CC BY
43
МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
УДК 51 Ю.Г. Абакумов
Yu. Abakumov
РЕАЛЬНОСТЬ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
REALITY OF VERY LARGE NUMBERS
Рассматривается пример математического исследования нереально большого числа. Предлагается двухуровневая модель множества действительных чисел. Ставятся некоторые задачи
Ключевые слова: реальность больших чисел
The article considers an example of mathematical research of unrealistic large number. Two-level pattern of set of real numbers is proposed. The article sets some problems
Key words: reality of large numbers
Один пример. Раздел математики «Теория чисел» изучает свойства целых чисел. Один из наиболее интересных объектов - простые числа. Это такие целые числа, которые не имеют делителей (обычно приводится более строгое определение: такие целые числа, которые делятся только на единицу и на себя).
Доказано, что количество простых чисел неограниченно.
Нет ни одной алгебраической формулы, которая выдавала бы (при целых значениях аргумента) только простые значения.
Знаменитый математик Пьер Ферма (1601-1665) утверждал (как выяснилось, ошибочно), что такой формулой является
Р„ = 22' +1. Определенные основания у него
для этого были: числа = 3, ^ = 5,
= 17, ^3 = 257, = 65537 - простые.
Однако не менее знаменитый математик Леонард Эйлер (1707-1783) обнаружил, что ^5 = 641 • 6700417, т.е. оно составное.
С тех пор выяснение вопроса: есть ли простые числа ¥п, кроме тех, которые знал П.
Ферма, превратилось в своего рода соревнование, которое продолжается до сих пор.
Пока ни одного простого ¥п при п > 4
не обнаружено.
Насколько известно, рекордом на сегодняшний день является следующий результат: число ^23471 является составным и делится
на 5 • 223473 +1.
Разумеется, о прямой проверке этого результата (даже с помощью современных ЭВМ) речи быть не может. Десятичная запись числа ^23471 заняла бы » 107065 цифр.
Понятно, что такое число не может возникнуть в какой-либо задаче физического содержания.
Если это число записать чернилами по 100 молекул на знак, считая, что чернила состоят почти исключительно из воды (слегка подкрашенной), то радиус этой «капли» чернил
оказался бы в » 102324 раз больше радиуса галактики (желающие могут проверить расчеты).
Тем не менее, несмотря на физическую недоступность этого числа, о нем получена нетривиальная информация.
Получается эта информация следующим образом [1].
Мы проверяем предположение, что Fn
(при каком-то n) делится на m = к ■ 2п+2 +1. При этом m хотя и большое, но манипуляции с ним доступны для современных ЭВМ.
Образуем рекуррентную последовательность rj по правилу:
r1 = 22 , Tj+1 = Tj mod m.
Здесь х mod у означает остаток от деления нацело целого х на целое у.
Таким образом, мы всегда действуем с доступными числами.
Если окажется, что rn +1 делится на
m, то отсюда будет следовать, что Fn делится на m .
Однако возникает вопрос: как следует относиться к таким результатам?
Можно предложить следующий ответ: числа типа F23471 не реальны, а результаты
получаются путем экстраполяции на них вычислений с реальными числами.
Но не все так просто.
2. Актуально бесконечно малые и бесконечно большие и финитный подход. Актуально бесконечно малые вводятся в так называемом нестандартном анализе. Поскольку при построении этого раздела современной математики была цель сохранить свойства действительных чисел (за исключением аксиомы Архимеда), то появились и бесконечно большие. Действительно, если сохранить арифметические операции, то бесконечно малое a порождает бесконечно большое
A = 1
a
Финитный подход характеризуется тем, что признаются только конечные величины,
при этом очень большие числа условно называют бесконечно большими.
При полярности этих двух концепций, между ними наблюдается явная аналогия. В обоих случаях «не работает» аксиома Архимеда (аксиома Архимеда утверждает, что каковы бы ни были действительные числа а, Ь , при этом 0 < а < Ь, найдется п > 0, такое, что па > Ь). К сожалению, финитный подход отражен в литературе (по крайней мере, доступной автору) довольно бедно. Имеется трудночитаемая книга П. Вопенки [2]. Статья же [3], о которой в дальнейшем пойдет речь, написана довольно сжато, а получить материалы, на которые ссылаются авторы [3] С.В. Дронов и С.Д. Козлов, не представляется возможным.
