К вопросу об условиях асимптотической нечувствительности достижимого множества при возмущении части ограничений Текст научной статьи по специальности «Математика»

К ВОПРОСУ ОБ УСЛОВИЯХ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ НЕЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ достижимого МНОЖЕСТВА ПРИ ВОЗМУЩЕНИИ ЧАСТИ ОГРАНИЧЕНИЙ

Л. Г. Чендов1 Институт математики и механики УрО РАН

Рассматривается система интегральных ограничений и различные (по своей "глубине'') варианты ее возмущения Допустимые элементы (по смыслу "управления") переводятся заданным оператором в точки топологического пространства и реализуют в совокупности достижимое множество, подверженное возмущениям Исследуются "направления грубости", вдоль которых влияние возмущений "мало" В качестве непосредственных приложений можно отметить задачи теории управления с интегральными ограничениями различных типов Основу используемых конструкций составляют "расширенные" условия на пространстве конечно-аддитивных мер (обобщенных управлений) со свойством слабой абсолютной непрерывности относительно заданной меры

1. Введение

Одной из актуальных задач современной теории управления является проблема построения и исследования свойств областей достижимости [1-3], а также различных их аналогов (к числу последних можно отнести, например, пучки решений управляемой системы, порожденных допустимыми, в смысле соответствующих условий, управлениями) К сожалению, упомянутая проблема осложняется неустойчивостью уже в самых простых случаях линейных управляемых систем (см примеры [4, гл 1]) В частности, явления, связанные с неустойчивостью, имеют место при возмущении интегральных ограничений, которые возникают во мшлих прикладных задачах и, в частности, в задачах космической навш ации [5] (в последних весьма распространенным требовани-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (94-01 00350)

ем является ограничение на энергетику, имеющее вид неравенства, которому должен удовлетворять полный импульс управляющей силы).

Для формализации расширений естественных постановок задач управления с импульсными ограничениями нередко используется аппарат обобщенных функций [6, гл. II] (см. в этом направлении [7, 8] и целый ряд других работ). Однако применение этого подхода сталкивается с трудностями, связанными, в частности, с разрывными зависимостями, присутствующими в ограничениях задачи и правых частях соответствующих дифференциальных уравнений системы.

В [4] и в целом ряде предшествующих работ (см., например, [9, 10]) для преодоления этих трудностей использовались конечно-аддитивные (к.-а.) меры, исполняющие роль обобщенных управлений; в этом отношении имеется естественная аналогия с подходом [2, 11-14], где (для случая геометрических ограничений на выбор управления) в качестве обобщенных управлений использовались меры, действие которых можно истолковать в рамках известной концепции скользящих режимов [12, гл. III, IV].

Применительно к проблеме исследования асимптотического поведения областей достижимости линейных управляемых систем с интегральными ограничениями содержательное обсуждение конструкций расширения задачи управления в классе к.-а. мер см. в [4, п. 6.5; 15, п. 1], куда мы и отсылаем заинтересованного читателя (см. также [16-18]). В дальнейшем изложении мы рассматриваем некоторую "рафинированную" постановку, следуя в идейном отношении подходу [4, гл. V; 15-19] и имея в виду различные приложения (см., в частности, [4, п. 9.4], где рассматривалось расширение одной задачи со стохастическими ограничениями). Соответствующие приложения в достаточной степени освещаются в [4, 10, 15-18, 20]; в настоящем изложении мы останавливаемся лишь на новых моментах идейного характера.

2. Релаксации интегральных ограничений

Фиксируем измеримое пространство (Е,£),Е с полуалгеброй множеств и неотрицательную вещественнозначную к.-а. меру г), следуя [4, п. 4.2] ((Е, £, г/), в частности, может быть "стандартным" пространством с мерой [21, с. 141]). Будем использовать символику [4, гл. III, IV], напоминая лишь самые необходимые понятия.

Следуя (3.4.1) [4], введем линейное многообразие Во{Е,С) всех ступенчатых относительно (Е,С) функционалов на Е, а также его замыкание В(Е,С) в пространстве В(.Е') всех ограниченных функционалов на Е с sup-нормой [21, с. 261] ||-||, получая в виде подпространства (Ш>(£), || ||) банахово пространство, топологическое сопряженное которого отождествимо с пространством А(£) [4, с. 61] всех вещественнозначных к.-а. мер на £ с ограниченной вариацией; (сильная) норма А(£) вводится подобно [4, с. 62] сопоставлением каждой к.-а. мере /1 Е А(£) числа рм(Е), определяемого как полная вариация ¡1 на множестве Е. Через («r/d)+[£] обозначаем положительный конус А(£), следуя соглашению: в пространствах функционалов упорядоченность (а также линейные операции и умножение) определяются поточечно; т] 6 (a<W)+[£].

К ВОПРОСУ ОБ УСЛОВИЯХ

191

При определении интегралов элементов В(Е, £) относительно к.-а. мер из А(£) следуем схеме [4, гл. III]. Фиксируем непустые множества Г и fi, отображения

7 1 ш f

iSy Г —► В(Е, £), (2.1)

Lw £2—► £, (2.2)

Си Q —► [0,оо[, (2.3)

а также замкнутое, в топологии поточечной сходимости пространства Ж1 всевозможных функционалов на Г, множество У, К С 1Г. Рассмотрим следующее условие на выбор / 6 Во(Е, С):

(jf Syfdr,)je r £ к) & (Vu; G П . jf |/| di)

< си, (2.4)

(в (2.4) мы следуем традиционному соглашению в отношении обозначения функции-модуля; см.[4, с. 74]); возможна версия (2.4), где допускается выбор / € В(Е,£). В связи с существенной нерегулярностью (2.4) [4, гл. ¡; 15-18; 20] основное внимание уделяем исследованию релаксаций (2.4). Последние определяем путем ослабления (2.4), используя несколько вариантов введения возмущений, различающихся по "глубине"; мы ставим своей целью исследование весьма широкой "вилки" асимптотик возмущений условия (2.4) с сохранением (асимптотической) эквивалентности в смысле соответствующим образом определенных множеств притяжения в классе приближенных решений-направленностей. Нам потребуются некоторые обозначения, согласующиеся с [4, 15, 18]. Если Т — непустое множество, через Ет(Т) обозначаем семейство всех непустых конечных подмножеств Т\ для Р € F¿n(T) полагаем

