CC BY
16
УДК 531.19+533.9
РЕЛАКСАЦИЯ В АНСАМБЛЕ ОГРАНИЧЕННЫХ КУЛОНОВСКИХ ПАР
С. Н. Андреев, А. А. Самохин
Исследуются релаксационные процессы в ансамбле независимых кулоновских пар, движение которых ограничено на плоскости упруго отражающими стенками. Показано, что влияние соударений частиц с неподвижными стенками приводит к дополнительной ионизации или рекомбинации в зависимости от вида начальной неравновесной функции распределения частиц. При адиабатическом сближении (раздвижении) стенок преобладающим процессом является ионизация (рекомбинация).
Вопросы применимости основных положений статистической механики к система , из небольшого числа частиц привлекают к себе внимание исследователей уже на протя жении многих лет (см., например, [1 - 4] и цитированную там литературу). В работа: [1, 2] были рассмотрены свойства адиабатического и других ансамблей на примерах двух простейших "неидеальных" систем: одномерного гармонического осциллятора и симметричной кулоновской пары, ограниченных абсолютно упругими стенками. Ре зультаты этого рассмотрения показывают, в частности, что флуктуации энергии в адиабатическом ансамбле для симметричной кулоновской пары отличаются от флуктуации в квазиравновесном каноническом ансамбле и близки к тем значениям, которые даются полученной ранее формулой [5] для больших термодинамических систем. Одна ко в ансамблях из таких простейших систем фактически отсутствует релаксация, го есть эволюция начального неравновесного состояния к равновесному, хотя равновесие системы может сохраняться в ходе адиабатического процесса.
В настоящей работе исследуются процессы релаксации в ансамбле изолированных кулоновских пар, движение которых ограничено на плоскости внутри квадрата с зеркально отражающими стенками. Такая постановка позволяет использовать точное ре шение кеплеровской задачи для свободного движения кулоновской пары на интервале
времени между двумя последовательными соударениями частиц со стенками. В то же время эта система является простейшей моделью "плазмы", в которой могут наблюдаться процессы ионизации и рекомбинации в ограниченном объеме. Подобная модель использовалась ранее в [6] для анализа равновесного распределения и проверки эргодичности данной системы, но процессы релаксации к равновесному ансамблю при различных неравновесных начальных распределениях при этом не обсуждались.
Рассматриваемая система описывается гамильтонианом
Я(р„р+ (1)
где Ш1, т2 - массы, рг, р2 - импульсы частиц, Гх и г2 - радиус-векторы частиц, лежащие в квадрате со стороной 2Ь с центром в начале координат, параметр а > 0 определяет силу взаимодействия между частицами, Кс - кинетическая энергия поступательного движения центра масс, Ес - энергия частиц в системе центра масс, причем Ес < Е. Движение частиц внутри квадрата описывается известными кеплеровскими формулами, а при соударении частицы со стенкой ее нормальная компонента скорости меняет знак, вследствие чего происходит изменение параметров кеплеровской траектории.
Для численной реализации данного процесса была написана программа, в которой положение частицы на ее кеплеровской траектории в момент соударения со стенкой определялось методом итераций с точностью ¿г/Ь = 0.5 • Ю-6 по каждой из компонент. Часть траекторий (эллиптические, близкие к параболическим, а также трактории с лобовым соударением), на расчет которых затрачивалось слишком большое время £ > ¿1, исключалась из рассмотрения. Число таких исключенных систем в расчетах релаксации с покоящимися стенками не превышало пяти процентов от их общего количества.
При отсутствии стенок вместе с полной энергией Е сохраняется также энергия Ес в системе центра масс. В результате упругого соударения частицы со стенками величина Ес меняется при сохранении полной энергии, т.е. происходит перераспределение энергии между относительным движением частиц (в системе центра масс кеплеровской задачи) и движением их центра масс. Величина Ес при этом может менять знак, что соответствует ионизации, когда Ес становится положительной, или рекомбинации в противоположном случае. Благодаря этому обмену распределение системы по ее энергии Ес, определяемое по относительному времени пребывания системы в данном состоянии за полное время наблюдения Т, при достаточно больших Т стремится к своему равновесному значению, соответствующему распределению в микроканоническом ансамбле, т.е. данная система оказывается эргодической [6].
