Регулирование очереди в системах массового обслуживания с большим числом обслуживающих каналов

Жиляк Анастасия Владимировна; Кащеев Владимир Александрович; Крянев Александр Витальевич

УДК 519.872.8

РЕГУЛИРОВАНИЕ ОЧЕРЕДИ О СИСТЕМАХ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОБСЛУЖИВАЮЩИХ КАНАЛОВ

A.B. Жиляк, В.А. Кащеев, A.B. Крянев

Приведены выражения для оценки среднего времени ожидания обслуживания в очереди. Получены простые соотношения, позволяющие определить необходимое число каналов обслуживания в системе массового обслуживания при заданных ограничениях на длину очереди. Отмечено, что полученные результаты могут быть использованы для оптимизации работы крупных call-центров и других систем массового обслуживания с большим числом каналов.

Ключевые слова: система массового обслуживания, call-центр, время ожидания в очереди, классификация Кендалла.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время широкое распространение получили, так называемые, центры обработки вызовов или са11-центры, которые принимают и обрабатывают звонки (заявки) потенциальных клиентов различных компаний. Спектр компаний, использующих в своей работе са11-центры, достаточно широк — это банки, сети туристических агентств, риэлтерские компании, крупные магазины и др. Не будет преувеличением сказать, что са11-центр является «лицом компании», поскольку по качеству его работы можно сделать выводы о том, насколько корректно и эффективно компания будет обслуживать заявки клиента в дальнейшем. Рост клиентской базы компании приводит к необходимости расширять возможности са11-цент-ра, что вместе с решением вопросов технической оснащенности приводит к необходимости увеличения числа каналов обслуживания. Поэтому крупные компании пользуются услугами собственных или профессиональных са11-центров с большим числом каналов обслуживания. Так, са11-центр «ВТБ-24» имеет около 200 операторских мест [1], са11-центр компании «ИНФОТЕЛЛ» — 500 мест [2], аутсорсинговые са11-центры FORTAX и '^М-геат — до 137 и 400 мест соответственно [3, 4].

Очевидно, что в соответствии со своей основной задачей — удовлетворением информационных заявок клиентов в реальном времени — са11-центр

служит типичным примером системы массового обслуживания (СМО), и для анализа эффективности его работы можно воспользоваться математическим аппаратом теории массового обслуживания [5].

1. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СМО

Один из основных параметров СМО — среднее время ожидания обслуживания Tline или, другими словами, среднее время нахождения заявки на обслуживание в очереди.

Рассмотрим простейшую СМО — систему, в которой поток поступления заявок и поток их обслуживания носят марковский характер, число обслуживающих каналов равно n, время нахождения заявки в очереди не ограничено. Такая СМО в классификации Кендалла [5] обозначается как M/M/n/ю или M/M/n.

В том случае, если поток поступающих заявок в систему и поток их обслуживания не меняются со временем, выражение для среднего числа заявок, находящихся в очереди в СМО типа M/M/n, имеет вид [6]

_ _ yn+1 i

Nline

(1 - У)2 U'

U = nn У (пУ)! + jü+i, (1)

nn у k| (1 - у )' W

n k = 0 v '

где ¥ — безразмерная величина, связывающая параметры СМО:

¥ = Х/(пЦ), 0 < ¥ < 1.

(2)

Здесь X — интенсивность потока заявок, поступающих в систему, или среднее число заявок, поступающих в систему в единицу времени; ц — интенсивность обслуживания заявок каждым каналом (предполагается, что для всех каналов i = 1, ..., n значения ц одинаковы, т. е. ц = ц = const).

Среднее время ожидания заявки в очереди Tline определяется через среднее число заявок Niine как

и перепишем выражение для U (1) в виде

U = - + у

n

n к = n + 1

¥

■ ^

= — + ¥n

¥k

n у

n k = 1

k _n! ( n ¥ ) k

n

n k!

k

1 -

П

i = 1

n n + i

(5)

Далее, первое слагаемое в соотношении (5) преобразуем с помощью формулы Стирлинга:

n! R—- n(V - 1)

— e « л/2л n e v ,

(6)

Tline Nline/X

(3)

Из выражений (1)—(3) следует, что в СМО типа М/М/п существует некоторое минимально возможное число каналов обслуживания. Введем параметр

n* = X/ц.

