CC BY
63
УДК [378.016+373.016]:514-044.4
Жовтан Людмила Васильевна
кандидат педагогических наук, доцент Луганский государственный университет им. Тараса Шевченко
РЕАЛИЗАЦИЯ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ ШКОЛЬНОГО И ВУЗОВСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Статья посвящена вопросам преподавания в вузе элементарной геометрии как раздела элементарной математики. Раскрыта его роль в профессиональном становлении будущего учителя математики. Учитывая, что данный курс должен, с одной стороны, развить основные содержательные линии школьного курса геометрии, а с другой -заложить основы методической подготовки будущего учителя математики, описана модель спиралевидного построения курса, основой для построения которого должна стать тесная связь между школьным курсом геометрии, высшей геометрией и методикой преподавания геометрии. Выделены четыре уровня (слоя фундирования) усвоения математических знаний в курсе элементарной геометрии, описаны связи между ними. Рассмотрена реализация данного подхода при обучении студентов основным методам и приемам решения геометрических задач.
Ключевые слова: элементарная геометрия, преемственность, спиралевидное построение, уровни усвоения математических знаний, слои фундирования, геометрическая задача.
На современном этапе развития системы высшего образования одной из важнейших задач в подготовке высококвалифицированных кадров остается формирование всесторонне развитой личности педагога, обладающего творческим мышлением, широким кругозором и высоким уровнем общей культуры. Особое место в этом процессе занимает методическая подготовка школьного учителя.
Вопросы совершенствования профессиональной подготовки будущих учителей математики постоянно находятся в центре внимания ученых-математиков и методистов. При этом исследования касаются различных аспектов методической подготовки студентов:
- совершенствование методической системы обучения математике за счет гуманитаризации общего математического образования;
- усиление профессиональной направленности через содержательный компонент;
- проектирование методической системы обучения математике на основе деятельностного подхода;
- формирование методической культуры при системе непрерывной методической подготовки, творческой активности, готовности к профессионально-педагогической деятельности, к отбору содержания математического образования в условиях дифференциации школ;
- развитие исследовательской деятельности, когнитивной компетенции,
- подготовка к проектировочной деятельности, к использованию моделирования в обучении школьников;
- применение генетического подхода при обучении;
- обучение конструированию систем задач, поиску решения задач, обобщению и систематизации математических знаний школьников и др.
Особую роль в решении данной проблемы играет элементарная математика, учитывая большие образовательные возможности данной дис-
циплины. Ведь от уровня подготовки в ее области выпускников вузов педагогического направления во многом зависит успешность их дальнейшей работы в качестве учителей математики.
Сформированная в педагогических вузах еще в середине прошлого века система подготовки учителей математики основывалась на хорошем фундаментальном математическом образовании студентов. Но, разумеется, даже отличная математическая подготовка является необходимым, но не достаточным условием того, чтобы будущий студент стал хорошим учителем математики, необходимо безукоризненное знание школьного курса математики и серьезная методическая подготовка. Для реализации данной цели в учебные планы подготовки будущих учителей математики был введен курс элементарной математики и методики преподавания математики.
Данная учебная дисциплина обладает колоссальным научным потенциалом и рядом особенностей, отличающих ее от других математических и методических дисциплин, что позволяет в процессе ее преподавания формировать приемы и математической, и методической деятельности будущих учителей математики. Но, несмотря на полувековую историю преподавания данной дисциплины, и поныне остается дискуссионным вопрос о ее содержании и организации.
Последние десятилетия характеризуются активной модернизацией школьного математического образования, основанного на индивидуализации и дифференциации обучения, ориентированного на личность обучаемого. Востребованным становится согласование фундаментальной математической подготовки будущего учителя с нуждами приобретаемой профессии для обеспечения его действенными математическими знаниями в пределах, значительно выходящих за рамки школьного курса математики, а также универсальность в овладении им различными математическими учебными предметами в школе [11]. Именно поэтому, сегодня
© Жовтан Л.В., 2016
Педагогика. Психология. Социокинетика ^ №4
227
возрастает роль элементарной математики, являющейся как основой для изучения высшей математики, так и связующим звеном между школьным математическим образованием и современными разделами высшей математики.
