Релаксация напряжений при осевом нагружении железобетонного бруса Текст научной статьи по специальности «Физика»

РЕЛАКСАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ОСЕВОМ НАГРУЖЕНИИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОГО БРУСА

Н.Т. ВАСИЛЬКОВА, аспирант

М.Е. БАШКАТОВА, канд. техн. наук

Е.А. ЛАРИОНОВ, д-р техн. наук, профессор

Московская госуд. академия коммунального хозяйства и строительства, 109029, Москва, Ср. Калитниковская ул., д. 30

Определяется распределение нормальных напряжений в бетоне и арматуре, порожденное осевой переменной силой с учётом ползучести и структурных повреждений бетона. Решение соответствующей релаксационной задачи основано на квазилинейном реологическом уравнении.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: бетон, деформации, ползучесть, напряжение.

При расчёте сооружений существенное значение имеет определение напряжённого состояния железобетонных элементов изменяющегося вследствие ползучести бетона и арматуры. Это обстоятельство приводит к необходимости решения релаксационной задачи для бетона и учёту перераспределения напряжений с бетона на арматуру.

В данной работе рассматривается железобетонный брус с площадью нормального сечения А = Аь + Ах; (Аъ - площадь сечения его бетонной компоненты; А. - площадь сечения арматуры), а задача заключается в определении нормальных напряжений стъ () и ст. (), порождённых осевым усилием N(), приложенным в центре тяжести приведённого сечения в момент т = t0; т - текущее время; t - момент наблюдения.

1. Реологические уравнения состояния материалов вместе с условиями совместности деформаций и равновесия приводят к системе уравнений [1]

С (^ ^ )= ^ (^ t() >Гъ ^)

С (^ 10 ) = S0 (^ ^ )ст, ^)

1

Еъ ^)

- + С

(^t)-}

СТ

Стъ (t) дт

dт

Е. ^)

- + С

^ t)

ст. (т)дc;(t,т) ^ СТ. (t) дт

(1)

(2)

С (t, to ) = С (t, 10), (3)

АъСТъ (t) + Лст. (0 = N(0. (4)

Здесь для соответствующих компонент 10) и (t, 10) - функции нелинейности напряжений; Еъ ^)и Е. (t) - модули мгновенных упругих деформаций; С;^,т) и С;(^т) - меры простой ползучести в момент t при текущем на-гружении. Величины в квадратных скобках в (1) и (2) представляют временные

модули Еъ (А to) и Е*(t, to) Съ (t,0 ) и С(t, to ).

Согласно (1) и (2):

( )= ^ (t, ^ )стъ (to)

V, to)- ^ (, , \ Еъ 10 )

;(t, to ) =

5.0 (t, to СТ (t)

(5)

(6)

Е, (t,to )

2. Физической причиной нелинейной зависимости деформаций и напряжений является статистическое распределение прочностей элементарных со-

1

ставляющих (волокон, слоёв, звеньев), образующих в совокупности соответствующую компоненту бруса.

Разрушение части элементарных составляющих при возрастающем на промежутке [I0, I] усилии N(I) влечёт уменьшение способных к силовому сопротивлению площадей Ль (г) и Ла (г).

Величины а (г) = ^; (г) = ^ (7)

Ль Ла

представляют расчётные, а оЬс (г) = (Г) ; оас (г) = (Г) (8)

Ль (г) Ла (г)

структурные (истинные) нормальные напряжения. В формулах (7) и (8) Ыь (г) и

Nа (г)- текущие усилия в нормальных сечениях компонент бруса.

При структурных повреждениях материалов бруса частичные приращения деформаций зависят от момента приложения, длительности и режима всех остальных приращений нормального усилия, а потому [1]

Еь (I ,г,) Еь (иг,)'

"Ь

Д£а (^ )= ( Г ) =0^ . (10)

Еа (|,Г) Еа (|,Тг ) ' 7

Согласно формулам (7) - (10) имеем

^ (|,10 )= ^ъЫ ; ¿0 (|,|0 )= ^кА . (11)

А ^ Ль (0 Л ^ Ла (I) ^ '

Переходя в (9) и (10) к дифференциалам напряжений, от соответствующих сумм приращений деформаций к интегралам, а затем, интегрируя их по частям и, учитывая начальное напряжённо-деформированное состояние, получим [1] уравнения (1) и (2).