(4)

При п > п* величина Тйпе монотонно убывает с увеличением п. Как известно [5], при п < п* стационарного режима в рамках модели СМО (1)—(3) не существует, и в системе происходит неконтролируемый рост очереди заявок на обслуживание, который, в конечном счете, приводит к отказу от обслуживания части заявок.

а для преобразования множителя во втором слагаемом соотношения (5)

= 1 - п —ь

(7)

i = 1

воспользуемся выражениями, аппроксимирующими функцию (7) в различных диапазонах значений к:

Фк(к)

k(k + 1)/N2, k«N/2; (6k/N- 1 )/8, N/2 < k« 3N/2; (8) [ 1, k> 3N/2,

2. АНАЛИЗ СМО С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОБСЛУЖИВАЮЩИХ КАНАЛОВ

Применим математическую модель (1)—(3) для анализа СМО с большим числом обслуживающих каналов, т. е. для случая п > п* . 1 (см. формулу (4)).

Заметим, что использовать выражение для МПпе в форме (1) для расчетов при п . 1 затруднительно из-за резкой зависимости от п числителя и знаменателя выражения (1). Преобразуем его к более удобному виду.

Выразим первое слагаемое в формуле для и (1)

П¥

через е :

" ^ = еп* _ ъ ^ ъ - е ъ

к = 0

к = n + 1

k!

а второе слагаемое представим как сумму бесконечной геометрической прогрессии

¥

n + 1

(1 - ¥)

у

¥k

к = n + 1

где N = Т2Й .

На рисунке представлены графики функции Фк(к), рассчитанной по точной (7) и приближенной (8) формулам, при различных значениях п(п . 1).

Теперь второе слагаемое выражения (5) можно представить в следующем виде

» ( „к

S = у ¥к 1 - п

n

к = 1

i = 1

n + i

S1 + S2 + S3,

(9)

где

S = [7УУ2] ¥к k( k + 1 )

1 = у

к = 1

N2

S2 =

[3N/2] ¥к Г6 k

У t IN-1

к = [N/2] + 1

S3 =

у ¥к

к = [ 3 N/2] + 1

(10)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Запись [...] означает целую часть выражения, заключенного в скобки.

n

к

Графики функции фк(к), рассчитанной по точной (7) и приближенной (8) формулам при различных значениях п: а — п = 50;

б — п = 100;.....— точная; — — — — приближенная

Вычислим величины 52 и 53 (10), учитывая, что 5 и 52 могут быть выражены через производные от конечных сумм:

с = Ч й2

2 2 Ы2 йЧ2

' N/2

Ч ^ Ч

4 к = 1 1

= Ч й2 ^Ч2(1 - Ч=

Ы2 йЧ 2

1 - Ч

Ч

Ы( 1 - Ч2)

N

ш^ф - ЧЩ2 (4 - 2 Ч+1 Ы - 1|( 1 - Ч)

(1 - Ч)Ы 2 V V 2 д ;

,(11)

52 = I

3N/2 ^_^Чк Ч-

4 ЬйЧ 8 .

к = N/2 + 1

3 Ч N/2 + 1

4 N

(1 - Ч)2

х Ь + Ы( 1 - Ч) - ЧЛ?

1 + ЩЩ(1 - Ч)

(12)

а 53 является суммой бесконечной геометрической прогрессии

3 N/2 + 1

Ч

3

1 - Ч

(13)

Учитывая результаты вычислений (11)—(13), выражение (9) можем записать в виде

Ч

(1 - ч) 2 N

2 л- - Ч ^ ) - Ч^(1 + 2(1 - Ч) + 3Ч") Ы( 1 - Ч) 4 7

N

Подставив это выражение в формулу (5), получим следующий результат для среднего числа заявок (1), находящихся в очереди на обслуживание:

Ы\тг

Ч

(1 - Ч)2

X < 4~п N Ч ^/2 ехр

- Щ (1 - Ч)