С <3} (здесь и ниже = обозначает равенство по определению). В связи с (2.4) введем для К 6 /г'гп(Г) и 8 € [0, оо[ множество О к (6) всех отображений

(5;)7€К > В(Е,С)

таких, что \/у € К : \\Б''у — 57|| < 8. Кроме того, через (/<"'IN)[О] обозначаем семейство всех множеств 6 .Рт(П), для каждого из которых Зи> Е (д Ьш = Е. Эти определения связаны с построением одной асимптотики возмущений условия (2.4). Нам необходимо также дополнить сводку общих определений, следуя [4, 15, 18]. Через г*(£) обозначаем *-слабую топологию А(£), отвечающую двойственности

(В(Е,С), А(£))

и определяемую в [4, с. 71] (общее определение см. в [21, гл. V]), получая локально выпуклое хаусдорфово линейное топологическое пространство (ТП)

(А(£),г*(£)). (2.5)

Если Ь £ [0, оо[, то через [/;,(£) обозначаем множество всех таких к.-а. мер // б А(£), что Уц{Е) < 6; мы получили шар в сильной норме А(£). Ограниченная *-слабая топология А(£) определяется в виде семейства г£(£) всех таких множеств С, С С А(£), что Ср) открыто в 1)ь{£) с топологией

подпространства ТП (2.5) при всяком выборе Ь £ [0, оо[. Вводим т®(£) и т0(£),

как топологии А(£), отвечающие подпространству ( множество всех функционалов на £) в условиях, когда Шс рассматривается в виде тихоновского произведения экземпляров вещественной прямой Ж с обычной | • ¡-топологией и дискретной топологией множества Е соответственно; подробнее см. в [4, с .80]. Полагаем

ЯЯ*(£) й (г*(£); тз*(£)}, Ш{С) ~ Ш*(С) и {г^(£); г0(£)}.

Через Ач [С] обозначаем множество всех /I £ &(£) со свойством

У2, € £ : (ц(Ь) = 0) => = 0); (2 6)

(2.6) есть т.н. слабая абсолютная непрерывность /г по отношению к 1) [22]. Через обозначаем, следуя [4, с. 70], неопределенный интеграл / € В(Е,С)

относительно £ А(£). Нам потребуется М(£) = (асМ)+[£] х В(Е,С), и оператор

0*,/)—►/*/*•• М(£)—> А(£), (2.7)

обозначаемый через 2; ^-сечение 2 (2.7), т.е. ), есть правило, переводящее / £ 6(2?, £) в / * 1) € А,,[£].. Введем специальный "аппроксиматор" в виде направленности, подобной [4, с. 84]. Здесь и ниже под направленностью мы понимаем триплет, следуя [4, с. 28; 15, с. 114]: два первых элемента его составляют направленное множество (НМ) [23, с. 95], а третий является оператором, определенным на упомянутом НМ. Через В обозначаем (непустое) множество всех конечных разбиений Е элементами £ [4, с 58, 83]; В С Пп(С). Направление -< [4, с. 83, 84] на Р соответствует свойству вписанности [24, с. 196]. Для /г 6 А(£) функционал £ определяем (для Ь £ £) условиями-

вп[ц](Ь) = (1}(Ь))"1 ц(Ь) при 1](Ь) ф 0, 0п[ц](Ь) = 0 в противном случае. Если /х £ А(£) и К. £ Ш),то 0г/[/х; К] £ Во(Е, С) есть с!еГ такой функционал, что

ЧЬ £ /СУ* £ Ь : еп[ц-,1С}(х) = вп[ц]{Ь). (2.8)

Определение (2.8) соответствует по существу [4, с. 83, 84], но относится к случаю знакопеременной к.-а. меры /4. В частности, для ¡х £ А,, [£] в виде

6Ч [я; •]*>; = ©>,[/*;•]

(о — символ суперпозиции) имеем оператор из Ю> в ис{С), где с = ^ц(Е), причем направленность (И, -ч, вч[д; ■] * 1]) сходится в смысле [23, с. 96] к ц относительно любой топологии из Ш(£), образуя универсальный "аппроксиматор" (см. лемму 4.3.1 [4]), неоднократно используемый в дальнейшем. Если X — множество, то через В{Х) обозначаем множество всех таких непустых семейств X подмножеств X, что

У Л £ XVВ £ ХЗС £ X : С С А П В

(условие 0 £ Х\ выделяет среди Л^ £ В(Х) базисы фильтров X). Для оператора замыкания в ТП с топологией г используем обозначение с1(-,г).

К ВОПРОСУ ОБ УСЛОВИЯХ

193

Если X — непустое множество, Л' 6 (Т, г) - ТП (Т ф 0), а к есть

оператор из X в Т, то через (т - ЫМ)[X | к] обозначаем пересечение всех множеств с1(Н1 ([/), т), [/ 6 X, где ) есть (здесь и ниже) операция взятия образа. Тем самым определено [7, с. 42] множество притяжения в классе приближенных решений-направленностей.

Если (А), г?,/') есть направленность в множестве V ((А),^) — НМ, к — оператор из А в V), то через ( V - аяя)[А; к] обозначаем семейство всех множеств Х,Х С V, для каждого из которых За е Д)У/? € А : (а -< р)

(Ц0) € X),

Через (/ | С) обозначаем сужение [21, с. 13] произвольного оператора / на множество С, являющееся подмножеством области определения / Возвращаясь к условию (2.4), рассмотрим сначала вариант "глубокого" его ослабления. Если К € Пп{С),Р € ^т(Г),д е Fгn(Q) и е € ]0,со[, то через (Мт)[1С\ Р\($■,(] обозначаем множество всех таких (/л, /) € М(£),что «т м>-

((р I К) = (ч I К)) к (3у € YVT 6 Р : | J^fdfi - у(у) | < е) к (Vw €Q:Jl I / W <сш+ e).

