CC BY
35
УПРАВЛЕНИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ, АВТОМАТИЗАЦИЯ
DOI: 10.24143/2072-9502-2018-4-7-15 УДК 519.24
А. А. Воевода, А. С. Востриков, Г. В. Трошина
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С МАТРИЧНЫМ ВХОДОМ И МАТРИЧНЫМ ВЫХОДОМ
Метод наименьших квадратов широко применяется при обработке результатов, полученных при решении задач, связанных, например, с идентификацией динамических объектов или с распознаванием образов. В данной работе рассматривается применение рекуррентного метода наименьших квадратов для определения параметров статического объекта с матричным входом и матричным выходом. В качестве тестовых входных сигналов предлагается использовать сигналы типа меандра с единичной амплитудой. Результаты оценивания параметров объекта приводятся для случая, когда на выходе объекта присутствуют гауссовские шумы. В среде Simulink выполнены как моделирование входных сигналов, осуществляющих воздействие на объект, так и итерационная процедура метода наименьших квадратов. Блоки, реализующие формирование итерационной процедуры оценивания параметров, соответствуют основным формулам, которые входят в состав алгоритма рекуррентного метода наименьших квадратов. На примере объекта второго порядка в графической форме приводятся оценки, полученные в результате работы построенной схемы рекуррентного оценивания. Можно отметить, что наблюдается быстрая сходимость оценок параметров к базовым значениям параметров объекта. Демонстрируется график поведения коэффициента усиления, который присутствует в алгоритме рекуррентного метода наименьших квадратов. Тестирование алгоритма оценивания параметров объекта осуществлялось с использованием входных сигналов типа меандра с различными периодами. Из результатов моделирования следует, что алгоритм дает хорошие оценки неизвестных параметров даже при наличии значительных шумов, наблюдаемых на выходе объекта. Предложенный подход предполагается использовать для оценивания параметров объектов более высокого порядка с различным количеством параметров.
Ключевые слова: идентификация, моделирование, меандр, оценивание параметров, рекуррентный метод наименьших квадратов, коэффициент усиления.
Введение
Разработке алгоритмов идентификации систем, удобных для реализации в инженерной практике, посвящено большое количество работ [1-10], но задача определения параметров объекта в процессе эксплуатации системы по-прежнему остается актуальной. Одним из подходов к решению подобных задач является возможность подавать на систему тестовые сигналы. Работы [11, 12] посвящены проектированию интервальных наблюдателей для линейных систем. Авторы работы [13] решают задачу идентификации линейных по параметрам моделей по малому числу наблюдений. В этом случае имеет место априорная неопределенность, которая может быть связана и с нарушением условий статистической устойчивости, и с плохой обусловленностью задачи из-за попадания интервалов измерений на участки установившихся режимов управляемого объекта. Входной сигнал задается таким образом, чтобы объект попеременно находился в переходном и установившемся режимах. В работе [14] рассматривается задача одновременного управления и оценивания параметров модели линейного многосвязного статического объекта при наличии аддитивных ограничений возмущений в замкнутой дискретной системе с регулятором, построенным на базе адаптивной модели такого объекта. В работах [15-24] поиск оптимального входного сигнала осуществляется на основе использования информационной матрицы Фишера.
В данной работе рассматривается статический объект с матричным входом и зашумлен-ным матричным выходом в следующем виде:
У = хТ 0 + к, (1)
где х - матричный входной сигнал размерности п х п; у - матричный выходной сигнал размерности п х п; V - гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием и дисперсией о; Т - транспонирование; 0 - параметр. По уравнению (1) с матричным входом и матричным выходом требуется определить параметры 0 = [0у]. Для получения оценок параметров предлагается использовать рекуррентную процедуру метода наименьших квадратов.
Рекуррентная процедура метода наименьших квадратов
Оценка параметров 0 = [0у]„ х п для объекта (1) по N измерениям вычисляется с помощью рекуррентного метода наименьших квадратов [2]:
- (XNXN ) 1 XNYN ,
где
XN — (X1, X2
XN) ;
YN — (У1' У2' •••, yN) .
(2)
(3)
(4)
Для ковариационной матрицы размера п х п принято использовать следующее выражение:
PN — (XNXN ) 1
(5)
где N - число измерений; Ры — ковариационная матрица, вычисленная по результатам N измерений; Хы определяется формулой (3).
