CC BY
33
УДК 533.9
РЕКОМБИНАЦИЯ ИОНОВ НА ПЫЛИНКАХ В ЯДЕРНО-ВОЗБУЖДАЕМОЙ ПЛАЗМЕ
С. И. Яковленко
Предложена теоретическая модель, описывающая основные кинетические механизмы в пылевой плазме, образованной за счет объемной ионизации плотного газа ядерными осколками. Получено выражение для распределения плотности ионов вокруг заряженной пылинки. Показано, что ионы плазмы рекомбинируют с заряженными пылинками в соответствии с механизмом Ланжевена. Получено условие, при котором пылинки несут весь отрицательный заряд плазмы, компенсируемый зарядом ионных облаков. Указан новый критерий проявления коллективных свойств в пылевой плазме.
В недавней работе [1] наблюдались коллективные явления в пылевой плазме, образо ванной за счет ионизации плотного газа ядерными осколками. Данная работа посвящена рассмотрению рекомбинации ионов на пылинках и условий проявления коллективных эффектов в такой плазме. О теории термоэмиссионной плазмы см. работы [2-5].
Обсуждается следующая картина явлений. Жесткий ионизатор [6] (т.е. электронный или ионный пучок, или осколки ядерных реакций) ионизует плотный газ, в котором находится во взвешенном состоянии пыль. В образовавшейся плазме пылинки заряжаются отрицательно за счет разной средней скорости ионов и электронов. Если плотность пылинок достаточно велика, то при специально подобранной частоте ионизации электроны и ионы рекомбинируют в основном на пылинках. Механизм рекомбинации определяется диффузией и дрейфом ионов в поле заряда пылинки.
Как показано в [4], при взаимодействии заряженных центров, окруженных облаками зарядов другого знака, за счет поляризационных сил возникает их притяжение. Это и обуславливает коллективные явления.
Рекомбинация ионов и распределение зарядов вокруг пылинки
Основные уравнения. Рассмотрим сначала процесс нейтрализации ионов на пылинке с заданным зарядом eZp, где е - модуль заряда электрона. Будем исходить из того, что ионы, образующиеся в объеме за счет внешней жесткой ионизации, диффундируют за счет столкновений с нейтралами и дрейфуют по направлению к пылинке за счет электрического поля, создаваемого зарядом пылинки. Поле пылинки может частично экранироваться зарядом ионов, дрейфующих к пылинке. Эти процессы описываются уравнением переноса импульса ионов, уравнением непрерывности и уравнением Пуассона. Соответственно исходная система уравнений имеет вид [6, 7]
ut- = ebtE - (D/Ni) ■ grad(jV,-); div(7V,u,) = G; div(E) = 4жеЩ.
Здесь и, - средняя скорость ионов; Ьг - подвижность ионов; D - коэффициент диффузии (при этом D — Ь{Т, где Т - температура газа); N{ - плотность ионов; Е - напряженность электрического поля; G - частота ионизации газа в единице объема внешним жестким источником.
Будем считать пылинку шаром радиуса го- Тогда, Перейдя к сферическим координатам, имеем
щ = еЬ{Е - (D/Ni) • dNi/dr; (l/r2)d(NiUir2)/dr = G; (1 /r2)d(Er2)/dr = 4тгеЛГ-. (1)
Выбирая r0 в качестве единицы длины и рассматривая вместо радиальной напряженности поля Е(г) полный электрический заряд Е(г)г2 внутри сферы радиуса г, получаем следующие безразмерные уравнения для плотности электронов и полного заряда, находящегося внутри сферы:
dndx) п;(х) • z(x) 1 — п„хг dz(x) , . 9
= + = <2>
Здесь n,(x) = iV,(r)rQ - безразмерная плотность ионов; х = г/го - радиальная координата, измеренная в единицах r0; z(x) = (его/Т)Е(г)г2 - безразмерный заряд внутри сферы радиуса г; д = (Сгц/47г6,Г) - безразмерная средняя плотность ионизации; пр — (47r/3)jYprQ - безразмерная средняя плотность пылевых частиц, Np - плотность пылинок; d — (Aire2/Тг0) - отношение кулоновского прицельного параметра к радиусу пылинки. Первое уравнение в (2) получено интегрированием второго уравнения в (1) и подстановкой в результат выражения для U{.
Граничное условие для плотности ионов определим из того, что ион. попавший на пылинку, пропадает. Приравнивая поток ионов на поверхность пылинок 47ГГо-Л^(г0) х и, к частоте ионизации в единице объема (7, получаем условие для плотности ионов на поверхности сферы:
П{(х = 1) = п,о = Сго/(47ги,), (3)
где ш, - масса иона; иг = (Г/47гт,)1/'2 - средняя проекция скорости ионов на ось, перпендикулярную поверхности стенки при максвелловском распределении.
