CC BY
21
РЕЛАКСАЦИИ НЕКОТОРЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
А. Г. Ченцов
§ 1. Введение. В статье рассматривается задача асимптотической оптимизации по конусу, соответствующему поточечной упорядоченности пространства оценок, в условиях возмущенных ограничений. Основным инструментом исследования являются конструкции расширений с использованием конечно-аддитивных (к.-а.) мер [1, гл. III, IV]. Расширения и релаксации различных классов экстремальных задач («скалярной» оптимизации) рассматривались в: [2 —5] —задачи оптимального управления, [5, 6] —задачи вариационного исчисления, [7, 8] —задачи математического программирования, [9 —11] —игровые задачи управления. В [12] была предложена общая схема расширения задачи с ограничениями асимптотического характера. К постановке такого рода могут быть сведены многие практические задачи. В настоящей работе используется подобная конструкция расширения, она близка в идейном отношении [13 — 18]. Простой пример исследуемой далее общей задачи можно получить, рассматривая линейную управляемую систему
x(t) = A(t)x(t) + f(t)b(t), (1.1)
функционирующую в n-мерном фазовом пространстве на заданном конечном промежутке времени [t0, 0О], t0 < 0О. начальное состояние x(t0) = x0 исследуемой системы полагаем заданным (х0 — n-мерный вектор); выбор управления-программы f=(f(t), t0 ^ t < 0o) стеснен следующими условиями
во
J|F(t)|dt<c, (1.2)
to
(ка) т..., К(г)ад<к)еу. (1 .з)
«о 'о
Здесь: с е [О, со [, У — множество в ш-мерном пространстве, взт — заданные функции. Управление Г в системе (1.1) полагаем скалярным (см. [14] по поводу системы.(1.1) —(1.3)). Критерий качества в простейшем случае может определяться непрерывной зависимостью конечного состояния, как в [14]. Однако нередко возникает потребность и в рассмотрении многокритериальных задач. Сейчас мы для определенности ограничимся содержательным обсуждением следующего естественного случая задачи оптимизации по конусу, предполагая заданным непустое множество Л в п-мерном фазовом пространстве (мы полагаем выполненными естественные условия на систему (1.1): матричнозначную функцию А(-) полагаем для простоты непрерывной на [10, в0], а вектор-функцию Ь(-) = (ЬО), 10 ^ 1: < в0) — склеенной из сужений непрерывных на [10, 0О]' функций на полуинтервалы вида [а, Р [Д0 < а < /? < в0, т. е. кусочно-непрерывной и непрерывной справа. Мы полагаем допустимые управляющие программы Г кусочно-постоянными и непрерывными справа функциями, определенными на 1= [10, 0о [ и принимающими числовые значения; множесхво всех таких функций Г обозначим через Р. Каждой программе Г б Б сопоставляется единственное движение срг = {(р/Х), ^ I ^ в0) системы (1.1), определяемое известной формулой Коши [19]. Будем полагать до конца параграфа заданным непустое множество с= [1:О,0О], в точках которого «замеряются» эвклидовы уклонения р^ф фазового вектора ср^ц) относительно множества Л (р/ — расстояние от (р^) до Л), так что управлению ГеБ сопоставляется «вектор» невязок (рДя), Я е С?). Теперь уже естественным является стремление к его минимизации в смысле поточечного порядка (в случае конечного множества С> такая постановка соответствует задаче многокритериальной оптимизации), если наши интересы связаны с вопросом об удержании траекторий «возле» Л для моментов времени Я е 0. Излагаемая ниже конструкция позволяет исследовать зависимость Оптимума данной задачи от возмущений условий (1.2), (1.3) при естественных и неограничительных предположениях о в15..., 8т, У: множество У следует полагать замкнутым, а функции 81,...,8Ш можно в простейшем случае подчинить тем же ограничениям, что и компоненты Ь(-). Значение (обычное или «асимптотическое») следует определять в данной задаче как множество минимальных элементов. При этом для корректного определения следует использовать некоторые весьма несложные
