Рекуррентный векторный метод матричных пучков Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 004.67 БС! 10.14529/mmp190208

РЕКУРРЕНТНЫЙ ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД МАТРИЧНЫХ ПУЧКОВ

О.Л. Ибряева1, А.Л. Шестаков1, И.И. Федосов1

1Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация

Метод матричных пучков оценивает параметры входных сигналов, являющихся суммой комплексных экспонент. Метод хорошо работает во многих приложениях (оценка направления прихода сигнала, прогнозирование сигнала во временной области, обработка сигналов кориолисового массового расходомера). Существуют множество модификаций классического метода, например: рекуррентный метод матричных пучков, позволяющий отслеживать параметры сигналов в режиме скользящего окна, и векторный метод, способный оценивать параметры сразу нескольких входных сигналов с одинаковыми полюсами. Подобная задача возникает при оценке параметров измерительных сигналов в кориолисовом массовом расходомере, где пара сигналов с его сенсоров имеет одинаковые частоты для всех мод колебаний. В данной статье представлена новая модификация - рекуррентный векторный метод матричных пучков, который является синтезом двух уже упомянутых методов и позволяет отслеживать параметры нескольких входных сигналов с одинаковыми полюсами в режиме скользящего окна. В статье приведены алгоритмы всех методов и их сравнение с помощью численного моделирования.

Ключевые слова: метод матричных пучков; рекуррентное оценивание; сингулярное 'разложение матрицы (БУБ); обработка сигналов в кориолисовом массовом расходомере.

Введение

Метод матричных пучков (ММП), который впервые предложен в [1], оценивает входной сигнал как сумму комплексных экспонент. Метод позволяет определять амплитуды, фазы и коэффициенты затухания для сигналов различной природы: электрические колебания (в электрических системах и сетях [2], в радиолокационных системах [3]), механические колебания (в сейсмологических приложениях [4], в задачах мониторинга целостности конструкций [5]), в обработке измерительных сигналов для массовых кориолисовых расходомеров [6].

Обработка измерительных сигналов в кориолисовом расходомере при двухфазном потоке, который состоит из жидкости и газа, представляет значительные трудности [7,8]: все параметры сигналов подвержены значительным изменениям во времени и должны отслеживаться с высокой точностью и с минимальной задержкой для обеспечения точности измерения массового расхода и плотности и поддержания стабильной работы системы управления. На текущий момент разработан ряд методов обработки сигналов для повышения точности оценки параметров измерительных сигналов в кориолисовом расходомере [9-12].

К настоящему моменту существует множество модификаций классического метода матричных пучков: ММП для незатухающих синусоид подробно рассмотрен в [13],

ММП с использованием аппроксимации матрицей Ганкеля низкого ранга представлен в [14], версия ММП для использования на квантовом компьютере представлена в [15] и т.д.

С точки зрения вычислительной сложности, наиболее ресурсозатратный шаг ММП - вычисление сингулярного разложения матрицы (singular value decomposition, SVD), составленной из отсчетов сигнала. Потребность использования ММП для оценки параметров сигналов в режиме реального времени привела к разработке рекуррентного метода матричных пучков [16], который осуществляет оценку параметров сигналов в скользящем окне. Когда новый отсчет данных попадает в окно наблюдения, матрица данных изменяется незначительно, и для нахождения сингулярного разложения новой матрицы применяется эффективная процедура [17], требующая нахождения SVD матрицы более низкого ранга. Таким образом, в рекуррентном ММП сингулярное разложение новой матрицы данных реализуется на каждом шаге не напрямую, а на основе сингулярного разложения старой матрицы. Данная модификация позволяет значительно сократить время вычислений.

Среди недостатков рекуррентного ММП можно отметить необходимость периодического перезапуска алгоритма, то есть полного пересчета SVD для матрицы данных из-за накапливания ошибки. Данный недостаток можно считать незначительным, так как даже с учетом периодического перезапуска рекуррентного метода он работает быстрее, чем классический. Важно также, что ранг (число полюсов) определяется один раз и является постоянным в течении работы рекуррентного ММП. Однако, для нестационарных сигналов число полюсов может изменяться. При этом, благодаря необходимости периодического перезапуска алгоритма обеспечивается периодический пересчет ранга матрицы.

В наших статьях [11,12] предложена еще одна модификация классического метода - векторный ММП [11,18], который в общем случае позволяет отслеживать параметры K сигналов, имеющих одинаковые полюса. Для задачи отслеживания параметров измерительных сигналов в кориолисовом расходомере мы имеем дело с K = 2. Математическое моделирование свидетельствует о том, что качество отслеживания параметров сигналов у векторного ММП в общем случае превосходит результаты классического ММП.