3. Разрешая (1) или (2) относительно а(|), получим значения

о(|) = 0 (I) + А(|)Мг)^:М аг, (12)

' дг

|0

0М ~0 Л , ) Е(|)-^(|Л) (13)

07 (|)= ^)' 1 + Е (|)с • (I, I), (13)

А(|) =-Е^-. (14)

1 + Е(¿)С (II)

Здесь Х(!) представляет модуль мгновенных упруго-пластических деформаций 0 (I), а 50 (I, I0) = 1/50 ( I, !0) - функцию нелинейности деформаций.

Поскольку &(0 = Е (!,!0) • S0(l,I0)s(l,I0), (15)

функция 5 0( I,I0) выделяет из s( линейную часть

(^О = S0(l,lo)s(l,lo). (16)

В линейной постановке задачи 5 0(I,I0) = 5 0(I,I0) = 1 и s( I,I0) = sл ( !,!0). Величины Л(l0)и Л( ^являются функциями от уровней 5 (г) = а (г)/ ^(г) и ^(г,^ ) = s(г,I0 )/s(г) напряжений и деформаций, а потому

S 0(t, О = S0 [s(t)]; S0(t, О = S0 [r(t, t0)].

В работах [2] - [4] для бетона использованы функции

S0(t, 10) = е ~s(t,t°)! Sr (t\ (18) S°(t, 10) = е"

-[s(t,to )/Sr (t)]m

S0(t, to) = £ «v

i=1

S(t, to )" Sr (t)

(17)

(19)

(20)

Таким образом, при известных s(t, t0) и S °[r(t, t0)] напряжения ab (t) и os (t) определяются решением линейного интегрального уравнения (12) с соответствующими коэффициентами 9(t), X(t) и C*(t, т), а в случае E(t) = const и C*(t, т) = C*[1 - /5е~y(t -т)] - решением линейного дифференциального уравне-

ния.

4. Если величины t0) и 5 0 неизвестны, то нахождение стъ (t) и

ст. () требует решения системы (1) - (4). Сначала необходимо получить её решение в линейной постановке. Согласно условию (4) равновесия сил

N (т)- Аъстъ (т)

9

(' ) =

(21)

и поскольку S

s (t, 10 ) = 9s (t)/Es (t, 10 ) ,

то

X^ 10 ) =

N (t)- Аоь (t)

ASES (t)

1 + Es (t )C*(t, t) - Es (t )J

( MC (t, т) dx

9

(t) дт

, (22)

(t, t0 )= N(t) [1+ Es (t)C*(t, t)]-A J [N(т)-Abab ФГГ dT, (23)

AsEs(t) Ast дт

dC* (t,T)

Ss (t, 10) = a(t) - b(t(b (t) - c(t) + A J ( (t) ~~ dT,

л J дт

a(t)= N(t I1+Es (t)C>,t)] • b(t)= Аь1 + Es (t)C*(t,t)] • c(t)=fNir)<M т AE, (t) w AE (t) J А дт

AsEs (t)

(24)

(25)

AsEs (t)

В силу условия (3) совместности деформаций

<0-409 (t) -*) + A J( ТЩГ- ^(M^^-J ( (') dT,(26)

ЛОф+^ОО,») +i(/)£b(i)]=[a(/)-c(/)]fb(/) +E0f((f) £C*(t, t)+ AAbC*(i, т)

ts

d ,(27)

9

,(t )•

Ps (t) + m/ucpb (t) ^ N(t)• Ps (t)

mu

д

A„ • m

+ Eb (t)J(b (t ) ~~~~ C* (t, т) +1C* (t, т) J д т u

- E,

d т ,

(t )J

N (т X (t, т )

д

dT +

(28)

E

U =~T; m = ; Pb (t) = 1 + Eb (t)Cb* (t, t); ps (t) = 1 + Es (t)C* (t, t), (29)

E

s

s

0

s t

s

b

и

+ -

N (? )ф (?)