+

Ч

(1 - Ч)2 N

2 ( ! - Ч ^ ) _ Щ! - Ч )

_ЧN/2

1 + к-4 - 3 (1 - Ч)■

Nline 5

(14)

(15)

1 х ] Л -Щп- ехр[5п + 1п(1 - 5п)] +

2 4

Введя безразмерный параметр

5п = 1 - п*/п = 1 - Ч, 1 > 5п > 0 перепишем выражение (14) в виде

1 -5I 2

+

1

5 пЬ

2 (1 - (1 - 5 п) ^2) Ь5 п

- (1 - 5п)^2 4[1 + 25п + 3(1 - 5п)^

-1

. (16)

3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СМО С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ КАНАЛОВ ОБСЛУЖИВАНИЯ

Параметр (15) убывает при приближении п к п*, и при п « п* (4) его значение удовлетворяет условию 5п П 1 (напомним, что мы анализируем случай

п > п* . 1). Соответственно, с уменьшением 5п

число заявок NUne в очереди монотонно возрастает. Эффективный рост числа заявок наблюдается при 5^ < 1. Упростим выражение (16) для случая

х

X

1

X

8^ < 1, имея в виду, что при этом 8п П 1. Раскладывая выражение (16) в ряд по степеням 8п и пренебрегая малыми поправками, получим

Nline

I * Í , + ю„

+ i + 2

л/Л

^ e xp ( k1 8 nk 4 )

k - 8 n

8 N < 1.

- il t

(1У)

Численные расчеты показали, что при п > п* . 1 значение ^пе, рассчитанное по формуле (17), отличается от точного значения (1) не более, чем на 3 % при условии 8^ < 2. Как было отмечено, именно случай малых значений 8п интересен в смысле формирования очереди, так как при 8^ > 1 очередь в СМО с большим числом каналов обслуживания практически отсутствует.

Введем безразмерное среднее время 11Ые ожидания заявки на обслуживание в очереди [2]. Для этого значение Тйпе (3) разделим на среднее время обслуживания одной заявки Т8 = 1/ц. Тогда

'tline = Tline /TS = ^Nine А = Nine /«*

Учитывая выражение (17),

(18)

t line

1

n 8„

X í 1 t N8.

л/л

+ 1 + 2 N8n

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

f exp ( N1 8 n k k )

k - 8 n

S N < 1.

- il t

Зададим ограничение T* на среднюю длину очереди в СМО с n > n* . 1:

T < t * Tline < T .

(20)

Для безразмерного времени (18) ограничение (20) выглядит как

t line

< e, e = T *ц.

(21)

Оценим число каналов обслуживания m, которое должно быть в СМО (m > n* . 1) при выполнении ограничений (20) и (21) на длину очереди. Для этого необходимо найти зависимость 8m = 1 — m/n* от ©.

Решая уравнение (19) методом последовательных приближений, при 8m П 1 получим

1 л/4 kJ(k + x) +1 - k

727* 2V(T7T)

(22)

2 1

где x =--, и, соответственно, для числа обслу-

Vn* ©

живающих каналов m можем записать

m l n*/(l - 5И). (23)

Результат (23) говорит о том, что в СМО с n* . l ограничение на длину очереди © > l выполняется при любом числе каналов обслуживания, так как условие m > n* — условие существования СМО типа M/M/m (l). При © П l получим

- -4= x1/4

m -

л/2й*

Очевидно, для СМО с п* . 1 ограничение на очередь Т* = ©ш1п/ц никакого практического значения не имеет, так как при таких ограничениях среднее время ожидания в очереди на обслуживание можно считать равным нулю. Это означает, что соотношения (22) и (23) могут быть использованы для оценки необходимого числа каналов т обслуживания в СМО с п* . 1 для всего практически значимого диапазона ограничений на длину очереди.

В таблице представлены результаты расчетов безразмерного времени ожидания в очереди 1Ме , проведенные с помощью формулы (19) при п* = 100 для различных значений п — п*, а также значения т (23), рассчитанные для соответствующих значений

© = 1цпе (19). Как видно из сравнения приведенных в таблице данных, оцененное по формуле (23) необходимое число каналов обслуживания т хорошо (в пределах 1,5 %) согласуется с реальным числом каналов обслуживания п для СМО с п > п* . 1 при условии 8^ < 2. В таблице дано также сопоставление результатов расчета безразмерной длины очереди по классической (1) и упрощенной (19)

8

m

Зависимость безразмерного времени ожидания в очереди ГПпе от числа каналов п при п* = 100.