В рекуррентном виде для N + 1 измерения формулу (5) можно записать следующим образом:
P —
1 N+1
X
X
или
PN+1 (XNXN + XN+1XN+1
(6)
где PN + 1 - ковариационная матрица, вычисленная по результатам N + 1 измерений; х - матричный входной сигнал.
Ниже приводится итерационный алгоритм определения неизвестных параметров:
0 N+1 — 0 N + KN+1( yN+1 " XN+10 N );
KN +1 — PNXN+1 / (I + XN+1PN XN+1)' T
P — (I - P XN+1XN+1 )p
P N +1 PN T , T n )PN'
I + X' P X
1 ^ XN +1P NXN+1
(7)
(8)
(9)
где ^ + 1 - матрица коэффициентов усиления размерности п х п; PN + 1 - ковариационная матрица размерности п х п, вычисленная по результатам N + 1 измерений. В работе [2] для объекта (1) приводится рекуррентный метод наименьших квадратов в случае, когда х - векторный вход и у - скалярный выход. В данной статье предложен алгоритм (7)-(9) для случая, когда при описании объекта (1) используется матричный входной сигнал х и матричный выходной сигнал у.
Формулы (7)-(9) можно получить на основании нижеследующего утверждения.
Лемма 1. Для матриц А, В, С размерами п х п, п х т и т х п соответственно справедливо выражение
(А + ВС)—1 = А'1 — А_1В( I + СА-1ВУ1 СА~\ (10)
Т
т
т
X
X
Отметим, что формулу (9) можно получить из выражения (6) после применения формулы (10). Для этого необходимо осуществить замены:
ХмХм ^ А; ХМ+1 ^ В; ХМ+1 ^ С.
Оценка параметров 9 ы+1 на основе уравнений (2)-(4) имеет вид
9 = р Хт У
9И +1 _ РИ+ГЛИ+1У N+1.
Выражая последнюю формулу через N и N + 1 измерения и применяя формулу (9), имеем
= (I - PN
1 + Х Р Х
1 ^ ХN+1P NХN+1
(XNУN + ХN+1УN+l).
Раскрывая скобки и применяя выражение (8), получим соотношение (7):
9 N +1 = 9 N + КМ+1( УМ+1 - Х1+19 N ).
В среде Simulink выполнено моделирование объекта, входных сигналов, а также алгоритма определения неизвестных параметров с использованием итерационной процедуры метода наименьших квадратов. Блоки, реализующие формирование итерационной процедуры метода наименьших квадратов, соответствуют формулам (7)-(9), которые находятся в составе алгоритма рекуррентного метода наименьших квадратов.
Пример вычисления оценок параметров объекта
Рассматривается статический объект второго порядка в следующем виде:
Г У*+1 ^
Ук+1
Г0„ О Гх1 ^
Ч021
0
22 У
Х 2
V Хк
+
ук+1
2
V ^к +1 У
(11)
где Х - матричный входной сигнал размерностью п х п; у - матричный выходной сигнал размерностью п х п; 9 = [9.] - матрица оцениваемых параметров объекта; V - гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием т и дисперсией о = 0,1. На вход подаются тестовые сигналы типа меандра с периодами: Т = 6 (для первого входного сигнала), Т = 12 (для второго входного сигнала), Т = 14 (для третьего входного сигнала), Т = 10 (для четвертого входного сигнала). Амплитуда равна единице для всех входных сигналов. На рис. 1 показаны входные сигналы для объекта (11).
а б
Рис. 1. Входные сигналы: иь и2 (а); и3, и4 (б)
По уравнению (11) с матричным входом и матричным выходом требуется определить
Г0„ 0.
параметры 0.. =
V 21 22
. Моделирование выполнено при следующих базовых значениях:
911 = 1,0; 912 = 2,5; 921 = 0,5; 922 = 1,0. На рис. 2 представлены выходные сигналы.
ХN +1ХN +1
а б
Рис. 2. Выходные сигналы 71Ь 721 (а); 722, 712 (б)
На рис. 3. показан график шума, наблюдаемого на выходе объекта в одном из каналов.
Рис. 3. Шум, наблюдаемый на выходе объекта в одном из каналов
В качестве начального значения матрицы Р выбрана матрица в виде Р0 = [0.9, 0.2; 0.3, 1.0]. Для случая N = 50 измерений были получены следующие значения оцениваемых параметров: 0и = 0,983 4; 012 = 2,447; 021 = 0,539 6; 022 = 1,045. На рис. 4-6 приведены результаты моделирования для N = 50 измерений.
