычислим значение арксинуса величины
• Imr arcsin(1 +1-) = y
r
больше единицы g . Откуда имеем
. Imr exp(iy) - exp(-iy)
1 +i-= sin y = —-
rg 2i ^
® . Т.е. имеем
квадратное
уравнение
Imr,
exp(2iy) - 2(i--) exp(iy) -1 = 0
. Откуда имеем
r
r
g
g
r
o
r
g
y = -iln[i - Imr / r ± J(Imr / r ) - 2iImr / r ]
i ln[i - Imr / rg ±
(Imr / r )4 + (Imr / r )2 + (Imr / r )2
2
+
+ i
(Imr / r ) + (Imr / r ) - (Imr / r )
g g-— ] = -i ln[i - Imr / rg ± a + /6]
arctan(-
1 + b
Imr / rg ± a
) - i 1п^(1 + b)2 + (Imr / rg + a)2
Имеем формулу для значения времени
ct ж Imr / rg + a
— = —+ arctan(-5-
rg 2 1 + b
) - i ln ^(1 + b)2 + (Imr / rg + a)
При этом мнимая часть времени растет, а действительная часть стремится к константе.
Список литературы 1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля т.П, Наука, М.: 1973,-564с.
2. Якубовский Е. Г. Модель комплексного пространства и распознавание образов. На стыке наук. Физико-химическая серия. Т.2, Казань, Шр^ЛБЙпа .msu.rU/media/publications/article/211/Ь^/6068343/г aspoznavobrazovwithouteqution.pdf - 2014, стр. 186187.
2
2