При финитном подходе основанием для отрицания аксиомы Архимеда является следующее утверждение: а может быть настолько меньше Ь , что в реальное время процесс прибавления а + а +... не достигнет суммы, большей Ь.
В [3] приводится такой пример: невозможно собрать по одной песчинке кучу песка, как и разобрать по одной песчинке уже имеющуюся кучу.
Но при этом предполагается, что очень большие числа (или, условно говоря, бесконечно большие) - это обычные числа с теми же свойствами, что и «небольшие». Например, с ними можно производить арифметические операции. Так, в [3] фигурирует выражение
2X2 + X + 3, где х - бесконечно большое.
На наш взгляд, здесь имеет место определенная непоследовательность (хотя логической ошибки нет).
Вернемся к примеру с кучей песка. Хотя мы и не знаем количество песчинок в этой куче, но ее можно погрузить на машину, можно определить ее массу (в тоннах). Тонны можно складывать и узнать, например, сколько тонн песка доставлено на стройку. Формально мы можем это количество тонн возвести в квадрат, но смысла эти «квадратные тонны» иметь не будут.
В качестве некоторого наброска (не претендуя на окончательное решение вопроса) можно предложить двухуровневую модель.
Имеются обычные «небольшие» числа, с ними возможно производить все арифметические операции. Большие числа можно складывать и умножать их на обычные, но перемножать (в частности, возводить в квадрат) нельзя.
Понятно, что построение последовательной теории на этой основе натолкнется на трудности. К этим вопросам мы обратимся в последующих публикациях.
3. Заключение. Время от времени появляются довольно категоричные выпады против классической теории действительных чисел. Например, в [4] прямо утверждается, что доказательство Г. Кантора несчетности множества действительных чисел основано на логической ошибке. На самом деле «ошибка» Г. Кантора (с нашей точки зрения [4] А.А. Зенкина) заключается в том, что он использует абстракцию актуальной бесконечности. Между тем, абстракция актуальной бесконечности (вопрос принимать ее или нет) по отношению к логике совершенно нейтральна.
Классическое (канторовское) направление в математике, как представляется, своими достижениями доказало свою состоятельность и разговоры об «ошибке» в самой основе не
Коротко об авторе_______________________________
Абакумов Юрий Георгиевич, к. физ-мат. н., профессор кафедры информатики, вычислительной техники и прикладной математики, Читинский государственный университет (ЧитГУ)
Научные интересы: функциональный анализ, теория приближений, философские вопросы математики
состоятельны.
Данную статью следует воспринимать как предварительное обозначение темы, к которой планируется вернуться. Очень большие числа - не единственный «странный» объект, возникающий в современной математике. Разобраться в том, какое место занимают эти объекты и как они возникают, является, на наш взгляд, задачей, достойной внимания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Серпинский В. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах / В. Серпинский. - М.: Наука, 1963. - 91 с.
2. Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств / П. Вопенка. - М.: Мир, 1983. -150 с.
3. Дронов С.В. Опыт нетрадиционного введения в анализ / С.В. Дронов, СД. Козлов. -Барнаул: Алтайский государственный университет. -1991. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 7.12.90. - № 72В-91.
4. Зенкин А.А. Принцип разделения времени и доказательство нефинитности некоторых правдоподобных рассуждений метаматематики / А.А. Зенкин //Шестая национальная конференция по искусственному интеллекту (КИИ”98). - М.: Российская ассоциация искусственного интеллекта, 1998. - С. 278-286.
____________________________Briefly about author
Abakumov Yuriy, Candidate of Physicomathematical Science, professor of Informatics, Computer Science and Applied Mathematics Department, Chita State University (ChSU)
Scientific interests: functional analysis, approximation theory, philosophical questions of mathematics