топологические конструкции, изложение которых мы сейчас опустим, отсылая к [20]. Ограничимся здесь только одним суждением принципиального характера. Именно, в вопросах, касающихся устойчивости по результату, рассматриваемая задача обладает определенной грубостью «в некоторых направлениях» при возмущениях типа ослабления соответствующих условий. В частности, это касается ресурсного параметра с в (1.2), а также тех номеров i = l,...,m, для которых s¡ являются кусочно-постоянными и непрерывными справа функциями (мы ограничиваемся сейчас лишь самыми простыми суждениями, игнорируя обобщения). Отметим одно важное обстоятельство: в целом ряде случаев может оказаться недостаточным рассмотрение в (1.3) лишь «конечного» интегранта; речь идет о ситуациях, когда функций s¡ « бесконечно много », а множество Y задано в соответствующем функциональном пространстве [18]. В этой связи приводимая ниже схема будет ориентирована на этот более общий случай задания ограничений. Наконец, формула Коши позволяет сводить вышеупомянутую задачу к виду, характерному для постановок бесконечномерных задач математического программирования. Поэтому специфика задачи управления ниже не используется, как и в [21]. Итак, в дальнейшем рассматривается абстрактная постановка, к которой, в частности, может быть сведена вышеупомянутая задача управления.
§ 2. Конечно-аддитивные меры. Далее используются кванторы, связки, специальные символы def (по определению) и
У (равно по определению), и т. п. Фиксируем: непустое множество Е, полуалгебру L подмножеств Е (см. [22, с. 46], [23, с. 37, 39]), а также к.-а. меру r¡:L-*[0, со[, получая в виде (Е, L, r¡) аналог «стандартного» пространства с мерой. Ниже используется символика [23, 24]. Через (add) + [L ] обозначим конус всех неотрицательных к.-а. мер на L, а через A (L) — множество всех к.-а. мер
ц-v, Cu, v)e(add)+ [L] х (add)+ [£];
элементы A (L) — суть к.-а. меры ограниченной вариации и только они. Если L £ L, то Xl е есть def характеристическая функция L [1, с. 13]. Через В0(Е, L) обозначаем линейную оболочку \yL: L е L} в пространстве R£ всех функционалов на Е с поточечно определяемыми линейными операциями и умножением; элементы В0 (Е, L) именуют обычно ступенчатыми функциями. Замыкание В0(Е, L) в пространстве В(Е) всех ограниченных функционалов на Е с традиционной sup-нормой || - ]j [1, с. 261] обознача-
ем через В(Е, L), что вполне согласуется с символикой [1, гл. IV];' В (Е, L) с нормой, индуцированной из (В(Е), || • ||), есть банахово пространство. Пространство В* (Е, L), топологически сопряженное к В(Е, L), изометрически изоморфно A (L) с нормой-вариацией; соответствующий изометрический изоморфизм A(L) на В*(Е, L) может быть определен уже посредством простейшей конструкции интегрирования [23, гл. I], [24, с. 75, 76], которая используется ниже без дополнительных пояснений. Если feB(E, L), то через f^rj обозначаем далее неопределенный ^-интеграл f [24, с. 76], f^tjeA (L). Введем в рассмотрение конус
(add)+ [L; rj\ ={ме (add) + [L ] | У L е L:
(2.1)
(y(L) = 0)=>(/i(L)=0)}; через A2[L] обозначим множество всех к.-а. мер
ц—v, (ц, v)e(add)+ [L; г)] х (add)+ [L; rj],