^^ (?)

Аь [Ф*(?) + Фь (?)т*] Аь [Ф* (?) + Фь (?)т*]

|/ N (*)

ас* (?,т)

дт

dт +

Ф* + Фь (?)т* Величина и ь (?) =

dт.

*'(0 /и*(т)£ с*Ы+ 1 с*(?,т)

дт *

í ас* (? ) Щф (?) - Е* ( о/Мт)—дТ^^ dт

Аь [Ф* (0 + Фь( ?)т*]

представляет мгновенное упруго-пластическое напряжение. Пренебрегая ползучестью арматуры, получим

N (?)

,(0=-

(31)

(32)

ЬЧ А. [1 + Ф. ( От*]' В некоторых работах, например, в [5] полагают Фь (?) = 1, что равносильно

С* (?, ?) = 0, то есть пренебрежению кратковременной ползучестью бетона, влекущему значительные погрешности в расчётах.

В физическом аспекте предположения С* (?,т) = 0 и С*(?, ?) = 0 означает, что величина иь (?) представляет мгновенное упругое напряжение. Согласно формуле (30)

I

,(?) = С? ь (0+ Ж ?)/и* (т)

дт

С* (г,т) + -*С* (г,т) *

ёт,

Ж?) =

Е* ( ?)*

(33)

(34)

Ф* ( 0 + Фь ( От*

Решение линейного интегрального уравнения (33) при заданных механических характеристиках Еь ( ?), Е* ( ?), С*( ?,т), С*( ?,т) реализуется методом последовательных приближений при и* (?) = иь ( ?).

5. В приложениях полагаютЕь (?) = Еь ; Е* (?) = Е*; С**(?,т) = С*[1-^ье_Гь]; С*( ?,т) = С*[1 - Р*е]; Рь , Р*, 7*, 7*, С*, С* - эмпирические параметры.

В таком случае иь (?) = аМ(?) + р/N(т)е 7(? т)ёт ,

а =

_д_ дт

1 + ЕС* (1 - р*) ;

Аь [1 + ЕС(1 - )+ [1 + ЕЪС*ъ (1 - Рь)]*

р = _Р7ЛС*_ '

Аь [1 + Е* С* (1 - р*) + [1 + Еь Сь (1 - Рь )]т*]

1 + ЕС*(1 - Р*)+1 + ЕьСI(1 - Рь )]т*

7ь (?-т) С*Р7

Ж = ■

(34)

(35)

с; 1 - РЬе-7ь (?-т) ] + 1 С* 1 - Ре7*(?-т) ]

*

= СьРь7ье

* " -7* (?-т)

-, (36)

*

, (?) = С(?) + Ре7 • /N(?)е~7тёт - Ж

СЪРЪ (1 - е7)+ СР (1 - е 7 ) *

.(37)

0

0

В частности при N (/) = N получим (5еГёт = (1 - е) и поскольку — = ^Р , то согласно (37)

0 у* У* м

аь (0 = N-а- ХС*—Ъ (1 - е). (38)

Релаксация напряжения 7Ъ (¿0) = Nа в бетонной компоненте задаётся величиной ХС*ЪРЪ (1 - е~Уъ') и для достаточно больших t оценкой напряжения в арматуре является величина

7*^) = N(1 -а)+ ХС*—Ъ . (39)

6. Ключевым моментом решения релаксации напряжений в бетонной компоненте, позволяющей установить динамику перераспределения напряжений 7Ъ ) и 7* ) являются реологические уравнения (1) и (2).

Физическая основа вывода квазилинейного реологического уравнения заключается в сопоставлении реальному элементу конструкции идеального элемента, образованного объединением его равнопрочных составляющих и с идентичной геометрией и деформациями [1].

Равнопрочность означает, что все составляющие сохраняют способность к силовому сопротивлению вплоть до разрушения.

При одноосном силовом деформировании все составляющие идеального элемента разрушаются одновременно, а это исключает происходящее в реальном элементе перераспределения усилия N (т ) на его целые в текущий момент составляющие.