Функция распределения р(Ес, ансамбля систем с заданной полной энергией Е остается постоянной во времени в соответствии с уравнением Лиувилля, если ее начальное значение р(Ес, 0) = рт(Ес) является равновесным и соответствует, например, микрока ионическому распределению рт(Ес).
В противном случае р(Есэволюционирует во времени, стремясь к своему равновесному значению. После примерно одного соударения каждой частицы со стенками неравновесные функции распределения р(Ес,1) ансамбля, содержащего N = 4060 си стем, с начальными значениями р(Ес,1) в виде дельта-функций по Ес, локализованных при Ес = Ес (начальные условия выбирались произвольно с сохранением скоростей и относительных координат), приводится на рис. 1 для двух случаев с Ес = —4.5 и Ес = 2.27 (вертикальные пунктирные прямые) при одинаковой полной энергии Е = 5 (т\ = т2 = 1, а = 350, Ь — 100). Сплошная линия соответствует начальной локализации при Ес = 2.27, а пунктирная Ес = —4.5. Как следует из этого рисунка, исходная сильно неравновесная функция распределения очень быстро утрачивает свои первоначальный вид, т.е. перемешивающее влияние стенок в данной системе оказыва ется весьма сильным.
Рис. 1. Неравновесные функции распределения р(Ес,1) после примерно одного соударения ><:а частицу с начальными значениями Ес = —4.5 (штриховая линия) и Ес = 2.27 (сплошная линия) и с одинаковыми полными энергиями Е = 5.
Рис. 2. Функция распределения р(Ес,1) с Ес = 2.27 в момент времени t = te (ломаная линия) и соответствующее микроканоническое распределение с Е = 5.
На рис. 2 приводится неравновесная функция распределения р(Ес, (ломаная линия), соответствующая начальной энергии Ес = 2.27 в момент времени 1е — 500, равный при мерно семи соударениям на частицу со стенкой, а также равновесная микроканоническая функция распределения (гладкая кривая). Кривая р(Ес,2) для Ес — —4.5 с точностью до малых флуктуаций совпадает с кривой, соответствующей Ес = 2.27, и на рисунк< не приводится. Из этого совпадения и из сравнения кривых на рис. 2 следует, что уже за время ¿е в рассматриваемом ансамбле устанавливается стационарное (равновесное) распределение, близкое к микроканоническому распределению рт(Ес). Выражение для рт(Ес) определяется соотношением
рт(Ес) = (1/1) I ^(Е-Я(р1,р2,г1,г2)Ж£с-Я1(р1,р2,г1,г2))ф1(/р2^г^г2, (2)
где #1(рьр2,г1,г2) = Я(р1,р2,гьг2) - (р! + р2)2/2(тг + т2), Е - полная энергия системы, а I - нормировочная константа, определяемая из условия / рт(Ес)().Ес — 1.
В общем случае интеграл (2) может быть вычислен лишь численно, однако для случая равных масс частиц (шх = т2 = т) удается получить аналитическое выражение для рт(Ес) [6]. Если полная энергия системы Е > —а/(2\/2Ь), то выражение для рт(1 имеет вид
С -а/(2уДЬ) <ЕС<Е
МЕС, Ь) -а/(2Ь) < ЕС < -а/(2у/2Ь), (3)
Ь(ЕС,1) Ес<-а/(2Ь)
где С = 6, ЛСЕс, Ь) = (2 - 3(4 + 8V/?ГI7T(2£2 +1) - 6£2(2 + тг + 4 агс8ш(1/£))), /з(Яс, Ь) = £2(3£2 + 16£ + бтг), £ = а/(2ЬЕс), нормировочная константа /0 = (а/(21))(8(1 - л/2) + 6/£0 + 241п(1 + л/2)), а £0 = (а/(2ЬЕ)). При -а/(2л/2£) < Е < -а/(2Ь) функция распределения рт(Ес) имеет вид
е) Ес<-а/(2Ь),
где Л - (а/(22,))(8 + 2/£0 + 6£0(2 + тг) + $ + 8^о ~ 1(1/^о - £о) + 24^ агс81п(1/£0) + 241п((1 — — 1)/|6|)), а в случае Е < —а/(2л/2Ь) дается выражением
рт(Ес) = ЕС<Е, (5)
где /2 = + 8^о + бтг).
