Редукция модели при частотном анализе схем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.372.00

РЕДУКЦИЯ МОДЕЛИ ПРИ ЧАСТОТНОМ АНАЛИЗЕ СХЕМ

ПРАСОЛ И.В., СЕМЕНЕЦ В.В.

Предложен алгоритм получения упрощенной модели линейной электронной схемы для задачи анализа и оптимизации в частотной области. В качестве исходной использована модель в базисе узловых потенциалов. Алгоритм основан на выделении существенных и несущественных реактивных емкостных элементов в заданном диапазоне частот. Введены критерии разбиения и аппроксимация обратной матрицы.

Частотный анализ линейных аналоговых электронных схем с помощью ЭВМ осуществляют дискретно-частотным методом. Для каждого значения частоты входных сигналов решается система линейных сравнений с комплексными коэффициентами

H • X = J,

(1)

где H — некоторая матрица схемы; X — вектор неизвестных; J — задающий вектор.

С целью снижения вычислительных затрат в качестве уравнений (1) часто используют упрощенные уравнения, которые могут быть получены эвристически или формальными методами. Среди последних заслуживают внимания методы автоматизированной редукции по полной математической модели схемы.

Известны алгоритмы, основанные на исключении внутренних переменных исходной модели, построенной в однородном координатном базисе узловых потенциалов. Он имеет следующие недостатки: формируемая модель адекватна в ограниченном диапазоне частот: возможна потеря адекватности при наличии в схеме внутренних доминирующих реактивностей. Для их устранения целесообразно увеличивать размер модели путем учета части внутренних узлов в качестве формальных полюсных. Однако более эффективно вводить внутренние переменные в модель схемы, представленную в виде уравнений

Hcc Hci Фс ' "Jc '

Hic Hii Vi _ - Ii _

(2)

где H cc, H ci, H ic ,H ii - субматрицы матрицы модели

размерностей c х c,c х i,i х c,i х i соответственно; Фс — вектор потенциалов полюсов схемы размерности с; Vi ,I i — соответственно векторы напряжений и токов емкостей схемы размерности i; Jc — вектор полюсных токов размерности c; c, i — число полюсов и емкостей схемы соответственно.

Уравнения (2), непрерывные к вариациям параметров элементов схемы, могут быть получены всегда, если емкостные элементы не образуют контуры между собой или через полюса [1,2].

Рассмотрим алгоритм формирования уравнений по модели (2), который сохраняет для заданного частотного диапазона минимальное количество внутренних переменных модели (2).

Если схема содержит только емкостные реактивные элементы, то множество всех емкостей схемы C представляется в виде объединения:

C = Cs U Cm, (3)

где C s ,C m — множества существенных и несущественных реактивностей соответственно, а s, m —их мощности. Критерий такого разбиения будет определен ниже. Второе блочное уравнение системы (2) имеет следующий вид:

His • Фс + Hii • Vi =-Ii, (4)

где Фс,^, I; — изображения соответствующих

векторов по Лапласу. При условии, что матрица Hii — неособенная, а также учитывая соотношение Ii = p • Cii • Vi, получаем

H-1 • Hic • Фс + Vi =-p • H-1 • Cii • Vi, (5)

где Cii — диагональная матрица параметров емкостных элементов; p = j-ю — комплексная переменная.

Предположим, что матрица A = p • H-1 • Cii простой структуры для всех значений модуля р в интервале [0, ®max ], где comax — верхняя граница частотного диапазона.

Обозначив A1 = ®max • A', где A' = H-1 • C„, считаем известным инвариантное правое подпространство матрицы А1 размерности s. Базис этого подпространства, соответствующий таким собственным значениям lj матрицы А1, что|zj| > 1 (j = 1,s), обозначим

Xi, . . . , Xs. Составим матрицу Т = [ X1, . . . , Xs] размерностью i х s. Так как векторы Xi линейно независимы, то существует минор матрицы Т размером S х s , отличный от нуля. Предположим, что он располагается в первых s строках матрицы Т. Если это не выполняется, то минор всегда может быть получен путем перестановок соответственно строк и столбцов матрицы так, чтобы ее спектр не менялся. Разобьем матрицы Т и А на блоки следующим образом:

T =

Ess

Kms

; a =

A ss A sm A ms A mm

= P •

A' A'

ss sm

A' A'

ms mm

(6)

где Ess — единичная матрица порядка s. Построим матрицы порядка s:

S =

E ss K ms

0

E mm

, S-1 =

Ess - K ms

0

E mm

(7)

Умножим уравнение (5) слева на s-1 и осуществим переход к новым переменным Zi в соответствии с преобразованием:

Vi = S • Zi, (8)

а тогда уравнение (5) перепишется в виде:

G ic • Фc + Z i =- G ii • Zi, (9)

где Gic = S-1 • H];1 • Hic; G ii = S-1 • A • S. В [3] доказано, что

S-1 • A1 • S

L A sm1

0 A mm1 -K ms A sm1

(10)

РИ, 1997, № 1

95

где L = diag{Ab...,A) (Aj > 1, j = 1,s), а индекс «1» относится к субматрицам матрицы A1, представленной в блочном виде аналогично (6). При этом

Sr (Ai) = Sr (L)USr (Ammi-Kms • Asmi), где Sr (') об^

значает спектр матрицы (•). Так как диагональные элементы матрицы L по модулю больше единицы, то

P(A mm1 - K ms ' A smi) < 1, (11)

где p(') обозначает спектральный радиус матрицы (•). Это неравенство и является критерием разбиения (3).