получая линейное подпространство A (L), порожденное конусом (2.1). Нам потребуются некоторые топологические понятия. Если (Т, т) — топологическое пространство [25], S — подмножество Т, то через т|5 обозначаем топологию S, индуцированную из (Т, т) [25, с. 77]; (S, т|5) именуется подпространством (Т, т). Если т —топология вещественной прямой R, а Р—непустое множество, то через ®р(т) обозначаем естественную тихоновскую топологию множества Rp всех функционалов на Р, получая в виде (Rp, <Е>р(т)) произведение экземпляров (R, т), или тихоновскую Р-степень (R, т). В качестве т будем использовать либо естественную | • 1-топологию тк[25, с. 61], либо дискретную топологию т множества R, т. е. семейство всех подмножеств R. В качестве F может, в частности, использоваться и сама полуалгебра L. Полагаем соответственно
=®l(g|Am, Т0 (L) (L). (2.2)
Эти «нестандартные» топологии (2.2) дополняем естественной *— слабой топологией A (L), обозначаемой через т, (L). Указанная топология [16, 18] связана со свойством изометрической изоморфности A (L), В*(Е, L). Она отвечает, таким образом, ситуации, когда В(Е, L) используется в качестве предсопряжен-ного, по отношению к A (L), пространства. В отличие от (2.2), (A(L), т, (L))— «стандартное» (локально-выпуклое) пространство, условия компактности [26, с. 196] в котором определяются известной теоремой Алаоглу [1, с. 459]. Триада
м = {?*(£); т0 (L); T9(L)} (2.3)
определяет используемые далее топологические структуры A (L). Топологии т. (L) их0(Ь), вообще говоря, несравнимы, но каждая из них сильнее, чем т9(L). Если Н—сильно (т. е. по вариации) ограниченное подмножество A (L), то
(L) |я = т. (L) |н = ®Чтк)1я-
Данное соотношение обладает аналогом и для некоторых множеств Н, не являющихся сильно ограниченными. Именно, пусть
т: (L) А т. (L) |(вА0+гц.
х+0 (L) йЧ (L) | {adi)+[L], (Ь)+йх& (L)\{add) + [L].
Тогда х*{L) = х* (L) ci (L). Пусть \f be [0, оо[: * ®
Мь ^{fеВ0 (Е, X) | J | f | df/ < b>, (2.4)
E
Мь ={f*y]:feMb} (если f: E -» R, то | f | определяется традиционно как отображение, переводящее хеЕ в |f(x)|). Если цеА(Ь)), то через v„ обозначаем вариацию ц как функцию множеств на L (vM е (add) + [£]), определяемую, как известно, в виде точной верхней грани двухэлементного множества {ц; —¡л} в упорядоченности, индуцированной (в A (L)) поточечным порядком RL. Тогда в качестве обобщенного аналога (2.4) вводим \j b е [0, оо [:
E[b]4{Ai6A,[L]|v„(E)<b}. (2.5)
Отметим следующие свойства плотности (подробнее см. в [20]). Именно, ЧхеМ:
A, [L] — cl ({f^: fe В0 (Е, L)}, т)), (2.6)
Vbe[0, оо [:S [b] = с1(Мь» Для наших целей более существенно второе утверждение (2.6), характеризующее «замену» (2.4) множеством (2.5) как компак-тификацию, ибо (2.5) есть компакт в смысле топологии, индуцированной из (A(L), xt(L)).Указанное обостоятельство является простым следствием теоремы Алаоглу. По поводу обоснования (2.6) см. [27], где рассматривались аналоги данного равенства для случая положительных мер; трансформация этих утверждений [27] (см. также [18, 20, 21]) к виду (2.6) легко осуществляется с помощью разложения Жордана.
§ 3. Релаксация допустимых множеств. В настоящем параграфе рассматриваются вопросы допустимости обычных и обобщенных решений с точки зрения условий на соответствующий векторный интегрант. Кроме того, исследуется влияние возмущений с целью последующего применения соответствующих обобщенных конструкций в задаче оптимизации по конусу, рассматриваемой в следующем параграфе.