Рт(Ес) =
Существование трех различных выражений для микроканонической функции распределения в зависимости от величины полной энергии Е связано с наличием в системе двух характерных размеров: минимального 2Ь и максимального 2у/2Ь расстояния вну три квадрата. Если радиус локализации связанного состояния (Ес < 0) значительно превышает максимальное расстояние 2\/2Ь, то такое состояние практически не отличается от несвязанного, для которого Ес > 0, и частицы движутся фактически независимо. В случае же, когда радиус локализации связанного состояния много меньше 2Ь и полная энергия Е < 0, движение и взаимодействие со стенками пары частиц похоже на движение единого комплекса - одной частицы с суммарной массой частиц.
Для одноименно заряженной пары частиц (случай отталкивания) полная энергия Е и энергия в системе центра масс Ес < Е являются положительными, и микроканоническая функция распределения рт(Ес) при любых допустимых Е > ог/(2у/2Ь) определяется выражением
ГРМ-1/ 91{Ес,Ь) а/(2у/2Ь) < Ес< а/(2Ь) Рт{ с) 13\д2(Ес,1) а/(2Ь)<ЕС<Е,
где 91 (ЕС,Ь) = 3£4 + 4 - в^^77!^2 + 1) + 6£2(2 + тг - 4агсвш(1/0), 9г{.Е„Ь) = 6 -е{42 - 16£ + бтг), £ - а/(2ХЕе), 13 = Й - 8£02 + 6тг£0 - 8 - 4(61п(1 + уД)) + 6/£0 и £0 = а/(2ЬЕ). Релаксационные свойства одноименно заряженной пары частиц далее здесь для краткости рассматриваться не будут.
Во время эволюции р{Ес,{) от ее начального значения число систем в связанных состояниях Л^) может увеличиваться или уменьшаться относительно начальной вс личины А^ь(0). При Ес = 2.27, когда Л^(О) = 0, число связанных состояний в равновесии увеличивается до 51.7% от общего числа систем N, то есть в данном случае соударе ние частиц со стенками приводит преимущественно к рекомбинации. Если Ес = —4.5, то преимущественным процессом оказывается ионизация: число связанных состояние уменьшается от начального значения N(,(0) = 4060 до равновесного ЛГ& = 2100.
В процессе релаксации ансамбля к равновесию функция распределения частицы по импульсу р(р, ¿), как и р(Ес,£), стремится к микроканонической функции распределения. На рис. 3 приводится функция распределения ¿), отвечающая начальному значению Е = 2.27 в момент времени £е (ломаная линия) и соответствующая ей микрокано1 ческая функция распределения рт(р) (гладкая сплошная линия) при Е = 5, а также максвелловская функция распределения (пунктирная линия) с температурой, равной удвоенной средней кинетической энергии 2К системы на каждую степень свободы (сл метим, что в рассматриваемой системе в равновесии устанавливается равнораспреде-
Рис. 3. Функция распределения частиц по импульсу р(р, 2) после семи соударений (ломаная кривая), соответствующее ей микроканоническое распределение (сплошная кривая). Штриховой линией показано максвелловское распределение с температурой Т = 2К.
Рис. 4. Микроканонические функции распределения рт(р) при различных полных энергиях ансамбля Е.
ление кинетической энергии по степеням свободы).
Несмотря на простой вид рассматриваемой системы, микроканоническая функция распределения рт(р) не очень сильно отличается от максвелловской, что связано с на личием взаимодействия между частицами. Для количественного сравнения функций распределения рассмотрим отношение V = 3(р2)2/(р4), где (р2), (р4) - второй и четвер тый моменты распределения. Для максвелловской функции и = 1. Для микроканонической функции распределения с Е = 5, приведенной на рис. 3, величина V = 0.44, а при Е = 16.6 V = 1.001, т.е. в этом случае рт(р) по данному критерию практически не отличается от максвелловской функции распределения.
С увеличением числа частиц в системе распределение по импульсу стремится к макс-велловскому практически независимо от характера взаимодействия и полной энергии, причем равновесное распределение устанавливается за время нескольких соударений (см., например, [7]).