В данной статье мы комбинируем два этих метода (рекуррентный и векторный МПП) в рекуррентный векторный ММП. Данная модификация позволяет эффективно отслеживать параметры нескольких сигналов с одинаковыми полюсами в режиме скользящего окна.

Структура статьи такова: классический, рекуррентный и векторный методы матричных пучков описаны в параграфах 1, 2 и 3, соответственно. Новый алгоритм представлен в параграфе 4, оценка его эффективности на численном эксперименте проведена в параграфе 5. Показано, что данный метод дает приблизительно такую же ошибку, как векторный ММП, но обеспечивает значительное сокращение времени оценки параметров.

1. Классический метод матричных пучков

Метод матричных пучков представляет собой алгоритм для оценки параметров сигнала y(t) = ^2fcli Rе("к +Шк^ или, в случае дискретного сигнала,

м м

у(пТ) = ^ Яке(ак +гШк)пТ = ^ Як^. (1)

к=1 к=1

Здесь Т - период дискретизации, Як = Акегфк - комплексные амплитуды, Шк = 2п/к - частоты, ак - коэффициенты затухания, хк = е(ак +гШк)Т - полюсы сигнала.

Классический ММП оценивает параметры Як,гк по отсчетам у(пТ) = у(п),п = 0,— 1, следующим образом. На первом шаге определяется Хк из решения обобщенной задачи на собственные значения пучка матриц, составленного из у(п). На втором шаге эти полюсы используются для нахождения Як с помощью метода наименьших квадратов.

Определим две матрицы Уа,Уъ размерностью (Ж — Ь) х Ь:

Уа

Yb

(y(L - 1) У (L)

\y(N - 2)

( y(L) У (L + 1)

y(1)

y(2)

y(0) y(i)

\

(2)

y(N - L) y(N - L - I)/

y(2)

y (3)

y(1) y(2)

(3)

\y(N - 1) ••. y(N - L + 1) y(N - L)/

где M<L<N — М - единственный параметр ММП. Как было показано в [1], -т- и

^ - наиболее подходящие значения для L, которые обеспечивают наименьшую чувствительность метода к шуму. При моделировании L было установлено как floor(N/3) (функция floor в Matlab округляет число к ближайшему меньшему целому).

В отсутствии шума полюсы zk = e(ak+Шк)T могут быть найдены [1] как решение обобщенной задачи нахождения собственных значений пучка матриц Yb - Л Уа, т.е. Zk есть M собственных значений матрицы У„ Уь. Символом | мы обозначаем псевдообратную матрицу. В случае зашумленных данных, для оценки числа M используется сингулярное разложение:

Уа = USV

T

(4)

Здесь и, V - унитарные матрицы, Б - диагональная матрица собственных значений Уа. Символом Т обозначена операция транспонирования. Собственные значения следуют в порядке убывания и, начиная с М—го, близки к нулю, что позволяет найти число полюсов сигнала.

Приведем алгоритм классического метода матричных пучков [1]: Алгоритм 1. Классический метод матричных пучков Вход: отсчеты сигнала

м

м

y(n) = £ Rke(ak +iWk= £ Rkzkn, n = 0,1,..., N - 1.

k= 1

k=1

Выход: Як, хк, к = 1,..., М.

1. Формируем матрицы Уа,УЬ по формулам (2), (3).

2. Находим псевдообратную матрицу для Уа.

3. Оцениваем число полюсов сигнала М.

4. Находим усеченную до ранга М псевдообратную матрицу У^:

M

1

Ya = У] —vmuTm = V0S0

f J п

_ V т.

(5)

т= 1

где а\,...,аы - М наибольших собственных значений матрицы Уа, ^т, ит со ответствующие собственные векторы, Vo = (ь0,...,ьм ),и0 = (и0,... ,ит), Б0 = ¿гад(а\,...,ам). Это способствует подавлению шума, содержащегося в нашем сигнале.

5. Оцениваем г к путем вычисления собственных значений матрицы ZE:

Ze = S-1UT YbVo■

6. Оцениваем Rk методом наименьших квадратов:

( y(0) \ í i 1 ■ ■■ i N

(6)

y(i)

Zl Z2

Vy(N - 1)) \z?-1 zN-1

Zm

„N -1 /lo zM RM

R1 R2

(7)

Конец

Перейдем теперь к различным модификациям классического ММП.

2. Рекуррентный метод матричных пучков

Часто в прикладных задачах требуется отслеживать несколько главных полюсов входных сигналов в реальном времени. Для этого в скользящем режиме по сигналу двигается окно наблюдения. Каждый раз в это окно попадает один новый отсчет и убирается старый. Для оценки параметров сигнала в скользящем режиме служит рекуррентный метод матричных пучков [16], который и описан в этом параграфе.

