CC BY
97
удк 621.833.6
Реечные самотормозящиеся передачи
Г.А. Тимофеев, Д.В. Сащенко, М.В. Самойлова
Представлены результаты исследований, посвященных синтезу новой разновидности реечных передач, с использованием косозубого или шевронного внеполюсного зацепления с целью достижения в них эффекта самоторможения. Описаны конструкция реечной зубчатой передачи и геометрия дополюсного и заполюсного реечного зацепления. Исследованы тормозящие свойства реечных передач при прямом и обратном ходе. Найдены параметры торможения ведомой рейки и определены условия самоторможения дополюсных и заполюсных реечных передач.
Исследования доказали, что параметры торможения и тормозные свойства реечных передач аналогичны свойствам цилиндрических самотормозящихся передач. Результаты исследований расширяют знания о косозубых зубчатых передачах:.
Ключевые слова: реечное зубчатое зацепление, рейка, шестерня, тормозящие свойства, силы трения, прямой ход, обратный ход, тяговый режим, режим оттормаживания.
Rack and Pinion Self-locking Gears
G.A. Timofeyev, D.V. Sashchenko, M.V. Samoilova
The article presents the research results on the synthesis of a new type of rack and pinion with helical or double helical (herringbone) gearing and a pitch point located out of gears mesh in order to achieve the self-locking effect. The rack and pinion design and geometry are given as well as self-locking properties of the said gear for both forward and reverse travel.
The terms for self-locking mode for gears with special location of a pith point are determined. The investigation proved that self-locking properties of a rack and pinion are similar to those of a spur gear. The results extend the knowledge of helical gears.
Keywords: rack and pinion gear, rack, pinion, self-locking properties, friction force, forward and reverse travel, traction mode, unlocking mode.
/Основное конструктивное отличие зубчато-винтовых передач, обеспечивающих преобразование вращательного движения в поступательное, от других механизмов, предназначенных для этой цели (например, кулачковых или кривошипно-ползунных), заключается в том, что заданное преобразование осуществляется с помощью зубчатых зацеплений: прямозубых (например, в прямозубых реечных передачах) или винтовых (например, в передачах винт-гайка) [1—10].
К числу трехзвенных цилиндрических зубчато-винтовых передач относятся прежде всего известные реечные зубчатые передачи. Эти передачи можно рассматривать как предельный случай внешнего за-
ТИМОФЕЕВ Геннадий Алексеевич (МГТУ им. Н.Э. Баумана)
TIMOFEYEV Gennady Alekseevich
(Moscow, Russian Federation, MSTU named after N.E. Bauman)
САЩЕНКО Денис Владимирович (МГТУ им. Н.Э. Баумана)
SASHCHENKO Denis Vladimirovich
(Moscow, Russian Federation, MSTU named after N.E. Bauman)
САМОЙЛОВА Марина Валерьевна (МГТУ им. Н.Э. Баумана)
SAMOILOVA Marina Valerievna
(Moscow, Russian Federation, MSTU named after N.E. Bauman)
Рисунок. Реечная передача:
а — конструктивная схема; б — силовая схема прямого хода; в — силовая схема обратного хода
цепления зубчатых колес с отрицательным передаточным отношением, когда число зубьев одного колеса становится бесконечно большим. Зубья шестерни и рейки такой передачи могут иметь любую из известных форм. Конст-
руктивная схема реечной передачи с винтовыми зубьями показана на рисунке а. Характерной особенностью зацепления этих передач является то, что полюс зацепления и само зацепление расположены по одну сторону от оси О1 шестерни (рисунок б, в), т. е., как в обычном внешнем зацеплении.