N
Рис. 4. Оценки параметров 0N
V" р<2; Р21
; :
;
.............1.............1.............
% 1 I
1 ! ! !
N
Рис. 5. Поведение матрицы PN
Рис. 6. Поведение коэффициента усиления К^т
При увеличении числа измерений до N = 200 были получены следующие значения оцениваемых параметров: 911 = 0,995 4; 912 = 2,493; 921 = 0,5 0 4 4; 912 = 1,014.
Для числа измерений N = 50 были получены следующие значения: Р11 = 0,009 336; Р21 = -0,000 175 1; Р21 = -0,000 165 9; Р22 = - 0,008 461. При увеличении числа измерений до N = 200 значения элементов матрицы PN изменяются следующим образом: Р11 = 0,002 452; Р21 = 0,000 105 8; Р21 = 0,000 106 4; Р22 = 0,002 88.
Отметим, что рекуррентные оценки параметров объекта сходятся к истинным значениям примерно за 70-80 шагов. Можно отметить и аналогичную сходимость значений К^ PN.
Из результатов моделирования следует, что алгоритм дает хорошие оценки неизвестных параметров даже при наличии значительных шумов, наблюдаемых на выходе объекта.
На рис. 7 приведены результаты моделирования для случая, когда первый и второй входные сигналы имели период Т = 4, а третий и четвертый входные сигналы имели период Т = 8.
Рис. 7. Оценки параметров (периоды Т = 4 и Т = :
На рис. 8 приведены результаты моделирования для случая, когда период T = 8 для всех входных сигналов.
" He,, 12 - 621 622l
611 -
fl..
О 5 10 15 20 25 30 35 40 45 щ
Рис. 8. Оценки параметров 9N для периода T = 8 у всех входных сигналов
Анализируя графики, представленные на рис. 7 и 8, можно отметить плохое поведение рассматриваемой системы на начальном участке в случае, когда периоды имеют одинаковое значение у входных сигналов типа меандра.
Заключение
В данной работе показано применение рекуррентного метода наименьших квадратов для определения параметров статического объекта с матричным входом и матричным выходом. В качестве тестовых входных сигналов использовались сигналы типа меандра с единичной амплитудой. Продемонстрированы проблемы, которые возникают с выбором параметров тестовых входных сигналов. Результаты оценивания параметров объекта приведены для случая, когда на выходе объекта присутствуют гауссовские шумы. На примере объекта второго порядка построены графики оценок, полученных в ходе работы алгоритма. Отмечается быстрая сходимость оценок параметров к базовым значениям параметров объекта. Вычисления показывают, что алгоритм дает хорошие оценки неизвестных параметров даже при наличии значительных шумов, наблюдаемых на выходе объекта. В дальнейшем предложенный подход предполагается использовать для оценивания параметров объектов более высокого порядка с различным количеством параметров.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991. 432 с.
2. Goodwin G. C., Payne R. L. Dynamic System Identification: Experiment Design and Data Analysis. New York: Academic Press, 1977. 291 p.
3. Сейдж Э. П., Уайт Ч. С. III. Оптимальное управление системами. М.: Радио и связь, 1982. 392 с.
4. Сейдж Э. П., Мелса Дж. Л. Идентификация систем управления. М.: Наука, 1974. 248 с.
5. Astrom K. J. Maximum Likelihood and Prediction Error Methods // Automatica. 1980. V. 16. N. 5. P. 551-574.
6. Antsaklis P. J., Michel A. N. Linear systems. New York: McGraw-Hill, 1997. 685 p.
7. Chen C. T. Linear system theory and design. New York; Oxford: Oxford University Press, 1999. 334 p.
8. Фомин В. Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. М.: Наука, 1984. 288 с.
9. Огарков М. А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов. М.: Энерго-атомиздат, 1990. 208 с.
10. Воскобойников Ю. Е. Критерий расходимости и алгоритм адаптации рекуррентного алгоритма оценивания вектора состояния // Науч. вестн. Новосиб. гос. техн. ун-та. 2015. № 3 (60). С. 7-22.