Ключевой идеей рекуррентного метода является эффективное SVD разложение матрицы, присутствующей в алгоритме ММП. Поскольку на каждом шаге эта матрица меняется незначительно, можно найти ее SVD разложение не напрямую, а с использованием процедуры [17] модификации аналогичного разложения старой матрицы. Это приводит к значительному сокращению вычислительных затрат и возможности использовать метод для отслеживания параметров сигнала в реальном времени.

Переобозначим матрицы Ya,Yb из предыдущего параграфа как Ya(0), Y(0). Они составлены из отсчетов сигнала y(0), y(1),..., y(N — 1). При добавлении в окно наблюдения нового отсчета y(N), первый отсчет y(0) удаляется, и из этих N отсчетов состав^ ляются новые матрицы Ya шага:

К1) Y (1)

'-а , Y i

b , которые тесно связаны с матрицами предыдущего

Ya

(1)

0

A(N -

( y(L) y (L + 1)

(N—L) x 2

0 Ya

y(0) y(1)

(0)

)+ ABT,

B,

1 0

(L+1) x 2

\y(N - 1) y(N - L - 1)^

0 0

(8)

(9)

0 -1

Приведем алгоритм, позволяющий быстро вычислять БУБ разложение: Алгоритм 2. Эффективное разложение

Вход: усеченное сингулярное разложение Уа(0). Выход: усеченное сингулярное разложение ).

1. Находим БУБ-разложение ^0 Уа(0)^, используя известное (усеченное до ранга M) БУБ-разложение Уа(0) = ЦоЗДТ. Легко видеть, что

(о К(0)) = = Ц (5о 0) (0 Т) . (10)

2. Находим ортогональный базис Р, Q пространств (1 — ЦЦТ)А, (1 — VVT)В, соответственно, и определяем

Яа = РТ (I — ЦЦТ )А, ЯБ = QT (I — VVT )В. (11)

Заметим, что ЦЦТ = /(м-ь)х(м-ь) и VVT = 1(ь+1)х(ь+1), но ЦТЦ = 1мхм, VTV = ^(М+1)х(М+1).

3. Составляем матрицу К € Я(м+2)х(м+2):

К=еве 0)(0 '*?) • (12)

4. Находим БУБ-разложение этой матрицы: К = ЦкБк• Тогда

(Уа(1) 0) = (и Р) ЦкБк((V Q) Ук)Т = (13)

5. Находим усеченное до ранга М сингулярное разложение ):

Уа(1) = Ц (:, 1 : М) Бк (1 : М, 1 : М) V (1 : Ь, 1 : М)Т . (14)

Конец

Замечание 1. Заметим, что К € Я(м+2)х(м+2) в то время, как У„(1) € Я(м-ь)хь. Поскольку обычно М ^ Ь ^ N — Ь, замена БУБ -разложения матрицы УОх ) на БУБ-разложение матрицы К способствует уменьшению объема вычислений. Преимущества в скорости вычислений тем более заметны, чем больше N.

Замечание 2. Для упрощения записи в (14) мы использовали обозначения МаШЬ. Так, например, А : к) означает, что мы берем все строки матрицы А и с ]-го по к-ый столбец.

Замечание 3. Для окна наблюдений у (Ь), у (Ь +1),..., у (Ж — 1) мы можем аналогично построить матрицу Уа(к) и найти ее усеченное БУБ-разложение из разложения (к-1)

матрицы Уа .

Эффективное вычисление БУБ разложения лежит в основе рекуррентного ММП.

Алгоритм 3. Рекуррентный метод матричных пучков

Вход: отсчеты сигнала (Ж наборов по N отсчетов сигнала), п = 0,1,..., N — 2 +

W:

мм у(п) = £ Яке(ак +*Шк)4 = £ Якхп• (15)

к=1 к=1

Выход: Rk,zk,k = 1, . . . , M, для каждого набора y(w — 1),..., y(N — 2 + w),w =

1. Формируем матрицу Ya = Yj°° как показано в (2) из отсчетов y(0),..., y(N — 1).

2. Находим SVD-разложение матрицы Ya.

3. Оцениваем число M полюсов сигнала.

4. Находим усеченную до ранга M псевдообратную матрицу Ya (5). for w =1 to W do

5. Формируем матрицу Yb(w 10 (3) из отсчетов y(w — 1),..., y(N — 2 + w).

6. Оцениваем Zk с помощью вычисления собственных значений Ze (6).

7. Оцениваем Rk методом наименьших квадратов из (7).

8. Находим усеченное SVD-разложения матрицы YtW (используя Алгоритм 2). end

9. Формируем матрицу Yb(W0 (3) из отсчетов y(W — 1),..., y(N — 2 + W).

10. Оцениваем Zk с помощью вычисления собственных значений Ze(6).

