CC BY
29
РЕКУРРЕНТНЫЙ АЛГОРИТМ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ В ИНТЕРФЕРОМЕТРИИ УПРАВЛЯЕМОГО ДИСКРЕТНОГО ФАЗОВОГО СДВИГА
Е.А. Воронина, И.П. Гуров, A.C. Захаров
Рассмотрен рекуррентный алгоритм восстановления формы волнового фронта в интерферометрии управляемого фазового сдвига, основанный на предсказании значений параметров интерференционных полос и коррекции предсказания по данным наблюдения, обеспечивающий возможность динамической обработки интерфероме!рических данных и восстановление отклонений волнового фронта с высокой точностью и помехоустойчивостью.
Введение
Контроль геометрических характеристик изделий приборостроения, электронной промышленности и оптического производства имеет важное значение для развития современных высоких технологий. Наиболее точными являются бесконтактные методы контроля на основе использования оптической интерферометрии. При отражении измерительной волны от исследуемой поверхности происходит изменение формы волнового фронта, которое характеризует отклонения формы поверхности с высокой чувствительностью и точностью.
Для восстановления распределения фаз волнового фронта широко используется метод интерферометрии управляемого дискретного фазового сдвига [1-4]. Метод заключается в формировании набора интерференционных картин, зарегистрированных при заданных фазовых сдвигах между ними, и последующем расчете значений фаз, которые характеризуют отклонения волнового фронта.
Известные алгоритмы просты в реализации, однако не позволяют устранить ряд погрешностей, присущих всем алгоритмам с использованием детерминированных тригонометрических формул, что приводит к снижению точности [2, 6]. К общим недостаткам традиционных методов относится сложность обеспечения гарантированных результатов при случайном изменении параметров интерферометрической установки и объекта в процессе измерений. Кроме этого, в известных методах необходимо получить полный набор данных перед обработкой, следствием чего является невозможность оценивания свойств динамических объектов, низкая помехоустойчивость в случае наличия пофешностей в исходных данных и недостаточная устойчивость результатов обработки в условиях воздействия внешних возмущений.
В работе представлены результаты исследования рекуррентного алгоритма управляемого дискретного фазового сдвига, впервые предложенного в [4] и реализованного методом нелинейной фильтрации Калмана [4, 7], который позволяет получать динамические оценки отклонений волнового фронта и обладает высокой помехоустойчивостью по отношению к влиянию внешних влияющих факторов.
Метод интерферометрии управляемого дискретного фазового сдвига
Распределение интенсивности света 1(х,у) в интерференционной картине может быть представлено в виде
/(*,7) = /0[1 + КсО8Ф(^)], (1)
где /о - постоянная составляющая интенсивности, Ф (д:,^)- разность фаз интерферирующих волн, V— видность (контраст) интерференционных полос,
у — ^roax "^min
j
niax min
lam и /min- соответственно максимальное и минимальное значения интенсивности в интерференционной картине.
В результате обработки сигналов вида (1) требуется вычислить значения Ф(.г, у) при использовании данных, содержащихся в наборе интерференционных картин с заданными фазовыми сдвигами.
Изменим фазу опорной волны на величину
= (3)
R
где г = 1,2,....... R. Для каждой точки наблюдения получим соответствующий ряд значений интенсивности 1Г. Тогда интенсивность в каждой точке (х,у) может быть выражена в виде
/,=/0[1+Исо8(Ф + Фг)]. (4)
В результате преобразований (4) можно получить следующие соотношения:
tIr=Vo, (5)
г=\
к 1
2 /, cos Ф r = - RI0V cos Ф, (6)
¿/,япФг=±Я/0ГяпФ,
2
(7)
Из (6)-(7) следует выражение для расчета значений фазы в общем виде [ I ]
н
]Г1Г эшФ,.
= ^-■ (9)
созФг
г= 1
Необходимость получения полного набора данных перед обработкой, чувствительность к шумам в оптическом и электронном тракте снижают точность измерений (см., например, [2, 6]). Для устранения этих недостатков разработаны различные многошаговые алгоритмы, наиболее распространенными из которых являются грех-, четырех- и нятишаговый [2, 3] алгоритмы, основанные на общем выражении (9) для метода фазового сдвига.
Рекуррентный алгоритм управляемого дискретного фазового сдвига
Основная идея использования рекуррентного алгоритма обработки данных в интерферометрии управляемого дискретного фазового сдвига основывается на методе предсказания значений данных для каждого шага управляемого фазового сдвига на основе модели (1) при использовании всей информации, полученной на предыдущих шагах, с последующей коррекцией предсказания по данным наблюдения на каждом шаге.
Среди возможных методов реализации рекуррентного алгоритма выбран метод дискретной фильтрации Калмана [7], существенной особенностью которого является то, что при его использовании нет необходимости запоминать всю предшествующую информацию. Будущее состояние системы определяется только ее текущим состоянием и вновь поступившей информацией на каждом шаге, и, следовательно, становится возможным сократить объем обрабатываемой информации. Подробное математическое описание используемого нелинейного фильтра Калмана представлено в [4, 7],
Экспериментальные результаты
Для исследования характеристик точности методов обработки и сходимости результатов к истинным значениям выполнено сравнение дисперсий погрешности восстановления фазы при использовании рекуррентного алгоритма на основе нелинейной фильтрации Калмана и традиционного метода фазового сдвига [1], реализованного в динамическом режиме, при котором значения фазы вычислялось по формуле (9) на каждом г-ом шаге фазового сдвига.
