Взаимодействие заряженных плоскостей в облаке электронов и в плазме Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.9

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ОБЛАКЕ ЭЛЕКТРОНОВ И В ПЛАЗМЕ

С. И. Яковленко

Рассмотрено распределение потенциала, напряженности поля и плотности плазмы в случае, когда заряженные плоскости окружены термоэмиссионными электронами, компенсирующими их заряд, или помещены в плазму конечной плотности. Показано, что плоскости, окруженные термоэмиссионными электронами (как и плоскости, помещенные в плазму) расталкиваются за счет электростатических сил. Получены выражения для электростатического давления.

1. Введение. При рассмотрении свойств термоэмиссионной пылевой плазмы [1] некоторый интерес представляет плоская модель пылевых частиц, поскольку для нее возможно общее решение уравнения Пуассона-Больцмана в квадратурах. Обычно (см., например, [2, 3]) рассматривают случай, когда положительные заряды в плазме полностью сосредоточены на пылинках, окруженных облаком термоэлектронов. Однако интерес представляет и ситуация, когда имеет место дополнительная ионизация газа, в котором находятся пылинки. Примером может служить как пылевая плазма в электрическом разряде, так и ядерно-возбуждаемая пылевая плазма [4, 5]. Рассмотрению взаимодействия плоскостей в этих случаях посвящена данная работа.

2. Постановка задачи. Уравнение Пуассона-Больцмана. Пусть электронный газ, окружающий заряженные частицы, формируется за счет эмиссии электронов из пылинок, имеющих достаточно высокую температуру Т. Кроме того, пылинки находятся в частично ионизованном газе. Для нахождения распределения по пространству потенциала ф, напряженности поля Е = — Vф и плотности заряда р = е(7\г,- — ЛГе) следует решить уравнение Пуассона УЕ = Акр. В этом уравнении плотности ионов ЛГ,- и электронов Ые определяются распределением Больцмана N1 = Л^о ехр(—еф/Т}, Ne = N¡,0 ехр(еф/Т),

где Л* и Neo - плотности ионов и электронов в тех точках, где потенциал равен нулю; V - гамильтонов векторный оператор.

Итак, уравнение Пуассона-Больцмана имеет вид

Аф = áire(Ne0 ехр(еф/Т) - Nioexp(-еф/Т)), (1)

где Д = V2 - оператор Лапласа; температура частиц и плазмы считается одинаковой.

Безразмерные величины. Будем измерять длину в единицах d = 8ке2/Т. Введем безразмерные величины - потенциал напряженность поля Е и плотность электронов пе - с помощью соотношений:

у> = фе/Т; Е = Fed/T] пе = {8ne2/T)3Ne. (2)

Для безразмерных величин, уравнение (1) сводится к следующему уравнению для безразмерного потенциала <~р\

А* = (l/2)(exp(V) - 6ехр(-<р)), (3)

где 6 = Nio/Neо - параметр, характеризующий дополнительную ионизацию газа. При этом (VE) = —(l/2)(exp(y>)—¿exp(—(£>)), Е = — Vc¿>. В силу квазинейтральности плазмы

О < S < 1.

В плоском случае уравнение (3) имеет вид

d2íp/dx2 = (l/2)(exp(<¿>) — ¿exp(—ф)), Е = —dip/dx, пе = exp(ip). (4)

Здесь х - расстояние до заряженной плоскости.

Граничные условия. В качестве первого граничного условия естественно задавать плотность положительного заряда на заряженной поверхности а. Этим задается значение напряженности поля на заряженной поверхности Fq. Оно соответствует напряжен ности поля в плоском конденсаторе: Fq = 47гсг, или Eq — ad2/2е.

Второе граничное условие выберем в некоторой точке ао, соответствующей нулевой напряженности поля, где заряд поверхности полностью компенсируется зарядом слоя электронов: Е(ао) — 0.

3. Распределение поля и потенциала. Общее решение. Наиболее полное рассмотрение уравнения (4) для случая 6 = 1 дано в [6] в связи с теорией сильных электролитов, случай 6 = 0 рассмотрен в [3]. Начнем с рассмотрения общего случая.

Понизим порядок уравнения Пуассона-Больцмана, рассматривая напряженность поля, как функцию потенциала:

EdE/dtp = (l/2)(exp(v?) - ¿exp(-<¿>)).

Первое интегрирование дает связь напряженности поля с потенциалом:

Е = (ехр(<^) + ¿ехр(-<£>) - ехр(^х) - ¿ехр(-<^1))1/2.

(5а)

Здесь <¿>1 - значение потенциала в точке а0, где напряженность поля равна нулю. Второе интегрирование дает связь потенциала <р с координатой х:

Здесь <£>о — <^(0) ~ значение потенциала на заряженной плоскости. Оно связано с задаваемой на границе напряженностью поля Ео соотношением (5а) при кр — (¿>о- Связь с сро (и, соответственно, с Ео) следует из соотношения (56). Она имеет вид £(<¿>1) = «о-Формулы (5) являются общим решением плоской задачи в квадратурах.