11. Cacace F., Germani A., Manes C., Setola R. A new approach to the internal positive representation of linear MIMO systems // IEEE Trans. Autom. Control. 2012. V. 57. N. 1. P. 119-134.
12. Cacace F., Germani A., Manes C. A new approach to the design internal observers for linear systems // IEEE Trans. Autom. Control. 2015. V. 60. N. 6. P. 1665-1670.
13. Фурсов В. А., Гошин Е. В. Адаптивная идентификация по малому числу наблюдений с контролем обусловленности: тр. XII Всерос. совещ. по проблемам управления (ВСПУ-2014) (Москва, 16-19 июня 2014 г.). М.: Ин-т проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2014. С. 2720-2727. URL: http://vspu2014.ipu.ru/proceedings/vspu2014.zip (дата обращения: 28.10.2014).
14. Азарсков В. Н., Житецкий Л. С., Соловчук К. Ю. Параметрическая идентификация многосвязного статического объекта в замкнутом контуре управления: специальный случай: тр. XII Всерос. совещ. по проблемам управления (ВСПУ-2014) (Москва, 16-19 июня 2014 г.). М.: Ин-т проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2014. С. 2764-2776. URL: http://vspu2014.ipu.ru/proceedings/vspu2014.zip (дата обращения: 28.10.2014).
15. Mehra R. K. Optimal Input for Linear System Identification // IEEE Trans. Autom. Control. 1974. V. 19. N. 3. P. 192-200.
16. Воевода А. А., Трошина Г. В. Реализация итерационного метода наименьших квадратов для оценивания параметров статических объектов в среде MATLAB // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. 2017. № 1. С. 28-36.
17. Трошина Г. В. О методах оценивания вектора состояния в задачах идентификации // Сб. науч. тр. НГТУ. 2012. Вып. 1 (67). С. 69-78.
18. Voevoda A. A., Troshina G. V. The parameters vector estimation in the steady state for the linear dynamic systems // Proceedings of 11 International Forum on Strategic Technology (IFOST 2016) (Novosibirsk, 1-3 June 2016). Novosibirsk: Novosibirsk State Technical University, 2016. V. 1. P. 582-584.
19. Troshina G. V., Voevoda A. A. The steady-state in the parameters estimation problem for the dynamic objects // International Multi-Conference on Engineering, Computer and Information Sciences (SIBIRCON 2017) (Novosibirsk, Akademgorodok, 18-22 September 2017). Novosibirsk: 2017. P. 351-355.
20. Troshina G. V., Voevoda A. A., Patrin V. M., Simakina M. V. The object unknown parameters estimation for the 'inverted pendulum-Cart' system in the steady state // Proceedings of the 16th Intern. Conf. of Young Specialists on Micro/Nanotechnologies and Electron Devices (EDM-2015) (Altai, Erlagol, 29 June-3 July 2015). Novosibirsk: Novosibirsk State Technical University, 2015. P. 186-188.
21. Воевода А. А., Трошина Г. В. Моделирование фильтра Калмана с обновленной последовательностью в среде Simulink // Сб. науч. тр. НГТУ. 2015. Вып. 2 (80). C. 7-17.
22. Трошина Г. В. Моделирование динамических объектов в среде SIMULINK. Ч. 1. // Сб. науч. тр. НГТУ. 2015. Вып. 3 (81). С. 55-68.
23. Воевода А. А., Трошина Г. В. Рекуррентный метод оценивания параметров в динамическом объекте // Науч. вестн. Новосиб. гос. техн. ун-та. 2016. № 4 (65). С. 7-18.
24. Трошина Г. В. Об активной идентификации динамических объектов // Сб. науч. тр. НГТУ. 2014. Вып. 4 (78). С. 41-52.
Статья поступила в редакцию 14.09.2018
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Воевода Александр Александрович - Россия, 630073, Новосибирск; Новосибирский государственный технический университет; д-р техн. наук, профессор; профессор кафедры автоматики; [email protected].
Востриков Анатолий Сергеевич - Россия, 630073, Новосибирск; Новосибирский государственный технический университет; д-р техн. наук, профессор; профессор кафедры автоматики; [email protected].
Трошина Галина Васильевна - Россия, 630073, Новосибирск; Новосибирский государственный технический университет; канд. техн. наук, доцент; доцент кафедры вычислительной техники; [email protected].