Пусть Г —непустое множество, Y — подмножество Rr (см. § 2), се[0, оо [,
(Sy)76r:r->B(E, L). (3.1)
Мы полагаем Y замкнутым в (Rr, Çg> г(тк)); на оператор (3.1) никаких условий не накладывается. В качестве основного (невозмущенного) условия рассмотрим следующее:
feB0(E, L), 11i\dri < с, (JS/d^eY; (3.2)
Е Е
элементы f, соблюдающие (3.2), назовем допустимыми. В свою очередь, «совокупность» всех таких допустимых элементов f будем называть допустимым множеством. Рассмотрим возмущения условия (3.2), обращаясь сразу к соответствующим допустимым множествам для релаксированных условий. Будем рассматривать и сравнивать между собой два типа возмущений. Первый тип определяется следующим образом (здесь и ниже Fin (Г) — семейство всех непустых конечных подмножеств Г). Пусть V К £ Fin (Г), е б [0, оо [:
ПС[К; s] û{feMc+£| существует уе Y: (3.3)
sup JSyfd»7 —у (у)
уеК Е
Замену допустимого по отношению к условию (3.2) множества на множество (3.3), где г > 0, можно трактовать как возмущение первого типа, при котором ослабляется как ресурсная часть ограничения (3.2), так и условие принадлежности к Y. Рассмотрим возмущения второго типа, фиксируя в дальнейшем множество Г0, Г0 с Г, удовлетворяющее условию: V у е Г0
S7eB0(E, L) (3.4)
(условие (3.4) существенно; см. по этому поводу [13 — 18, 20, 27]). Иными словами, Г0 есть множество ступенчатозначности оператора (3.1). Полагаем VKeFin(r), ее[0, со [:
С1°с [К; г] = {fgМс| существует у eY:(VyeKnro:
jS/d^yOO) и (Vy еК\Г0:
J" Sy fdrj — y (y)
< e)}. (3 5)
Множество (3.5) определяет (при s > 0) несколько более жесткий, на первый взгляд, тип ослабленных условий. Разумеется, Киев (3.3), (3.5) исполняют роль параметров, которые на уровне асимптотической постановки будут варьироваться. В этой связи введем (непустые) семейства
Гсё{Ос[К; в]: (К, e) e Fin (Г) х ] 0,оо[},
Г? A {fi? [К; г]: (К, в) e Fin (Г) х ]0, оо [},
используемые далее в качестве ограничений асимптотического характера. Если (Т, т) — топологическое пространство и Н —подмножество Т, то через cl (H, т) обозначаем замыкание H в (Т, т). Введем, кроме того, один специальный теоретико-множественный предел. Именно, если Я—непустое семейство подмножеств В0 (E, L) и т e М, полагаем
(rj — lim) [H; т] = n cl({f* t] : feH}, г). H еН
В качестве H можно, в частности, использовать Гс, Г°. Пусть, наконец,
йсй{цеS [с]
(JS,dAi)rereY}; (3.6)
(3.6) определяет расширение исходного условия (3.2).
Теорема 3.1. Пусть теМ. Тогда
(»7 - lim) [Гс, х]= (г,- lim) [Г°; т] = fic.
Доказательство данного утверждения подобно [28] (см. также [18]), но отличается тем, что в данном случае используются знакопеременные меры. Основой доказательства является (2.6) и теорема Биркгофа [25, 26]. Отметим в заключение, что условия fic ф ф, о фГ°с, феГ°с эквивалентны.
§ 4. Асимптотическая оптимизация. В настоящем параграфе мы рассматриваем задачу асимптотической оптимизации по конусу. Примером такой задачи может служить содержательная постановка § 1, касающаяся линейных управляемых систем. Всюду в дальнейшем фиксируем непустое множество Q произвольной природы; через ^ обозначаем поточечную упо-
рядоченность Л6. Оптимизацшо в (И2, ^)можно трактовать
как оптимизацию по конусу = ё(яУЬ
Мы рассматриваем в качестве пространства оценок <8>с(тц)» —), которое является упорядоченным топологическим пространством, согласованным в том смысле, что
^ а} есть замкнутое в (И6, (ти)) множество.
