CC BY
43
Расчет и конструирование
машин
УДК 621.833.6
Особенности силового нагружения и самоторможения инверсных эвольвентных передач внешнего зацепления
Г.А. Тимофеев
Проанализировано силовое нагружение инверсных цилиндрических самотормозящихся передач (ЦСП) внешнего эвольвентного зацепления. Исследовано самоторможение инверсных ЦСП внешнего зацепления в тяговом режиме прямого хода и в режиме оттормаживания. Показано, что оттормаживание в инверсных передачах всегда осуществимо.
Ключевые слова: самоторможение, самотормозящиеся зубчатые передачи, инверсное зацепление, силы в зацеплении, тяговый режим, оттормаживание.
Peculiar features of power loading and self-retardation of inverse involute gearings with external engagement
G.A. Timofeev
The article analyzes the power loading of inverse cylindrical self-retarding gears (CSG) with external involute engagement. The self-retardation of inverse CSG with external engagement in a traction mode of a forward stroke and in an retardation mode has been investigated. It is shown that the retardation in inverse gears is always feasible.
Keywords: self-retardation, self-retarding gears, inverse engagement, engagement forces, traction mode, retardation.
ТИМОФЕЕВ Геннадий Алексеевич
доктор технических наук
профессор (МГТУ им. Н.Э. Баумана)
TIMOFEEV Gennady Alekseevich
Dr. Sc. Techn., Professor (MSTU named after N.E. Bauman)
/^лово «торможение» происходит от греческого tormos, означающего буквально отверстие для вставки гвоздя, задерживающего вращение колеса. В настоящее время тормозом называют устройство для уменьшения скорости или полной остановки машины [1]. Тормоза блокируют механизм в одном из заданных режимов, например, не допускают движения грузоподъемного механизма под действием груза.
Блокировка в заданном режиме может быть обеспечена и без специального устройства за счет создания в одной из кинематических пар механизма настолько большого сопротивления, что движение становится невозможным. Такое явление получило название самоторможения, оно известно очень давно и получило широкое распространение в червячных и винтовых передачах. В технической литературе встречаются и разные определения самоторможения и различные критерии, описывающие это явление [2—6].
Цилиндрическая косозубая эвольвентная зубчатая передача состоит из шестерни, которую будем считать входным звеном, и колеса, которое будем считать выходным звеном (рисунок). К передаче приложены активные силы: движущий момент М1 и момент нагрузки М2. Считаем заданными коэффициент трения скольжения f12 в зацеплении звеньев. Суммарное воздействие отдельных видов сопротивления движению звеньев: трения качения в зацеплении, трения в опорах, сопротивления среды и прочих — обозначим моментами сопротивления L1 и L 2.
В качестве обобщенной координаты данного одноподвижного механизма выберем угол поворота входного звена ф1. К варьируемым параметрам отнесем угол профиля зуба а и угол наклона линии зуба р. При этих исходных данных требуется определить зоны самоторможения во всех состояниях передачи.
Цилиндрические зубчатые передачи относят к числу плоских механизмов, поскольку траектории всех их точек лежат в плоскостях, параллельных одной торцовой плоскости. Следовательно, для исследования этих передач достаточно рассмотреть только их торцовые сечения.
Рисунок. Составляющие нормальной реакции в инверсном зацеплении: а — прямой ход; б — обратный ход
На шестерню при любом состоянии передачи действует реакция со стороны колеса — F12, проекция которой F, 12 на торцовую плоскость разложена на нормальную составляющую N ш и силу трения скольжения T12. На колесо 2 действует ответная реакция со стороны первого звена F21 , проекция которой Ft 21 разложена на нормальную составляющую N t 21 и силу трения скольжения T21 .
Проекция нормальной составляющей реакции на торцовую плоскость [7]
N = N cos в„. (1)
По третьему закону Ньютона Nt 12 = Nt 21 = Nt; T12 = T21 = T. Проекции нормальных составляющих реакций направлены вдоль линии зацепления, касательной к основным окружностям радиусов rb1 и rb2, силы трения скольжения пер-
пендикулярны этой линии. Направления сил трения определяются из схемы возможных перемещений точек контакта звеньев противоположно их относительному перемещению, т. е. сила T12 направлена противоположно относительному перемещению 8r12, а сила T21 — противоположно 8r12. В свою очередь, сами векторы возможных перемещений перпендикулярны соответствующим радиус-векторам точки контакта, проведенным из точек пересечения осей вращения с торцовой плоскостью O1 и 02. Величина силы трения ограничена неравенством T < max T = fN.