(2.9)

Грубо говоря, используя (2.9), мы возмущаем (в системе (2.4)) "почти все, г что можно". Семейство 01 всех множеств

(Adm){K.\P\Q-,i}(K,,P,Q,i) е Fin(C) х Ргп(Г) х Fm(Q)x]0,оо[

есть элемент S(M(£)). При одном специальном предположении круг возмущаемых параметров можно еще более расширить. Это предположение, сводящееся к сокращению "числа" условий (2.9), реализуется по сути дела посредством "ресурсных" неравенств. Именно, если К. 6 Fin(C), Р € Fin(T),Q 6 (F/./V)[i2] и с б]0,оо[, через (ADM)[K,; P;Q-,(] обозначаем множество всех (/¿,/) G М(£) таких, что

((fi | К) = (rj | £))fc(3(s;)7£p е Ор(фу € У v7 € р : \fES!1fdtl-y(y)\ < е)к V

(Уы е Q ■■ fLw | / W < сш + ().

В (2.10) мы реализуем наиболее глубокое ослабление (2.4), допуская даже возмущение интегранта при управлении, что будет использовано при построении регуляризаций Через А обозначим семейство всех множеств

(ADM)[K;P-,Q](},(fC,PtQ,() € Fin{C) х Fin{T) х (FlN)[Q]x]0, оо[.

Следуя подходу [4, гл. V], фиксируем множество Го, Го С Г, такое, что

V7 € Г0 : Sy € В0(Е,£). (2.11)

Фиксируя в виде Го некоторое множество стуненчатозначности (см.(2 11))

194

А.Г.ЧЕНЦОВ

оператора (2.1), мы вводим далее в его терминах асимптотику "щадящих" возмущений системы (2.4). Если Р Е Fin{Г), Q Е Fin(ii) и б Е]0,оо[, то через [Adm)o[P\Q\ б] обозначаем множество всех таких / Е Во(Е,£), что

({2/ G У | (V7 € Р Л Го : fE Syf Л» = y(y))t &(V7 € P \ Го : \JESyfdrj - j,(7)| < с)} ф 0)& (2.12)

&(Vw E Q : fLu \f\dr, < cu).

Семейство 2io всех множеств (Adm)o[P-,Q; б],

(P,Q,c) E Fin(T) x Fm(fi)x]0,oo[,

есть элемент B(Bq(E,£))\ мы имеем здесь фактически асимптотику "щадящих" возмущений (2.4). Через .4о обозначаем семейство всех множеств {Adm)0[P-,Q]t},

(Р, Q, б) Е Fin(T) х (FIN)[G\ х ]0, оо[; Ло СЯо. Через Ао обозначаем множество всех таких ц 6 Ач[£], что

((J Sydriyer G у) & (Vw Е П : «„(/,„) < сш), (2.13)

легко видеть (см. рассуждения [4, с. 104]) с учетом вышеупомянутого свойства "универсальной" сходимости, обобщающего лемму 4.3.1 [4], что V/< Е Ао:

Ш0 С (£Ц£\£)-а^)[10>;^;е,,[/<;•]]. (2 14)

Теорема 2.1:

(Vr Е ЯЯ*(£) : А0=(г - ЫМ){% | 1]= =(т - ¿Ш)[210 11(77, -)])&(Ао С (г0(£) - ¿Ш)[Ш0 | Kji, •)])•

Доказательство использует (2.14) и естественные представления для допустимых множеств, соответствующих условиям (2.9) и (2,12). Ограничиваясь обсуждением обоснования нетривиального вложения

(r*(£)~ LIM)[Qi\l] С А0, (2.15)

отметим аналогию с [4, с. 102-105]. Выберем произвольно элемент Л из множества в левой части (2.15), после чего [4, с. 42] подберем направленность {Т,<,ф) в М(£) со свойствами: 1) {Т,<,1оф) сходится [23, 24] к Л в ТП (2.5); 2) % С (М(£) — ass)[T; ф]. Через ф\ и Ф2 обозначаем компоненты ф, т.е. операторы из Т в (асМ)+[£] и в В{Е,С) соответственно; ф{{) = (V'liO-^г(О) при t Е Т. Из (2.9) в силу 2) имеем [4, с. 81] сходимость (Т, ф\) к г; в смысле г0(£). Тогда [4,с. 70, 80, 81] А Е А^[£]. С помощью рассуждения, подобного [4, с. 102, 103], устанавливается, что функционал на Г, значения которого суть А-интегралы ,S'7 на множестве Е, есть элемент Y. Наконец,из (2.9) и свойств 1),2) вытекает, что при ш Е fi непременно v\(Lw) < сы. Существенный момент рассуждений в этой части связан со свойством полунепрерывности снизу (в смысле любой топологии г Е ЯЯ(£)) функционала на А(£), сопоставляющего к.-а. мере /« Е А(£) число Это обстоятельство завершает фактически

проверку того, что А Е А0; тем самым завершается обоснование (2.15).

К ВОПРОСУ ОБ УСЛОВИЯХ

195

Из теоремы 2.1 вытекает, что в случае А0 ф 0 непременно 0 $ 21 и 0 210. Пусть до конца настоящего параграфа выполнено следующее

условие 2.1. за; е п : ЬШ~Е,

Легко видеть, что в этом случае А £ 5(М(£)) и А0 £ В(В0(Е,£)). Теорема 2.2.