Микроканоническая функция распределения по импульсу рт(р), как и рт(Ес), может быть вычислена аналитически, однако полученное выражение оказывается слишком громоздким и поэтому в общем случае здесь не приводится. При Е < —а)(2Ь)
выражение для рт(р) имеет сравнительно простой вид
тг*т>Ь<У2Ёфе0 + 326,/1(р) + 1б7г/.(р)2))
рт(р) =-рУ2-' '}
где {о — а/(2ЬЕ), а р(р) — р2/(2тЕ) — 1. Функции распределения />т(р), соответствующие различным полным энергиям Е, приведены на рис. 4. В случае Е >> а/(2Ь) = 1.75 (Е = 100 на рис. 4) функция распределения рт(р) стремится к функции распределения р*т(р) по импульсу для системы двух невзаимодействующих частиц, движение которых ограничено на плоскости внутри квадрата с зеркально отражающими стенками:
р*т{р) = \j2mE — р2/(тгтЕ). (8)
Отметим, однако, что /эт(р), в отличие от р*т{р), не обращается строго в нуль в области Н > Ро = \j2mE из-за наличия взаимодействия между частицами. В частности, при р = р0 имеем рт(ро)/рт(0) = 0.21.
Численное моделирование процессов релаксации при динамической эволюции в ансамбле изолированных систем позволяет также исследовать процесс "возврата" функ ции распределения к своему начальному значению р(Ес, 0) в момент времени 21 после обращения знака скоростей всех частиц в момент I > 0. На рис. 5 приводится функ ция распределения в момент времени t = 2£е после обращения знака скоростей частиц в момент ¿е = 500, который соответствует примерно семи соударениям на частицу в системе. При такой процедуре обращения в интервале энергии АЕ = ±0.5, около па чального значения Ес = 2.27 в момент 2£е оказывается 61%, а в интервале АЕ = ±0.25 - 52% систем.
Не слишком высокая точность возврата ансамбля в начальное состояние связана с ограничениями используемых вычислительных возможностей и может быть значительно улучшена. Однако, даже при такой точности можно утверждать, что выводы данной работы о характере релаксации ансамбля к равновесию верны не только на качествен ном, но и в значительной мере на количественном уровне, поскольку возврат ансамбля в начальное состояние оказывается вполне заметным на временах, вдвое превышающих время установления почти равновесного распределения 1е.
Полная энергия системы Е, сохраняющаяся при фиксированном положении стенок, будет изменяться при их движении. В случае достаточно медленного - адиабатического - движения стенок изменение Е будет обратимым. При нарушении данного условия энергия отдельной системы при возврате стенок в исходное положение уже не будет
1.2
1.0 I
I
16 т-
14 12 10
-2-4 -4 т/ -6 -
-8+-
ь- 0.6
•0.5 пь
_-0.4
0.3
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6
1
2 3
4 5
Рис. 5. Функция распределения ансамбля в момент времени I = 21е при обращении знака скоростей частиц в момент 1е.
Рис. 6. Поведение в процессе адиабатического раздвижения стенок полной энергии Е, энергии в системе центра масс Ес, суммарной кинетической энергии К и относительного числа связанных состояний пъ при начальном значении Е = 5.
совпадать со своим начальным значением, что соответствует "расплыванию" микро канонического ансамбля таких систем в подобном процессе. Например, при эволюции начального микроканонического ансамбля, состоящего из N = 173 систем, в процессе раздвижения стенок до значения Ь\/Ь = 4.8 со скоростью V = 0.01 (рис. 6) и последующем их сближении до начального положения Ь — 100 с той же скоростью (общее время процесса ¿2 = 76000) в интервале энергий АЕ = ±0.5 около начального значения полной энергии Е = 5 оказывается 55% систем. Такое расплывание фактически обусловлено двумя причинами: собственно эффектами неадиабатичности и упомянутыми выше погрешностями численного счета. Оценить последние можно посредством наблюдения за поведением полной энергии системы при неподвижных стенках на том же интервале времени. В данном случае расплывание микроканонического ансамбля, связанное с погрешностями численного счета за время оказывается сравнительно малым - в интервале энергий АЕ = ±0.05 вблизи начального значения энергии Е = 5 оказывается 77%, а в интервале АЕ = ±0.5 - 87% систем.
