CC BY
56
РЕКУРРЕНТНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АМПЛИТУДЫ РАДИОСИГНАЛОВ
Евсеев В.В., к.т.н., доцент, ВУНЦ ВВС «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковскогои Ю.А. Гагарина», [email protected]
Ключевые слова:
рекуррентный алгоритм, плотность распределения вероятностей, метод моментов, метод максимального правдоподобия, градиентный метод, целевая функция, аппроксимация.
АННОТАЦИЯ
Решение задач анализа и синтеза алгоритмов обработки сигналов при действии помех в радиотехнике связано с необходимостью представления случайных величин и процессов различными параметрическими вероятностными моделями. Известно, что амплитуда сигналов, распространяемых по каналам радиосвязи, представляет собой в любой момент времени в точке приема случайную величину. Для ее статистического представления часто используют вероятностную модель в виде плотности распределения вероятностей, являющейся функцией конечного числа параметров. Часто в инженерной практике возникает задача определения оценки параметров плотности распределения вероятностей амплитуды радиосигналов, когда ее вид известен. Оценивание производится по результатам наблюдений, представленных в виде конечномерной выборки отсчетов значений амплитуды радиосигнала, взятых через определенные отрезки времени. Отрезки времени выбираются из условия независимости значений амплитуды в соседние моменты времени. Для решения данной задачи на практике используют метод моментов и метод максимального правдоподобия. Однако этим методам присущи как достоинства, так и недостатки. Например, серьезным недостатком метода моментов является ограниченность его использования из-за отсутствия для некоторых плотностей распределения вероятностей степенных моментов, а также большая погрешность оценивания параметров при малом объеме выборки. Метод максимума правдоподобия также имеет недостатки. Основным из них является отсутствие в большинстве случаев аналитического решения. Поэтому представляет определенный интерес поиск других методов оценивания параметров распределений. В этой связи целью работы является поиск других методов решения задачи оценивания параметров законов распределения амплитуды радиосигналов, которые были бы лишены недостатков известных методов и отличались бы простотой реализации.
В работе, в частности, предлагается для оценивания параметров распределений амплитуды радиосигналов использовать градиентный метод. В результате в ходе работы синтезирован рекуррентный алгоритм оценивания параметров распределений односторонних непрерывных случайных величин. Установлено, что для гамма-распределения с исходными параметрами ошибка аппроксимации аналогичным распределением с параметрами, оцениваемыми с использованием рекуррентного алгоритма, составляет порядка 3-5%, тогда как для распределения с параметрами, оцениваемыми классическим методом моментов, составляет порядка 10-13 % . Представленный алгоритм может быть использован при решении задачи преодоления параметрической априорной неопределенности при известном законе распределения амплитуды радиосигналов в процессе синтеза адаптивных алгоритмов обработки сигналов радиотехнических систем различного назначения, функционирующих в условиях изменений характеристик информационных процессов и возмущающих воздействий.
US
RESEARCH
Решение задач анализа и синтеза алгоритмов обработки сигналов при действии помех в радиотехнических системах различного назначения сопряжено с необходимостью представления случайных величин и процессов различными параметрическими вероятностными моделями [1-5].
Известно, что амплитуда радиосигналов при распространении по беспроводным каналам передачи в точке приема носит случайный характер. Это обусловлено неоднородностью среды распространения сигналов в системах радиолокации, радионавигации и радиосвязи [2, 3, 4]. В связи с этим амплитуда радиосигналов в любой момент времени представляется вероятностной моделью в виде плотности распределения вероятностей (ПРВ), являющейся функцией конечного числа параметров.
Полагаем, что на основании анализа можно сделать достаточно обоснованное заключение о виде ПРВ амплитуды радиосигнала. Однако зачастую параметры ПРВ неизвестны и их нужно оценить наилучшим в каком-то смысле образом. Оценивание производится по результатам наблюдений, представленных в виде конечномерной выборки значений амплитуды радиосигнала А = (А1, А2,...АП). Для решения данной задачи на практике используют метод моментов и метод максимального правдоподобия [1, 4, 5].
Метод моментов является одним из наиболее простых методов оценивания параметров ПРВ [1, 4, 5]. Он основан на использовании степенных положительных моментов. Моментов находится столько, сколько параметров необходимо оценить. Метод моментов является универсальным и в большинстве случаев не требует сложных вычислений, что является его достоинством. Однако он имеет и серьезные недостатки. Во-первых, для некоторых законов распределения случайных величин степенные моменты не существуют (например, закон Коши); во-вторых, при малом объеме выборки не удается достичь высокой точности оценки параметров, то есть такие оценки не удовлетворяют основным требованиям, предъявляемым к ним [1, 5]. Кроме того, при больших выборках они имеют не наименьшую возможную дисперсию [5].
