Релаксация напряжений в изогнутом железобетонном брусе с учетом структурных повреждений Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Приложения релаксационных задач

РЕЛАКСАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ИЗОГНУТОМ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОМ БРУСЕ С УЧЕТОМ СТРУКТУРНЫХ ПОВРЕЖДЕНИЙ

Е.А. ЛАРИОНОВ, д-р техн. наук, профессор. Московский государственный строительный университет, 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26

В статье изучается задача релаксации напряжений в изогнутом железобетонном брусе. Учитываются структурные повреждения бетона и арматуры.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: Структурные повреждения, ползучесть, напряжения.

Рассмотрим одиночно армированный железобетонный брус, изгибаемый моментом М (V) и определим нормальные напряжения оь{() и в его компонентах с учетом структурных повреждений и ползучести. В линейной постановке механическое состояние бетона описывается уравнением (1)

(V,Vо) = + С*(V,VК(V) -1°{Т)Щ^1 dт , (1)

Еь (V) V дт

где Еь (V) - модуль мгновенных упругих деформаций; С*(^т) - мера простой ползучести бетона в момент V при нагружении в момент т.

Напряжение в арматуре, расположенной на расстоянии ^ от нейтральной оси Ох,

а а (V) ^ 1

М №-а (V, )

(2)

Ипо '

Здесь / = Аа/Аь; Аа и Аь - площади нормальных сечений арматуры и бетонной части; п0 = J/Jь, где J и Jь - моменты инерции бетонной компоненты и приведенного нормального сечения относительно оси Ох, аь(V, ha) - нормальное напряжение в бетонном слое, соприкасающемся с арматурой.

Условие совместности деформаций арматуры и бетона на уровне ha

1

¡ип0 Еа(' )

= И (', К )

М (' )Ка

Л

- И (', К )

1 + С*(', ')

Еь(')

(Т, Ка )'

<(',т)

(3)

5т

Лт

порождает уравнение для искомой величины аь(',Ка)

И

(', К а ) = И (', Ка ) + К(') | Иь (Т, Ка ) Щ^Т .

5т

(4)

В этом уравнении &ь (', Ка) = —

Ль

мгновенное упругопластическое напряжение

¡ип0 Еа (' )

М (')Ка

К) =

рг0 т(') +1 + Еа (' )С* (', *)

т(') = Еа (' )/ Ео(*):

Ль [^Пот(0 +1 + Еа(0С*(',')]:

Еа( ') - модуль мгновенных упругих деформаций арматуры.

Линейное интегральное уравнение (4) решается методом простых итераций с нулевым приближением иЬо(*,Ка) = Иь(',Ка). В расчетах для старого бетона

принимается Еь ( ') = Еь, Еа (') = Еа, С* ( ', т) = С0* [1 - /е~у('-т) ] и ' = 0. Тогда согласно уравнению (4):

И

, ( ', Ка) = <?ь ( ', К ) - К( *)|иь (Т, Ка )еу-т)Л' , ИИь ( ', Ка ) =

К =

М(*)К_

Ль [ипо т(') +1 + ЕаС*(1 - З)]:

ИПОЗ7ЕаС0>_

Ль [ипот(') +1 + ЕаС*(1 - З)]'

(5)

(6) (7)

В этом случае интегральное уравнение (5) умножением на е7' и затем дифференцированием по 'с последующим умножением на е7' сводится к дифференциальному уравнению

Ли (',К ) „ йИ,(',К )

ь (, а ) + (К + у)иь (', К) = Иь (', К) + - ь ( , а )

(8) (9)

Л' " ьч' ^ ' ^ Л'

а при постоянном изгибающем моменте М к

Лиь (', Ка V+ (К + У)Иь & Ка ) = УИь (Ка ) '

Уравнения (8) и (9) при начальном условии иь (0, Ка ) = иь (0, Ка ) имеют соответственно решения Иь (', К ) =

= уИь(',К) + И(', К) + [КИь (о, На(К + у) - Иь(', На) - ИИь(', Ка)) е-(К+^)'] ,(10)

К + у

Иь (',Ка) = ^^^ [у + к^+у)' ], (11)

К + у

где в (1о) величина ЛИь (', Ка)/ Л' обозначена Иь (', Ка).

