Регрессионный фильтр для контроля состояния электронных систем методом асинхронного сравнения сигналов различных устройств Текст научной статьи по специальности «Математика»

Авакян А.А.

РЕГРЕССИОННЫЙ ФИЛЬТР ДЛЯ КОНТРОЛЯ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ АСИНХРОННОГО СРАВНЕНИЯ СИГНАЛОВ РАЗЛИЧНЫХ УСТРОЙСТВ

Рассматривается метод контроля состояния электронной системы посредством сравнения остаточной дисперсии сигналов, прошедших через всю систему и регрессионный фильтр. Показывается, что при мажоритарном контроле такое сравнение более чувствительно к выявлению отказов, возникающих в системах, чем прямое сравнение сигналов. Для устранения возможной неоднозначности результатов сравнения в резервированных мажоритарных элементах предлагается создать второй уровень мажоритарного контроля, в котором проводить мажоритарное сравнение результатов мажоритарного контроля первого уровня. Такой контроль особенно важен при выявлении редких отказов, влияющих на безопасность полетов.

Одной из актуальных проблем бортовой электроники является проблема определения состояния устройств посредством измерения параметров сигналов, проходящих через данное устройство. Этот контроль более эффективен в случаях, когда устройство резервировано, и контроль можно организовать методом сравнения сигналов, прошедших через каждое устройство. По результатам сравнения можно получить информацию об исправности обоих устройств или неисправности одного из них. Если кратность резервирования более двух, то мажоритарное сравнение сигналов позволяет определить какое из устройств неисправно. Недостатками такого метода контроля являются:

зависимость точности и достоверности выявления отказавшего устройства от допуска; необходимость синхронизации сигналов, проходящих через различные устройства перед их сравнением.

Одним из путей устранения этих недостатков является путь сравнения сигналов, предварительно прошедших статистическую обработку. В данной работе предлагается решить эту проблему посредством регрессионного фильтра. Задача формализуется следующим образом.

Параметры сигналов, проходящих через электронное устройство, следует рассматривать как случайный процесс. Такой подход правомочен, поскольку параметры элементов устройств электроники как исправных, так и неисправных непрерывно флюктуируют из-за случайных процессов, происходящих внутри элементов устройства, через который проходит сигнал, и из-за воздействия внешних факторов. Пропуская эти сигналы через статистический фильтр, можно определить параметры случайного процесса флюктуации сигналов. Поскольку параметры флюктуаций исправных и неисправных элементов будут отличаться, то при их сравнении можно определить обобщенно, без локализации отказа, исправны устройства, через которые были пропущены сигналы, или одно из них неисправно.

Сигнал, поступающий на вход фильтра, представляет собой одну реализацию дискретного случайного процесса изменения параметра. При этом каждое дискретное значение сигнала несет информацию о последовательности измерений параметра в дискретные моменты времени. Для формирования исходной информации регрессионного фильтра необходимо по одной реализации случайного процесса создать ансамбль реализаций, удовлетворяющих требованиям эргодичности, которое сводится к тому, чтобы количество измерений в одном экземпляре ансамбля обеспечивало заданную точность и достоверность определяемых параметров. Поскольку точность и достоверность определения параметров случайного процесса зависит от количества измеряемых параметров, то определим это количество заданной точностью определения характеристик случайного процесса.

Случайный процесс изменения параметра, состоящий из N точек измерений значения параметра от момента до момента ^ «разрезается» на С реализаций по п точек в каждой. Следовательно,

С. П = N Число N выбирается из условия эргодичности. В качестве характеристики эргодичности принимаем оценку дисперсии нормального стационарного, случайного процесса, который имеет место у

параметров электронных систем. Оценка дисперсии имеет порядок

1

[1, 2]. При 1000 и более то-

чек процесса эта оценка равна примерно 0,03. При такой величине оценки процесс может считаться эргодическим.

