Рекуррентный метод определения отражающих свойств многослойных плёночных покрытий Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. Выпуск 1 (21). 2016

УДК 537.876, 535.39, 537.872, 537.874.2

РЕКУРРЕНТНЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОТРАЖАЮЩИХ СВОЙСТВ МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛЁНОЧНЫХ ПОКРЫТИЙ

П. А. Макаров

Разработан алгоритм вычисления коэффициентов отражения, прохождения и поглощения электромагнитной энергии плоско-поляризованных монохроматических электромагнитных волн, распространяющихся в многослойных плёночных системах. Определены границы применимости метода.

Ключевые слова: многослойные оптические покрытия, граничные условия, отражение, прохождение электромагнитных волн.

1. Введение

Изучение отражающих свойств таких низкоразмерных систем, как тонкие плёнки, многослойные и композитные структуры, является одним из важнейших направлений современной физики конденсированного состояния.

Многослойные плёночные системы широко исследуются в связи с разнообразием проявляемых ими аномальных электрических [5,9,14] и магнитных [1-3,7] свойств. Особенности микро- и наноструктуры подобных объектов непосредственно обусловливают их материальные параметры (диэлектрическую, магнитную проницаемость, проводимость), а вместе с ними и отражение, прохождение и поглощение электромагнитных волн в данных системах [4,5,8,10,11,15,16].

Интерес к изучению микро - и наносистем связан с решением различных фундаментальных и прикладных проблем. Создание на базе тонкослойных покрытий оптических изделий, обладающих необходимыми

© Макаров П. А., 2016.

характеристиками, представляет собой большой практический интерес при проектировании приборов квантовой электроники, в спектроскопии, радиоастрономии и многих других областях. Вместе с тем проблема синтеза многослойных интерференционных оптических покрытий, свойства которых наилучшим образом приближаются к заданным, является сложной параметрической задачей. Всё это приводит к необходимости выполнения более глубоких и детальных теоретических исследований в данной области.

В связи с этим актуальной является разработка методики определения коэффициентов отражения, прохождения и поглощения энергии электромагнитной волны (ЭМВ), падающей на многослойную тонкоплёночную систему.

2. Граница раздела двух сред

Пусть на плоскую границу раздела двух стационарных изотропных однородных сред падает линейно-поляризованная монохроматическая ЭМВ. При этом на границе раздела произойдёт разделение падающей волны на две — отражённую и преломлённую.

Граничные условия для электромагнитного поля в отсутствии сторонних зарядов и токов [6,12,13] имеют вид

где индекс т обозначает тангенциальные компоненты векторов Е и Н.

Очевидно, в первой среде результирующее значение напряжённости поля вблизи границы раздела определится суммой полей падающей и отражённой волн, а внутри второй среды — лишь полем прошедшей волны.

Напряжённости Е, Н и волновой вектор волны к взаимно перпендикулярны и составляют правовинтовую систему, при этом компоненты полей ЕГ)г и НГ)г внутри среды связаны друг с другом соотношением [12]

Ет,1 — Ет,2, Нт,1 — Нт,2,

(1)

где п — нормаль к поверхности, направленная внутрь второй среды. Запишем выражения для падающей, отражённой и преломлённой

волн:

Enafl(r,í) = E«e-^aí-kar), ka = ^ =

Va С

Еотр(г, t) = Ee е-г(шв t-k r), ke = = V^T^T, (3)

Ve c v 7

Епр(г, t) = E7 e-iK t-kY r), k7 = ^ = ^ ^^

vY С

Здесь r — радиус-вектор точки пространства, в которой рассматривается возмущение в момент времени t; Wj,Vj — циклическая частота и скорость соответствующей волны (j = а, в, Y), Ej — их амплитуды.