Уг € т(£) : Ао=(т - £Ш)[Л 11]=(т - ¿/М)[Л0 I '¿(у, •)]•

Доказательство. Имеем очевидное вложение

Ао С (г0(£) - ЫМ)[А0 11(г/, •)]

из теоремы 2.1. Далее, при переборе г £ ®1*(£) и {т®(£)} мы получаем в виде (г — ЫМ)[А | X] одно и то же множество; аналогичное свойство имеет место и для (г — ЫМ)[Ао I •)]. Это обстоятельство связано с условием 2.1 и совпадением трех (соответствующих г*(£), т£(£) и г®(£)) относительных топологий каждого компактного в ТП (2.5) подмножества А(£). Кроме того [4, с. 80], при т=г0(£) и т—т^{£) для вышеупомянутых множеств притяжения имеют место вложения, причем "предел" А в смысле г0(£) есть подмножество "предела" А в смысле ТП (2.5); аналогичное суждение справедливо для "пределов" Ао- Наконец, Уг £ ЯЯ(£);

(г - ЫМ)[Ло 110), О! С (г - ЫМ)[А 11].

Таким образом, по существу доказательства требует лишь вложение

(г*(£) — ЫМ)[А 11] С Ао. (2.16)

Выберем произвольный элемент А множества в левой части (2.16). Подберем (см.[4, с. 42]), как и при доказательстве теоремы 2.1, направленность в М(£), для которой: 1)(Т,^,1о^) сходится к А в ТП (2.5); 2)А С (М(£) — авв][Т; ф], Через и ф% обозначаем компоненты ф (см. доказательство теоремы 2.1). Тогда А £ Ач[£], а функционал <р на Г, сопоставляющий каждой точке у £ Г А-интеграл 57 на множестве Е, есть элемент У. В самом деле, пусть ^ У.Тогда в силу замкнутости У можно указать К £ /<1т(Г) и к £ ]0, оо[, для которых

N = {в £ 1г | У7 £ К :| <р(у) - 8{у) |< к} С 1Г \ У; (2.17)

Л* й £ А(£) | У7 £ К :| / - ф) |< к/2}

J Е

есть (открытая в ТП (2.5)) окрестность А. Пусть К, £ .Рт(£) и и; £ П, причем ЬШ=Е (см. условие 2.1); через «о обозначим наименьшее из чисел 1 и (4(си, + 1))~1к:. Тогда

А*=М£>М)[£; К; М; /с0] £ А.

196

А.Г.ЧЕНЦОВ

Пусть £0 € Т таково, что (I о £ И* и ф(£о) £ А*; такой выбор £0

возможен в силу 1), 2). Для /¿о=^1(£о) и /0 = Фг^о) при некоторых (57)7ек € Ск(«о) и у* £ У имеем У7 6 К:

| / Syfod/io ~ У*Ь) |< «/4;

^ Е

здесь учтено (2.10), откуда также следует, что сш +1 оценивает сверху интеграл (на множестве Е) функции |/о| относительно к.-а. меры цо Тогда V7 £ К:

По выбору £о имеем с учетом определений 1 и (см.[4, с 70]) неравенства |у(т) ~ У*(т)| < 7 € К. Тогда у* £ N в силу (2.17), так что у* ^ У; последнее невозможно. Противоречие доказывает, что (р £У. Наконец, ь\(Ь„) < с„,1/ £ П; это свойство обосновывается, как и в теореме 2.1. Согласно (2.13) Л £ Ао, чем и завершается доказательство (2.16).

Следствие. Утверждения Ао ф 0, 0 $ А а и 0 $ А эквивалентны. Доказательства по сути дела требует лишь импликация

Однако и это рассуждение является простым следствием известного свойства центрированных систем замкнутых множеств в компактном пространстве [24, с. 197]; в этой связи отметим аналогию с рассуждением [4, с. 110].

3. Асимптотическая достижимость

Содержательное обсуждение излагаемой ниже схемы соответствует в основных чертах [4, гл. VI] (см., в частности, [4, п. 6.5]), а также [15-18]. Мы рассмотрим общую постановку задачи об условиях асимптотической достижимости в 'ГП (Х,Т), X ф 0, фиксируя непрерывный в смысле ТП (2.5) и (Ж, 7) оператор

(см.(2.7)); особое значение для нас имеет //-сечение УУ, т.е. И•), переводящее функционалы / £ В(Е,С) в точки гу(/*»?) 6 X. Представление "реализуемого" оператора Ж в терминах (3.1) позволяет охватить широкий круг прикладных задач. В частности, это касается задач управления линейными системами [4, п. 6.5], где упомянутое представление в виде суперпозиции реализуется посредством надлежащего расширения формулы Коши [25] (см. (6.5.2) [4], а также схему расширения [20]). Имеет смысл отметить следующий

(0 £ А) =» (Ао ф 0).

w : А(£) —» X.

(3.1)

Посредством (3.1) определяем "основной" оператор:

W = w oï

К ВОПРОСУ ОБ УСЛОВИЯХ

197

Частный случай Для непрерывного оператора д, действующего из р-мерного арифметического пространства W в IR? (р и q — натуральные числа), и заданных функционалов

П€В(Е,£), ,*реВ{Е,£)

отображение

bhf)>—>9{[ nfdp, , / itpfdß) M(£)— je JE

может рассматриваться (при условии, что (Ж,Т) есть с топологией покоординатной сходимости) в виде V/, коль скоро w (3 1) допускает определение в виде

V •—> д( I , I Kpdv) А(£) —► Шя

' Е JE

В общем случае (Х,Т, w, W) имеем с очевидностью по аналогии с (6 2 6) [4] цепочку вложений (см теорему 2 1)

w\kü) с (т - ЫМ)[Ш0 i W{iU )} с (7 - ЫМ)[Ъ i W) (3 2)

Теорема 3 1 Пусть и (3 1) совершенно [24, с 277], ала оператор из ТП (2 5) в (Х,Т) Тогда все три множества в (3 2) совпадают