Найдем передаточную функцию реечного зацепления. Скорость перемещения рейки у2 соответствует окружной скорости шестерни у№1 на начальной окружности:
V2 = Vw1 =
(1)
В реечном зацеплении радиусы гк1 и г1 начальной и делительной окружностей шестерни совпадают, откуда
w1
mz 1 2cos в
(2)
Передаточная функция — при прямом ходе
ю,
рассчитывается по формуле
mz1
rw1 Г1 О о-
ю1 1 2cos в
(3)
Если параметры шестерни с винтовыми зубьями выражены через осевой шаг рх [6], то передаточная функция принимает следующий вид:
ю,
Pxz 1 2п
tgP, i.
(4)
При обратном ходе передаточная функция
ю
2cos в
2п
V 2 mZ 1 PXZ ,tge
(5)
у 1
Исследуем тормозящие свойства реечных передач. Считаем заданными: приложенный к входной шестерне момент двигателя Мх, при-
1
v
v
2
ложенную к выходной рейке нагрузку F2, коэффициент трения скольжения в зацеплении /12. Суммарное воздействие всех остальных видов трения на шестерню 1 обозначим моментом L1, на рейку 2 — силой T2. В процессе передачи мощности от шестерни к рейке в зацеплении возникают реакции F12 = —F21, разложенная на нормальные составляющие N12 = —N21, проекции которых на торцовую плоскость равны N: =—N: , и силы трения T12 =— T21. Общая нормаль в зацеплении отклонена от торцовой плоскости на угол рА, величина которого связана с углом наклона зубьев рейки р2 и нормальным углом профиля an2 соотношением sin= cosan2 sin(З2 •
Направления сил трения T12 и T21 зависят от расположения точки контакта относительно полюса, поэтому следует рассматривать отдельно дополюсное и заполюсное зацепления.
На рисунке представлены конструктивная схема и силовые схемы в торцовом сечении. Зазор в зацеплении на рисунке в и б показан условно.
Определим составляющие реакций F12 = —F21 в зацеплении в тяговом режиме прямого хода (см. рисунок б). Значение нормальной составляющей может быть рассчитано из уравнения равновесия рейки:
F2 = Nt21 COS a : 2 + T21 Sin a :2 — T2 . (6)
С учетом соотношений T < maxT = /N и Nt = N cos имеем
N = N21 = N12 =
F2 +T2
COsPj COsa,2 + f12 sina:2
-. (7)
Радиальная составляющая Я12 реакции Р12 на шестерню равна разности проекций сил N, 12 и Т12 на направление радиус-вектора точки контакта:
Яи = N12 сое р4 sin а у 1 - т12 сое а у 1. (8)
Подставив в уравнение (8) значения сил T < maxT = /N и (7), получим
Р COsPj sinay 1 — f12 COsay 1
R12 = (F2 + T2 ) n -T^—ITT-. (9)
cos Pj cos a :2 + /21 sin a
<-t 2
Окружная составляющая Уп реакции Р12 на шестерню равна сумме проекций сил N, 12 и Т12 на направление скорости точки контакта:
V21 = N 12 cosPj cosay 1 + T12 sina
lty 1 •
(10)
или, после подстановки значений сил T < max T = fN и (7),
, ч cos pj cos a y, + /¡, sin a y,
V21 = (f2 +T2) ,, y 1 . ty 1. (11)
cos pj cos a: 2 + f12 sin a
:2
Аналогично определяются радиальная составляющая Я21 реакции Р21, направленная перпендикулярно перемещению рейки, и окружная составляющая У21 реакции Р21, направленная вдоль перемещения рейки:
R21 =(f2 +T2)
cos pj tan a: 2 — f1
12
cos pj + f12 tan a
:2
V21 = F,.
(12)
(13)
При прямом ходе ведущим звеном является шестерня 1. Найдем параметр торможения ведомой рейки 2. Приложенные к ней силы разделим на движущие (проекция на торцовую плоскость нормальной реакции N,21 и сила трения скольжения в зацеплении Т21 ) и силы сопротивления (нагрузка Р2 и все остальные силы трения Т2). В данном случае обе составляющие реакции Р21 — и нормальная, и сила трения скольжения в зацеплении — относятся к движущим силам. Параметр торможения [11, 12]:
A(T2) + A(F2) A(T2d + A(Nt 21).