Согласно соотношениям (10) и (11) ползучесть бетона влечет релаксацию его напряжений и для достаточно больших V (V ^ да) оценкой для напряжения аь (V, ha ) является величина а ь(^ ) ка) , а при М (V) = М

аьК ка) =

Л + у

Х + у

а ь (о, К),

аь ha ) =-

МИ„

(12)

-. (13)

ИПоРЕаСI + И«0« + 1 + ЕаС*ь (1 - Р)

В результате длительного перераспределения напряжений &ь (о, ка) с бетона на арматуру ее начальное напряжение

а (о) = Мка [пт + ЕаС*ь (1 - Р)[

! + 1 +

при V ^ да увеличивается до величины

1

а а (да) =-

Ипо

И [ипо т +1 + ЕаС**ь (1 - Р)]'

МК

Л + у

а ь (о, К)

(14)

(15)

а а (да) =

Мка [ипо т + ИПоРЕаС*0ь + ЕаС*{)Ъ (1 - Р)| И/Ит +1 + иПоРЕаС*ъ + ЕаС*0ь (1 - Р)]

Возрастающее нормальное усилие N(т) (т е [?о, V]) уменьшает способные к силовому сопротивлению площади Аь(т) и Аа(т) нормальных сечений компонент бруса. Перераспределения усилий Иь(т) и Ыа(т) с Aъ(t0) и Аа(^) на Аь(т) и Аа(т) увеличивает расчетные напряжения аь(т) = Ыь(т)/Аь(;0) и аа(т) = Ыа(т)/Аа^0) до структурных (истинных) напряжений оьс(т) = Nъ(т)/Aъ(т) и оас(т) = Ыа(т)/Аа(т).

При выводе уравнения (1) предполагается отсутствие структурных повреждений - Аь(т) = Аь(^); Аа(т) = Aа(t0) - влекущее линейную зависимость

(V, Vо) = аь (V)/Еь (V, Vо)

деформаций от напряжений, где

Еь (V, О =

1

- + С,

t) -}

аь (т) дCb(t,т)

dт

(16)

(17)

Еь (V,) ^ аь (т) дт

_ Г0

- временный модуль упруго-пластических деформаций. Аналогично для арма*

туры с мерой простой ползучести Са (?,т) имеем

^ а (V, V о) = аа (0/ Еа (V, V о),

Еа (V, Vо) =

1

Еа (V,)

+С

о-}

аа (т) дС>,т)

а а(т) дт

ёт

(18) (19)

Структурные повреждения материалов порождают нелинейную зависимость деформаций и напряжений и квазилинейные реологические уравнения [2]

Vо)аь (V)

£ь(t, tо) =:

Еь (V,Vо)

р (, , ) (V,Vо)аа(V) £а 10) =-„ , а

Еа (t, 10)

(20)

(21)

Здесь Vо) = Аь (Vо)/Аь(V) и Бйа(г,Vо) = Аа(Vо)/Аа(V)- функции нелиней-

25

7

Е

ь

-1

ности напряжений, зависящие от уровней Sь (?) = а ь(?)/Яь (t) Sa (?) = а а(?)/ Яа (?); Яь (?) и Яа (?) - прочности бетона и арматуры. В расчетах применяются функции

S0И?)]= 1 + £аг [*(?)]г

(22)

(23)

+ ^ аг [5(

г=1

а для бетона часто используется [3]

S0b [*(0]= 1 + Vь )]4, Уь - эмпирический параметр.