Граничное условие для безразмерного заряда имеет вид
г(х = 1) = = гр{е2/г0Т). (4)
Приближенное решение. Учтем, что радиус пылинок много меньше расстояния между ними, так что пр « 1. Кроме того, заряд пылинки eZv будем считать достаточно большим, чтобы можно было пренебречь его экранировкой на расстояниях порядка г0 и положить г(х) ~ г0 (условия см. ниже). Тогда удается получить решение уравнения диффузии в аналитическом виде:
"•«^{Ч-ТЫ-^Н)]}
(5)
Это решение соответствует скорости рекомбинации ионов по Ланжевену [8, 9]. Действительно, при х —► оо, в случае достаточно больших го, когда
(1 - щ0г0/д) ехр(-20) « 1, (6)
имеем гг,-(оо) = д/г0 или
С = (4пгре2Ь{) ■ Щоо). (7)
Иначе говоря, число образовываемых в единице объема ионов равно числу ионов, прорекомбинировавших на пылевых частицах, при этом величина аь = 47г^ре2Ь1 есть известный коэффициент рекомбинации Ланжевена [8, 9].
Отметим, что величина п&го/д = 4л^ре2&г/(47Г7ои,-), фигурирующая в выражении для п,(х), есть отношение коэффициента рекомбинации по Ланжевену к тому коэффициенту рекомбинации, который определялся бы потоком ионов на поверхность шара, если бы плотность ионов не зависела от расстояния до пылинки. При этом, как в слу чае, когда преобладает ланжевеновский коэффициент рекомбинации п10г0/д >> 1, так и в противоположном предельном случае, когда тг^го/д <<1, результирующий реком бинационный поток С = ох • -ЭД(оо) определяется именно ланжевеновским механизмом.
В этих предельных случаях отличается лишь отношение плотности ионов на сфере и на периферии: n¿o/n¿(oo) = riioZo/g.
Когда Ланжевеновский поток 4irZpe2bi оказывается больше величины r-gU¿, ионы скапливаются вблизи поверхности сферы, однако при выполнении условия (6) их заряд не может существенно экранировать заряд пылинки. Использованное выше условие (6) выполняется при больших z0 = Zp(e2/г0Т), т.е. либо за счет малых г0, как это имеет место при обычной ион-ионной рекомбинации по Ланжевену, либо при больших Zp, как это имеет место здесь при рассмотрении пылинок.
Ионизационно-рекомбинационный баланс
Заряжение пылинок. Обратимся теперь к рассмотрению характеристик пылевой плазмы. Отрицательный заряд на поверхности пылинок может возникать за счет разной средней скорости электронов и ионов. Этот эффект хорошо известен в физической электронике (см., например, [10, с. 43]). Приравнивая поток ионов iV.-u, к потоку электронов Neueexp(—eip/Te) на поверхность пылинки при максвелловском распределении скоростей, имеем
ifo = (Те/2е) • \n(NirriiT/NemeTe) & ln(m,/me).
Здесь <¿>о - потенциал пылинки; щ = (Г/47гт,)1/'2, ие = (Ге/47гте)1/2 - средние проекции скорости ионов и электронов на ось, перпендикулярную поверхности стенки; Те, Т - электронная и газовая температуры. Из значения потенциала пылинки следует ее заряд:
= r0ipо/в = (г0Те/2е2) ■ 1п(NtmtT/NemeTe). (8)
Эта оценка неплохо работает в газоразрядной плазме, однако в плазме, накачиваемой жестким ионизатором, она может давать существенную погрешность (см. ниже).
Кинетика зарядового состава. Плотность ионов TV, = iV,(ос) и электронов Ne плазмы описывается уравнением баланса и условием квазинейтральности. В рассматриваемых условиях они имеют вид
dNi/dt = G - adNiNe - aLNtNp, Ne = N¿ - ZPNP.
Здесь ad - коэффициент диссоциативной рекомбинации; a¿ - как и выше, коэффициент рекомбинации по Ланжевену. Эта простая модель обычно применима для плотного идеального газа.
В квазистационарных условиях (¿N{/¿1 = 0), решая квадратное уравнение, можно представить отношение плотности ионов ТУ, к плотности заряда на пылинках Ег.\р в
виде _-
N1 \(а - 1\2 Г а - 1
Здесь а — а^/(Zpall) - параметр, характеризующий отношение скоростей ланжеве-новской и диссоциативной рекомбинации (при а >> 1 преобладает рекомбинация на пылинках); д — (7/{o^LZpNp) - приведенная частота внешней ионизации.