(14)
При действии постоянных сил и моментов выражение (14) после сокращения на перемещение рейки принимает следующий вид:
Т 2 =
T2 + F2
т 2 =-.
T21 sin а 12 + Nt 21 cos а 12
(15)
С учетом соотношений T < maxT = fN и Nt = N cos Pb получаем формулу для параметра торможения:
T2 + f2
'2 N21(cosPb + f21tana12 У
(16)
Критерий самоторможения [11] приводит к неравенству
cos Pb + f21 tan a 12 <
T
N
(17)
21
Это неравенство может быть реализовано только при нереально большой силе дополнительного трения, поэтому самоторможение прямого хода в заполюсных реечных передачах практически невозможно. Линия действия торцовой проекции реакции со стороны ведущего входного звена F,21 = N,21 + ^ составляет весьма значительный угол с прямой СO1 (см. рисунок б), а для самоторможения этот угол должен быть меньше угла трения.
В тяговом режиме обратного хода силовая схема передачи (рисунок в) отличается от схемы прямого хода тем, что скорости шестерни и рейки изменяют свое направление, в связи с чем меняют свое направление и силы трения. Поэтому формулы для определения составляющих реакции в зацеплении в тяговом режиме обратного хода принимают вид:
F2 +T2
N = N21 = N12 = —-2--; (18)
cos Pb cos a 12 — f21 sin a , ч cos pb sin a y, + /,cos a y,
r12 = (f2 + t2 ) ,, y 1 " y 1; (19)
12
cos Pb cos a 12 — f21 sin a
<-t 2
ТГ (r^rr) cos Pb cos a y 1 — f12 sin a y 1
Vn = (F2 + T2) ___n ______^ ; (20)
cos Pb cos a 12 — f21 sin a
b
12
R =(F+T) cos Pbtan a t2 + f12 (21)
21 V 2 2'cosPb — f21tana12'
Зависимость (13) при обратном ходе сохраняется.
Определение параметра торможения шестерни 1 при обратном ходе ничем не отличается от выведенного для цилиндрических передач [9], поэтому все сделанные относительно цилиндрических заполюсных передач выводы справедливы и для заполюсных реечных: обратный ход в тяговом режиме невозможен.
Оттормаживание обратного хода становится невозможным при выполнении условия
a 12 > arctan
cos Pi
T
\
\ J 21
f21 f21N:
(22)
2И' 21 /
Если принимать во внимание только трение скольжения в зацеплении, то условие (22) имеет вид
сое рь
a 12 > arctan-
f2
(23)
21
Таким образом, в режиме оттормаживания обратного хода при соблюдении условия (22) звено 2тоже становится тормозным. Это означает, что угол между линией действия торцовой проекции реакции со стороны первого звена F,21 = N,21+ T21 (рисунок в) и прямой РО1 уменьшается и становится меньше угла трения рейки 2. При этом движение второго звена, а значит, и всего механизма, становится невозможным.
Схема нагрузок на звенья самотормозящейся реечной передачи в режиме оттормаживания отличается от схемы обратного хода только направлением движущего момента М1 (на рисунке в показано пунктиром). Поскольку направление этого момента не влияет на величину составляющих реакции F21 в зацеплениях в формулах (18) —(21), они остаются в силе и для режима оттормаживания.
Полученные зависимости показывают, что при одной и той же внешней нагрузке ¥2 радиальные составляющие Л12 и Я21 отличаются друг от друга, так же как и окружные УХ2 и У2Ь Перечисленные составляющие реакции, за исключением У2Ъ имеют различные значения при прямом и обратном ходе.