11. Оцениваем Rk методом наименьших квадратов из (7). Конец

Отметим, что время от времени необходимо перезапускать алгоритм для устранения накапливающейся ошибки, т.е. вычислять SVD разложение напрямую, а не с помощью алгоритма 2. Мы еще обсудим это в параграфе 5. Приведем далее описание векторного ММП.

3. Векторный метод матричных пучков

Рассмотрим набор из 3 сигналов у\(Ь), у2^), ■ ■ ■ , Узимеющих одинаковые полюса г\,г2, ■ ■ ■, zм, но различные амплитуды Яц, Я2ц, ■ ■ ■, ЯМц= ■ ■ ■ . Запишем матрицы Yaj, Ybj, соответствующие сигналам уц (¿):

Ya

aj

(y.j (L — 1) У. (L)

\yj (N — 2)

yj (1) yj (2)

У. (0) у. (1)

\

(16)

y. (N — L) y. (N — L — 1)7

Y.

( У. (L) У.j (L + 1)

У. (2) У. (1) \

Уj (3) У.(2)

\у. (N — 1) ... у. (N — L + 1) У. (N — L)J

Приведем алгоритм векторного метода матричных пучков [18]. Алгоритм 4. Векторный ММП

Входные данные: отсчеты сигнала, п = 0,1, ■ ■ ■, N — 1, ] = 1,

ММ

У] (п) = £ Як]е(ак+гШк= £ Я]#, к=1 к=1

.jJ :

(17)

(18)

Выходные данные: Rk,zk,k = 1,..., M, j = 1,..., J.

1. Формируем матрицы УаЕ, УЬЕ:

/УаЛ

У

аЕ

а1 Уа2

\Уа^/

,Ул

ЬЕ

/уЛ

У>2

(19)

2. Находим псевдообратную матрицу для УаЕ = [75УТ.

3. Оцениваем число полюсов сигнала М.

4. Находим усеченную до ранга М псевдообратную матрицу У^ (5).

5. Оцениваем Хк с помощью вычисления собственных значений = Б0_1Ц(ТУЕ

6. Оцениваем Як? с помощью метода наименьших квадратов, решая 3 систем:

( у?(0) >\ у? (1)

1

Х1

1

Х2

... 1

\

Хм

( Я? \

2?

Я

(20)

(N — -1 *22-1 ••• хм-7 \Ям?7

Конец

Следующий параграф содержит основной результат статьи - синтез двух методов - рекуррентного и векторного ММП.

4. Рекуррентный векторный метод матричных пучков

Переобозначим матрицы УаЕ , УЕ как У^ ,У,(Е°). Данные матрицы получены с использованием отсчетов сигналов у?(0), у?(1),..., у?^ — 1), ] = 1,... , 3. Новые матрицы для окна данных у? (1), у? (2),... , у? ^) формируются аналогично. Обозначим их У (1) У (1) У аЕ , У ЬЕ •

Можно убедиться, что справедливо следующее равенство (подобное равенству (8), лежащему в основе эффективного вычисления БУБ разложения в рекуррентном ММП):

Уа? 0) = (0 + АВТ, (21)

где матрица В есть (9), а

А(2 -

(2х 2

( у1(Ь) у1 (0) \

Уl(N — 1) Уl(N — Ь — 1)

у2(Ь) у2(0)

У2(N — 1) У2(N — Ь — 1)

у^ (Ь) у^ (0)

(N — 1) УJ (N — Ь — 1)

(22)

Тогда Алгоритм 2 (в котором матрицы Уа(0), Уа(1> заменены на матрицы У^ , а также матрица A теперь имеет вид (22)) дает эффективный способ вычисления усеченного SVD разложения матрицы У(Е , используя SVD разложение матрицы 1). Это позволяет нам предложить рекуррентный векторный ММП.

Алгоритм 5. Рекуррентный векторный метод матричных пучков Входные данные: отсчеты сигнала (W наборов по N отсчетов сигнала), n = 0,1,..., N — 2 + W:

M M

yj (n) = £ Rk3e>4 = £ Rk3zn, (23)

k=1 k=1 Выходные данные: Rkj, zk ,k = 1,..., M, для каждого набора отсчетов yj (w — 1),... ,yj (N — 2 + w),j = 1,...,J,w = 1,...,W.

1. Формируем матрицу У^Е (19).

2. Находим псевдообратную матрицу для У^Е = USVт.

3. Оцениваем число полюсов сигнала M.

4. Находим усеченную до ранга M псевдообратную матрицу Уa (5). for w =1 to W do

5. Формируем матрицу УьЕЕ_1> (19) из отсчетов yj(w — 1),... ,yj(N — 2 + w).

6. Оцениваем Zk с помощью нахождения собственных значений Ze =

So 1uT Уье 1vo.

7. Оцениваем Rkj методом наименьших квадратов (20).