От недостатка метода моментов при оценке параметров ПРВ случайной величины позволяет освободиться метод максимального правдоподобия, который является более точным, хотя и более сложным. Метод максимума правдоподобия также имеет недостатки. Первый недостаток заключается в том, что получаемая система обычно не имеет аналитического решения. Поэтому приходится использовать численные методы, что на практике часто вызывает трудности. Второй недостаток состоит в том, что для
усеченных с одной стороны законов распределения при наличии параметра сдвига (например, таких как логарифмический нормальный закон, гамма распределение и ряд других), метод правдоподобия работает плохо [5]. Одновременно с этим, как показывает практика, оценка параметра сдвига методом максимального правдоподобия, за исключением гауссовского закона, производится с большой погрешностью. Таким образом, основным существующим в настоящее время методам определения параметров ПРВ случайной величины присущи определенные недостатки, ограничивающие возможность их практического использования.
В этой связи определенный интерес представляет синтез алгоритмов оценивания параметров вероятностных моделей градиентным методом, когда процедура оценивания параметра распределения Л в дискретном времени может быть представлена рекуррентным уравнением вида [6]
=Л,к-1 -g,A; ,...,Ягк),
(1)
где Ак=А(^) - значение амплитуды радиосигнала в момент времени Ьк; ^¡кл= Л^ы); Л*= Л'(^) - значения оцениваемого параметра Л в моменты времени tk_1, ьк соответственно; УЛ Ф (Лк; Лк,...,Ягк) - градиент по параметру Л целевой функции Ф(лк; л1к,...,лгк), являющейся функцией параметров Л,...,ЛГ ПРВ амплитуды р(Л;Л,.. ,Лг) и определяемой выбранным критерием качества; gj - коэффициент, определяющий скорость сходимости алгоритма;
Для синтеза алгоритма предлагается использовать не непосредственно математическое выражение для ПРВ амплитуды радиосигналов р(Л;Л1,...,Лг), а функцию, определяемую видом р(Л;Л, . ,Лг) и представляемую выражением
Z (A;^,...,Är ) = d ln p( A;^,...,Är). dA
(3)
Предположим, что в начальный момент наблюдения функция Z(A;\,...,Är) отличается от (3) и обозначается Z(A;^,...,Är). В этом случае алгоритм оценивания параметров ПРВ p(A\\,...,Xr) \,...,ХГ, соответствующий критерию минимума среднего значения квадрата ошибки, представляется в виде
m{[z (А;Л1,...,Лг)-Z (А;Л1,...,Лг)]2 }= min, (4)
HiS
RESEARCH
где т{} - операция математического ожидания над величиной, указанной в скобках.
Тогда целевой функцией является функционал вида
Ф
[Z (A;A,...,Ar )]= [z (A;A,...,A)-Z (A;A,...,Ar )]2 .(5)
Определим среднее значение градиента целевой функции по параметру Л, полагая для краткости
Z(Л;Л,..,Л ) = Z(Л), 7(Л;^,...,ЛГ) = 7(Л),
р( А;Л,...,Л) = р( А): (А)]}= 2/[7 (Л)-7 (А)]^Л рШ. (6)
С учетом (3) выражение (6) можно переписать в виде
»KoZ(Л)]}= ijl-AInp(A)lP(A)dA-2JZp(A)dA. (7)
»K®Z(A)l=-2j[l + Z(A)]^A)dA-2J^p(A)dA, (11)
где Z'(A) = dZ(A)/dA .
В соответствии с (11)
^ (A)]=-2.j[i+z (apZIA+dHA)!
0 dAj
(12)
В этом случае рекуррентный алгоритм оценивания параметра Л принимает вид
Ak = Ak-i + 2 8,
dZ '(Ак) + ? ( ) dZ (Ak) + dZ (Ak)
-A
'jk-l
dA
'jk-l
-a
'jk-l
(13)
Применяя для первого интеграла в (7) метод интегрирования по частям, имеем
Конкретизируем представленный рекуррентный алгоритм оценивания параметров на примере гамма-распределения, которое широко используется для статистического представления амплитуды радиосигналов радиотехнических систем [3, 4]. В этом случае ПРВ амплитуды имеет вид
j -[in^ dp p( A)dA = -M p( A)
dA dA,.
dA,
-j p( A)d
dZ (A)
dA
(8)
Предположим, что закон распределения огибающей помехи удовлетворяет условию
dZ (A)
dA
p( A)
= 0.