Пусть
(АГ([£], ¿Ч>[Ь] есть подпространство (А(Ь), х*(Ь)). Полагаем заданным оператор
т<;»[!]), (4.1)
где С (Ап [£], [£]) — множество всех непрерывных в смысле пространств (Ат<ДО), (И, тк) функционалов на А [Ц. С помощью (4.1) вводим целевой оператор
V/: -> И8"(Е'ц (4.2)
определяемый условием: W(q)(f) *//) при qeQ, ГеВ0(Е,
Ь). Пара согласованных операторов (4.1), (4.2) естественным образом трансформируется к следующему более удобному с точки зрения оптимизации виду. Именно, введем операторы
XV,: А, [¿] -> W,: В0 (Е, Ц -> И6, (4.3)
полагая ЧИеАпЩ, ГеВ0 (К, Ь), чеС>:
(р) (я) А W (ч) (м) и (Г) (я) А \у (я) (0. Поточечная согласованность пары (4.1), (4.2) порождает естественную согласованность операторов (4.3), а именно: V {е В0 (Е, Ь) \У»(1) = *г]). При этом есть оператор, непрерывный в смысле пространств (А,ДЬ], т(И*2, 0°(тк)). Если Н —подмножество АДЬ] (подмножество В0 (Е, . Ь)), то через \>^(Н) (через '
(Н)) обозначаем образ Н в силу оператора XV» (оператора \¥.). Справедлива следующая
Теорема 4.1. Множество всех обобщенных оценок, отвечающих и ограничению (3.6), и множества всех асимптотически достижимых в смысле \¥» и «ограничений» Гс, Г°с оценок совпадают:
П с1 (Т), ®е(т«)) =
Т еГ,
= п с1(\\^(Т), ®е(тк)).
ТеГ°
Доказательство использует теорему 3.1 и компактифика-тор § 2 при надлежащем выборе в (2.5) константы b > с. Подробные рассуждения приведены в [13, 20]. Они используют стандартные для современной топологии приемы прореживания произвольных направленносгей со значениями в компактном пространстве до сходящихся поднаправленностей и ряд специальных конструкций, аналогичных [18].
Еслй Н — подмножество RQ, то
-MIN)[Н] ü{veH 11V ueH: (u ^ v) => (u = v)}.
Теорема 4.2. Имеет место следующая асимптотическая эквивалентность по результату:
(ä_MIN)[wi(ne)] =
= ( = — MIN)[ n cl(Wi(T), ®ö(tr))] =
Ts rt
= (=—MIN)[ n cl(W*(T), ®Ö(TR))]. (4.4)
ТеГ?
Если при этом Qc ф ф, то и множество (4.4) является непустым.
Теорема 4.2. очевидным образом следует из предыдущей теоремы. Равенство (4.4) определяет, в частности, свойство асимптотической эквивалентности по результату экстремальных задач минимизации значений оператора W. в условиях «ограничений» Гс и Упомянутые семейства — ограничения асимптотического характера—различаются требованиями совмещения значений векторного f-интегранта со значениями уе Y в пределах Г0: в первом случае речь идет о приближенном совмещении на конечных подмножествах Г0, а во втором —о точном. Данное утверждение имеет целый ряд полезных следствий, из которых мы отметим сейчас только одно. Речь идет о том важном частном случае, когда при некотором neN Ä{1; 2;...} имеет место Г = 1, n = {ie./V|iп} и, кроме того, S;eB0(E, L) при всех ie 1, п. В этом случае в рассматриваемой общей конструкции можно полагать Г0= 1, п, что позволяет (в данном частном случае) истолковать утверждение теоремы 4.2 как своеобразное свойство устойчивости по результату. Действительно, в (3.5) можно (при Г0 = 1, п) полагать К = 1, п, и тогда при е>0 в виде множества
[1, п; £] мы получаем допустимое "в смысле условия (3.2) множество. Последнее является, таким образом, наименьшим
элементом (если принять вышеупомянутые дополнительные условия). Если же обозначить
Fâ{feMc|(ÎSyfd,,)vereY},
Е
то в нашем случае F е ,так что пересечение всех множеств
cl(WÏ(T), <8>СЫ), Те Г?,
есть cl (Wj (F), (g)Q (tr)). Последнее в (4.4) множество имеет теперь
смысл « обычного » значения, а сама теорема говорит об устойчивости. Отметим, что рассматриваемый частный случай охватывает условия вида
feB0(E,L), J|f|d^c,(ffd^=~eY,
Е L,
где Lj eL,..., LneL. Разумеется, Y является здесь замкнутым множеством в n-мерном пространстве.