A. A. Voevoda, A. S. Vostrikov, G. V. Troshina
ESTIMATING PARAMETERS OF STATIC OBJECTS WITH MATRIX INPUT AND OUTPUT
Abstract. The least-squares method is widely applied when processing results received at the solution of tasks which are connected, for example, with the identification of dynamic objects or with the pattern recognition. The article considers the application of recurrent least-squares method
for the parameters determination of a static object with a matrix input and a matrix output. As test input signals it is offered to use signals like a meander with single amplitude. The estimation results of the object parameters are given for a case when Gaussian noises occur at the object output. The simulation of input signals which are realizing impact on an object, and the iterative procedure of the least-squares method are executed in the Simulink environment. The blocks which are realizing the formation of the iterative procedure of parameters estimation correspond to basic formulas which are a part of the algorithm of the recurrent least-squares method. On the example of the second order object the estimates received as a result of the recurrent estimation constructed scheme are given in the graphic form. It is possible to mark that the fast convergence of the parameters estimates to basic parameter values of an object is stated. The behavior diagram of the gain coefficient which is present at the algorithm of the recurrent least-squares method is demonstrated. Testing the algorithm of the object parameters estimation was carried out using input signals like a meander with different periods. The simulation results show that the algorithm gives the good estimates of unknown parameters even in the presence of the considerable noise watched on the object output. The offered approach is supposed to be used for the parameters estimation of the higher order objects with the different parameters quantity.
Key words: identification, modeling, meander, parameters estimation, recursive least-squares method, gain coefficient.
REFERENCES
1. L'iung L. Identifikatsiia sistem. Teoriia dlia pol'zovatelia [Identification system. Theory for users]. Moscow, Nauka Publ., 1991. 432 p.
2. Goodwin G. C., Payne R. L. Dynamic System Identification: Experiment Design and Data Analysis. New York, Academic Press, 1977. 291 p.
3. Seidzh E. P., Uait Ch. S. ill. Optimal'noe upravlenie sistemami [Optimal system management]. Moscow, Radio i sviaz' Publ., 1982. 392 p.
4. Seidzh E. P., Melsa Dzh. L. Identifikatsiia sistem upravleniia [Identification of management systems]. Moscow, Nauka Publ., 1974. 248 p.
5. Astrom K. J. Maximum Likelihood and Prediction Error Methods. Automatica, 1980, vol. 16, no. 5, pp. 551-574.
6. Antsaklis P. J., Michel A. N. Linear systems. New York, McGraw-Hill, 1997. 685 p.
7. Chen C. T. Linear system theory and design. New York, Oxford, Oxford University Press, 1999. 334 p.
8. Fomin V. N. Rekurrentnoe otsenivanie i adaptivnaia fil'tratsiia [Recursive estimation and adaptive filtration]. Moscow, Nauka Publ., 1984. 288 p.
9. Ogarkov M. A. Metody statisticheskogo otsenivaniia parametrov sluchainykh protsessov [Methods of statistical estimating random process parameters]. Moscow, Energoatomizdat, 1990. 208 p.
10. Voskoboinikov Iu. E. Kriterii raskhodimosti i algoritm adaptatsii rekurrentnogo algoritma otsenivaniia vektora sostoianiia [The criterion of divergence and the adaption algorithm of recurrent estimation algorithm of the state vector]. Nauchnyi vestnikNovosibirskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2015, no. 3 (60), pp. 7-22.
11. Cacace F., Germani A., Manes C., Setola R. A new approach to the internal positive representation of linear MIMO systems. IEEE Trans. Autom. Control, 2012, vol. 57, no. 1, pp. 119-134.
12. Cacace F., Germani A., Manes C. A new approach to the design internal observers for linear systems. IEEE Trans. Autom. Control, 2015, vol. 60, no. 6, pp. 1665-1670.
13. Fursov V. A., Goshin E. V. Adaptivnaia identifikatsiia po malomu chislu nabliudenii s kontrolem obuslovlennosti [Adaptive identification on low number of observations with conditionality control]. Trudy XII Vse-rossiiskogo soveshchaniia po problemam upravleniia (VSPU-2014) (Moskva, 16-19 iiunia 2014 g.). Moscow, In-t problem upravleniia im. V. A. Trapeznikova RAN, 2014. Pp. 2720-2727. Available at: http://vspu2014. ipu.ru/proceedings/vspu2014.zip (accessed: 28.10.2014).