Тогда выражение (7) примет вид
¿7 (л)'
Ko[Z(A)]}= -2jp(A)d -A -2JZ(A)dA)p(A)dA.(9)
) dZ (A) dA,
Первый интеграл в правой части (9) можно преобразовать следующим образом:
j p(A)d
dZ (A) dA,.
■y-ze p( A)*+j ±
0 "j
dZ (A) -a,.
p(a)-a. (10)
С учетом(9)и(10)
p(A) =
Г(«)
ex
p(- eA)>
(14)
где а > 0, в > 0 - параметры распределения.
Тогда рекуррентный алгоритм оценивания параметров распределения при выполнении начальных условий с=с0, а = а0 сводится к решению системы уравнений вида
= «-i + 2ga [2A- - A- (l + Z(Ak)) ], (15)
в = в-l + 2ge [(l + Z(Ak )A - A-2 ], (16)
где Z (Ak )= +
Ak Ak
На рисунке 1 представлены графики зависимости среднего квадрата ошибки оценивания параметров гамма-распределения Ба и Бр от шага итерации к. Анализ графиков показывает, что при объеме выборки N > 200 обеспечивается сходимость рекуррентного алгоритма оценивания
На рисунке 2 представлены результаты сравнения рекуррентного алгоритма оценивания параметров гам-
0
0
US
RESEARCH
Рис.1 - Зависимости среднего квадрата ошибки оценивания параметров гамма-распределения Б и Б в от шага итерации
Рис. 2 - Результаты сравнения рекуррентного алгоритма оценивания параметров гамма-распределения и классического методов моментов
ма-распределения (15), (16) и классического методов моментов. Здесь р(А) - ПРВ гамма распределения с исходными параметрами а = 2,5, в = 1,8; р1(А) и р2(А) -аппроксимирующие ПРВ с параметрами, оцениваемыми рекуррентным алгоритмом и классическим методам моментов соответственно. Объем выборки - 100.
Из представленных на рисунке графиков видно, что аппроксимация ПРВ гамма-распределения с исходными параметрами распределением с параметрами, оцененными с использованием рекуррентного алгоритма точнее, чем распределением с параметрами, оцениваемыми классическим методом моментов.В качестве критерия оценки точности аппроксимации использовался модуль разности расстояний между линиями
ПРВ, выраженный в процентах и определяемый выражением [5]
Д = 50|| р( А)-ра (А)\йх,
0
где ра(А) - аппроксимирующая ПРВ.
В результате установлено, что ошибка аппроксимации ПРВ с исходными параметрами распределением с параметрами, оцениваемыми с использованием рекуррентного алгоритма Д составляет порядка 3-5%, тогда как для ПРВ с параметрами, оцениваемыми классическим методом моментов, Д составляет порядка 10-13 % .
Таким образом, результаты работы показали, что
предлагаемый рекуррентный алгоритм оценивания параметров законов распределения односторонних непрерывных случайных величин позволяет уменьшить погрешность оценивания параметров законов распределения по сравнению с классическим методом моментов. Такой алгоритм может быть использован при решении задачи преодоления параметрической априорной неопределенности при известном законе распределения амплитуды радиосигналов в процессе анализа и синтеза адаптивных алгоритмов обработки сигналов радиотехнических систем различного назначения, функционирующих в условиях изменений характеристик информационных процессов при действии помех [4].
Литература
1. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. - М.: Радио и связь, 1982. - 624 с.
2. Цифровая связь. Пер. с англ. / Под ред. Д.Д. Кловско-го. - М.: Радио и связь, 2000. - 800 с.
3. Миллиметровая радиолокация: методы обнаружения негауссовских сигналов / Под ред. Р.П. Быстрова. - М.: Радиотехника, 2010. - 528 с.
4. Шелухин О.И. Негауссовские процессы в радиотехнике. - М.: Радио и связь, 1998. - 310 с.
5. Прикладная статистика. Учебник. / А.И.Орлов.- М.: Издательство «Экзамен», 2004. - 656 с.
6. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1989. - 440 с.
H&ES
RESEARCH
7. Буренин А.Н., Легков К.Е. Эффективные методы управления потоками в защищенных инфо-коммуникацион-ных сетях // И&ББ: Наукоемкие техно-логии в космических исследованиях Земли. - 2010. -№2. - С. 29-34.
8. Буренин А.Н., Легков К.Е. Модели процессов мониторинга при обеспечении оперативного контроля эксплуатации инфокоммуникационных сетей специального
назначения // И&ББ: Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. - 2011. -№ 2. - С. 19-23. 9. Буренин А.Н., Легков К.Е. К вопросу моделирования организации информационной управляющей сети для системы управления современными инфо-коммуникаци-онными сетями // И&ББ: Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. - 2011. - № 1. - С. 22-25.