Вариации радиус-векторов точки контакта по величине:
5r1 = ry 18Ф1; Sr2 = ry 2892. (2)
Выразим через обобщенную координату угол поворота выходного звена:
5ф2 = 5ф:-.
(3)
' Ь 2
Затем выразим радиус-векторы точки контакта через радиусы основных окружностей (см. рисунок):
Гу 1 = Гь1^а у 1; г у 2 = гъ 2tga у 2. (4)
С учетом (2) и (3) зависимости (4) примут следующий вид:
8/1 = гъ1^ау 18Ф1; 8^2 = Гъ^а у28Ф1. (5)
Обобщенная движущая сила, равна в данном случае вращающему моменту:
ЪАМ = М15ф1.
(6)
Обобщенная нагрузка представляет собой приведенный момент нагрузки:
8А^ = М28Ф1.
(7)
Ь2
Элементарную работу реакций внутренних неидеальных связей представим в следующем виде:
8^ = 8Л(Ц2) + 8Л^21) + ) + 2). (8)
Сумма работ противоположно направленных нормальных составляющих реакций N t12 и Nt 21 равна нулю, поскольку проекции возможных перемещений точек их приложения на линию зацепления должны быть равны для обеспечения непрерывного контакта (см. рисунок):
8r1 cos a y 1 = 8r2cos a y 2, (9)
поэтому выражение (8) можно переписать:
8^T = 8^(T12) + 8j(T21)- Ь18ф1 - Ь28ф2. (10)
Найдем нормальную составляющую N12 = N2! = = N реакции F21. Для этого запишем уравнение равновесия колеса 2 в тяговом режиме прямого хода:
( Nt21 cos a y 2 T21 sin a y 2 )8ry 2 =
= (M2 + L2 )8ф2. (11)
С учетом T < max T = fN, (1) и (2) получаем формулу для нормальной составляющей реакции:
N =
М2 + Ь2
(cos в Ь - Zi2tga
(12)
Через величину нормальной составляющей можно выразить и величину полной реакции
Р12 = Р21 = Р:
f=щ (fi2) +1.
(13)
Из силовой схемы, представленной на рисунке, находим проекции A12 = A21 = A нормальных составляющих реакции на ось вращения:
A = N sinр4. (14)
Проекции Ft 12 = Ft 21 = Ft реакций F12 = F21 = F на торцовую плоскость имеют вид:
Ft = mJ(./12)2 + cos2 вь.
(15)
Окружные V у и радиальные Ry составляющие торцовых проекций:
V12 = n(-cos вь cos a y 1 + /12 sin a y 1); (16)
V2i = n(cos Pi cos a * i + /i0 sin a * 2); (17)
Ru = N(cos p i sin a * 1 + /10 cos a *i); (18)
R2i = n(cos P ь sin a * 2 - Al cos a * 2)- (19)
Как следует из формул (16)—(19) значение окружных и радиальных составляющих зависят не только от торцового угла профиля колеса, но и от положения точки контакта на линии зацепления, определяющем направление силы трения.
Найдем нормальную составляющую N12 = N21 = = N реакции F21 в тяговом режиме обратного хода. Для этого запишем уравнение равновесия колеса 2 в этом состоянии:
(n 21 cos a * 2 + T21 sin a * 2 Vy 2 =
= (M2 - L2 >Ф2. (20)
С учетом T < maxT = /N, (1) и (2) получаем формулу для нормальной составляющей реакции:
N =
M2 - L 2
(cos Pi + fi0tga*2 )r
(21)
ь 2
Полная реакция и ее осевые и торцовые проекции (13)—(15) сохраняются, а окружные и радиальные составляющие изменяются:
^12 = Иа 'у 1 - см в ь см а у 1); (22) ^21 = Рь С°йау2 + /12 ау2 ); (23)
Л2 = ^(с°8 Р ь а 1 + /12 ^ а 1); (24)
^21 = ^(с°8 Рь а (у 2 - /10 а (у 2)- (25)
Сопоставление формул (12) и (21) показывает, что при переходе к обратному ходу нормальная реакция, а значит, и полная вместе с осевой и торцовой проекциями, уменьшаются в к раз:
к =
M2 - L2 cos Р ь + /i2tga * 2 M2 + L2 cos p ь - /i2tga
* 2
(26)
Изменение нагрузки при смене состояния необходимо учитывать при расчете передачи на
прочность и рассчитывать ее для того состояния, в котором силы максимальны.