Значения случайного процесса изменения параметра от момента до момента Ьх формируются с помощью следующей матрицы:

^ 0) Ч2(І о)

™1(ї 1) Ч2(^ )

^(/в)

(1)

В каждой строке матрицы размещаются п значений одной реализации случайного процесса. Поскольку число реализаций процесса равно С, то количество строк матрицы (1) тоже равно С.

По значениям исходной матрицы (1) выполняется ряд следующих операций по определению ковариационной матрицы:

Вычисляется оценка математического ожидания (2) ^-го столбца:

1 С

^(ь) — г = аск) , (2)

с 1=1

где: М№(Ьа) - математическое ожидание элементов ^-го столбца; С - количество строк; -

элемент матрицы (1); ас(^) - значение математического ожидания элементов 31-го столбца.

Вычисляется оценка стандартного (среднеквадратического) отклонения столбца ^ матрицы (1) по формуле:

С 2

2 (ть? - аМ?)

(ь) = 4 -------с-----= °с(*?) (3)

где: GW(tJ) - стандартное (среднеквадратическое) отклонение элементов в сечении Gc(tJ)

значение стандартного (среднеквадратического) отклонения элементов в сечении j.

Вычисляется оценка элементов ковариационной матрицы между сечениями ^ и 1: с

1( Ж (г^) - Ос^ ^) (Ж (г I) - аМ 1))

к л

с

(4)

где К,1 - элемент ковариационной матрицы (6) между сечениями ^ и 1 исходной матрицы (1). Выполняется операция по оценке элементов ковариации между сечениями ^=0 и 1 матрицы (1) (1=1,2...п; 0=0) определяются по следующей формуле (5): с

1( Ж (г о) - ас(г о)) (Ж (г 1) - ас(г Р)

к

01 '

с

(5)

Ковариационная матрица, имеет следующий вид:

К =

1 к12 - ки 1

к21 к22 ••• ку " к2 в

Кл к12 : ¿¡¿Г1 ^ :

К\ кс2 : • ^ ^ : |

. (6)

и имеет следующие особенности:

она симметрична относительно диагональных элементов, т.е. к±э = к^,±;

диагональными элементами являются дисперсии ^-х столбцов матрицы (6), т.е. к¿э = Ос(Ь^).

По данным ковариационной матрицы выполняются следующие операции по определению коэффициента линейной регрессии и остаточной дисперсии.

Оценка коэффициента линейной регрессии Рэ для каждого ^-го столбца матрицы (6) вычисляется значение по формуле, [1]

к

где р ±(Ь^) - оценка 1-го коэффициента линейной регрессии в сечении tj матрицы (1); \кд -

детерминант ковариационной матрицы (6); к/ - оценка элемента ковариации между сечениями 0 и 1

матрицы (5); Кц - алгебраическое дополнение элемента кц (1=1,2...п-1) ковариационной матрицы

(6).

Оценка остаточной дисперсии (Ос(Ъп))2 регрессии параметра П1 по данным матрицы (1) вычисляется значение по формуле:

ч2 1

с

(У ос(гп)) = ^ 1( Ж о) - а с(г о) -Д(гьК Ж /гр- ас(г 1))

с 1=1

-Д0У)( Wi.tp-a.cit?) ДЛ ЖЮ-аМ) У>

(8)

где (Уос(^))2 - оценка остаточной дисперсии регрессии параметра Щ; ] = 1,п -1 .

Сопоставление остаточных дисперсий сравниваемых параметров в данном методе осуществляется по пересечению доверительных интервалов на вероятное отклонение остаточной дисперсии. Определим этот доверительный интервал.

В [2] показано, что статистика

(Уо)С

¥

(уоС(гП))

■, (9)

где (Уо) - значение остаточной дисперсии параметра, распределена по закону % с

степенями свободы.

Плотность вероятностей распределения %2 определяется формулой [2]

Ку (х)=

Ру (%2 <х) при х>0, 0 при х<0.