Подставляя выражения (3) в граничные условия (1) для электрического вектора, получим

EaT e-i(w«t-k«r) + EeT e-i(we t-ker) = EYT t-kYr). (4)

Для выполнения этого равенства в любой момент времени t в любой точке границы раздела необходимо и достаточно, чтобы во всех трёх показателях экспонент были одинаковые коэффициенты при t и при проекции радиус-вектора r на границу раздела:

Wa = We = WY, kaT = k в т = kYT • (5)

Согласно первой системе уравнений (5) частоты всех трёх волн должны быть равны между собой. В дальнейшем будем опускать индексы и обозначим частоту просто буквой w. Из второй системы равенств (5) следует, что векторы ka, ke, kY находятся в одной плоскости, проходящей через нормаль к плоскости раздела n и ka — плоскости падения.

Выберем декартову систему координат Oxyz таким образом, чтобы плоскость xOy совпадала с границей раздела сред, а плоскость yOz — с плоскостью падения, причём ось Oz направим из среды "1" в среду "2" (рис. 1). Углы между ka, kY и нормалью n обозначим через вт, в2 (углы падения и преломления), а угол между Oz и ke — через п — в' (где в' — угол отражения).

В указанной системе координат x-компоненты векторов kjT равны нулю, а y-компоненты можно выразить через углы вт, в', в2 следующим образом:

kay = ka sin вт, kpy = ke sin в', kYy = kY sin в2. (6)

Таким образом, равенствам (5) можно придать вид:

sin вт sin в' sin в2 (7)

vi vi v2 •

а) б)

Рис. 1. Граница раздела двух сред

Первое равенство означает, что 0\ = в', т. е. мы приходим к закону отражения. Для преломлённой волны имеем

sin 6>2 ¡£i^i V2 ío,

(8)

sin 91 y £2^2 vi

что совпадает с законом преломления.

В рассуждениях, приведших к выражениям (7) и (8), мы не делали никаких предположений, ограничивающих значения составляющих векторных амплитуд и их начальных фаз. Поскольку именно эти величины определяют поляризацию волн, то можно утверждать, что геометрические законы отражения и преломления справедливы при любых состояниях поляризации падающей волны.

Амплитуды отражённой и преломлённой волн зависят от поляризации падающей волны. Из дальнейшего будет видно, что целесообразно раздельно рассматривать два случая, когда электрический вектор либо лежит в плоскости падения, либо перпендикулярен к ней. Соответственно, разложим амплитуды Ea, E^, EY на компоненты Ej, Ej, лежащие в плоскости падения и перпендикулярные к ней, соответственно:

Ej = eJ + Ej, j = а, в, Y- (9)

Результаты вычисления Ej и Ej позволяют решить задачу об отражении и преломлении электромагнитной волны произвольной поляри-

зации. Взаимные ориентации векторов к], Е", Е^ и соответствующих

им напряжённостей магнитного поля Ы!, Ы^ приведены на рис. 1.

Рассмотрим случай, когда компоненты напряжённости электрического вектора перпендикулярны плоскости падения (см. рис. 1а). Граничные условия (1) для такой поляризации принимают вид

Я + Е* = Е.|. ^ - Е» = ^Е.|. (10)

41 42

В уравнениях (10) введено обозначение характеристического импеданса среды [12]

о = с;+< = < Д, з = 1,2. (11)

V ез

Решая систему уравнений (10), найдем:

= Е: = ^^ : = < = (12)

г е: С:+с:' * Е: С:+с' (12)

где введены характеристические импедансы сред при перпендикулярной поляризации ЭМВ

] = , 3 = 1,2. (13)

^ СОв 0]

Величины и — амплитудные коэффициенты отражения и пропускания для волны, перпендикулярной линейно поляризованной волне.

Для компонент напряжённостей электрического вектора, продольных к плоскости падения (рис. 1б), граничные условия (1) принимают вид

(е" - Е^) СО801 = Е11 СО802, = ^. (14)

Введем характеристический импеданс среды для случая продольной поляризации волны:

с]1 = О СО8 0;, 3 = 1, 2. (15)

Принимая во внимание обозначение (15), решение системы уравнений (14) можно выразить следующим образом:

л = Е" = - ¿у = Ех = 2с1 (2. (16)

Еа с!1 + <2 Е! С!1 + с2 ^

Полученные выражения (12) и (16) позволяют определить амплитуды и фазы вектора напряжённости электрического поля Е^ и Е7 при перпендикулярной и поперечной поляризации линейно-поляризованной монохроматической волны.

