Релятивистская ковариантность уравнений Максвелла Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 538.3

Э.И. Идаятов, Г.М. Мусаев, А.К. Рабазанов

Релятивистская ковариантность уравнений Максвелла

Дагестанский государственный университет; Россия, 367001, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43 а; mgm20001942@mail.ru

Приведено непосредственное доказательство ковариантности уравнений Максвелла в материальной среде при наличии зарядов и токов в трехмерной форме относительно преобразований Лоренца. Показана невозможность доказательства ковариантности отдельно взятого уравнения Максвелла относительно преобразований Лоренца. Ковариантность двух уравнений Максвелла, не содержащих заряды и токи, доказывается отдельно от ковариантности двух других уравнений Максвелла, содержащих заряды и токи. Внесена ясность в часто обсуждаемый в литературе вопрос о том, какие из уравнений Максвелла считать первой парой, а какие - второй парой. Также указано на ошибочность часто повторяемого в литературе утверждения о том, что уравнения Максвелла релятивистски инвариантны.

Ключевые слова: ковариантность уравнений Максвелла в трехмерной форме, первая и вторая пара уравнений Максвелла.

Известно, что уравнения Максвелла

rot E = -18B, div B = 0, rot H = — j + 18D, div D = 4жр, (1)

c 8t c c 8t

лежащие в основе электродинамики, не изменяются при переходе от одной системы отсчета S к другой инерциальной системе отсчета S', движущейся относительно S прямолинейно и равномерно с произвольной скоростью v . Другими словами, уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца для координат x, y, z и времени t. Однако численные значения конкретных физических величин

E, B, H, D, j, р, входящих в уравнения (1), изменяются.

В обширной литературе, посвященной изложению теории электромагнитных явлений в средах [1-10], непосредственно в трехмерной форме не показана ковариантность уравнений Максвелла (1) относительно преобразований Лоренца.

Чтобы показать ковариантность уравнений (1) относительно преобразований Лоренца, положим, что система отсчета S' движется относительно S с постоянной скоростью v вдоль оси Ox и соответственные оси обеих систем параллельны. В этом случае преобразования Лоренца для координат и времени можно записать в виде:

Xi = OpX 'P, (2)

где i, p пробегают значения 0,1,2,3 ; индекс p в (2) немой, следовательно, по p идет суммирование от 0 до 3; x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z, x'° = ct', x'1 = x', x'2 = y', x'3 = z ; oc'p - матрица преобразований Лоренца от системы S к системе S':

f - у/ 0 0Л

=

у

у/ у 00

00 1 0

0 0 0 1

у =

/=-

2 С

(3)

Свяжем с равномерно и прямолинейно движущейся средой систему отсчета 5', которая движется вдоль оси Ох со скоростью V , равной скорости среды. Относительно этой системы 5 ' среда покоится, но относительно системы отсчета 5 среда движется. Уравнения Максвелла относительно системы отсчета 5 ' будут

rot'E = -- —, divB = 0, rot'H = — J + , div'D = 4кр'. c dt' c c dt'

(4)

Здесь штрих означает, что производные по координатам и времени берутся по X', у', z', t' от величин Е', В', Н', D' , 7', р', измеряемых наблюдателем, покоящимся относительно 5 ', т. е. наблюдателем, движущимся вместе со средой.

Преобразования Лоренца для компонент векторов Е', В', Н', D' , 7' и плотности заряда р' задаются формулами [3]:

Е'х = ЕХ, Е'у = у( Еу - рвг), е: = у( Е + рВу),

В'х = Вх, Ву = у( Ву + 0: ), в: = у( ВВ: - рЕу ) ,

Ях = ^Зх, Ву = у(¿у - рНг), Я: = у(Д + рНу), НХ = Н, ну = у( ну + рЬг), н: = у( Н: - рЬу),

¿Х = у(!'х - ^), ]'у = 1у, ¿'г = Л , р' = у

(5)

' - 3 ~л

Р--Jx

Заметим, что Е, В, Н, Д 7 и р есть значения этих величин, измеряемые наблюдателем относительно 5 , но не покоящимся относительно 5 , т. е. относительно

движущеися среды. Очевидно, что

аг . а«и а«и ахк K а«

— = , —=—F— = «

ах' ' ах' ' ахк ах'р

5XK '

(6)

где « - ^ -тая компонента любого из вышеприведенных векторов E , B , H , D , J или величина р .

Если в уравнениях (4) переИти от штрихованных величин E' , B' , H' , D' , J', р ' к нештрихованным величинам согласно (5) и воспользоваться соотношениями (6), то получим (учитывая, что /3 = —c = const):

1

+ ¡3 div B = 0,

' t E 1 ^

rot E +--

с dt

v

i

1 dB

div B + 3 rot E +--

с dt

V У

Г ~T An ~ 1 dD rot H--j---

с с dt

v У

0.

- 3div D - Anp )

0.

|div D - Anp )- ¡3

Г T~T An ~ 1 dDЛ rot H--J---

с с dt V У

= 0.

(7)

(8)

(9)

(10)

Поскольку векторные величины Е, В, Н, D, j и величина р являются величинами, измеряемыми покоящимся наблюдателем в среде, которая движется, то нельзя заранее считать, что и для этих величин уравнения типа (1) выполняются (координаты

X, у, z и время t те же самые, но величины Е, В, Н, D, у и р др.). Каждое из уравнений (7-10) в отдельности нельзя привести к виду, соответствующему системе 5 (см. (1)). Это можно сделать, рассматривая совместно уравнение (7) с уравнением (8) и уравнение (9) с уравнением (10).