8. Находим SVD разложение матрицы у( > с использованием Алгоритма 2. end

9. Формируем матрицы У^> (19) из отсчетов yj(W — 1),... ,yj(N — 2 + W).

10. Оцениваем Zk с помощью вычисления собственных значений Ze = S ~1тт т У ( W >V

So Uo YbE Vo.

11. Оцениваем Rkj методом наименьших квадратов (20). Конец

Замечание. На 6 и 10 шаге алгоритма используются матрицы Uo,So,Vo найденные из усеченного сингулярного разложения матрицы У^Е 1>. На 7 и 11 шаге алгоритма в (20) используются данные yj(w — 1),...,yj(N — 2 + w) вместо yj (0),yj (1),...,yi(N — 1).

Перейдем теперь к численным экспериментам с использованием нового алгоритма.

5. Моделирование сигналов кориолисового расходомера в условиях двухфазного потока

Для моделирования сигналов кориолисового расходомера в условиях двухфазного потока используем модель MRWM (Modified Randow Walk Model) [10] и изменим ее, добавив вторую моду, как в [11]:

2 ( Ф (n)'

(п) = У Ак(п) sin ( üJk(n)n н---— ) + агег(п), (24)

Sright(n) = Akin) sin (шк[п)п + j агег[п)

k=\ ^ '

2 ( Ф (n) \

sieft(n) = sin 1шк(п)п--J +a¡eiin),

k=i ^ '

[л{(n) - min(A{(n)) (Amax - Amin) .

Mn) = ±-Г—^-7 , .-+ 4Г, (26)

max i Л{ (nn — min i Л{ (n) ) Lfk (n) — min(Wk(n)) (<ax — <in) .

^ W = Л-1—,-\-7 / , ч-+ С. (27)

max ( wf (nn — min (w{(n) )

(ф{(n) — шш(ф{(n)) (фтах — Cin) . ФЛп) = A-^-( t \-+ (28)

max ( ф{(nn — min ( ф{(n)

л{(n) = HA(n)eAk(n), (n) = ншк(n)eWfc(n), ф{(n) = Нфк(n)e^fc(n). (29)

Здесь sright (n) и sieft(n) - сигналы с амплитудой Л{, частотой и фазой ф{, k = 1, 2. Также er(n),el(n) - некоррелированный белый шум, eAk(n),eWk(n),eфk(n) - равномерно распределенные в интервале (—1,1) случайные сигналы, or ,07 - коэффициенты усиления (уровень) входного шума. Кроме того, Amax, Л)"™, ^max, ^min, ф™ах, Ф™т - верхний и нижний пределы для изменяющихся во времени амплитуды, частоты и фазы соответственно, HA(n), НШк (n), Нфк (n) - ФНЧ, ограничивающие скорость изменения параметров сигналов.

В табл. 1 представлены значения параметров, которые использованы для моделирования сигналов модели (24) - (29).

Таблица 1

Значения параметров для MRWM

Параметры Значения

Частота дискретизации 2 кГц

Частота среза полосовых фильтров 6 Гц

VI, К, О

Диапазон амплитуды А\, В Ашгп = 0) 28, А™ах = 0,3

Диапазон амплитуды А2, В Ашгп = 0)028, А™х = 0,03

Диапазон частоты первой моды, Гц j-'тгп _ gg jmax _ qq

Диапазон частоты второй моды, Гц /2mm = 158, /2таж = 160

Диапазон разности фаз, градусы <p%m = = 2,k=l,2

На рис. 1 показан фрагмент одного из сигналов и преобразование Фурье для полной реализации сигнала (длительностью 1,5 секунды). Два максимума в спектре соответствуют основной моде (88 - 90 Гц) и второй моде (158 - 160 Гц) колебаний расходомерных трубок. Частота дискретизации 2 кГц, длина окна 100 отсчетов (соответствует примерно 4 периодам главной моды колебаний).

Применим теперь рекуррентный векторный ММП для отслеживания параметров таких модельных сигналов. Этот метод работает быстрее векторного ММП, но не является более точным. Действительно, оба метода отличаются только способом вычисления сингулярного разложения матриц. При использовании рекуррентного векторного ММП этот этап происходит очень быстро, однако ошибка с течением времени накапливается, и необходимо периодически перезапускать вычисления, как в рекуррентном ММП. На рис. 2 хорошо отражена необходимость этого перезапуска. Оба

Рис. 1. Модельный сигнал расходомера (две моды) и его спектр

метода должны давать одинаковый результат, но, как можно видеть, с течением времени их результаты начинают расходиться. В дальнейших экспериментах мы делали перезапуск каждые 500 отсчетов. Для каждой моды колебаний отслеживались следующие параметры: частота, амплитуда и разность фаз между двумя сигналами кориолисового расходомера.