Из уравнений (7) и (18) следует, что в тяговом режиме обратного хода (для несамотормозящихся передач) и в режиме оттормаживания (для са-
мотормозящихся передач) нормальная реакция N в заполюсном зацеплении при одной и той же внешней нагрузке возрастает по сравнению с тяговым режимом прямого хода в к раз:
к =
cos рг + /21 1ап а
иг2
cos рг — /21 1ап а
(24)
^■t 2
Проведем аналогичное исследование реечной передачи дополюсного зацепления. Схемы усилий в нем отличаются от показанных на рисунке направлениями сил трения в точке контакта С. Составляющие реакции Р21 в зацеплении в тяговом режиме прямого хода определяются следующими зависимостями:
Р2 + Т2
N = N.. = N,2 =-2-2
cosРй cosа
Я12 =(^2 +^2 )
г2 /12 а г 2
cosР4 sinау 1 + /12 cosау 1
cosРй cosаг2 — /21 sinа
(25)
(26)
иг 2
COS Рг COS а у 1 — /12 а у 1 Уц = (Л + Т2) ______^ ; (27)
cosРй cosаг2 — /21 sinа
4 2
Я21 =(^2 +Т2) COS в* * + /21. (28)
cos Рй — /21 tan а
г 2
Найдем параметр торможения ведомой рейки 2. Приложенные к ней силы разделим на движущие (проекция на торцовую плоскость нормальной реакции N г21) и силы сопротивления (нагрузка Р2, сила трения скольжения в зацеплении Т21 и все остальные виды трения Т2). Тогда параметр торможения [12]
т 2 =—-
А(Т21) + А(Т2) + А(^) А^ 21 )
(29)
В случае постоянных сил и моментов выражение (29) после сокращения на перемещение рейки принимает вид
Т21 sin а г 2 + Т2 + Р2 N, 21 COS а г 2
(30)
С учетом пропорциональности силы трения нормальной реакции получаем следующую формулу для параметра торможения:
/21 tan а
г2
COS Рг
+
Т2 + Р2 N21 COS Рг
(31)
Критерий самоторможения приводит к неравенству [11]
а 12 > arctan
COS Рг
Т
\
\ J21
/21 /21 N:
(32)
2Н' 21 /
Это и есть условие самоторможения прямого хода в дополюсных передачах . Из формулы (32) следует, что учет трения в опорах и других видов трения позволяет снизить необходимое для получения эффекта самоторможения значение торцового угла профиля зубьев рейки. Если же принимать во внимание только трение скольжения в зацеплении, то условие самоторможения примет вид
а 12 > arctan
^ Рг
А
(33)
21
В частности, прямозубые реечные передачи дополюсного зацепления будут самотормозящимися при прямом ходе при условии
а г 2 > arctan
/21'
(34)
Таким образом, в режиме прямого хода при соблюдении условия (32) ведомая рейка становится тормозным звеном. Условия самоторможения покоя находят из формул (32)—(34) путем замены коэффициентов трения движения на коэффициенты трения покоя.
При условии (32) реализуется вариант 011 [12]: прямой ход в тяговом режиме невозможен, но возможен в режиме оттормаживания. Вариант 010 будет реализован, если станет невозможным и режим оттормаживания, при котором двигатель совместно с нагрузкой преодолевают действие трения. Рассмотрим этот случай. В режиме оттормаживания направление нагруз-
Т 2 =
Т 2 =
ки F2 изменится на противоположное, направления остальных сил сохранятся. Движение не начнется, если звено 1 тоже окажется тормозным. Параметр торможения шестерни уже был найден для цилиндрических передач. Таким образом, в режиме оттормаживания прямого хода звено 1 тоже становится тормозным.
При обратном ходе ведущим звеном является рейка 2. Параметр торможения ведомого колеса 1 определяется той же зависимостью, что и для цилиндрических передач [12], поэтому сохраняется и условие
о I А
ч I М1 =о
Nl2rbl(еos Рь + 1ап а * 1)
из которого следует, что самоторможение обратного хода в дополюсных передачах практически невозможно.
Таким образом, в дополюсных передачах самоторможение прямого хода наступает при соблюдении условия (32), за счет только трения скольжения в зацеплении — (33). Обратный ход в таких передачах практически всегда возможен.