3. Распространение излучения в многослойных системах

Рассмотрим многоплёночную систему, изображенную на рис. 2. Будем считать, что число слоёв N, а поскольку они окружены полубесконечными пространствами, то общее количество сред в рассматриваемой задаче составляет N + 2.

Рис. 2. Многослойная плёночная система

3.1. Методика определения коэффициентов отражения, прохождения и поглощения

Пользуясь основными результатами раздела 2, будем искать амплитудные коэффициенты отражения rj и прохождения tj линейно-поляризованных ЭМВ на каждой из N границ системы, показанной на рис. 2. Данная задача решается в два этапа.

Первый этап, опирающийся на закон Снеллиуса (8), состоит в определении волновых чисел kj и углов преломления 6j во всех средах (материальные параметры £j, всех сред и угол падения в0 при этом

полагаем известными):

kj = yj£j »j —,

й • ( jj • й \ ^ = X' + 1- (17) 0,- = arcsm J—--—sin й7_1 ,

W £j »j J

Данная система уравнений имеет один и тот же вид вне зависимости от типа поляризации падающей волны.

Второй этап непосредственно состоит в последовательном выражении коэффициентов отражения r. и прохождения tj на каждой из N границ раздела. Так как граничные условия для различных поляризаций ЭМВ имеют разный вид, рассмотрим отдельно два случая.

Перпендикулярная поляризация

В результате многократного отражения и преломления на границах раздела многоплёночной системы в каждом слое формируются суммарное прошедшее и отражённое электрическое и магнитное поля. Будем обозначать амплитуду результирующего вектора напряжённости преломлённого электрического поля в j-той среде через E¿j, а амплитуду результирующего отражённого вектора напряжённости — E__ j.

В этих обозначениях с учётом выражения для характеристического импеданса среды при перпендикулярной поляризации волны (13) граничные условия (1) на j-той границе раздела (т. е. для границы раздела между j-той и (j + 1)-ой средами) примут вид:

£.J- eikjdj cos+ .e_ikjdj COSei =

1

E_ eikj+idjCOSj1 + e_ e_ikj+idjCOS°j+1

Ea ,j+1e + Ев , j+1e '

_ eikj dj cos dj _ E _ e_ikj dj cos

_(E^-eikjdjCOSej — E_ • e_ikjdjCOS j = (18)

f° _L V a ,j e,j J

1

_ Í E_ eikj+idjCOSej+i _ E_ e_ikj+idjCOS8j+i\

(?+1

где = г. — г.-1 — толщина ^'-того слоя многоплёночной системы.

Определим амплитудные коэффициенты отражения г;7+1 и прохождения ¿7+1 на + 1)-ой границе следующим образом:

E _ Е_

r_ = Eej+1 t_ = e»J+2 (19)

' j+i = E _ ' tj+i = E _ • (19)

Ea ,j+1 Ea ,j+1

Используя введённые обозначения (19), преобразуем систему (18):

eX dj cos 0j I eX g—ifc,'dj cos 0 Ea jg + jg

„X

j d j cos 0 j

1 rJ

gtfcj+idj cos0j+i + J+l g-tfcj+idj cos0j+i | EJ-.

/X ° ^ +± ° I a,j+2'

J+i J+i

1 / eX gikjdj cos0j eX e—ikjdj cos0j\ __(20)

X

1 / EX ^ifcjdj cos 0j eX ikjdj cos 0j A

ZX lE«Jg j - e " JJ

>7

1/1 rJ

' eikj+idjcos 0j+i__z+le—ikj+idjcos 0j+i ] eX. .