ЛИТЕРАТУРА
1. Данфорд Дж. Т., Шварц Н. Линейные операторы. Общая теория. • М.: ИЛ, 1964, 895 с.
2. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.
3. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974. 488 с.
4. Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. Тбилиси: изд-во Тбилисского университета, 1977. 253 с.
5. Эк ланд Р., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационный и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 399 с.
6. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 479 с.
7.Даффин Р. Дж. Бесконечные программы/Линейные неравенства и смежные вопросы. М.: ИЛ, 1959. С. 263-276.
8. Гольштейн Е. Г. Теория двойственности в математическом программировании. М.: Наука, 1971. 351 с.
9. Красовский H. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974, 456 с.
10. Красовский H. Н. Управление динамической системы. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985. 518 с.
П.Субботин А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.
12. Ченцов А. Г. Оптимизация в условиях нечетких ограничений. Свердловск: Институт математики и механики УНЦ АН СССР, 1986. 54 с.
13. Ченцов А. Г. Расширения некоторых задач оптимизации по конусу в условиях возмущенных ограничений/УПИ им. С. М. Кирова, Свердловск, 1989. 103 с. Деп. в ВИНИТИ, № 2046-В 89.
14. Серов В. П., Ченцов А. Г. Об одной конструкции расширения задачи управления с интегральными ограничениями//Дифференциальные уравнения, 1990. Т. 26, № 4. С. 607-618.
15. Ченцов А. Г. Асимптотическая эффективность и расширения в классе конечно-аддитивных мер//Доклады АН СССР, 1990. Т. 314, № 5. С. 1085-1087.
16. Ченцов А. Г. К вопросу о расширении и устойчивости по результату в одном классе экстремальных задач//Кибернетика, 1990. № 4. С. 122, 123.
17. Белов Е. Г., Ченцов А. Г. Расширение и устойчивость некоторых многокритериальных задач//Кибернетика, 1990. № 5. С. 44 — 49.
18. Ченцов А. Г. Конечно-аддитивные меры и расширения некоторых нелинейных экстремальных задач с ограничениями асимптотического характе-ра//Кибернетика, 1990. № 6. С. 78-84.
19. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 331 с.
20. Ченцов А. Г. Асимптотическая оптимизация и конструкции компак-тификаций/УПИ им. С. М. Кирова. Свердловск, 1991. 103 с. Деп. в ВИНИТИ, № 401-В 91.
21. Ченцов А. Г. Допустимые множества и их релаксации. 1/Краевые задачи: Пермь, 1990. С. 185-195.
22. Невё Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. 309 с.
23. Ченцов А. Г. Приложения теории меры к задачам управления. Свердловск: Средне-Уральское книжное изд-во, 1985. 127 с.
24. Ченцов А. Г. К вопросу об универсальной интегрируемости ограниченных функций//Математический сборник, 1986. Т. 131, № 1. С. 73—93.
25. Келли Дж. Л. Общая топология. М.: Наука, 1981. 431 с.
26. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 751 с.
27; Ч е н ц о в А. Г. Об одном классе конечно-аддитивных мер, допускающих аппроксимацию неопределенными интегралами/УПИ им. С. М. Кирова. Свердловск, 1988. 39 с. Деп. в ВИНИТИ, № 4201 - В. 88.
28. Ченцов А. Г. Конечно-аддитивные меры в конструкциях расширения экстремальных задач/УПИ им. С. М. Кирова. Свердловск, 1988. 63 с. Деп. в ВИНИТИ № 5690-В 88.