В тяговом режиме обратного хода силовая схема передачи отличается от схемы прямого хода тем, что скорости шестерни и рейки изменяют свое направление, в связи с чем меняют свое направление и силы трения. Поэтому формулы для определения усилий в зацеплении в тяговом режиме обратного хода имеют следующий вид:
А + т2
N = N.. = N.. =-2-2—-
ео8ео8а:2 + /21 81па
-; (35)
:2
_ ео5 Рь *1п а * 1 - /12 е°в а * 1
я12 = (Л + Т2) ,,—г^———; (36)
е°8рь е°8а:2 + /21 81па
2
К12 = (^2 +Т2) ,, *1 , *1; (37)
е°8рь е°8а:2 + /21 81па
:2
Л21 = (^ + Т2) С°5 вь ^а - /21. (38)
е°8 вь + /211ап а
:2
Зависимость (13) при обратном ходе сохраняется.
Определение параметра торможения шестерни 1 при обратном ходе ничем не отличает-
ся от цилиндрических передач, поэтому все выполненные относительно цилиндрических дополюсных передач выводы справедливы и для дополюсных реечных: обратный ход в тяговом режиме практически всегда возможен. Отличие дополюсного зацепления от заполюс-ного состоит в том, что нормальная реакция N в тяговом режиме прямого хода в к раз больше, чем в тяговом режиме обратного хода, причем к определяется той же зависимостью (24).
Выводы
1. Для достижения самоторможения реечное зацепление должно быть внеполюсным.
2. В заполюсных реечных передачах прямой ход практически всегда возможен, а оттор-маживание обратного хода становится невозможным при выполнении условия (22).
3. В дополюсных передачах самоторможение прямого хода наступает при соблюдении условия (32). Обратный ход практически всегда возможен.
Литература
1. Левитский Н.И. Теория механизмов и машин. М.: Наука, 1979. 576 с.
2. Теория механизмов и машин / К.В. Фролов, С.А. Попов, А.К. Мусатов и др.; под ред. К.В. Фролова. М.: Высшая школа, 1987. 496 с.
3. Кожевников С.Н., Есипенко Я.И., Раскин Я.М. Механизмы. Справочное пособие / Под ред. С.Н. Кожевникова М.: Машиностроение, 1976. 784 с.
4. Крайнев А.Ф. Механика машин. Фундаментальный словарь. М.: Машиностроение, 2000. 904 с.
5. Механика машин / И.И. Вульфсон, М.Л. Ерихов, М.З. Коловский и др.; под ред. Г.А. Смирнова. М.: Высшая школа, 1996. 511 с.
6. Панюхин В.В. Геометрический расчет самотормозящихся зубчатых передач с точечным контактом // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 1984. № 12. С. 28—33.
7. Турпаев А.И. Самотормозящие механизмы. М.: Машиностроение, 1976. 208 с.
8. Вейц В.Л. Динамика машинных агрегатов. Л.: Машиностроение, 1969. 370 с.
9. Тимофеев Г.А., Панюхин В.В. Модификации цилиндрических самотормозящихся передач и варианты самоторможения // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 1986. № 1. С. 51—54.
10. Гинзбург Е.Г., Голованов Н.Ф., Фирун Н.Б., Халебский Н.Т. Зубчатые передачи: Справочник. Л.: Машиностроение, 1980. 416 с.
11. Тимофеев Г.А., Панюхин В.В. Анализ критериев самоторможения //Вестник машиностроения. 2002. № 9. С. 3—8.
12. Тимофеев ГА, Панюхин В.В. Метод определения областей самоторможения механизмов // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2001. № 1. С. 93—105.
References
1. Levitskii N.I. Teoriia mekhanizmov i mashin [Theory of mechanisms and machines]. Moscow, Naukapubl., 1979. 576 p.
2. Frolov K.V., Popov S.A., Musatov A.K. Teoriia mekhanizmov i mashin [Theory of mechanisms and machines]. Ed. Frolov K.V. Moscow, Vysshaia shkola publ., 1987. 496 p.