7. В реальной (нелинейной) постановке рассматривается реологическое уравнение

4,0= = (М, (40)

Е(1, Е (I, t„)' У '

порождающее для структурного напряжения 7с ) линейное интегральное уравнение

-/ч Г 8С * т)

7с (0 = (7с (0 + +А(О]Ч (0 т Ът . (41)

*0

После определения 7Ъс ^) (аналогично 7Ъ ^) в п. 4) искомое напряжение

7Ъ (t) находится решением уравнения

()"

_ R(t) _

В расчётах приемлемы функции

()"

_ R(t)

для бетона обычно принимают т = 4 и согласно (42)

V )]5 + 7ъ (t) - 7Ъс ^) = 0. (44)

Уравнение (44) решается стандартным итерационным способом.

8. Функция 50[*(т )] = Л^0)/А(т) является неубывающей и, поскольку в процессе разгружения разрушенная часть сечения не восстанавливается, то для всех tp < т < t имеем 50[*(т)]= 50)]= А(^)/А^р), (45)

50

7) = 7с ^). (42)

= 1 + V )]т , (43)

где /р - момент начала разгружения. Согласно (45) на промежутке [/р,t]

50[Л/ )-СТ(т)]

е(Т,/о) = ,7, , . (46)

Е(Г/о)

При невозрастающем и, в частности, постоянном нормальном усилии N напряжение оь (г) уменьшается, а потому / = /0 и

£^о) = ^7^ (47)

ЕЬ (t, Ч )

Поскольку £ (/, /0) =-^^-, (48)

* ' ^ АьЕь (/о, /о) + АЕ (/о, /о)' ' '

^о)]= ~о [ , , о, (49)

£(/о,/о)/£R (/о)]

то согласно (42), (47) и (49): <(t) = S

s(t0, t0)

< (t). (50)

SR (t0)

В работе [6] предложен поиск функций <ь (г) и <s (г) в виде

<ь (*) = !>*,Г; < (г) = ¿Ь г. (51)

i=0 i=0

Коэффициенты ak i и Ьк i определяются решением систем уравнений

¿takiit'j = <ь,к (t;); ¿,Ьк/} = (t;); j = 0,1,...,« , (52) i=0 i=0 где <ьк (tj) и <sk (tj) величины напряжений в момент г = tj при к-ом приближении. Эти величины по механическим характеристикам и N(tj) находятся модификацией соответствующего подхода из [2].

Л и т е р а т у р а

1. Бондаренко В.М., Ларионов Е.А. Принцип наложения деформаций при структурных повреждениях элементов конструкций// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2011. - № 2. - С. 16-22.

2. Бондаренко В.М., Бондаренко С.В. Инженерные методы нелинейной теории железобетона. - М.: Стройиздат, 1982.

3. Маилян Д.Р. Влияние армирования и эксцентриситета сжимающего усилия на деформативность бетона и характер диаграммы сжатия// Сб.: «Вопросы прочности, де-формативности и трещиностойкости железобетона». - Ростов-на-Дону, 1979. - С. 70-82.

4. Бамбура А.Н. Диаграмма «напряжения - деформации» для бетона при центральном сжатии// Сб. «Вопросы, прочности, деформативности и трещиностойкости железобетона». - Ростов-на-Дону: РИСИ, 1980. - С. 19-22.

5. Галустов К.З. Нелинейная теория ползучести бетона и расчёт железобетонных конструкций. - М.: Физматлит, 2006.

6. Аванесов М.П., Бондаренко В.М., Римшин В.И. Теория силового сопротивления железобетона. - РААСН, Барнаул, 1996.

STRESS RELAXATION OF REINFORCED CONCRETE BEAM UNDER AXIAL LOAD

N.T. Vasilkova, M.E. Bashcatova, E.A. Larionov

The normal stress distribution due to the axis variable force is determined in the concrete and in reinforcement. The creep and structural damages are accounted. The solution the corresponding relaxation problem is based on the quasi-linear rheological state equation.

KEY WORDS: concrete, beam, deformation, stress, relaxation.