Умножая (8) скалярно на вектор /3 и отнимая полученное уравнение из (7), имеем:

(1 - 3)

(

rot II +

1 dB

с dt

=0.

(11)

Так как / = V/с и скорость V среды не может равняться С (согласно первому постулату специальной теории относительности, тело (среда), у которого масса покоя не равна нулю, не может двигаться со скоростью, равной С), то / ^ 1 и множитель 1 - /32 в (11) не равен нулю. Следовательно, второй множитель в произведении (11) должен равняться нулю, т. е.:

Л 1 dB .

rot E +--= 0,

с dt

что совпадает с первым уравнением Максвелла системы (1). С учетом (12) из (7) получим:

(12)

div B = 0. (13)

Аналогично, умножая (10) скалярно на ¡3 и складывая полученное уравнение с (9), получим:

(1 - 3)

Г ~Т An ~ 1 dD

rot H--j---

с с dt V У

= 0.

(1A)

Множитель (1 -р2) ^ 0 и из (1A) следует, что:

rot H

г~ 4к ~ 1 3D

= 0,

(15)

c c 3t

а с учетом (14) из (9) следует

div D - 4яр = 0.

(16)

Как видно из (12), (13), (15) и (16), уравнения Максвелла в средах не изменяются,

движется ли среда или покоится, хотя конкретные величины Е, В, Н, I, ] и р) в уравнениях (12-16) не равны тем же величинам в системе (1). Это указывает также на ошибочность часто встречающегося в литературе утверждения о том, что уравнения Максвелла релятивистски инвариантны.

Для релятивистской инвариантности уравнений Максвелла необходимо, чтобы не только уравнения Максвелла не изменяли своего вида при преобразованиях Лоренца, но и все величины, входящие в эти уравнения, были бы равны друг другу с точки зрения покоящегося и движущегося с постоянной скоростью V наблюдателей.

Как было отмечено выше, нельзя уравнения (7-10), рассматривая каждое в отдельности, привести к виду (12-16). Необходимо рассматривать попарно уравнения (7), (8) и уравнения (9) и (1). Нам кажется, что это и служит основанием того, почему в литературе первые два уравнения Максвелла в (1) называются первой парой, а третье и четвертое уравнения системы (1) - второй парой уравнений Максвелла.

Литература

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. - 9-е изд. - М.: Наука, 2012. - С. 504.

2. Топтыгин И.Н. Современная электродинамика. Ч. 2. Теория электромагнитных явлений в веществе. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. -

3. Кулябов Д.С., Немчанинова Н.А. Уравнения Максвелла в криволинейных координатах // Вестник РУДН. Серия. Математика. Информатика. Физика. - 2011. - № 2. -

4. Itin Yakov. Covariant jump conditions in electromagnetism // Annals of Physics. -2012. - V. 327. - P. 359-375.

5. Абдурахманов А.А., Идаятов Э.И. Методические указания к решению задач по электродинамике (специальная теория относительности). - Махачкала: Изд-во ДГУ, 1990. - 20 с.

6. Noninski V.C. Special Theory of Relativity and the Lorentz Force, philsci-archive.pitt.edu, document: PITT-PHIL-SCI00001006 (2003).

7. Tomislav Ivezi c. The Proof that Maxwell equations with the 3D E and B are not covariant upon the Lorentz transformations but upon the standard transformations: The New Lorentz invariant field equations // Found. Phys. - 2005. - V. 35. - P. 1585-1615. physics/0409118.

8. МалыхМ.Д. О решениях уравнения Максвелла на базе геометрической оптики // Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. -2015. - №1. - С. 37- 44.

9. Кулябов Д.С. Простейшая геометризация уравнений Максвелла // Вестник РУДН. Сер. Математика. Информатика. Физика. - 2014. - № 2. - С. 115-125.

10. Jose A. Heras. A formal interpretation of the displacement current and the instantaneous formulation of Maxwell's equations // Journal ref: Am. J. Phys. - 2011. - V. 79. - P. 409416.

С. 848.

С.172-179.

Поступила в редакцию 21 декабря 2015 г.

UDC 538.3

Maxwell's equations relativistic covariance E.I. Idayatov, G.M. Musaev, A.K. Rabazanov

Dagestan State University; Russia, 367001, Makhachkala, M. Gadzhiev st., 43 a; mgm20001942@mail.ru

The given article produces immediate proof of Maxwell's equations covariance in the material medium under the conditions of charges and currents in three-dimensional form with regard to Lo-rentz's transformation laws. The authors stress that it is impossible to prove covariance of Maxwell equation taken separately with the regard to Lorentz's transformation laws. The covariance of Maxwell's two equations containing no charges and currents is proved apart from two other equations containing charges and currents. The problem widely debated in literature concerning the order of priority in Maxwell's equations (which pair of the equations comes first) - is clarified. It is also stressed that a widely propagated statement - that Maxwell's equations are relatively invariant - are misguiding and errraneous.

Keywords: Relativistic covariance of Maxwell's equations in three-dimensional form, the first and second pair of Maxwell's equations.

Reсeived 21 Deсember, 2015