Поскольку спектральный радиус матрицы равен максимальному из модулей ее собственных чисел, а при умножении матрицы на скаляр все собственные числа умножаются на его величину, то (11) остается справедливым для всех w из интервала [0, wmax]. Представим уравнение (9) в соответствии с блочным разбиением (6):

Gsc • Фс + Zs = - p • L' Zs-p • ASm ' zm;

Gmc 'фс + Zm = - p'(Amm-Kms ' ASm) 'Zm,

где L' = diag{/li,...,AS}; Aj (j = 1,s) — собственные значения матрицы a ', соответствующие значениям

A (j=^^); g ic = [g Sc, g mc f.

Из второго блочного уравнения (12) найдем Zm:

Zm = - (Emm + p 'Gmm)i ' Gmc 'Ф^ (13)

где Gmm = Amm-Kms ' ASm.

Согласно лемме Неймана, матрица Emm + Р • G mm на основании неравенства (11) имеет обратную во всем диапазоне рассматриваемых частот. Поэтому можно получить низкочастотное приближение:

(Emm + p' Gmm ) i ~ Emm + p' Gr

(14)

При этом погрешность аппроксимации обратной матрицы оценивается величиной

Р

где

IPa(p2)|| = i .

i-|P| 'IlGmm||

обозначает матричную норму. Тогда

(15)

Zm

■ (Emm + p' Gmm) ' Gmc 'Фс-

(16)

2

Подставляя (16) в первые блочные уравнения (2) и (12) с учетом (8) и выделяя свободные члены и коэффициенты при первой степени р, получаем

H cc - Gcm 'Gmc + p' Gcm 'Gmm 'G mc Gcs _ G sc -p'A sm 'G mc E ss + p' L_

^c" "Jc'

X Zs _ = 0

(17)

где Gcs, G cm обозначают первые s и последующие m

столбцов матрицы Gci = Hci • S.

Учитывая погрешность выражения (16), обусловленную аппроксимацией (15), оценим динамическую погрешность ММ (17) как

Ом (Р2)|

G mc

I Р' Asm

0а(p2^ 'I|Gmc

(18)

Представим уравнение (4) и первое блочное системы (2) в соответствие с (6):

Hcc ' Фс + Hcs 'Vs + Hcm 'Vm = Jc;

Gsc ' Фс + Vs = -Р ' A's 'Vs - P ' A'm 'Vm (19)

Gmc ' Фс + Vm = - P' A'ms-Vs - P ' A'mm 'Vm •

Заметим, что матрицы G(.)(.) и A(,)(,) системы

(19) в общем случае не совпадают с одноименными матрицами, рассмотренными выше.

Используя лемму Неймана, из третьего блочного уравнения (19) находим низкочастотное приближение

V *-( E - р' A' )' G ' Ф - р' A' 'V (20)

m у mm г ^mm/ mc с г XJ~ms s v 7

Подставляя (20) в остальные уравнения (19) и пренебрегая членами, содержащими p во второй степени и выше, получаем уравнения редуцированной модели

(Hcc Hcm ' Gmc + р ' Hcm ' Amm ' Gmc ) ' Фс +

+ (Hcs - p' Hcm ■ t'JV = Jc (21)

(psc - P' ASm ' Gmc)' ф + (Ess + P ' ASs )'Vs = 0

Рассмотренный алгоритм редукции обладает свойством адаптации к условиям его применения, так как модель формируется для заданного априори частотного диапазона, а при фиксированных границах диапазона возможно динамически настраивать модель по точности путём варьирования состава множества Cs. Это позволяет включать в состав маршрута схемотехнических расчётов этап редукции модели с последующим использованием их в процедурах анализа и параметрической оптимизации.

Литература: 1. Прасол И.В. Алгоритм построения моделей аналоговых схем в пространстве напряжений сторон многополюсника.— К.— 1985. Рукопись деп. УКР-НИИНТИ.— №1505.— 14 с.. 2. Валеев К.Г. Расщепление спектра матриц.— К.:Наука.— 1986.— 86 с. 3. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления.— М.:Наука.-1984.- 176 с.

Прасол Игорь Викторович, канд. техн. наук, доцент кафедры биомедицинских электронных устройств и систем ХТУРЭ. Научные интересы: компьютерное моделирование и оптимизация сложных аналоговых схем, синтез цифровых схем, проектирование портативных диагностических устройств. Увлечения и хобби: нетрадиционные методы лечения, психология, автотуризм. Адрес: 310723, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 4093-64.

Семенец Валерий Васильевич, д-р техн. наук, профессор, проректор по учебно-методической работе ХТУРЭ. Научные интересы: конструкторское проектирование БИС, логический синтез. Увлечения: футбол. Адрес: 310723, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 3027-05.

96

РИ, 1997, № 1