При исследовании самоторможения цилиндрической передачи внешнего инверсного зацепления в тяговом режиме прямого хода (см. рисунок, а) ведущим звеном является шестерня. Найдем параметр торможения ведомого колеса. Для этого сообщим ему возможное перемещение 5ф2 ^ 0, работу при этом совершают торцовая проекция нормальной реакции N (21, сила Т21 трения скольжения, моменты нагрузки М2 и сил Ь2 остальных потерь на трение. Определим знаки работ:
^(я5Л)[м02 ^, 21 )] = 1; sig(п8А)(М2) = -1; sig(п8А)(Ь2) = -1;
si
g^SA^M 02 ( T2i )] = -1.
Следовательно, сила N(21 является движущей силой, а силы Т21, М2 и Ь2 относятся к силам сопротивления.
В отличие от внешнего зацепления обычных эвольвентных передач сила Т21 трения во внешнем инверсном зацеплении во все время прямого хода совершает отрицательную работу независимо от положения точки контакта на линии зацепления. Следовательно, условие торможения покоя при удерживании передачи от прямого хода определяется формулой
М,=0
/i2tga
* 2 cos Рь
+
L
N2lrЬ2 cosРь
>1, (27)
где /10 — коэффициент трения покоя в зацепле-
нии.
Если принимать во внимание только трение скольжения в зацеплении, то условие самоторможения (27) принимает следующий вид:
a * 2 > arctg
cos Рь f0
J12
(28)
Таким образом, схема сил в инверсных передачах внешнего зацепления в тяговом режиме прямого хода совпадает со схемой сил при до-полюсном зацеплении обычных цилиндрических передач, поэтому параметр и условия са-
0
моторможения в этом режиме тоже совпадают. Однако на этом сходство обычного дополюс-ного и инверсного зацеплений заканчиваются.
Рассмотрим режим оттормаживания, при котором двигатель совместно с нагрузкой преодолевают действие трения. В этом случае направление момента M2 нагрузки изменится на противоположное (см. рисунок, а штриховая линия), направления остальных сил сохранятся. Таким образом, в режиме оттормаживания оба звена являются ведущими при чередовании контактирующих профилей. Следовательно, шестерня тоже должна стать тормозным звеном. Найдем ее параметр торможения. Для этого сообщим ей возможное перемещение 8ф1 ^ 0, работу при этом совершают силы N( 12, , моменты двигателя М1 и сил Ь1 остальных потерь на трение. Определим знаки работ:
^(я8Л)[м01 ^, 12)] = 1; sig(n8A)(Ml) = 1; sig(n8A)(Ll) = -1; sig(n8A)[Mol (^ )] = 1.
Следовательно, момент М1, силы N(12 и являются движущими, и только момент Ь1 относится к силам сопротивления. Получаем условие самоторможения в режиме оттормажива-ния прямого хода [8]:
а
\М 1=0
(cos Ръ + /1°1«а у 1 )
^12/ъ1
>1 (29)
Это неравенство практически нельзя реализовать, поэтому оттормаживание прямого хода в инверсных передачах всегда возможно.