На рис. 6 приводится эволюция средних значений полной энергии Е, суммарной кинетической энергии К — А К частиц в лабораторной системе координат и их энергии Ес
/
в системе центра масс при адиабатическом раздвижении стенок в ансамбле, который первоначально имел микроканонический вид. На этом же рисунке приведена зависимость от Ь для относительного числа систем щ = Л^/Л^ в связанном состоянии. При раздвижении стенок преобладающим является процесс рекомбинации. Очевидно, что при сближении стенок преобладающим будет процесс ионизации, поскольку адиабатический процесс является обратимым.
Отметим, что средняя энергия в системе центра масс при раздвижении стенок ста новится отрицательной еще при положительных значениях полной энергии, когда воз можно существование как связанных, так и несвязанных состояний. Это обстоятельство обусловлено тем, что полная энергия отличается от энергии в системе центра масс на положительную величину - кинетическую энергию поступательного движения центра масс пары.
При дальнейшем уменьшении полной энергии средняя кинетическая энергия начинает возрастать, что связано с энерговыделением в процессе образования связанных состояний.
Таким образом, полученные в настоящей работе результаты демонстрируют существенную роль отражающих стенок в формировании ионизационного равновесия в данной системе с равными массами, которая проявляется уже после нескольких соударений частиц со стенками. По этой причине, как и предполагалось ранее [6], это влияние останется существенным и для системы из многих частиц, ограниченной зеркально отражающими стенками, если длина свободного пробега частиц относительно объемных процессов будет велика или сравнима с размерами ящика.
В отличие от процесса адиабатического изменения положения стенок, при котором происходит квазиравновесное (обратимое) изменение состояния системы, процесс мгно венного раздвижения стенок из положения Ь в положение Ь\ > Ь (при этом полная энергия системы Е не успевает измениться) является необратимым и неравновесным. Тем не менее, состояние системы по окончании процессов релаксации к равновесному микроканоническому распределению фактически является известным, поскольку известны конечные значения Е и I параметров микроканонического распределения.
Чтобы найти конечное состояние системы в случае адиабатического изменения положения стенок, необходимо знать закон эволюции полной энергии системы в адиабатическом процессе, т.е. соотношение, связывающее Е и Ь. Однако, общее выражение для такого соотношения известно лишь в двух предельных случаях - это адиабатический инвариант для одномерных динамических систем и энтропия для больших систем
в термодинамическом пределе. Вопрос о том, что является аналогом адиабатического инварианта (или энтропии) в промежуточном случае систем с небольшим числом степеней свободы, в последнее время исследовался в ряде работ (см., например, [8 - 13]), но пока еще его нельзя считать окончательно решенным. Открытым остается также вопрос о виде адиабатического ансамбля для систем с небольшим числом степеней свободы. Исследование адиабатического ансамбля для рассмотренной в статье системы будет проведено в дальнейшем.
ЛИТЕРАТУРА
Андреев С. Н., Самохин А. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 4, 3 (2000).
Андреев С. Н., Самохин А. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 11, И (2000).
В о г g о п о v i F., I z г a i 1 е v F. М. Phys. Rev., Е62, 6475 (2000). Митюгов В. В. УФН, 170, 681 (2000).
Samokhin A. A. Physics Letter, 36А, 372 (1971); Samokhin А. А. Physica, 58, 26 (1972).
Игнатов А. М. и др. УФН, 165, ИЗ (1995).
X а з и н М. Л., Чернавский Д. С. Краткие сообщения по физике ФИАН. N 11, 28 (2000).
О t t Е. Phys. Rev. Lett., 42, 1628 (1979). Brown R. et al. Phys. Rev. Lett., 59, 1173 (1987). J a r z у n s k i C. Phys. Rev., A46, 7498 (1992). Jarzynski C. Phys. Rev. Lett., 71, 839 (1993). Wilkinson M. J. Phys. A: Math. Gen., 23, 3603 (1990). Wood W. et al. Phys. Rev., E63, 01106 (2000).
Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 19 марта 2001 г.