Уединенная заряженная плоскость. При рассмотрении уединенной плоскости (ао —» со) в полупространстве, где плотность положительных зарядов равна нулю (<5 = 0), ко гда термоэмиссионные электроны полностью экранируют положительный заряд плоскости, полагая в (56) 6 = 0, = —оо, имеем в результате интегрирования:

<р(х) = 2\п[2Е0/(хЕ0 + 2)]; Е(х) = 2Е0/(хЕ0 + 2), пе(х) = [2Е0/(хЕ0 + 2)]2. (6)

заполненном плазмой, соответствует случай 6 = 1. Дело в том, что плотность положи тельных зарядов в плоском плазменном слое на единицу поверхности будет бесконечной для слоя бесконечной толщины (при конечной объемной плотности заряда). Соотвег ственно, на бесконечно удаленном расстоянии можно пренебречь термоэмиссионным!: электронами. Полагая поле и потенциал на бесконечном расстоянии от заряженной плоскости равными нулю (соответственно, = 0), проводя интегрирование и раз решая получившееся выражение относительно <р, приходим к известному результат} (см., например, [6, 7]):

Рассмотрению уединенной заряженной плоскости (а0 —> оо) в полупространстве,

Е — 2 • эЦс^/г), пе(х,(ро) =

где </>о = 2агсзЬ(£о/2).

Две заряженные плоскости. Между двумя заряженными плоскостями поле обращается в нуль при конечном значении х((рг) = а0. В случае плоскостей с одинаковой поверхностной плотностью заряда, а0 равно половине расстояния между плоскостями.

В случае 6 = 0 интегрирование уравнения (56) дает

<р{х) = 1п{Е2 + Е2), Е(х) = Ег ■ 1б[(а„ - х)Е1/2)], пе(х) = (Е2 + Е2). (7) Величина Е\ = ехр(у>1/2) (и, соответственно, связана с а0 простым соотношением

ао = (2/Е1)-ътаЕ(Е0/Е1). (8)

Для 8 ф 0 связь (р-1 с задаваемыми величинами а0, </>о и 8 определяется намного сложнее:

«о = /

ч> 1

¥>0 ,

dy

yjexp(y) + 8ехр(-у) - exp(y>i) - 8ехр(-^г)

V0+2ln(l/í) Vo+21n(l /6)

= _1/"Г"_dy_= J_ Г (1/2 )dy

¿1/\1+2{(1/fi) \/2(ch(y) - ch(v»i + 21n(l/¿)) S1/\1+2JHl/s) \/ch2(y/2)-ch2(yi/2) «(Vl+2h(l/í))

Или

a0 = Г1/4£ • u(c¿>0 + 2 ln(l/<5)), (9)

где

1

dz

«М = 1/(* • сЬЫ), Л» = 1/сЬ(^ + 21п(1/5)), *■(*,«) = I -7=

При этом неявная зависимость потенциала от координаты определяется выражением

х = а0 - • и(у> + 21п(1/£)). (10)

Интересен случай большого положительного потенциала (¿?0 >> 1- При </?0 —► °° имеем [6]: а0 = 8~г^4к ■ К (к), где = ^(А:,0) - полный эллиптический интеграл.

Распределения потенциала для ситуации (см. рис. 1), когда две проводящие плоскости под одинаковым потенциалом = <¿>0 находятся в электронном облаке, ком пен сирующем их заряд (5 = 0), и в неограниченной плазме (5=1) приведены на рис. 2, 3.

Рис. 1. Геометрия задачи о двух пластинах, окруженных облаком электронов или помещен ных в плазму.

ф(х)

X X

Рис. 2. Зависимость потенциала (а) и напряженности поля (б) от координаты а задаче о двух пластинах при 6 = 0, а0 = 4, <р0 = 5.

4- Расталкивание заряженных плоскостей. Электростатическое давление. Напря женность поля на поверхности плоскости слева, со стороны неограниченного полупро-

100

Е(х)

0.01

Рис. 3. То же, что на рис. 2 при 6 = 1.

странства F01 = (T/ed) ■ Е0i и напряженность поля справа, со стороны, ограниченной другой плоскостью F02 = (T/ed) ■ Е02 (рис. 1), отличаются. При этом возникает элек тростатическое давлениее на плоскость:

Р = (1/8тг)(^021 - ,Г022) = (1/8ТГ)(T/ed)2P = Т(Т/8тге2)3р,

где р = (Е^ — Е^) - безразмерное давление. Когда Ео\ > Е02, имеет место отталкива.1 плоскостей, при Е01 > £02 плоскости притягиваются.

Термоэмиссионная плазма. В случае термоэмиссионной плазмы (6 = 0) имеем

Е01 = ™е0, Е%2 = Пе0 — Е\.

Здесь пео = С(6)т9~3/2 ехр(—1/|9) - безразмерная плотность термоэмиссионных электронов вблизи нагретой поверхности, вытекающая из формулы Ричардсона-Дешмана (см. также [3]); С[Ь) = 2(те/27гЙ2)3/2(8тге2)3/Ь3/2 = 2.9 • 105 • (эВ/Ъ)3/2; д = Т/Ъ- приведенная температура; Ь - работа выхода электронов со стенки, Ь. - постоянная Планка. Соответственно, для безразмерного давления получаем

р = Е201 - Е202 = Е\ > 0.