(10)

Выражение для Pv(%2 < х) имеет следующий вид [2]:

2 1 ^-1 _х

Ру(% < X ) = —-----------— X 2 е 2 , (11)

У

где Г (—)- гамма-функция, интегральное представление (формула Эйлера) которой для непрерывных 2

z имеет следующий вид [2]: го

Г

е хdx . (12)

Для целочисленных z > 0 имеет место следующие соотношения:

Г(г +1) = z! , 0! = Г(1) = 1.

V .

Введем обозначение — = % +1 , тогда справедливо равенство

Г (V) =( у-1)! • (13)

Подставив (13) в (10), получим следующую, удобную для вычислений, формулу:

2 1 К-1 -X

РУ( < X )= у--------------X2 е 2 • (14)

22( у2-1) !

На основании выше изложенного можно записать следующее неравенство:

(<7 Уг

^р^;^^р^ (15)

где Ьт±п и Ьтах - соответственно квантили распределения (14) для вероятностей Рт±п и Ртах при V степенях свободы.

Тогда доверительный интервал для оценки стандартного отклонения, с вероятностью доверия равной Рд = Ртах - Рш1п будет иметь вид следующего неравенства:

I/ ■ (У,р . ) [/

Л I I ГП1П ± Ш1ПУ ^ , , , // \ I1

у-------у-------сг„ <ТоЯпЦ-

Поскольку мажоритарное сравнение остаточных дисперсий осуществляется для одного и того же параметра, прошедшего как минимум через три тракта, то в идентификатор оценки остаточной дисперсии введем индекс Т, обозначающий номер тракта. С учетом этого индекса идентификатор оценки остаточной дисперсии будет иметь следующий вид: аос(Ъп)Т.

На основании (16) нижняя и верхняя оценки доверительного интервала стандартного отклонения остаточной дисперсии соответственно имеют значения

г ((, Р )

£ шах4 Л- шах' (17)

V

Доверительный интервал стандартного отклонения остаточной дисперсии определяется формулой ОосТ=аос(Ьп) вТ-Оос(Ьп) нТ. (18)

Тогда условия сопоставимости и несопоставимости доверительных интервалов стандартного отклонения остаточной дисперсии параметра, прошедшего через 1-й и 2-й тракты соответственно, запишутся в виде следующих неравенств:

1-П 2

' С 1 <0,2 , (19)

П 1 + П 2

А.У ОС Л---' ОС

Для того чтобы гарантировать систему мажоритарного контроля от ошибок, связанных с ситуациями, когда остаточная дисперсия регрессии по каким то причинам не чувствительна к отклонению параметра от точного значения, в мажоритарном элементе осуществляется также допусковый контроль на отклонение сравниваемых значений параметра по точности Дп. С этой целью выполняется следующая операция относительно сигналов, прошедших через 1-й (ТСу±) и ^й (ТСуэ) тракты:

>АП , (20)

где сочетания 1 и j принимают значения 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4.

Выполнение неравенства (20) означает, что значение параметра одного из сигналов, прошедших через тракт 1 или о, не в допуске по точности на параметр.

Если мажоритарный элемент выполнить в виде отдельного устройства, то он в системе элементов вычислителя окажется включенным последовательно, и его надежность будет определять надежность всей системы. Чтобы избежать специальных мер по резервированию мажоритарного элемента в данной работе предложено его реализовать в каждом из резервированных вычислительных модулей, как это показано в [3]. Но мажоритарный контроль одних и тех же сигналов в N разных мажоритарных элементах может дать различные результаты сравнения сигналов, в частности по причине неисправной работы одного из модулей. Для выявления такой ситуации в работе предлагается создать второй уровень мажоритарного контроля, который будет осуществлять мажоритарный контроль результатов мажоритарного контроля первого уровня.

В качестве примера рассмотрим результаты мажоритарного контроля параметра «крен» в четырех двухуровневых мажоритарных элементах вычислителя с управляемой избыточностью (ВУИ).