Для численной оценки качества определения параметров введем параметр ЯМБЕ (среднеквадратическое отклонение, СКО):

RMSE =

\

1

n

n £

i= 1

n) — Y (n

(30)

где Y(n),Y(п) - оцененное и действительное значения величины. Значения ЯМБЕ представлены в табл. 2 для уровня шума а = 0, 01.

Оба метода дают сопоставимые значения погрешности и хорошо отслеживают изменения в параметрах сигналов, даже для более зашумленной второй моды. Ключевое различие состоит во времени обработки сигналов (2,9 и 4,3 секунды для рекуррентного векторного ММП и векторного ММП, соответственно).

Заключение

В статье предложен рекуррентный векторный метод матричных пучков, который представляет эффективную с точки зрения скорости вычислений модификацию век-

2

Рис. 2. Качество отслеживания амплитуды первой моды без перезапуска алгоритма

торного метода матричных пучков. Повышение производительности алгоритма достигается путем использования эффективной процедуры вычисления сингулярного разложения матрицы [17].

Как показывают результаты моделирования, качество отслеживания параметров в общем превосходит результаты классического ММП. Рекуррентный векторный ММП может быть использован для определения амплитуд, частот и разностей фаз для главной и второй моды колебаний измерительных сигналов кориолисового рас-ходмера.

Статья выполнена при поддержке Правительства РФ (Постановление № 211 от 16.03.2013 г.), соглашение № 02.A03.21.0011.

Таблица 2

Среднеквадратические отклонения оценок параметров сигнала

a = 0,01 B, RMSE (первая мода)

Алгоритм СКО частоты СКО амплитуды СКО разности

(Гц) (В) фаз (град.)

Векторный ММП 0,031 0,0017 0,0083

Рекуррентный век- 0,032 0,0019 0,0080

торный ММП

а = 0,01 В, RMSE (вторая мода)

Векторный ММП 0,388 0,018 0,043

Рекуррентный век- 0,466 0,020 0,041

торный ММП

Литература

1. Hua, Y. Matrix Pencil Method for Estimating Parameters of Exponentially Damped/Undamped Sinusoids in Noise / Y. Hua, T.K. Sarkar // IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing. - 1990. - V. 38, № 5. - P. 814-824.

2. Crow, M.L. The Matrix Pencil for Power System Modal Extraction / M.L. Crow, A. Singh // IEEE Transactions on Power Systems. - 2005. - V. 20, № 1. - P. 501-502.

3. Drissi, K.E.K. The Matrix Pencil Method Applied to Smart Monitoring and Radar / K.E.K. Drissi, D. Poljak // Computational Methods and Experimental Measurements XVII.

- 2016. - P. 13-24.

4. Персичкин, А.А. О методике оценки параметров сейсмических сигналов / А.А. Персич-кин, А.А. Шпилевой // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Серия: Физико-математические и технические науки. - 2015. - № 10. - C. 122-125.

5. Hossein, Q. A Comparative Study of Signal Processing Methods for Structural Health Monitoring / Q. Hossein, A. Hojjat // Journal of Vibroengineering. - 2016. - V. 18, № 4. -P. 2186-2204.

6. Ibryaeva, O. Matrix Pencil Method for Coriolis Mass Flow Meter Signal Processing in Two-Phase Flow Conditions / O. Ibryaeva, D. Salov // 2017 International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing. - St. Petersburg. - 2017. - Article ID: 17285180. - 4 p.

7. Tombs, M. Two-Phase Coriolis Mass Flow Metering with High Viscosity Oil / M. Tombs, F. Zhou, M. Henry // Flow Measurement and Instrumentation. - 2018. - V. 59. - P. 23-27. DOI: 10.1016/j.flowmeasinst.2017.11.009.

8. Henry, M. Two-Phase Flow Metering of Heavy Oil Using a Coriolis Mass Flow Meter: A Case Study / M. Henry, M. Tombs, M. Duta, F. Zhou // Flow Measurement and Instrumentation.

- 2006. - V. 17, № 6. - P. 399-413.

9. Yaqing Tu. CMF Signal Processing Method Based on Feedback Corrected ANF and Hilbert Transformation / Yaqing Tu, Huiyue Yang, Haitao Zhang, Xiangyu Liu // Measurement Science Review. - 2014. - V. 14, № 1. - P. 41-47.

10. Ming Li. Complex Bandpass Filtering for Coriolis Mass Flow Meter Signal Processing / Ming Li, M. Henry // Industrial Electronics Society. - 2016. - P. 4952-4957.

11. Ibryaeva, O. Measurement Validation for ICPS: Matrix Pencil Method for Coriolis Metering with Liquid/Gas Flow / O. Ibryaeva, A. Semenov, M. Henry // Industrial Cyber-Physical Systems. - St. Petersburg, 2018. - P. 440-445.