Отметим важное обстоятельство. При частотах ионизации, удовлетворяющих уело вию д — 1 или
в = а^рЫр, (10)
весь отрицательный заряд сосредоточен на пылинках {Ые = 0, А^ = ZpNp), а в плазме содержатся лишь положительные ионы.
Эксперименты с ядерно-возбуждаемой пылевой плазмой
Экспериментальные результаты. Применим изложенную выше теорию к рассмо трению характеристик пылевой плазмы в экспериментах, где пылевая плазма возбужда лась осколками ядерных реакций [1]. В одном случае плазма возбуждалась осколками деления калифорния-252, в другом - бета-распадами церия-141. Будем ориентироваться на опыты с радиоактивным церием.
Использовались пылинки Се02 со средним радиусом г0 = 0.5л«?сл1. Для того, что бы компенсировать гравитационную силу, прикладывалось внешнее электрическое поле напряженностью 10 В ¡см. Наблюдались обширные зоны с частицами, левитирующими в течение нескольких минут и имеющими ближний порядок в пространственное структуре.
Согласно измерениям по оцифрованному видеоизображению структур, плотность пылинок в плоскости толщиной 150 мкм составляет Ю-' мкм~2. Соответственно, объемная плотность пылинок ЛГр ~ б • 104 см'3. Средний заряд пылинок, измеренный из баланса силы гравитации и электрической силы, составлял величину 2Р « 400. При этом плотность заряда пылинок в единице объема составляет 2рИр ~ 2.4 • 10' см" '. Плотность ионов, определенная по току между электродами и известным скоростям дрейфа, составила величину ТУ,- ~ 108 см~3.
О заряде пылинки. Если использовать формулу (8) и положить температуру электронов, равной комнатной Те — Т и 300 А' — 0.026 эб, получим 2Р ~ 100. Это в 4 раза
меньше экспериментально измеренной величины Zv & 400. По-видимому, дело в том, что родившиеся в результате жесткой ионизации вторичные электроны прилипают к пылинкам, не успевая охладиться до комнатной температуры. О функции распределения электронов при жесткой ионизации см., например, [6]. Действительно, если оценить длину пробега, на которой электрон охлаждается до комнатной температуры за счет упругих столкновений ¡т ~ (Ю-16 см2-3- 1019сл£_3-2т,/те)-1, то она оказывается много больше расстояния между пылинками ¡т ~ 10слс ~ . Разумеется, в молекуляр-
ном газе охлаждение электронов за счет возбуждения колебательных и вращательных степеней свободы преобладает примерно на порядок по сравнению с охлаждением за счет упругих столкновений. Тем не менее, ясно, что средняя энергия электронов, прилипающих к пылинкам, может в несколько раз превышать комнатную температуру.
№,г
2(г)=(ег(/Г).Е(г).г
1.10
100
Рис. 1. Зависимость плотности ионов (а) и приведенного суммарного заряда внутри сферы (б) от расстояния до пылинки. Тонкая сплошная кривая - численный расчет. Пунктир -формула (5) для г0 — 0.5 мкм; г0 = £р(е2/г0Т) = 22.3.
Средняя плотность ионов. В обсуждаемых экспериментах радиоактивный источник обеспечивал ~ 109 актов /^-распада в секунду в объеме ~ 20 см3. Полагая, что на каждый акт /3-распада выделяется энергия Е/ = 138 кэВ, для частоты ионизации в единице объема получаем оценку
С ~ (109 с"720 см3) ■ (Е1/Ерг) ■ ~ 3 ■ 106 с"1 • ~ 2 • 1011 • с'1 ■ см~3. Здесь Ерг = 36 эВ - энергия рождения пары ионов в воздухе.
Для коэффициента рекомбинации ионов на пылинках имеем а£ = 47г2ре2&! ~ 0.064 ■ см3-с-1. Здесь для подвижности ионов использованы соотношения 6, = 2/(т, •Лг- к ...), г д.
= (4/3)-4-Ю-16 см2 ■ (8Т/7Г-т,)1/2 ~ 2.5- Ю-11 см?¡с - скорость столкновений ионов с молекулами воздуха. Молекулы считаются твердыми шариками с сечением 4-Ю-16 см
При таком значении подвижности ионов, накачка а^ • Zv • Nv ~ 10й • с-1 • см (с (10)), соответствующая преобладанию отрицательного заряда на пылинках (малом содержанию отрицательных ионов в плазме), по порядку величины совпадает с гоч. которая имела место в экспериментах.