/X I ° +X I a,J+2

ZJ+1 \ J+i J+i

Вид системы (20) позволяет ввести амплитудные коэффициенты от-

X J

ражения rX и прохождения ¿X на j-той границе:

E X eX

rx _ ^ ¿X _ E»J+2 (21)

'j _ Ex , ¿J _ EX • (21)

Учтём многократные переотражения волны внутри многоплёночной системы величиной xJ+i, которая позволит выразить коэффициенты отражения и прохождения на j-той границе раздела через коэффициент отражения от всей структуры после (j + 1)-ой границы:

„ifcj+idj cos 0j+i _ rX e—ifcj+idj cos 0j+i

KX _ g_rJ+ie__(22)

j+l

gifcj+idj cos0j+i + rX g—ikj+idj cos0j+i ' ^ '

Используя обозначения (21) и (22), после деления второго уравнения системы (20) на первое получим

ifcj dj cos 0j _ rX g—ikj dj cos 0j z X

_J_g_ _ к

ifcjdj cos0j I ».X^ —ifcjdj cos0j /X J+1

kX+I. (23)

gifcjdj cos0j + ' Xg—ikjdj cos0j ^J

Непосредственно решая последнее уравнение, выразим коэффициент отражения на j-той границе раздела:

J+i - JiCX Ji + J+iC/

i2fcj dj cos 0j f 9/1 ^

' J _ /X , ..X /Xg • (24)

Для определения коэффициента прохождения ] достаточно в первое уравнение системы (20) явно подставить ] согласно (24). После преобразований имеем

O/X „ifcjdj cos0j

¿X _ ¿X _f^+i__^_^_ (25)

J J+i Zx+i + KJ+i(X eifcj+idjcos 0j+i + rJ+ig—ikj+idjcos 0j+i

Таким образом, для случая перпендикулярной поляризации электромагнитной волны второй этап метода состоит в последовательном решении следующей системы рекуррентных уравнений:

r

Z-L _ Z-

_L = V/+1 -*b'+1Sj ^kj dj cos j 0+1 + „

± ± 2Zj-+1 eikJ dJcos

eikj+idj cos+ r— ^g—ikj+idj cos0j+i '

j = N,N - 1,..., 0. (26)

Величины r- и t-, являющиеся результатом последовательного решения системы (26), представляют собой амплитудные коэффициенты отражения и прохождения всей многоплёночной системы. При этом необходимо учесть, что r-+1 = 0 и ¿N+1 = 1, так как отражение в N + 1 среде отсутствует и электромагнитное поле является полностью прошедшим. Также в системе (26) следует положить d0 = 0.

Продольная поляризация

Вводя обозначения амплитуд результирующего преломлённого E^,,

и отражённого E^ , вектора напряжённости электрического поля в j-той среде аналогично предыдущему разделу, запишем систему граничных условий на j -той границе раздела для случая продольной поляризации электромагнитной волны:

(EL- eifcj dJcos ^ - e", e—ikJ dJcos J cos =

= (Ejl>J.+1eifcj+ldj cos ^ - EjJ^e-ikj+idjcos^ cos 0,-+b

1 (27)

— ^e" • eifcJdJcos^ + Ee • e—ifcJdJcosJ =

1

Z

j+1

E" gikj+idjcos0j+i i E" g—ifcj+idJcos<^+Л \4E«,j+1e + Ee,J+1e у

где использовано обозначение характеристического импеданса среды £ согласно (11).

Амплитудные коэффициенты отражения и прохождения ¿!-+1 на (з + 1)-ой границе раздела определим следующим образом:

II _ ^в^1 ,11 _ (28)

= ЕI ' = ЕI ' ( )

Подставляя (28) в (27) получим

, j eikjdj cos e3 - еЦ , j e-ikjdj cos ел cos 0.

fpikj+idj cosej+i _ II e-ikj+idj cosej+i\ COS 0j+1 EII

'j+1e J M Ea, j+2,

tj+1

ikjdj cosej I е 1 e-ikjdj cosej

- I Ea,, eikjcos ej + E^ , j e

(29)

Zj

- 1 (eikj+idjcosej+i I r" e-ikj+idjcosej+A 1 E1 "Z Ve + 'j+1e ) E«j+2-

V j+1

Введём амплитудные коэффициенты отражения rj и прохождения tJ на j-той границе:

EI EI r| = Е¥, t| = Enj±2 • (30)

j I j I

Ea,j Ea,j

Действуя аналогично методике предыдущего раздела, введём коэффициент Kj+i, который позволит выразить коэффициенты отражения и прохождения на j-той границе через коэффициент отражения от всей структуры после (j + 1)-ой границы:

eikj+idj cose,+i _ r" e—ikj+idj cose,+i

xL = --rj+1\ , „ • (31)

eikj+idj cos ej+i + r1! e-ikj+idj cos ej+i

j+1

С учетом (30) и (31) после деления первого уравнения системы (29) на второе получим

ikj dj cos ej I - ikj dj cos ej I e I je J Zj+i и -и-= j1 x" (32)

eikj dj cos ej + r"e-ikj dj cos ej z и jj

Решение последнего уравнения имеет вид

J _ Ч - Kj+1Zj+1 ei2kjdj cos ej . (33)

(J + Kj+1Zj+1

Амплитудный коэффициент прохождения tJ выразим из второго

уравнения системы (29), подставив в него rj согласно (33). Окончательно имеем

2Z11 /■ ^ikjdj cos e^

t" = tJ+1 и 7 и j1--• (34)

Zj! + xJI+1 Zj+1 О eikj+idjcos ej+i + rjI+1e-ikj+idjcos ej+i

Подводя итог для случая продольной поляризации волны, отметим, что второй шаг метода состоит в определении величин rj и tj из следующей системы уравнений:

Л _ C3 - К+1 С3+1 ei2kjdj cos dj

3 Cj + xf+iCl1

3 ^ "3+1^ 3+1

II j 2(j Z3+1 e

tj = tj 3 S3+1

ikj dj cos dj

3 3+1

C3 + Я3+1Ч+1 e"^cos^ + Г

j = - 1,..., 0. (35)

Zj + kJ+3 CJ eikj+ldjcos^ + r|+1e-ikj+ldjcos^

Следует отметить, что для решения системы (35) необходимо положить Гдг+1 = 0, +1 = 1 и 4 = 0.

3.2. Энергетические коэффициенты отражения, прохождения и поглощения многослойной системы

Изложенная в подразделе 3.1 методика позволяет выразить энергетические коэффициенты отражения Я, прохождения Т и поглощения Q электромагнитной волны:

Я = |го|2 , Т = ^ |*о|2 , Q = 1 - (Я + Т). (36)

ко

4. Применение метода и анализ результатов

Проиллюстрируем разработанную методику расчёта на нескольких численных примерах. Рассмотрим в качестве объекта многослойные покрытия, образованные двумя чередующимися слоями со следующими параметрами: диэлетрическая проницаемость е1 = 1.5, е2 = 2 и толщина = 100 нм, = 50 нм. Для простоты рассмотрим немагнитные диэлектрики, поэтому магнитные проницаемости обоих слоёв считаем

= = 1, а проводимости а1 = а2 = 0. Окружающее пространство — воздух с параметрами е0 = = 1, а0 = 0.

Рис. 3 демонстрирует рассчитанные по (36) угловые зависимости энергетических коэффициентов отражения и прохождения излучения видимого диапазона для многослойных систем.

Как следует из рис. 3, энергетический коэффицент отражения для перпендикулярной поляризации является монотонно возрастающей функцией угла падения, а Т^ — монотонно убывающей функцией. В случае продольной поляризации соответствующие коэффициенты отражения Я и прохождения Т" уже не монотонны и проходят через

0) N = 30, / = 390 ТГц (к) N = 30, / = 540 ТГц (1) N = 30, / = 750 ТГц

Рис. 3. Угловые зависимости энергетических коэффициентов отражения (толстые линии) и прохождения (тонкие линии) для многослойных плёнок (сплошная кривая соответствует перпендикулярной поляризации волны, штриховая — продольной)

минимум (максимум) при падении волны под углом Брюстера. Отметим, что при указанных параметрах задачи угол Брюстера составляет величину $бр ~ 64°.