3. Kozhevnikov S.N., Esipenko Ia.I., Raskin Ia.M. Mekhanizmy. Spravochnoe posobie [Mechanisms. A Reference Guide]. Ed. Kozhevnikov S.N. Moscow, Mashinostroenie publ., 1976. 784 p.
4. Krainev A.F. Mekhanika mashin. Fundamental'nyi slovar [Mechanics of Machines. Fundamental vocabulary] Moscow, Mashinostroenie publ., 2000. 904 p.
5. Vul'fson I.I., Erikhov M.L., Kolovskii M.Z. Mekhanika mashin [Mechanics of Machines]. Ed. Smirnova G.A. Moscow, Vysshaia shkola publ., 1996. 511 p.
6. PaniukhinW Geometricheskii raschet samotormoziashchikhsia zubchatykh peredach s tochechnym kontaktom [Geometric calculation, selflocking gears with point contact]. Proceedings of Higher Educational Institutions.Machine building. 1984, no. 12, pp. 28—33.
7. Turpaev A.I. Samotormoziashchie mekhanizmy [Selflocking mechanism]. Moscow, Mashinostroenie publ., 1976. 208 p.
8. Veits V.L. Dinamika mashinnykh agregatov [Dynamics of machine units]. Leningrad, Mashinostroenie publ., 1969. 370 p.
9. Timofeev G.A., Paniukhin V.V. Modifikatsii tsilindricheskikh samotormoziashchikhsia peredach i varianty samotormozheniia [Modification of cylindrical gear and a selflocking selflocking options]. Proceedings of Higher Educational Institutions.Machine building. 1986, no. 1, pp. 51—54.
10. Ginzburg E.G., Golovanov N.F., Firun N.B., Khalebskii N.T Zubchatye peredachi: Spravochnik [Gears: A Guide]. Leningrad, Mashinostroenie publ., 1980. 416 p.
11. Timofeev G.A., Paniukhin V.V. Analiz kriteriev samotormozheniia [Analysis of the criteria of self-braking]. Vestnik mashinostroeniia. 2002, no. 9, pp. 3—8.
12. Timofeev G.A., Paniukhin V.V. Metod opredeleniia oblastei samotormozheniia mekhanizmov [Method of determining the areas of self-braking mechanism]. Vestnik MGTUim. N.E. Baumana. Seriia mashinostroenie. 2001, no. 1, pp. 93—105.
Статья поступила в редакцию 08.02.2013
Информация об авторах
ТИМОФЕЕВ Геннадий Алексеевич (Москва) — доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой «Теория механизмов и машин». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: timga@bmstu.ru).
САЩЕНКО Денис Владимирович (Москва) — старший преподаватель кафедры «Теория механизмов и машин». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).
САМОЙЛОВА Марина Валерьевна (Москва) — кандидат технических наук, доцент кафедры «Теория механизмов и машин». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).
Information about the authors
TIMOFEYEV Gennady Alekseevich (Moscow) — Dr. Sc. (Eng.), Professor, Head of «Theory of Mechanisms and Machines» Department. MSTU named after N.E. Bauman (105005, BMSTU, building 1, 2-nd Baumanskaya 5, Moscow, Russian Federation, e-mail: timga@bmstu.ru).
SASHCHENKO Denis Vladimirovich (Moscow) — Senior Lecturer «Theory of Mechanisms and Machines» Department. MSTU named after N.E. Bauman (105005, BMSTU, building 1, 2-nd Baumanskaya 5, Moscow, Russian Federation).
SAMOILOVA Marina Valerievna (Moscow) — Cand. Sc. (Eng.), Associate Professor «Theory of Mechanisms and Machines» Department. MSTU named after N.E. Bauman (105005, BMSTU, building 1, 2-nd Baumanskaya 5, Moscow, Russian Federation).