Интерференционные картины имели формат 100x100 пикселов при 8-битном представлением данных (256 градаций полутонов). Соответственно этому, дисперсия погрешности фазы вычислялась на каждом шаге фазового сдвига для 104 точек.
Точность алгоритмов управляемого дискретного фазового сдвига зависит от общего числа шагов И, При уменьшении числа шагов повышается вычислительная эффективность, однако увеличивается погрешность из-за чувствительности к внешним влияющим факторам [2, 3, 6]. В качестве компромиссного решения, позволяющего получить результаты с высокой точностью и приемлемым временем обработки, исследованы погрешности алгоритма при 50-ти шагах фазового сдвига в пределах 2л рад.
На рис. 1 представлены кривые изменения дисперсии погрешностей традиционного метода фазового сдвига (пунктирная линия) и метода нелинейной дискретной фильтрации Калмана (сплошная линия) в зависимости от номера шага фазового сдвига, характеризующие характер сходимости оценок к истинному значению после 15-го шага фазового сдвига.
16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 Рис. 1. Дисперсии погрешностей динамических оценок фазы (рад2)
Из полученных результатов видно, что метод нелинейной дискретной фильтрации Калмана обеспечил сходимость к истинному значению на 31-м шаге, тогда как традиционный алгоритм - на 46-м шаге.
Исследования чувствительности рассматриваемых алгоритмов к ошибкам сдвига опорного отражателя позволили выявить дополнительные преимущества метода нелинейной фильтрации.
На рис. 2 показаны результаты, полученные в условиях влияния случайных погрешностей фазового сдвига в диапазоне отклонений фазы 2л/20. Анализ полученных результатов показал, что в случае использования метода нелинейной фильтрации Калмана погрешности фазовых сдвигов оказывают влияние на получаемые результаты, однако обеспечивается более стабильный характер сходимости к истинному значению фазы по сравнению с традиционным методом управляемого фазового сдвига.
0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0.1 0,05
0
--г
Рис. 2. Дисперсии погрешностей оценок фазы при случайных ошибках
фазовых сдвигов
Исследования погрешностей рекуррентного алгоритма нелинейной дискретной фильтрации Калмана применительно к интерферометрии управляемого фазового сдвига при различных начальных условиях и влияющих дестабилизирующих факторах показали, что алгоритм обеспечивает стабильную сходимость результатов к истинным значениям в пределах изменения фазового сдвига тс рад, т.е. в пределах половины ширины интерференционной полосы. Количество шагов фазового сдвига, требуемое для обеспечения высокой точности, зависит от алгоритма предсказания значений сигнала на следующем шаге и от настроек фильтра, которые определяются на стадии предварительных исследований с учетом статистических характеристик помех и внешних влияющих факторов.
Заключение
Рекуррентный алгоритм обработки данных в интерферометрии управляемого дискретного фазового сдвига на основе нелинейной дискретной фильтрации Калмана обеспечивает получение стабильных динамических оценок фазы интерферометриче-ского сигнала при сходимости к истинным значениям фазы в пределах примерно половины фазового цикла. Алгоритм не требует точного задания значения фазового сдвига и числа шагов, что позволяет существенно снизить требования к точности узла управления опорным отражателем интерферометра.
Использование рекуррентного алгоритма, обеспечивающего получение динамических оценок фазы, позволяет исследовать объекты с изменяющимися свойствами в процессе измерений с достаточно высокой интерферометрической точностью. Высокая помехоустойчивость алгоритма позволяет осуществлять обработку интерферометриче-ских сигналов при исследовании объектов методами спекл-интерфероме грии.
Метод может быть реализован в динамическом режиме развертывания полной фазы, характеризующей трехмерные объекты, что представляет предмет дальнейших исследований.
Литература
1. Brüning J.H., Herriott D.R., Gallagher J.E., Rosenfeld D.P., White A.D., Brangaccio DJ. Digital wavefront measuring interferometer for testing optical surfaces and lenses //Appl. Opt. 1974. V. 13. P. 2693-2703.
2. Schwider J., Burow R.t Elssner K.E., Grzanna R,, Spolaczyk R., Merkel К. Digital wave-front measuring interferometry: some systematic error sources // Appl. Opt. 1983. V. 22. P. 3421-3432.
3. Creath К. Phase measurement interferometry techniques // Prog, Opt. 1988. V. 26. Ch. 5. P, 349-393.
4. Васильев B.H,, Гуров И.П. Компьютерная обработка сигналов в приложении к ин-терферометрическим системам. СПб: БХВ - Санкт-Петербург, 1998.
5. Santoyo F.M., Kerr D., Tyrer J.R. Interferometric fringe analysis using a single phase step technique//App], Opt. 1988. V. 27. P. 4362-4364.
6. Hariharan P., Oreb B.F., Eiju T. Digital phase-shifting inter ferometry: a simple error compensating phase calculation algorithm //Appl. Opt. 1987. V. 26. N 13. P. 2504-2505.
7. Gurov i., Ermolaeva E., Zakharov A. Analysis of low-coherence interference fringes by the Kalman filtering method//JOSA A, 2004. V. 21. P. 242-251.