Сопоставление результатов расчета Г//яе по классической (1) и упрощенной (19) формулам

n n — n* Параметр 8 N n hine m

по формуле (1) по формуле (2)

101 1 0,141 0,879 0,876 101,00

102 2 0,280 0,386 0,383 102,01

103 3 0,418 0,225 0,222 103,03

104 4 0,555 0,147 0,145 104,06

105 5 0,690 0,103 0,100 105,10

106 6 0,824 0,074 0,072 106,15

107 7 0,957 0,055 0,053 107,21

108 8 1,089 0,041 0,039 108,29

109 9 1,219 0,031 0,030 109,39

110 10 1,348 0,024 0,023 110,52

111 11 1,477 0,018 0,018 111,67

112 12 1,604 0,014 0,014 112,86

113 13 1,729 0,011 0,011 114,10

114 14 1,854 0,008 0,008 115,40

115 15 1,978 0,006 0,007 116,78

формулам для СМО с большим числом обслуживающих каналов (и . 1) при коэффициенте загрузки у, близком к единице.

4. АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Приведем пример оценки числа каналов обслуживания для СМО с и* . 1.

Рассмотрим са11-центр, в который поступает 100 телефонных звонков в минуту, время обслуживания одного звонка в среднем составляет 60 с, т. е. интенсивность потока заявок в систему

X = 100 мин интенсивность обслуживания ц = = 1 мин и соответственно и* = Х/ц = 100. Очевидно, условие и* . 1 выполнено.

Введем ограничение на среднее время ожидания заявки в очереди Т* = 15 с, т. е. ©х = 0,25. Подставляя эти значения в выражения (22) и (23), определим необходимое число каналов обслуживания: 1 103.

Дальнейшее сокращение времени ожидания в очереди, например, до Т3* = 2 с (©2 « 0,033), приводит к увеличению требуемого числа каналов обслуживания до т3 1 109.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные результаты анализа СМО с большим числом каналов обслуживания и . 1 позволяют прогнозировать эффективность работы СМО с помощью оценки среднего времени ожидания обслуживания заявок, а также оперативно регулировать параметры СМО (время обработки одной заявки, число каналов обслуживания) для достижения необходимых временных показателей обслуживания клиентов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сошина В. Call-центр ВТБ 24: время ожидания — 30 секунд // Банковское обозрение. — 2008. — № 8. — С. 110.

2. URL: http://infotell.ru/press-centr/305--lr (дата обращения: апрель 2012 г.).

3. URL: http://www.fortax.ru/about/history.html (дата обращения: апрель 2012 г.).

4. URL: http://www.wilstream.ru/about/ (дата обращения: апрель 2012 г.).

5. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. — М.: ЛКИ, 2011. — 402 с.

6. Крянев А.В., Жиляк А.В. Методика нормирования численности расчетно-кассового персонала с использованием элементов теории массового обслуживания // Экономический анализ: теория и практика. — 2009. — № 20. — С. 44—47.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.С. Манделем.

Жиляк Анастасия Владимировна —

соискатель кандидатской степени,

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», гл. специалист группы компенсаций и льгот, ОАО «Мосэнерго», г. Москва,

® 8(495) 957-19-57 доб. 42-30, И zhilyakav@mosenergo.ru,

Кащеев Владимир Александрович — канд. физ.-мат. наук, директор отделения, ОАО «Высокотехнологический научно-исследовательский институт неорганических материалов им. академика А.А. Бочвара», г. Москва, И ppp@bochvar.ru,

Крянев Александр Витальевич — д-р физ.-мат. наук, профессор, Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», г. Москва, ® (495) 323-90-72, И avkryanev@mephi.ru.

Текст научной работы на тему «Регулирование очереди в системах массового обслуживания с большим числом обслуживающих каналов»