12. Ibryaeva, O. Matrix Pencil Method for Coriolis Metering with Liquid/Gas Flow II: Experimental Results / O. Ibryaeva, P. Taranenko // Industrial Cyber-Physical Systems. - St. Petersburg, 2018. - P. 434-439.

13. Enrique, J. Comparison Between the Matrix Pencil Method and the Fourier Transform Technique for High-Resolution Spectral Estimation / J. Enrique, F. Rio, T.K. Sarkar // Digital Signal Processing. - 1996. - V. 6. - P. 108-125.

14. Biao Lu. Improved Matrix Pencil Methods / Biao Lu, Dong Wei, B.L. Evans, A.C. Bovik // Conference Record of Thirty-Second Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers. - Pacific Grove, 1997. - P. 1433-1437.

15. Steffens, A. An Efficient Quantum Algorithm for Spectral Estimation / A. Steffens, P. Rebentrost, I. Marvian // New Journal of Physics. - 2017. - V. 19. - P. 1-14.

16. Ibryaeva, O. Recursive Matrix Pencil Method / O. Ibryaeva // 2nd International Ural Conference on Measurements. - 2017. - Chelyabinsk. - P. 6.

17. Brand, M. Fast Low-Rank Modifications of the Thin Singular Value Decomposition / M. Brand // Linear Algebra and its Applications. - 2006. - V. 415, № 1. - P. 20-30.

18. Henry, M.P. Matrix Pencil Method for Estimation of Parameters of Vector Processes / M.P. Henry, O.L. Ibryaeva, D.D. Salov, A.S. Semenov // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2017. - Т. 10, № 4. - С. 92-104.

19. Yilmazer, N. Multiple Snapshot Direct Data Domain Approach and ESPRIT Method for Direction of Arrival Estimation / N. Yilmazer, S. Ari, T.K.Sarkar // Digital Signal Processing. - 2018. - P. 561-567.

20. Henry, M. The Prism: Efficient Signal Processing for the Internet of Things / M. Henry, F. Leach, M. Davy, O. Bushuev // IEEE Industrial Electronics Magazine. - 2017. - P. 22-32.

21. Henry, M. An Introduction to Prism Signal Processing applied to Sensor Validation / M. Henry // Measurement Techniques. - 2018. - P. 1233-1237.

Ольга Леонидовна Ибряева, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Вычислительная математика и высокопроизводительные процессы:», ЮжноУральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), [email protected].

Александр Леонидович Шестаков, доктор технических наук, профессор, кафедра «Информационно-измерительная техника», Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), [email protected].

Иван Игоревич Федосов, магистрант, кафедра «Информационно-измерительная техника», Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), [email protected].

Поступила в редакцию 13 декабря 2018 г.

O.^. HSpaeBa, A.^. ffleciaKOB, H.H. OegocoB

MSC 94A12 DOI: 10.14529/mmp190208

RECURSIVE MULTI-CHANNEL MATRIX PENCIL METHOD

O.L. Ibryaeva1, A.L. Shestakov1, I.I. Fedosov1

1 South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation E-mails: [email protected], [email protected], [email protected]

The Matrix Pencil Method (MPM) approximates the input signal by a sum of complex exponentials. The method works well in many applications (high resolution DOA estimation, time-domain signal prediction, Coriolis Mass Flow Meter (CMF) signal processing). There are many modifications of the classical MPM, among which we mention the Recursive MPM capable of tracking signal parameters in the sliding window mode, and Multi-Channel MPM capable of processing several signals simultaneously which have the same poles. For example, this situation takes place in CMF signal processing where two sensors signals have the same frequencies for all vibration modes. The paper is devoted to combining these two techniques in the Recursive Multi-Channel MPM. This modification allows to track effectively the parameters of several signals with the same poles in the sliding window mode. Algorithms of all methods are summarized; a simulation example is given.

Keywords: matrix pencil method; recursive estimation; singular value decomposition (SVD); updating and downdating SVD; Coriolis Mass Flow Meter signal processing.