При расчете и нелинейности деформирования компонент согласно (21) и

(22) получим следующее условие совместности деформаций на уровне Ьа

(?, ?0)аа(?) _

^а (?, ?о) " Еь (?, ?о) В силу (21) и (22) имеем линейную зависимость деформаций от структурных напряжений аьс (?) = (?, ?0 )аь (?) и аас (?, ? 0) = (?, ?0 )аа (?) и из (24) сле-

(24)

дует

а г

(?)/Еа (?, ? 0) = аьс (?, ha )/ Еь (?, ? 0).

(25)

Соотношение (25) вместе с (2), (18) и (20) приводит к линейному интегральному уравнению вида (4) с соответствующими функциями &Ьс (?, На )пЛ (?) решение которого находится итерациями. Для старого бетона при С*(?,г) = С*а [1 - /5в~Уа<~'-т') ] интегральное уравнение сводится как в п.2 к линейному дифференциальному уравнению. После определения сьс(0 и сас(?) напряжения оь(?) и оа(?) находятся решением уравнений

5

аь (?) Я (?)

аь (?) = аьс (?);

аа (?)

Я (?)

аа (?) = аас (?).

(26)

Структурные повреждения бетона наряде с его ползучестью уменьшают аь(?) и тем самым увеличивают оа(?). В то же время процесс перераспределения напряжений с бетона на арматуру ослабляется вследствие ее структурных повреждений и ползучести. Пренебрегая последними факторами оценим наибольший прирост напряжений оа(?) в случае М(?) = М для старого бетона.

При невозрастающем нагружении разрушенная часть Аь не меняется и

"аь (0Г

(?,0) = Б0

= [^(0)],

а потому

аь К Ка ) =

аь(<ю) =

1

[м0

МК Jn

Яь (0)

а ь (0, К) (Л + хК [¿(0)],

а ь (0, К)

(27)

(28)

■0 (А + гК [<0)]_

Из (12) и (28) явствует, что структурные повреждения значительно уменьшают напряжение в бетоне, влекущее согласно (15) и (28) существенное увеличение напряжений в арматуре. Заметим, что для близких к Я(0) напряжений

аь (0, ка ) имеем [^(0)]« 1 + V, а по экспериментальным данным [3] параметр V > 1.

и

В [4] предложен другой подход к рассматриваемому вопросу на основе уравнения

аь (0 , Г_ ,_чбС*(-,т)

£ь (t, to) = + \°ь (т)

ЕЬ(-)

бт

-ёт +

|/[а(-)]• F[Т(а,-)]ёа .

(29)

Здесь /[а(-)] = £[а(-)]и ; £ - малый параметр; и - параметр нелинейности; F[Т(а,-)] = ^[1 - е~рТ(а,-) ]; Т(а,-) - суммарная длительность напряжения а; Fo и р - эмпирические параметры.

Предполагается [4], что структурные повреждения порождают нелинейную зависимость лишь деформаций ползучести от оь(-).

К уравнению вида (29) приводит дифференциальное равенство

ёеь (-,т) =

1

Еь (-)

- +

1 + V •

аь (-)

Rь (-)

■С*(-,т)

ёа(т)

(30)

при Сь (-, -) = 0 . Следует отметить, что пренебрежение кратковременной ползучестью Сь (-, -) приводит к значительным погрешностям в расчетах. Согласно (30) получим реологическое уравнение

£ь (-, -0) = 0ь7-) + С*(-, - К (-) -

Еь (-)

-|а(т)-

бС;(-,т) V •[аь (-)]"

(31)

+

С*ъ(-,т)ёаь(т)

, бт [Ж-)Г

а с учетом нелинейной зависимости и мгновенных деформаций

£ь -0) =

аь (-) , V

- + -

Еь (-) [Я(-)]и

•К (-)]"

аь (-)

Еь (-)

+ |С*(-,т)ёаь (т)

(32)

К представлению £ь(-, -0) суммой деформаций соответственно линейно и нелинейно зависящих от оь(-) приходим и согласно (20) при

SЬ [*(-)] = 1 + VI •[а(0]и; VI = Уь /Я (-)]и. В силу (29) и (32) для старого бетона