В результате обработки (фильтрации в регрессионном фильтре) 1000 измерений параметра «крен» в четырех мажоритарных элементах вычислителя ВУИ были получены следующие доверительные интервалы на стандартное отклонение остаточной дисперсии, которые приведены в 3-й графе табл. 1. Измерения проводились в горизонтальном полете, при значении крена, равном нулю. В 4-й графе табл. 1 приведены результаты всевозможных сопоставлений (рассчитанных по левой части формулы (19)) стандартных отклонений остаточных дисперсий, полученных в мажоритарных элементах различных трактов. В 5-й графе табл. 1 приведены результаты сопоставления величин 4-й графы с нормой.

Анализ информации этих граф показывает, что имеет место отказ в четвертом тракте. Действительно, сопоставление стандартных отклонений остаточных дисперсии по формуле (19) первого, второго и третьего трактов с четвертым приводят к величине рассогласования, превышающей нормативное значение. В то же время результат сопоставления первого, второго и третьего трактов между собой, как видно в табл. 2, положительный.

Таблица 1 Результаты обработки 1000 измерений параметра «крен» в 4-х регрессионных фильтрах, реализованных в 4-х МВУ

Номер трактов ВУИ Т Номера сравниваемых трактов Т=і T=j Значения доверительных интервалов на стандартное отклонение остаточной дисперсии параметра «крен» DocT - Вс Соотношение с нормой

Бл+ВС

1 2 3 4 5

1 І=1 7=2 1,01 0,043 <0,2

2 І=1 7=3 1,10 0,047 <0,2

3 І=1 7=4 0,92 0,554 >0,2

4 І=2 7=3 0,29 0,129 <0,2

І=2 7=4 0,880 >0,2

І=3 7=4 2,172 >0,2

С целью проведения сравнительного анализа, в табл. 2 включены результаты «простого» допуско-вого контроля по 1000 измерениям параметра «крен», поступившее в МВУ. Здесь в графе 3 вместо значений параметра «крен» приведены средние значения отклонений от нуля (измерения производились в горизонтальном полете). Анализ информации 5-й графы табл. 2 показывает, что все тракты между собой сопоставляются положительно, т.е. метод допускового контроля не обнаруживает отказ 4-го тракта. Это объясняется тем, что вид отказа представляет собой «замораживание» параметра при горизонтальном полете, когда величина крена равна нулю.

Допусковый контроль обнаружит этот отказ только тогда, когда самолет будет совершать разворот с креном. Парирование отказа, возникшего в момент начала эволюции может привести к сложной ситуации. Однако можно представить ситуацию, когда метод допускового контроля окажется эффективнее метода сравнения стандартных отклонений остаточной дисперсии.

Таблица 2 Результаты допускового контроля, выполненного по 1000 измерениям параметра «крен», в 4-х мажоритарных элементах.

Номер трактов ВУИ Т Номера сравниваемых трактов Т=І и Т=7 Среднее значение по 1000 измерениям ИуІ -Ш„ Соотношение с нормой Дп=0,5 градуса

1 2 3 4 5

1 І=1 7 = 2 0,5 0,06 <0,5

2 І=1 7=3 0,56 0,10 <0,5

3 І=1 7 = 4 0,4 0,30 <0,5

4 І=2 7=3 0,2 0,16 <0,5

І=2 7 = 4 0,36 <0,5

І=3 7 = 4 0,20 <0,5

На основании изложенного, можно сделать следующий вывод. При контроле состояния устройств по мажоритарному сравнению параметров, прошедших через весь тракт устройства, необходимо применять одновременно как метод сопоставления стандартного отклонения остаточной дисперсии статистики значений параметра, так и метод сопоставления значений параметра по заданному допуску.

ЛИТЕРАТУРА

1. Крамер Г. Математические методы статистики / Под ред. А.Н. Колмогорова. - М.: Мир, 1973.

2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.; Физматлит, 1961.

3. Авакян А.А Особенности выявления редких отказов в электронных системах. - М.; Контроль. Диагностика. 2008. № 12. С. 55.