Плотность ионов оценим, полагая для коэффициента диссоциативной рекомбинаип., а* ~ 3 ■ Ю-7 см3/с. При этом, существенно преобладает рекомбинация на пылинка а = аь/^рад) ~ 530, а плотность ионов, согласно (9), всего в (3 = 2 раза превосходи I плотность заряда пылинок в единице объема ZpNp ~ 2.4 • 107 см~3. Соответственно, для плотности ионов имеем -/V,- ~ 0.5 • 108 см"3. Это также согласуется с результата . экспериментов.
Распределение заряда вокруг пылинки. Были произведены расчеты плотности ионов и распределения заряда вокруг пылинки на основе численного решения уравнений (2 с граничными условиями (3), (4). Расчеты плотности (рис. 1а) хорошо согласуются с приближенным решением (5). Это связано с тем, что экранировка заряда (см. рис. 16) становится существенной лишь на больших расстояниях, соответствующих полос., среднего расстояния между пылинками (до которого велось численное интегрирован; Средняя по радиусу плотность ионов совпадает с тем значением, которое дает форм; (9).
Тот факт, что пылинки находятся во внешнем электрическом поле напряженное тък 10 В/см, не может существенно повлиять на распределение зарядов вблизи пылинки и. соответственно, на коэффициент рекомбинации, поскольку напряженность поля пылин ки на расстоянии от поверхности, равном ее радиусу, составляет значительно большу к величину гре/(2г0)2 ~ 6 • 103 В/см.
При анализе коэффициента рекомбинации в разделе 2 рассмотрена ситуация, ког д. частицу окружают ионы одного знака. Выше показано, что в экспериментах [1] реал и зуется именно такая ситуация. Однако даже в том случае, когда часть отрицательного заряда несут не пылинки, а ионы в плазме, изложенная выше теория рекомбинации спра ведлива при больших значениях го = Хр(е2/г^Т), для которых она и построена. Дело I том, что в этом случае заряды, имеющие знак, совпадающий со знаком заряда пылин . и, выталкиваются из области вблизи пылинки, формирующей рекомбинационный поток
Итак, предложенная теория пылевой плазмы, накачиваемой жестким ионизатором, находится в хорошем соответствии с экспериментальными данными. Более того, она позволяет указать одну из основных причин проявления коллективных свойств в пылевой плазме. Для проявления коллективных явлений необходимо, чтобы существенная доля зарядов одного знака находилась на пылинках. Тогда заряды другого знака образуют вокруг пылинок электронные облака, обуславливающие силы притяжения между пы линками [4]. В термоэмиссионной пылевой плазме пылинки несут положительный заряд, компенсируемый термоэмиссионными электронами [3-5]. В пылевой плазме, накачиваемой жестким ионизатором, необходим специальный подбор плотности пылинок и частоты ионизации (10), чтобы эти условия реализовались. Аналогичное требование (чтобы основной заряд несли пылинки) необходимо, по-видимому, и для проявления коллективных свойств в газоразрядной пылевой плазме.
Следует отметить, что в работах [11, 12] развивается теория другого механизма притяжения пылинок в плазме. Прдполагается, что решающую роль играет взаимное экранирование пылинок от ударов ионов, притягиваемых ими. Этот механизм заведомо несущественен в плотном газе ядерно-возбуждаемой плазмы, где длина свободного пробега иона в сотни раз меньше расстояния между пылинками.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ф о р т о в В. Е., Владимиров В. И., Депутатова Л. В. и др. ДАН, 336, N 2, 184 (1999).
[2] Т к а ч е в А. Н., Я к о в л е н к о С. И. ЖТФ, 69, N 1, 53 (1999).
[3] Т к а ч е в А. Н., Я к о в л е н к о С. И. Письма в ЖТФ, 25, N 1, 52 (1999).
[4] Я к о в л е н к о С. И. Письма в ЖТФ, 25, N 16, 83 (1999); Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9, 3 (1999).
[5] Я к о в л е н к о С. И. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9, 10 (1999).
[6] Г у д з е н к о Л. И., Яковленко С. И. Плазменные лазеры. М., Атомиздат, 1978, 256 с.
[7] Брагинский С. И. Явления переноса в плазме // Вопросы теории плазмы. Вып. 1 / Под ред. М. А. Леонтовича. М., Госатомиздат, 1963, с. 183-234.
[8] X а с т е д Дж. Физика атомных столкновений. М., Мир, 1965, 710 с.
[9] Мак-Даниель И. Процессы столкновений в ионизованных газах. М., Мир, 1967, 832 с.
[10] Грановский В. Л. Электрический ток в газе. 1, М., ГИТТЛ, 1952, 432 с.
[11] Игнатов А. М. Физика плазмы, 22, N 7, 648 (1996).
[12] Ц ы т о в и ч В. Н. УФН, 167, N 1, 57 (1997).
Поступила в редакцию 13 сентября 2000 г.