Итак, сила электростатического давления, направленная в сторону неограниченного полупространства в рассматриваемой задаче всегда больше, чем сила, направленная

в сторону пространства, ограниченного другой плоскостью. Иначе говоря, плоскости расталкиваются. Это обусловлено отмеченным в [3] эффектом выдавливания электронов из пространства между плоскостями на электроды.

Величина Е\ = ехр(с1с1/2) связана с половиной расстояния между плоскостями ао и потенциалом на электроде ipo трансцендентным соотношением (6), откуда следует связь давления с ао:

2 (Ео2\ 2 + ( а/Д021 ~ Ef

а° = ЖаГС1ё V~Ж) = ^arCtg [ Е,

или

ао=• (11)

Модуль давления падает пропорционально квадрату расстояния между плоскостями при больших расстояниях и стремится к конечному пределу при малых расстояниях. Иначе говоря: р = (ж/ао)2 при а0 >> 1 (наиболее интересный случай) и р = пе0 при а0 << 1 (см. рис. 4).

Заряженные плоскости в плазме. Рассмотрим ситуацию, когда плоскости находятся в неограниченной плазме (8 = 1). Из (5а) имеем

Е201 = 4 • зЬ2(^0/2), Е202 = 4 • (8Ь2(^о/2) - 8^(^/2)),

откуда следует

Р = (Е201-Е202) = 4-СЬ(^). (12)

В случае 8 = 1 плоскости также отталкиваются [б]. При этом согласно (9):

а0(^о, VI) = Кч>\)' Е(к(<р1), и(к((рх), у>о)), (13)

где = 1 /(к • сЬ(с^)), к = 1/сЬ(<^1). Зависимость от пео определяется выражением

/1 + 1апЬ(у>о/4)У = ) = ехр(^

Соответственно, ро = 1п(гге0).

Выражения (11), (12) параметрически задают зависимость давления от расстояния между плоскостями и от пео (см. рис. 5).

5. Выводы. Итак, электростатическое взаимодействие между плоскостями, как окруженными облаком электронов, так и помешенными в плазму, приводит к расталкиванию

Рис. 4. Зависимость безразмерного электростатического давления р от половины рассто яния между плоскостями а0 при ¿ = 0: пе0 = 10 - сплошная кривая, пе0 = 1 - пунктир.

Рис. 5. Зависимость электростатического давления р от половины расстояния между плоскостями а0 при 6 = 1: <¿>o —► оо, пе0 —> оо - сплошная кривая (вычислена с использованием предельного выражения а0 = k-K(k), полученного в [6]); у?0 = 7, пе0 = Ю3 - пунктир; <р0 = 1, пе0 = 2.7 - штрихи; ip0 = 0.1, пе0 = 0.1 - штрих-пунктир.

этих плоскостей. В то же время численные расчеты [8] показывают, что в случае сфери ческих частиц имеет место притяжение. Возможно, это связано со следующими двумя обстоятельствами. Во-первых, в плоской задаче не учитывается перетекание электронов с периферии в центральную область на оси, соединяющей пылинки. Во-вторых, сила взаимодействия заряженных плоскостей (в отсутствие зарядов вокруг них) не зависи г от расстояния между плоскостями, в то время как сила взаимодействия заряженных сфер обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Поэтому электроны скопившиеся примерно на середине расстояния между пылинками, в случае взаимоден ствия сферических пылинок вносят больший вклад, чем в случае плоскостей. Тем не менее, вопрос о взаимодействии пылинок конечных размеров в облаке электронов и в плазме требует дополнительного исследования.

ЛИТЕРАТУРА [1] Фортов В. Е., Нефедов А. П., Петров О. Ф. и др. ЖЭТФ, 111, N 30

2, 467 (1997).

[2] Т к а ч е в А. Н., Я к о в л е н к о С. И. ЖТФ, 69, N 1, 53 (1999).

[3] Я к о в л е н к о С. И. Письма в ЖТФ, 26, N 8, 47 (2000); Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9, 10 (1999).

[4] Ф о р т о в В. Е., Владимиров В. И., Д е п у т а т о в a JI. В. и др. ДАН, 336, N 2, 184 (1999).

[5] Я к о в л е н к о С. И. Краткие сообщения по физике ФИАН (направлено в печать).

[6] D е г j a g i п В., Landau L. Acta Physicochimica U.R.S.S., XIV, No 6, p. 633.

[7] С и в у х и н Д. В. Вопросы теории плазмы. Вып. 4/ Под ред. М. А. Леонтовича. М., Госатомиздат, 1964, с. 81.

[8] Я к о в л е н к о С. И. Письма в ЖТФ, 25, N 16, 83 (1999); Краткие сообщения по физике ФИАН, N 9, 3 (1999).

Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 23 сентября 2000 г.