В таблице приведены варианты самоторможения инверсных цилиндрических передач. Условия варианта 011 самоторможения выражены с помощью вспомогательной функции
^1,2 [8]:
012 = аг^
cos Ръ
А,2
\
/0
12
/0 N г
Jl2ly12' ъ1,2 /
(30)
В тяговом режиме обратного хода (см. рисунок, б) ведущим звеном является колесо. После проведения исследования, аналогичного предыдущему, по-
Вариант само-торможения Тяговый режим Отторма-живание Условия существования
Прямой ход Обратный ход
001 Нет Нет Возможно а (у 1 >61; а (у 2 >6 2
011 Нет Возможен Возможно а (у 1 <01; а (у 2 >6 2
101 Возможен Нет Возможно а (у 1 >01; а(у2 <62
лучаем условие самоторможения в режиме от-тормаживания обратного хода:
и
М2 =0
N21/*ъ 2<
cos в
ъ + /1^а
(у 2,
>1. (31)
Как и неравенство (29), неравенство (31) тоже практически нереализуемое, поэтому от-тормаживание прямого хода в инверсных передачах всегда возможно. Условия варианта 101 оттормаживания приведены в таблице. Таким образом, в цилиндрических инверсных передачах внешнего зацепления возможны варианты самоторможения прямого 011 и обратного 101 ходов. Не рассмотренной осталась область, определяемая неравенствами: ау 1 > 61; ау2 > 62. Ни прямой, ни обратный ход в тяговом режиме в этой области невозможны. В то же время режим оттормаживания в инверсных передачах возможен всегда. Следовательно, эти условия определяют вариант 001 самоторможения [8].
Литература
1. Крайнев А.Ф. Словарь-справочник по механизмам. М.: Машиностроение, 1981. 438 с.
2. Левитский Н.И. Теория механизмов и машин. М.: Наука, 1979. 576 с.
3. Турпаев А.И. Самотормозящие механизмы. М.: Машиностроение, 1976. 208 с.
4. Панюхин В.И.Условия самоторможения в зацеплениях механических передач // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 1979. № 11. С. 34—37.
5. Тимофеев Г.А., Панюхин В.В. Анализ критериев самоторможения //Вестник машиностроения, 2002. № 9. С. 3—8.
6. Зак П.С. К вопросу надежности эффекта самоторможения механизмов // Вестник машиностроения. 1987. № 4. С. 39—42.
7. Дмитриев В.А. Детали машин. Л.: Судостроение, 1970. 792 с.
8. Тимофеев Г.А., Панюхин В.В. Модификации цилиндрических самотормозящихся передач и варианты самоторможения // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 1986. № 1. С. 51—54.
0
Т
2
0
Т
References
1. Krainev A.F. Slovar'-spravochnik po mekhanizmam [Glossary of the mechanisms]. Moscow, Machine building publ., 1981. 438 p.
2. Levitskii N.I. Teoriia mekhanizmov i mashin [Theory of mechanisms and machines]. Moscow, Science Publ., 1979. 576 p.
3. TurpaevA.I. Samotormoziashchie mekhanizmy [Self-locking mechanism]. Moscow, Machine building Publ., 1976. 208 p.
4. PaniukhinV.I. Usloviia samotormozheniia v zatsepleniiakh mekhanicheskikh peredach [Conditions of self-locking mechanical gears in mesh]. Izyestiia vysshikh uchebnykh zavedenii. Mashinostroenie. 1979, no. 11, pp. 34—37.
5. Timofeev G.A., Paniukhin V.V. Analiz kriteriev samotormozheniia [Analysis of the criteria of self-braking]. Vestn-ik mashinostroeniia, 2002, no. 9, pp. 3—8.
6. Zak P.S. K voprosu nadezhnosti effekta samotormozheniia mekhanizmov [On the question of the reliability of the effect of self-locking mechanism]. Vestnik mashinostroeniia, 1987, no. 4, pp. 39—42.
7. Dmitriev V.A. Detali mashin [Detail of machines]. Leningrad, Shipbuilding publ., 1970. 792 p.
8. Timofeev G.A., Paniukhin V.V. Modifikatsii tsilindricheskikh samotormoziashchikhsia peredach i varianty samotormozheniia [Modification of cylindrical gear and a self-locking self-locking options]. Izyestiia vysshikh uchebnykh zavedenii. Mashinostroenie, 1986, no. 1, pp. 51—54.
Статья поступила в редакцию 23.09.2012
Информация об авторе
ТИМОФЕЕВ Геннадий Алексеевич (Москва) — доктор технических наук, профессор кафедры «Теория механизмов и машин». МГТУ им. Н.Э. Баумана (Россия, 105005, г. Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: timga@bmstu.ru).
Information about the author
TIMOFEEV Gennady Alekseevich (Moscow) — Dr. Sc. Techn., Professor «Theory of Mechanisms and Machines» Department. MSTU named after N.E. Bauman. (BMSTU, building 1, 2-nd Baumanskaya, 5, 105005, Moscow Russia, e-mail: timga@bmstu.ru).