Кроме того, из рис. 3 видно, что значения коэффициентов при нормальном падении 0о = 0° сильно зависят от количества слоёв N и частоты волны f. При этом, как следует из рис. 3(1), на больших частотах (фиолетовый свет) с ростом числа слоёв форма кривых Я"(0о) и Т"(0о) искажается весьма существенно, так что значительное пропускание энергии продольно-поляризованных волн наблюдается в широком интервале углов падения 0о Е [43°, 77°].

На рис. 4 показаны рассчитанные по (36) частотные зависимости энергетических коэффициентов отражения и прохождения излучения видимого диапазона для многослойных систем. Из рис. 4 видно, что энергетические коэффиценты отражения и прохождения при перпендикулярной и продольной поляризации волны не являются ни монотонными, ни строго периодическими функциями частоты.

В низкочастотной области спектра (для инфракрасного излучения) рассматриваемые структуры являются относительно слабо отражающими, в то время как с увеличением частоты света отражающие свойства улучшаются. При переходе к ультрафиолетовому диапазону излучения система плёнок вновь "просветляется". Изменяя число слоёв N, можно эффективно варьировать отражающие свойства структуры. Также из рис. 4(1) следует, что при угле падения волны 0о = 60° систему из N = 30 слоёв можно эффективно использовать как поляризационный фильтр во всем частотном диапазоне видимого излучения, так как изменяется при этом в пределах от 85 % до 90 %, в то время как Я < 5 %.

5. Границы применимости метода

Разработанный метод устойчиво работает для расчёта многослойных структур, которые можно считать слабо поглощающими, т. е. в тех случаях, когда мала проводимость слоёв а. В противном случае алгоритм даёт правильный результат тогда, когда поглощающий слой — "последний" в структуре (имеет порядковый номер N). Это связано с тем, что введённые величины (22) и (31) некорректно учитывают отражение от границ раздела при наличии проводимости.

Таким образом, при расчёте отражающих свойств многослойных структур, содержащих произвольное число металлических слоёв с высокой проводимостью и/или относительно большой толщиной (^ ~ Л/4, где Л — длина волны в металле), требуется корректировка метода и более подробный учёт поглощения энергии.

1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

1 23456789 Г, 1014 Гц

(т) N = 10, в0 = 30°

1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

123456789 Г, 1014 Гц

(р) N = 20, в0 = 30°

1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

123456789 Г, 1014 Гц

(8) N = 30, в0 = 30°

1 г

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5 -

0.4

0.3

0.2

0.1

0

123456789 Г, 1014 Гц

(п) N = 10, в0 = 45°

1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5

0.1

0

123456789 Г, 1014 Гц

(д) N = 20, в0 = 45°

1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

123456789 Г, 1014 Гц

(1) N = 30, в0 = 45°

1

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

123456789 Г, 1014 Гц

(о) N = 10, в0 = 60°

0.7 0.6 0.5

123456789 Г, 1014 Гц

(г) N = 20, в0

60°

0.9 0.8 0.7 0.6

123456789 Г, 1014 Гц

(и) N = 30, в0 = 60°

0

0.9

0.8

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

Рис. 4. Частотные зависимости энергетических коэффициентов отражения (толстые линии) и прохождения (тонкие линии) для многослойных плёнок (сплошная кривая соответствует перпендикулярной поляризации волны, штриховая — продольной)

6. Выводы

Разработана методика вычисления коэффициентов отражения R, прохождения T и поглощения Q электромагнитной энергии плоско-поляризованных монохроматических ЭМВ в многослойных плёнках.

Для демонстрации работы метода приведены численные примеры: построены угловые и частотные зависимости R и T для перпендикулярных и продольных поляризаций волны. Выявлены существенные различия в поведении коэффициентов отражения и прохождения в зависимости от типа поляризации.

Определены границы применимости метода. Показано, что разработанный алгоритм может быть эффективно использован для расчёта как непоглощающих структур, так и при наличии металлического слоя, если он "последний" в структуре. В остальных случаях требуется проведение дополнительных исследований, уточняющих и дополняющих приведённую методику.