RECURRENCE ESTIMATION THE PARAMETERS OF AMPLITUDE RADIO SIGNALS DISTRIBUTION LAW
Evseev V., Military scholastic-scientific centre of the Air forces "Air academy im. professor N.E. Zhukovskogo and YU.A. Gagarina", candidate of that sciences, assistant professor, [email protected].
Abstract
The Decision of the problems of the analysis and syntheses algorithm processing signal at action of the hindrances in radio mechanic is connected with need of the presentation of the random quantities and processes different parametric probabilistic model. The Known that amplitude signal, spread on channel radio communication, presents itself any time time in point of the acceptance random quantity. For her statistical presentation often use the probabilistic model in the manner of density of the distribution of probability, being function of the final number parameter. Often in engineering practical person appears the problem of the determination of the estimation parameters to density of the distribution of probability of the amplitude radio signals, when her type known. Estimation is produced on result of the observations, presented in the manner of конечномерной of the sample counting out importances of the amplitude radio signals, taken through determined time cell. The Time cell are chosen from condition of independence of importances of the amplitude at nearby moments of time. For decision given problems in practice use the method of the moments and method of the maximum plausibility. However this method inherent both value, and defect. For instance, serious defect of the method of the moments is insufficiency of his use for want of for some density of the distribution of probability of the sedate moments, as well as big inaccuracy estimation parameters under small volume of the sample. The Method of the maximum of the plausibility also has a defect. The Main of them is an absence in most cases analytical decision. So presents the certain interest searching for other methods estimation parameters of the distribution. In this connection purpose of the work is searching for of the other methods of the decision of the problem estimation parameters laws of the sharing the amplitude radio signals, which were deprived defect of the known methods and differed simplicity to realization.
In work, in particular, is offered for estimation parameter of the sharing the amplitude radio signals to use gradients method. As a result of in the course of work synthesized recurrence algorithm estimation parameters of the sharing the unilateral unceasing
random quantities. It is installed that for gamma-distribution with source parameter mistake to aproximations by similar distribution with parameter, valued with use the recurrence algorithm, forms the order 3-5% then for sharing with parameter, valued by classical method of the moments, forms the order 10-13 %. The Presented algorithm can be used at decision of the problem decision parametric a priori uncertainty under the known law of the sharing the amplitude радиосигналов in process of the syntheses adaptive algorithm processing signal radio of the systems of the different purpose, functionning in condition of the change the features of the information processes and outraging influence.
Keywords: recurrence algorithm, density of distribution of probabilities, method of the moments, method of the maximum credibility, gradients method, criterion function, approximation
References
1. Tikhonov, V.I. (1982), Statisticheskay radiotehnika [Statistical radiotehnika], Radio and sviaz, Moscow, Russia.
2. Proakis, J.G. (2000), Tsifrovay sviaz [Digital communication], in Klovski, D.D. (ed.), Radio and sviaz, Moscow, Russia.
3. Akinshin, N.S., Bystrov, R.P., Rumianzev, V.L. and Sokolov A.V. (2010), Millimetrovaya radiolokaciya: metody obnaruzheniya negaussovskikh signalov [Microwave radar: methods of the finding nongaussian signal], in Bystrov, R.P. (ed.), Radiotehnika, Moscow, Russia.
4. Sheluhin, O.I. (1999), Negaussovskie processes v radiotehnike [Nongaussian process in Radio engineering], Radio and sviaz, Moscow, Russia.
5. Orlov, A.I. (2004), Statistica. Uchebnik [Statistics. Textbook], Izdatelstvo «Ekzamen», Moscow, Russia.
6. Widrow, B. and Stearns, S. (1989), Adaptivnaya obrabotka signalov [Adaptive signal processing], in Shahgildian, V.V. (ed.), Radio and sviaz, Moscow, Russia.
7. Burenin A.N., Legkov K.E. (2010) Effective methods of control over streams in protected infokommunikatsionny networks //H&ES: High technologies in space researches of Earth. -№ 2. -Page 29-34.
8. Burenin A.N., Legkov K.E. (2011) To a question of modeling of the organization of the information managing director of a network for a control system of modern infokommunikatsionny networks //H&ES: High technologies in space researches of Earth. -№ 1. - Page 22-25.
9. Burenin A.N., Legkov K.E. (2011) Model of monitoring processes when ensuring operative control of operation of infokommunikatsionny networks of special purpose//H&ES: High technologies in space researches of Earth. -№ 2. - Page 19-23.