References

1. Hua Y., Sarkar T.K. Matrix Pencil Method for Estimating Parameters of Exponentially Damped/Undamped Sinusoids in Noise. IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing, 1990, vol. 38, no. 5, pp. 814-824. DOI: 10.1109/29.56027

2. Crow M.L., Singh A. The Matrix Pencil for Power System Modal Extraction. IEEE Transactions on Power Systems, 2005, vol. 20, no. 1, pp. 501-502. DOI: 10.1109/TPWRS.2004.841158

3. Drissi K.E.K., Poljak D. The Matrix Pencil Method Applied to Smart Monitoring and Radar. Computational Methods and Experimental Measurements XVII, 2016, vol. 59, pp. 13-24. DOI: 10.2495/CMEM150021

4. Persichkin A., Shpilevoy A. About the Method of Estimating the Parameters of Seismic Signals. IKBU's Vestnik. Series: Physics, Mathematics, And Technology, 2015, no. 10, pp. 122-125. (in Russian)

5. Hossein Q., Hojjat A. A Comparative Study of Signal Processing Methods for Structural Health Mnitoring. Journal of Vibroengineering, 2016, vol. 18, no. 4, pp. 2186-2204. DOI: 10.21595/jve.2016.17218

6. Ibryaeva O., Salov D. Matrix Pencil Method for Coriolis Mass Flow Meter Signal Processing in Two-Phase Flow Conditions. International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing, 2017, pp. 1-4. DOI: 10.1109/ICIEAM.2017.8076363

7. Tombs M., Zhou F., Henry M. Two-Phase Coriolis Mass Flow Metering with High Viscosity Oil. Flow Measurement and Instrumentation, November, 2017, vol. 59, pp. 23-27. DOI: 10.1016/j.flowmeasinst.2017.11.009.

8. Henry M., Tombs M., Duta M., Zhou F. Two-Phase Flow Metering of Heavy Oil Using a Coriolis Mass Flow Meter: A Case Study. Flow Measurement and Instrumentation, 2006, vol. 17, no. 6, pp. 399-413. DOI: 10.1016/j.flowmeasinst.2006.07.008

9. Yaqing Tu, Huiyue Yang, Haitao Zhang, Xiangyu Liu. CMF Signal Processing Method Based on Feedback Corrected ANF and Hilbert Transformation. Measurement Science Review, 2014, vol. 14, no. 1, pp. 41-47. DOI: 10.2478/msr-2014-0007

10. Li Ming, Henry M. Complex Bandpass Filtering for Coriolis Mass Flow Meter Signal Processing. Industrial Electronics Society, 2016, pp. 4952-4957. DOI: 10.1109/IEC0N.2016.7793040

11. Ibryaeva O., Semenov A., Henry M. Measurement Validation for ICPS: Matrix Pencil Method for Coriolis Metering with Liquid/Gas Flow. IEEE Industrial Cyber-Physical Systems, 2018, p. 6. DOI: 10.1109/ICPHYS.2018.8390745

12. Ibryaeva O., Taranenko P. Matrix Pencil Method for Coriolis Metering with Liquid/Gas Flow II: Experimental Results. IEEE Industrial Cyber-Physical Systems, 2018, p. 6. DOI: 10.1109/ICPHYS.2018.8390744

13. Enrique J., Rio F., Sarkar T.K. Comparison Between the Matrix Pencil Method and the Fourier Transform Technique for High-Resolution Spectral Estimation. Digital Signal Processing, 1996, vol. 6, pp. 108-125. DOI: 10.1006/dspr.1996.0011

14. Biao Lu, Dong Wei, Evans B.L., Bovik A.C. Improved Matrix Pencil Methods. Conference Record of Thirty-Second Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers, 1997, pp. 1433-1437.

15. Steffens A., Rebentrost P., Marvian I. An Efficient Quantum Algorithm for Spectral Estimation. New Journal of Physics, 2017, vol. 19, pp. 1-14. DOI: 10.1088/1367-2630/aa5e48

16. Ibryaeva O. Recursive Matrix Pencil Method. 2nd International Ural Conference on Measurements, 2017, p. 6. DOI: 10.1109/URALCON.2017.8120739

17. Brand M. Fast Low-Rank Modifications of the Thin Singular Value Decomposition. Linear Algebra and Its Applications, 2006, vol. 415, no. 1, pp. 20-30. DOI: 10.1016/j.laa.2005.07.021

18. Henry M.P., Ibryaeva O.L., Salov D.D., Semenov A.S. Matrix Pencil Method for Estimation of Parameters of Vector Processes. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software, 2017, vol. 10, no. 4, pp. 92-104. DOI: 10.14529/mmp170409

19. Yilmazer N., Ari S., Sarkar T.K. Multiple Snapshot Direct Data Domain Approach and ESPRIT Method for Direction of Arrival Estimation. Digital Signal Processing, 2018, pp. 561-567. DOI: 10.1016/j.dsp.2007.07.004

20. Henry M., Leach F., Davy M., Bushuev O. The Prism: Efficient Signal Processing for the Internet of Things. IEEE Industrial Electronics Magazine, 2017, pp. 22-32. DOI: 10.1109/MIE.2017.2760108

21. Henry M. An Introduction to Prism Signal Processing Applied to Sensor Validation. Measurement Techniques, 2018, pp. 1233-1237. DOI: 10.1007/s11018-018-1345-1

Received December 13, 2018