Доказательство аналогично [15, с 118] Рассмотрим еще одно представление асимптотически достижимых множеств, следуя в идейном ох ношении определению (5 3) [15] ("аттрактор" Oi раниченной сходимости) Нам потребу ются, однако, здесь некоторые новые обозначения Если Т — непустое мно жество, äff — оператор из Т в («<М)+[£], то через Ш>[Т, Е,£,д] обозначаем множеово всех операторов h из Т в В(Е,£) со свойством ограниченности функционала

t / | h(t) \dg(t) т—+[0,оо[ (3 3)

J Е

Если при этом д есть постоянное отображение, для которого g(t) — t) при i G Т, то вместо ®[Т, Е, £, д] используем обозначение 1(Т, Е, £, ?/) и полагаем

1о(Т, Я, £, ч) i {h € I(T, Е, С, ?)) | Vi G Т h(t) е В0(Е, £)},

получая множество всевозможных ступенчатозначных операторов на Т со свойством ограниченности соответствующей системы т/-инте1 ралов (на Е) Замена

1(Т, Е,С, г;) — 1о(Т, Е,С,Ч)

соответствует общему принципу использования в условиях релаксаций (2 12)

198

А Г.ЧЕПЦОВ

по возможности более примитивных конструкций приближенных решений. Если Т — непустое множество, д —- оператор из I в (а<М)+[£], а /г — оператор из Т в В(Е,£), то через {д, к) обозначаем оператор

■ (г(О.Л(О)-Т—М(£).

Символ —> используется ниже для обозначения сходимости (по Мору-Смиту) в (Ж, Т). Через (1И/ - Аи)\Щ обозначаем множество всех таких и> С Ж, что для некоторых направленности (Т, <,д) в (а«М)+[£] и оператора к £ ![Т; Е; £; ¿г]

(91 С (М(£) - а58)[Т; 1г)}) к ((Т, Ч, УЧ о (д, /г)) ш). (3.4)

Через (®1У — <Ш)[Зо] обозначаем множество всех ш е X, для каждого из которых существуют такие ИМ (Т, X), Т ф 0, и к £ Шо{Т,Е,£,т]), что

(% С (Зо(Е, £) - ав8)[Т; Л])&((Т, Ч, И*^, •) о /г) -£■> ш). Легко видеть, что если ц £ ко, то:1) направленность (П),-<, 0Ч[//; •]) удовлетворяет (2.14); 2) направленность

о ©„[>;•])

сходится к ю(ц) в (Х,Т); 3) У/С 6

[ |0,\(1г,<ь,(Е)

J Е

В виде очевидного следствия имеем цепочку вложений

и»1 (Ао) С (КУУ - а11)[Щ С (НУ - АИ)Щ. (3.5)

Теорема 3.2. Пусть (Х,Т) — хаусдорфово ТП. Тогда все три множества в (3.5) совпадают.

Доказательства, в силу (3.5), требует лишь вложение

(ШЦг - АН)[Щ С ы1 (к0).

Выберем произвольный элемент последнего в (3.5) множества, после чего подберем направленность (Т, д) в (а(М)+[£] и /г € Е[Т; Е\ £\в соответствии с (3 4). Пусть Ь £ [0,оо[ есть такая константа, что отрезок [—6,6] содержит образ функционала (3.3). Тогда (д, Ь) есть оператор из Т в М(£), для которого образ Т в силу I о {д, И) является подмножеством 11ь(£). Последнее множество компактно в ТП (2.5). Тогда [23] при некотором выборе ц £ 0ь{£), НМ (Оо, <С), Ио ф 0, а также изотонного [23] в смысле (Юо, <С) и (Т, X) оператора I из По в Т с конфинальным [23] (в (Т, Ч)) образом (А)),- мы имеем сходимость (А), © (д, Л) о 0 к ц в ТП (2.5). Вместе с гем (см.(3 4)) имеет место

Я С (М(£)-ав*)[А>; «,(*,*)<>/],

Тогда в силу представления (2.5.1) [4] и теоремы 2.1 имеем ц £ А0 Вместе с тем из непрерывности ги (3.1) и представления V/ имеем сходимость (Оо, -С, № о {<7, /1) о /) к и>(ц) в (Х,Т). Из (3.4) и свойства отделимости (Х,Т) вытекает, что ш = т.е. ш £ ги'(Ао), чем и завершается обоснование тре-

буемого выражения.

К ВОПРОСУ ОБ УСЛОВИЯХ

пг9

В заключение параграфа отметим, что в общем случае (Х,Т) согласно представлению (2.5.1) [4] имеют место вложения

((S8W - АЩЩ С (Т - ИМ)[1{ ¡ W])k ((!W - а«)[21о] С (Т - ЫМ){%о | W(ih •)])•

4. Интегрально ограниченные релаксации и асимптотическая достижимость

В пределах настоящего параграфа полагаем выполненным условие 2.1, так что в виде "асимптотик" можно использовать А £ В(М(£)) и А о £ В(Во(Е, £)), для которых

ifi'(Áo) С (Т - ЫМ)[Ап | W(V, •)] С (Т - LIM)[A \ W}. (4.1)

По поводу обоснования (4.1) можно повторить соображения, связанные с (3.2) и допускающие естественную аналогию с оценками (6.2.6) [4].

Теорема 4 1. Если (Х,Т) — хаусдорфово ТП, то все три множества, в (4.1) совпадают.

Теорема является (в силу условия 2.1) достаточно очевидной конкретизацией теоремы 2.5.2[4]

Лемма 4.1. Если (Х,Т) — хаусдорфово пространство, а Я £ А, то cl{W1(H),7) компактно в (Х,Т).

Доказательство следует из определения W с учетом известного свойства замкнутости непрерывного оператора, действующего из компакта в хаусдорфово пространство [24, с 199] (см. в этой связи также (2.5.8) [4])

Теорема 4.2. Пусть (X, Т) —хаусдорфово пространство, G £ Та ги 1(Ао) С Тогда

ЗК. £ Fin(£)3P £ Fin(T)3Q £ (FIN)[ü]3f £ ]0,оо[ УК, £ (Fin)[C | £]VP £ {Fin)[Г | P]VQ £ (Fin)[Q j Q]Vc £]0, t] : w^ko) С d{Wl{{ADM){f¿-,P,Q-,t)),T) с G.