а

,(-) = 9ь (-) - Л\аь (т)её- - ^ (-)]и • F[T(а,-)]ёа

0 0

аь (-) = аь (-) - 4аь (т)е-^й- - ^ [аь (-)]и х

0

(-) '-С*ь|е-(--т)ёаь(т)]

(33)

(34)

Е

"ь 0 J

Предполагая отсутствие структурных повреждений (то есть, сохраняя в (33) и (34) лишь первые два слагаемых), определяем структурное напряжение

оьс(-). Отброшенные слагаемые отвечают той части аНс (-) напряжения аьс (-), которая порождает нелинейное слагаемое еь„(-,-0) деформации еь(-,-0). Согласно (34) при известной величине аьс(-) находим

а^с (-) = ^ [аьс (-)]и | От1 + С*ь {е~К--т)а (т) I.

(35) 27

0

и

0

Таким образом, напряжение ob(t) находится решением уравнения

1

ó6(t) = ób(t) -aHbc(t) -Л {ób(t)e-r)dt, (36)

o

сводящемуся к линейному дифференциальному уравнению.

В монографии [4] для решения релаксационных задач формально применяется метод малого параметра Пуанкаре введением множителя Z в последние слагаемые уравнений (29) и (33).

Решение уравнения (34) ищется в виде

ób (t) = óo(t) + óx(t)C + óo(t) + ói(t )C2 + ... . (37)

Из рассмотрений п. 6 явствует, что ó0 (t) = óbc (t) и при условии адекватного соответствия последнего слагаемого (29) нелинейной части деформации sb (t, 10) напряжение ob(t) находится решением уравнения (36) и тем самым отпадает необходимость поиска приближений кроме нулевого o0(t).

Заметим, что решением интегрального уравнения при Л(?) = Л сведением его к дифференциальному уравнению удобнее примененного в [4] способа решения с помощью преобразования Лапласа, который при переменном ob(t) легко реализуем лишь в случаях, приводящих к простым изображениям функции Ob(t).

Реологическое уравнение (29) вместе с примененными в [4] методами делает нахождение ób (t) и óa (t) многодельной задачей.

В то же время в [4] изучены значимые приложения релаксационных задач. Это обстоятельство инициирует поиск их простых решений.

Л и т е р а т у р а

1. Бондаренко В.М., Бондаренко С.В. Инженерные методы нелинейной теории железобетона. - М.: Стройиздат, 1982. - 287с.

2. Бондаренко В.М., Ларионов Е.А. Принцип наложения деформаций при структурных повреждениях // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - М., 2011. - № 2. - С. 16-22.

3. Рекомендации по учету ползучести и усадки бетона при расчете бетонных и железобетонных конструкций. - М.: НИИЖБ, 1986

4. Галустов К.З. Нелинейная теория ползучести бетона и расчет железобетонных конструкций. - М.: Физматлит, 2006. - 248с.

References

1. Bondarenko VM (1982). Engineering Methods of Non-Linear Theory of Reinforced Concrete. M.: Stroyizdat, 287 p.

2. Bondarenko VM, Larionov EA (2011). A principles of superposition of deformations under structural damages. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, № 2 , p. 16-22.

3. Rekomendatzii po Uchetu Polzuchesti i Usadki Betona pri paschete Betonnyh i Zhelezobet. Konstruktziy. Moscow: NIIZhB, 1986.

4. Galustov KZ (2006). Non-linear Theory of Creeping of Concrete and Analysis of Reinforced Concrete Structures. Moscow: Fizmatlit, 248 p.

STRESS RELAXATION IN CURVED REINFORCED CONCRETE BEAM WITH REGARD TO STRUCTURAL DAMAGE

E.A. Larionov

Moskovskiy Gosudarstvenniy Stroitelniy Universitet, Moscow

A stress relaxation of the curved reinforced concrete beam problem is studied in this article. The concrete and armature structural damages are also taken into account.

KEY WORDS: structural damage, creep, stress.