Список литературы

1. Cochran J. F., Kambersky V. Ferromagnetic resonance in very thin films // JMMM. Vol.302. 2006. Pp. 348-361.

2. D. de Cos, Garcia-Arriabas A., Barandiaran J. M. Ferromagnetic resonance in gigahertz magneto-impedance of multilayer systems // JMMM. Vol. 304 . 2006. Pp. 218-221.

3. Diaz M. de Sihues, Durante-Rincon C. A., Fermin J. R. A

ferromagnetic resonance study of NiFe alloy thin films // JMMM. Vol. 316. 2007. Pp. 462-465.

4. Антонец И. В., Котов Л. Н., Макаров П. А., Голубев Е. А.

Наноструктура, проводящие и отражающие свойства тонких плёнок железа и (Fe)x(BaF2)y // ЖТФ. 2010. Т. 80. №9. С. 134-140.

5. Антонец И. В., Котов Л. Н., Некипелов С. В., Карпу-

шов Е. Н. Проводящие и отражающие свойства тонких металлических плёнок // ЖТФ. 2004. Т. 74. №11. С. 102-106.

6. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973. 720 c.

7. Бузников Н. А., Антонов А. С., Дьячков А. Л., Рахманов А. А. Особенности частотного спектра нелинейного магни-тоимпеданса многослойных плёночных структур // ЖТФ. 2004. Т. 74. №5. С. 56-61.

8. Бучельников В. Д., Бабушкин А. В., Бычков И. В. Коэффициент отражения электромагнитных волн от поверхности пластины феррита кубической симметрии // ФТТ. 2003. Т. 45. №4. С. 663-672.

9. Гончаров А. А., Игнатенко П. И., Петухов В. В. и др. Состав, структура и свойства наностуктурных плёнок боридов тантала // ЖТФ. 2006. Т. 76. №10. С. 87-90.

10. Котов Л. Н., Антонец И. В., Королёв Р. И., Макаров П. А.

Сопротивление и окисление плёнок железа и влияние верхнего слоя из диэлектриков и металла // Вестник ЧелГУ. Физика. Вып. 12. 2011. Т. 39 (254) С. 57-62.

11. Курин В. В. Резонансное рассеяние света на наноструктуриро-ванных металлических и ферромагнитных плёнках // УФН. 2009. Т. 179. №9. С. 1012-1018.

12. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика : учебное пособие : в 10 т. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматлит, 2005. 656 с.

13. Ландсберг Г. С. Оптика. М.: Физматлит, 2010. 848 с.

14. Перевалов Т. В., Гриценко В. А. Применение и электронная структура диэлектриков с высокой диэлектрической проницаемостью // УФН. 2010. Т. 180. №6. С. 587-603.

15. Усанов Д. А., Скрипаль А. В., Абрамов А. В., Боголюбов А. С. Измерения толщины нанометровых слоёв металла и электропроводности полупроводника в структурах металл-полупроводник по спектрам отражения и прохождения электромагнитного излучения // ЖТФ. 2006. Т. 76. №5. С. 112-117.

16. Усанов Д. А., Скрипаль А. В., Абрамов А. В., Боголюбов А. С. Изменение типа резонансного отражения электромагнитного излучения в структурах «нанометровая металлическая плёнка — диэлектрик» // Письма в ЖТФ. 2007. Т. 33. №2. С. 13-22.

СГУ им. Питирима Сорокина

Поступила 02.06.2016

Summary

Makarov P. A. The recursive method for determining the reflective properties of multilayer film coatings

An algorithm for calculating the coefficients of reflection, transmission and absorption of electromagnetic energy plane-polarized monochromatic electromagnetic waves propagating in multilayer systems of film was developed. The limits of applicability of the method were determined. Keywords: multilayer film coatings, boundary conditions, reflection and transmission of electromagnetic waves.

Keywords: multilayer film coatings, boundary conditions, reflection and transmission of electromagnetic waves.