Для доказательства достаточно заметить, что в силу теоремы 4.1 G есть открытая окрестность пересечения всех множеств cl(W1(H),T), Я £ А, а тогда (см. лемму 4.1 и следствие 3.1.5 [24]) G непременно является окрестностью cl(Wi(H),T) при некотором Н £ А\ здесь мы учли то обстоятельство, что А £ В(М(С)). Дальнейшее рассуждение очевидным образом следует из (2.10).

Следствие. Пусть Ж,Т и G удовлетворяют всем условиям теоремы 4.2. Тогда

ЭР £ Fin(r)3Q £ (FIN)[Sl}3e £ ]0, оо[ VP £ (Fñi)[r | P]VQ £ {FIN)[Ü \ Q]Ve £ ]0, • (ко) С cl(Wl({n} х (Adm)0[P,Q;(]),T) С G.

Доказательство непосредственно следует из (2.10), (2 12), (4 1) и теоремы 4.2.

200

А.Г.ЧЕНЦОВ

Частный случай. Пусть до конца настоящего параграфа (Ж,Т) — метри-зуемое пространство, а р — метрика [23, 24] Ж, порождающая Т. Если Н подмножество Ж и б 6 ]0, оо[, то

и°(Н, £) = {и € X | ЗА € Я : р(и, К) < е} (е-окрестность Н в (Ж, р)).Тогда справедлива следующая важная Теорема 4.3.

Ук € ]0,оо[3£ € Рт(£)ЭР е Лп(Г)3<? € (РШ)[П}Зё е ]0,оо[

у к. е {Пп){с | £]ур е (Рт)[г | р]у<? е (Пп)[п \ д]Уб е ]о,ё]:

№{{4} х (АЛт)й[Р-М)сШ1{(АОМ)[К-,Р-М) С {/°(^({г/} х (Ас1т)о{Р;Я;()),к).

Доказательство. Полагаем (при к > 0) в теореме 4.2, что С —

для Н = «^(Ао) и б = 2-1«;,после чего подбираем (в соответствии с теоремой 4.2) К. = /С,Р = Р, 0 = <3,б = б. Пусть /С 6 (Ргп)[£ | К],Р € (Рш)[Г | Р], <5 6 (Рт)[0 | и б Е ]0,б]. С учетом (4.1) и теоремы 4.2 имеем, что п1 (Ао) С с1(\\'г({г,} х (Аёт)о[Р; С?; е]), Т),

^((ЛЯЛ/^Р^фс {/р0(с/(Ж'({^} х (ЛЛ»)0[Р;д;б]),Т),к/2).

Дальнейшее рассуждение очевидно (см.(2.10),(2.12)) в силу естественного представления базиса Т в терминах р. Теорема 4.2 доставляет наиболее приемлемый для практики вариант свойства асимптотической нечувствительности при возмущении части ограничений; утверждение является наиболее наглядным в условиях конечных множеств Г и П. Оно характеризует "вилку" эквивалентных асимптотик возмущений (2.4) в терминах окрестностей.

5. Об одной регуляризирующей процедуре построения множества асимптотической достижимости в условиях неточно определяемого интегранта при управлении

Мы полагаем в этом параграфе выполненным условие 2.1. Рассмотрим задачу, в которой соблюдение ослабленных аналогов условия (2.4) осложнено неточностью в измерении значений оператора (2.1). Здесь мы ориентируемся на использование релаксаций, подобных (2.10) и (2.12), стремясь, в конечном итоге, к построению ^'(Ао) по причинам, поясняемым в п.З, 4. В частности, целесообразность такого построения мотивируется теоремами 4.1-4.3, характеризующими свойство асимптотической нечувствительности при ослаблении части условий.

К ВОПРОСУ ОБ УСЛОВИЯХ

201

Разумеется, ад^Ао) зависит от оператора (2.1). Мы "узнаем" этот оператор "по частям", оперируя "блоками" (S'y,j G Л'),А' € Fin(T), где функционалы S'y близки к Sy. Мы допускаем, что погрешность "прибора", оценивающего Sy, нам известна; она (эта погрешность) вместе с самим "измеренным блоком" значений (2.1) может использоваться для целей построения гу1(Ао).

При этом допускается использование все более совершенных "приборов", у которых упомянутая погрешность становится все меньше и меньше. В этом смысле можно говорить о нарастающей точности воспроизведения значений оператора (2.1). Если К G Fin(C), Р G Fin(T), Q G (FIN)[Ù\, (Sr7)7Ép G B(E,C)P, t G [0, oo[ и f G ]0, oo[, то через (Adm)*[£; P; Q\ (Sy)y£P; t\f] обозначаем множество всех таких (//,/) G М(£), что

((/< I £) = (V i К,)) к (Зу £ У V7 G Р : | JJyfdfi - 2/(7)1 < t + () к (Vw G Q JE\m, <cu + t).

Условие (5.1) отвечает модификации (2.10), в которой t играет роль "загрубля-ющего" параметра; его появление связано с возможным несовпадением Sy и Sy в точках (используемого в (5.1)) множества Р. В свою очередь, (2.12) обладает следующей модификацией, в которой также используется параметр t,t > 0; эту модификацию мы снова определяем в терминах допустимых множеств. Если Р G Fin(F),Q G (Р/АОЙ. (Sy)yeP 6 В0(Е,С)Р, i G [0,оо[и 6 G ]0,оо[,то через (айт)ц[Р; Q; (S7)7çp;i; «] обозначаем множество всех / G Bq(E,C) таких, что

(Зу G У : (VT G P П Г„ : | Jjyfdr, - y(7)\ <t)(47eP\ l'0 : . .