14. Azarskov V. N., Zhitetskii L. S., Solovchuk K. Iu. Parametricheskaia identifikatsiia mnogosviaznogo staticheskogo ob"ekta v zamknutom konture upravleniia: spetsial'nyi sluchai [Parametric identification of a mul-tilinked static object in a closed circuit of control: special case]. Trudy XII Vserossiiskogo soveshchaniia po problemam upravleniia (VSPU-2014) (Moskva, 16-19 iiunia 2014 g.). Moscow, In-t problem upravleniia im. V. A. Trapeznikova RAN, 2014. Pp. 2764-2776. Available at: http://vspu2014.ipu.ru/proceedings/vspu2014.zip (accessed: 28.10.2014).
15. Mehra R. K. Optimal Input for Linear System Identification. IEEE Trans. Autom. Control, 1974, vol. 19, no. 3, pp. 192-200.
16. Voevoda A. A., Troshina G. V. Realizatsiia iteratsionnogo metoda naimen'shikh kvadratov dlia otsenivaniia parametrov staticheskikh ob"ektov v srede MATLAB [Realization of iteration least-squares method for evaluating parameters of static objects in MATLAB environment]. VestnikAstrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Upravlenie, vychislitel'naia tekhnika i informatika, 2017, no. 1, pp. 28-36.
17. Troshina G. V. O metodakh otsenivaniia vektora sostoianiia v zadachakh identifikatsii [Methods of evaluating the state vector in identification problems]. Sbornik nauchnykh trudov NGTU, 2012, iss. 1 (67), pp. 69-78.
18. Voevoda A. A., Troshina G. V. The parameters vector estimation in the steady state for the linear dynamic systems. Proceedings of 11 International forum on strategic technology (IFOST 2016) (Novosibirsk, 1-3 June 2016). Novosibirsk, Novosibirsk State Technical University, 2016. Vol. 1. Pp. 582-584.
19. Troshina G. V., Voevoda A. A. The steady-state in the parameters estimation problem for the dynamic objects. International Multi-Conference on Engineering, Computer and Information Sciences (SIBIRCON 2017) (Novosibirsk, Akademgorodok, 18-22 September 2017). Novosibirsk, 2017. Pp. 351-355.
20. Troshina G. V., Voevoda A. A., Patrin V. M., Simakina M. V. The object unknown parameters estimation for the 'inverted pendulum-Cart' system in the steady state. Proceedings of the 16th Intern. Conf. of Young Specialists on Micro/Nanotechnologies and Electron Devices (EDM-2015) (Altai, Erlagol, 29 June 3 - July 2015). Novosibirsk, Novosibirsk State Technical University, 2015. Pp. 186-188.
21. Voevoda A. A., Troshina G. V. Modelirovanie fil'tra Kalmana s obnovlennoi posledovatel'nost'iu v srede Simulink [Simulating Kalman filter with renewed sequence in Simulink environment]. Sbornik nauchnykh trudov NGTU, 2015, iss. 2 (80), pp. 7-17.
22. Troshina G. V. Modelirovanie dinamicheskikh ob"ektov v srede SIMULINK. Chast'. 1 [Simulating dynamic objects in SIMULINK environment. Part 1]. Sbornik nauchnykh trudov NGTU, 2015, iss. 3 (81), pp. 55-68.
23. Voevoda A. A., Troshina G. V. Rekurrentnyi metod otsenivaniia parametrov v dinamicheskom ob"ekte [Recurrent method of evaluating parameters in a dynamic object]. Nauchnyi vestnik Novosibirskogo gosudar-stvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2016, no. 4 (65), pp. 7-18.
24. Troshina G. V. Ob aktivnoi identifikatsii dinamicheskikh ob"ektov [On active identification of dynamic objects]. Sbornik nauchnykh trudov NGTU, 2014, iss. 4 (78), pp. 41-52.
The article submitted to the editors 14.09.2018
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Voevoda Alexander Aleksandrovich - Russia, 630073, Novosibirsk; Novosibirsk State Technical University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department of Automation; [email protected].
Vostrikov Anatoly Sergeevich - Russia, 630073, Novosibirsk; Novosibirsk State Technical University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department of Automation; [email protected].
Troshina Galina Vasil'evna - Russia, 630073, Novosibirsk; Novosibirsk State Technical University; Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department of Computer Engineering; [email protected].