References

1. Cochran J.F., Kambersky V. Ferromagnetic resonance in very thin films // JMMM. Vol.302. 2006. Pp. 348-361.

2. D. de Cos, Garcia-Arriabas A., Barandiaran J.M. Ferromagnetic resonance in gigahertz magneto-impedance of multilayer systems // JMMM. Vol. 304 . 2006. Pp. 218-221.

3. Diaz M. de Sihues, Durante-Rincon C.A., Fermin J.R. A

ferromagnetic resonance study of NiFe alloy thin films // JMMM. Vol. 316. 2007. Pp. 462-465.

4. Antonets I.V., Kotov L.N., Makarov P.A., Golubev Y.A.

Nanostructure, conductivity, and reflectivity of thin iron and (Fe)x(BaF2)y films // Technical physics. The Russian Journal of Applied Physics. 2010. Vol. 80. №9. Pp. 134-140.

5. Antonets I.V., Kotov L.N., Nekipelov S.V., Karpushov E.N.

Conducting and reflecting properties of thin metal films // Technical physics. The Russian Journal of Applied Physics. 2004. Vol. 74. №11. Pp. 102-106.

6. M. Born, E. Wolf Principles of optics. M.: Science, 1973. 720 p.

7. Buznikov N.A., Antonov A.S., D'yachkov A.L., Rakhma-

nov A.A. Frequency spectrum of the nonlinear magnetoimpedance of multilayer film structures // Technical physics. The Russian Journal of Applied Physics. 2004. Vol. 74. № 5. Pp. 56-61.

8. Buchel'nikov V.D., Babushkin A.V., Bychkov I.V. Electromagnetic-wave reflectivity of the surface of a cubic-ferrite plate // Physics of the Solid State. 2003. Vol. 45. № 4. Pp. 663-672.

9. Goncharov A.A., Ignatenko P.I., Petukhov V.V. et al. Composition, structure, and properties of tantalum boride nanostructured films // Technical physics. The Russian Journal of Applied Physics. 2006. Vol. 76. № 10. Pp. 87-90.

10. Kotov L.N., Antonets I.V., Korolev R.I., Makarov P.A.

Resistance and oxidation films of iron and influence upper layer from dielectric and metal // Journal of the Chelyabinsk State University. Physics. Vol. 39 (254). № 12. 2011. Pp. 57-62.

11. Kurin V.V. Resonance scattering of light in nanostructured metallic and ferromagnetic films // PHYSICS-USPEKHI. 2009. Vol. 179. № 9. Pp. 1012-1018.

12. L.D. Landau, E.M. Lifshitz Course of Theoretical Physics. Volume 8. Second Edition: Electrodynamics of Continuous Media. M.: Fizmatlit, 2005. 656 p.

13. G.S. Landsberg Optics. M.: Fizmatlit, 2010. 848 p.

14. Perevalov T.V., Gritsenko V.A. Application and electronic structure of high-permittivity dielectrics // PHYSICS-USPEKHI. 2010. Vol. 180. № 6. Pp. 587-603.

15. Usanov D.A., Skripal A.V., Abramov A.V., Bogolyubov A.S.

Determination of the metal nanometer layer thickness and semiconductor conductivity in metal-semiconductor structures from electromagnetic reflection and transmission spectra // Technical physics. The Russian Journal of Applied Physics. 2006. Vol. 76. №5. Pp. 112-117.

16. Usanov D.A., Skripal A.V., Abramov A.V., Bogolyubov A.S.

Changing the type of resonant reflection of electromagnetic radiation in the structures of nanometer metal film — dielectric // Letters in Technical Physics Journal. 2007. Vol. 33. № 2. Pp. 13-22.

Для цитирования: Макаров П. А. Рекуррентный метод определения отражающих свойств многослойных плёночных покрытий // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2016. Вып. 1 (21). C. 9-27.

For citation: Makarov P. A. The recursive method for determining the reflective properties of multilayer film coatings // Bulletin of Syktyvkar University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics. 2016. №1 (21). Pp. 9-27.