I ¡ESyfdV - 2/(7) |< t + 0) & (Vw eQ:fE\f\dT,< сш). 1 ' ;

Условие (5.2) исполняет роль модификации (2.12). Заметим, что в случае

Q G (F!N)[SÎ] непременно L0[Q] = {w G Q | Ьш = E) G {FIN)[Q] и,

как следствие, c0[<5] й m/({c^ :ш G L0[QJ}) G [0,oo[.Легко видеть, что\/P G Fin(T)\/Q G (FIN)[il]V6 G [0, oo|V(S7)l€P € 0P(ô)Vt G ]0, oo[:

(Adm)0[P,Q-,e} С (admr0[P-,Q,(Sy)^p,6c0[Q}-,c}. (5.3)

Проверка (5.3) элементарна; она использует простейшие оценки близости интегралов в терминах равномерной (на Е) близости подинтегральных функций. С использованием (4.1) и (5.3) получаем, что VP G Рт(Г)У<2 G (F1N)[Q}VS G [0, оо[У(57)7бр G Ор(Ь)Мс G ]0, oo[:

w'(Aо) с cl(W'({tf} x (adm)UP,Q;(Sy)7eP;Sco[QU]),T)- (5-4)

В свою очередь, простые соотношения между (5.1), (5.2) позволяют распространить оценку типа (5.4) на случай релаксаций, подобных (2.10), т.е. на случай условий (5.1). Более того, справедлива следующая

Теорема 5.1. Пусть (Ж,Т) — хаусдорфово ТП, G G Т я wl(Âo) С G. Тогда

202

А.Г.ЧЕНЦОВ

ЗК, € Fin(C)3P £ Fin(T)3Q £ (FIN)[Sl}Эе €]0,оо[ УК £ {Fin)[C I К}УР £ (Fin)[Г I P]VQ £ (Fin)[fi | Q] V<5 € [0,c]V(,S'r)7eP € Ор(6)У, e]0,€] :

wl(k0) С cliW'^MmflKiP^Q^S^yep-ScolQ]^]).^) С G. (5 5)

Доказательство. В соответствии с теоремой 4.2 подберем (по G) кортеж (K,P,Q,e), для всех кортежей-последователей (K,P,Q,i) которого с1(\У1((АПМ)[К]Р\ Q; с]), 7) С GB частности, последнее справедливо для К, — К.,Р — P,Q = Q, и е - £, мы ограничимся этим случаем, полагая

б = (2(co[Q] 4- 1)) е.Будем использовать в качестве кортежа (К, P,Q,(), обслуживающего (5.5), следующую конкретизацию: £ = Р = Р, Q = определено в терминах е выше. Пусть теперь /С, Р, Q, (¿у)-^/» и t соответствуют условиям (5.5): (K,P,Q,e) есть "кортеж-последователь" (K,P,Q, с), 0 < 6 < ё,§у и 57 ¿-близки в зир-норме || || для у £ Р. Тогда, в частности, у нас К С /С, Р С P,Q С Q,0 < £ < f Пусть

(/«*,/*) G (Adm)*[£; Р; Q; (.S'7)76p; ¿c0[Q]; f], (5.6)

Из (5.1), (5.6) имеем равенство (//* | К) = (г/ | /С), причем Уш £ Q:

У \ Г \d/J* <сшЦ t <сш + с. (5.7)

В силу (5.1), (5.6) можно указать такое у* 6 У, что Уу £ Р:

| [ ¿7/*dM* - У*(у) |< е. (5.8)

J в

В свою очередь, у i—* 6'7 . Р —» В(Е, С) есть элемент Ок(с) для К = Р.Тогда из (2.10), (5.7) и (5.8) следует (/**,/*) € (уША/)[/С; Р; Q; е], чем и завершается обоснование вложения

(Мт)*[К] Р; Q; (67)7gp; ¿co[Q]; е] С (>ШМ)[/С; P;Q;eJ. Дальнейшее рассуждение очевидно в силу выбора (К, Р, Q, е) и (5.4). Теорема 5.2. Пусть Ж, 7 и G удовлетворяют условиям теоремы 5.1. Тогда

3Р £ Рг'п(Г)3<5 € (F/iV)[ft]3c £]0,oo[VP € {Fin)[T | P] yQ £ (Fin)[Q | Q]Vi € [0, f]V(57)7eP 6 0Р(8)Уе £]0,c] wl(Ao) С е/^ЧЫ x Hm)*[P;Q;(67)7C/j;i5co[<3];£]),7) С G.

Доказательство очевидным образом следует из теоремы 5.1 в силу простых соотношений, связывающих условия (5.1) и (5.2).Отметим, что теоремы 5.1, 5.2 доставляют принципиальную возможность реализации w^Ao) с любой степенью точности в условиях, когда значения Sy,y £ Г, измеряются с достаточно малой погрешностью.

В заключение отметим один простой пример, показывающий существенность использования регуляризации при построении «¿'(Ao). Рассмотрим в ка-

К ВОПРОСУ ОБ УСЛОВИЯХ

203

честве (Е.С) "стрелку" [0, 1[ с полуалгеброй всех полуоткрытых промежутков [а,6[,0 < а <b < 1;?/ отождествляется здесь с функцией длины, определяемой для каждого из вышеупомянутых промежутков. Через s* обозначаем функцию из Е ~ [0,1[ в ]0,оо[, для которой s*(i) есть наибольшее из чисел t, 1 - t. Рассмотрим условие

1 1

J ! f(t) \dt<l< js*(t)f(t)dt (5.9)

о о

на выбор кусочно-постоянной (к.-п.) и непрерывной справа (н.спр.) вешествен-нозначной функции / на Е. Через F обозначаем множество всех таких к.-п. и н.спр. функций / (на (0,1[). Будем использовать (5.9) в качестве системы (2,4), допуская при этом возможность искажения s* до функций s\ на Е, определяемых в виде 4(г) = stip({kt; 1 - /}); к 6 [0,1].Мы допускаем ослабление (5.9) в духе конструкции (2.12), а также соответствующее ослабление для аналога (5.9), получаемого заменой s* на Иными словами, речь идет об f-ослаблении ("жестких" условий) вида

1 1 j I !(Ц И < 1 < js*k(t)f(t)dt + с, (5.10)

0 о

где к € [0,1] и ( € ]0, oof. При к — 1 мы имеем (в (5.10)) ослабленный аналог (5.9). Определяем далее (Ж, Т) как Р. с естественной j • |-топологией, W определяем в виде отображения

1

jmdt-.F—^Ж. (5.11)

2/3

Отображение w конструируется, как правило, сопоставляющее к -а. мере ц £ А(£) число /i([2/3,1[). Здесь мы следуем приему, упоминаемому в п.З при обсуждении частного случая согласованной пары (w, W). Разумеется, мы рассматриваем построение w1(Ао) в условиях, когда (2.1) определяется посредством sj при к = 1 и при к < 1, к ss 1 Ограничимся содержательным обсуждением. При к 6 [0,1] и е > 0 мы, в виде допустимого управления /, все! да имеем достаточно узкий положительный импульс единичной площади, "примыкающий" справа к точке t = 0, так что точка с ~ 0 является асимптотически достижимой на значениях W (5.11). Для к — 1 мы имеем [4, с. 7] в качестве асимптотически достижимой (в условиях с I 0) точку с = 1. Пусть к G [1/2,1[ фиксировано, а* = t* = (1 + к)~г, а* = к1*. Тогда а* > 0 и вместе с тем t* < 2/3. Рассмотрим теперь следующие условия на выбор / £ F:

1 1

J \ ДО \di~t<l< j 3*(t)f(t)<lt + f. (5.12)

о 0

где с > 0. Условия типа (5.12) рассматривались в [4,гл.V,VI]; они являют-

304

А.Г.ЧЕНЦОВ

ся промежуточными между (2.9) и (2.12). Пусть / Е ? допустимо в смысле (5.12). Тогда, поскольку на промежутке [2/3,1[ значения не превосходят к, из второго в (5.12) неравенства мы получаем (в силу аддитивности интеграла), что

Поэтому (см. (5.11)) в рассматриваемом случае Ш(/) тем более не превосходит 2(1 — &)-1£. Поскольку е > 0 выбиралось произвольно, то в виде асимптотически достижимого числа с 6 Ж, соответствующего данному значению к, мы можем получить только элемент ] - оо,0] Таким образом, с — 1 (при к ] 1) превращается в асимптотически достижимый элемент "скачком". Обрабатывая асимптотически достижимые множества в условиях к < 1, к и 1, мы не в состоянии приблизиться к данному элементу (оставаясь в ] — оо, 0]), хотя и приближается к в смысле естественной нормы равномерной сходимости Таким образом, для построения множества всех соответствующих (5 9) асимптотически достижимых элементов Ж при малой неточности в определении нам требуется построение регуляризирующей процедуры. Эта процедура может быть реализована в одной из версий, подобных (5.1) и (5.2), как показывают теоремы 5.1 и 5.2 соответственно.

[1] КрасовскиЙ H.H. Игровые задачи о встрече движений М.: Наука, 1970.

2] КрасовскиЙ H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры М.: Наука. 1974. 456 с.

3] Панасюк А.И., Панасюк В.И. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем. Минск: Наука и техника, 1986, 296 с.

4] ченцов А Г. Конечно-аддитивные меры и релаксации экстремальных задач Екатеринбург: Наука, 1993. 232 с.

5] Эльясберг П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1965. 540 с.

6] Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М : Наука, 1988

7] ХаланаЙ а., векслер д. Качественная теория импульсных систем М.: Мир, 1971. 423 с.

8] Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991. 226 с.

9] ченцов а.г. Конечно -аддитивные меры и расширения некоторых нелинейных экстремальных задач с ограничениями асимптотического характер Ц Кибернетика. 1990. № 6. С. 78-84.

2/3

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

420 с.

512 с.

К ВОПРОСУ ОБ УСЛОВИЯХ

205

[10] Chentsov A.G, ¿/гс construction of solution to nonregular problème of optimal contiol// Problems of control and Information Theory. 1991. V.20(2). P. 129-143.

[11] Гамкрелидзе P В. Основы оптимального управления Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1975. 253 с.

[12] Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М,: Наука, 1977. 624 с.

[13] ЭкЛАНД И., ТЕМАМ Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы Мир, 1979. 241 с.

[14] Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. M : Наука, 1981. 287 с.

[15] ченцов а.г. Асимптотически достижимые элемеип.ы: нечувствительность к возмущению части условий и физическая реализуемость И Изв. вузов. Математика. 1993. № 5. С. 112-123.

[16] ченцов А.г. Релаксации достижимых множеств и конструкции расширений // Кибернетика и системный анализ. 1992. № 4. С. 78-87

[17] ченцов А.г. Экстремум б условиях ограничений асимптотического характера и конструкции компактификаций. Препринт УрО РАН. Екатеринбург, 1991. 85 с.

[18] ченцов А.Г Асимптотическая достижимость при возмущении интегральных ограничений в абстрактной задаче управления, 1 // Изв. вузов. Математика. 1995. № 2 С. 60-71.

[19] Ченцов А.Г. Асимптотическая достижимость и ее обобщенное представление // Докл. РАН . 1994. Т. 334, № 4. С. 437-440.

[20] Серов В.П., Ченцов А.Г. Об одной конструкции расширения задачи управления с интегральными ограничениями // Дифференц. уравнения. 1990. Т.26, № 4. С. 607-618.

[21] Данфорд Н., шварц Дж.Т. Линейные операторы Общая теория М.. Изд-во иностр. лит-ры, 1962. 895 с.

[22] Bhaskara Rao К.P.S., Bhaskara Rao M. Theory of charges A study of fmitely additive measures N.-Y.: Acad.Press, 1983. 253 p.

[23] Келли Дж.Л. Общая топология M.: Наука, 1981. 431 с.

[24] Энгелькинг Р. Общая топология М.: Мир, 1986. 751 с.

[25] Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: Наука, 1965. 322 с.