Определенное (и довольно существенное) место в общем курсе элементарной математики занимает элементарная геометрия. Несмотря на то, что целым рядом методистов, разработаны курсы элементарной геометрии для студентов педагогических специальностей, рассмотрены вопросы методики изучения данной дисциплины в вузе, надо признать, что на сегодняшний день существует ряд проблем в ее преподавании. В частности, и поныне актуальным является вопрос взаимосвязи данного курса со школьным курсом геометрии и с математической и методической подготовкой будущего учителя.
В данной статье попытаемся определить место элементарной геометрии в общей системе подготовки будущего учителя математики и выделить пути решения описанной выше проблемы.
Современная акмеология выделяет в профессионализме учителя математики три аспекта: содержательный, технологический и личностный. Именно содержательный аспект выдвигает на первый план идею связи конкретного вузовского математического курса и соответствующего школьного предмета. В соответствии с концепцией фундирования [4], содержание обучения разворачивается по ряду базовых учебных предметов. Одной из таких дисциплин является элементарная математика. Она, как и другие дисциплины данного ряда, нося сквозной характер, продолжает и углубляет содержательные линии школьной математики. Не является исключением и элементарная геометрия.
В работе [1] нами были проанализированы основные факторы, влияющие на процесс изучения данной учебной дисциплины в вузе, и выявлено, что они корнями в значительной мере уходят в школьное образование. Бесспорно, будущий учитель математики должен ясно представлять научное развитие основных понятий школьного курса геометрии. Поэтому, по нашему мнению, при построении элементарной геометрии за основу нужно взять преемственность школьного и вузовского математического образования. На такую же преемственность за счет включения в курсы высшей математики вопросов из элементарной математики указывает в своих работах М. Потоцкий [3].
Последние годы характеризуются значительным изменением социально-педагогических условий работы современного учителя, в частности, многообразием взглядов на построение школьных курсов, что требует коренного изменения подходов к организации методической подготовки будущего учителя. Традиционно она ограничивается рамками курса методики преподавания математики и в основном опирается на учебно-методический комплекс, не
ориентированный на подготовку учителя к работе в изменившихся условиях. В то же время будущий учитель математики должен знать различные точки зрения по вопросам методики изложения разделов школьного курса геометрии. По мнению А. Мордко-вича [2], основу построения математической дисциплины в педвузе составляет объединение общенаучной и методической линий. Таким образом, налицо противоречие между сложившейся системой методической подготовки учителя (в нашем случае, к преподаванию школьного курса геометрии) и насущными потребностями общества.
Учитывая сказанное и специфику элементарной геометрии (ее ориентацию на школу), данный курс, по нашему мнению, необходимо связать с методикой преподавания геометрии в школе. В этом мы солидарны с целым рядом методистов. Так, М. Шабанова [12] является сторонником пропедевтики общей методики преподавания математики в курсе элементарной математики. Подход к изучению курса элементарной математики, предложенный Д. Шукуровым [13], предполагает тесную связь данной дисциплины с методической подготовкой будущих учителей математики и со школьным курсом математики, а диссертационное исследование данного автора посвящено методике изучения элементарной геометрии во взаимосвязи с методической подготовкой будущего учителя математики. О. Плакатиной [5] предложен единый курс, объединяющий методику, элементарную математику и практикум по решению математических задач, что, по мнению автора, позволит обеспечить подготовку студентов к дальнейшей профессиональной деятельности.
Наиболее близок нам подход к решению данной проблемы, предложенный Е.В. Силаевым [6], согласно которому методическую подготовку студентов к преподаванию школьного курса геометрии необходимо рассматривать как синтез подготовок по курсам геометрии, методики преподавания математики и элементарной математики.
Резюмируя сказанное, только тесная связь между школьным курсом геометрии, высшей геометрией и методикой преподавания геометрии должна стать основой для построения курса элементарной геометрии, обеспечивающего математическую и методическую подготовку студентов. Цель данного дисциплины, с одной стороны, - развитие основных содержательных линий школьного курса геометрии, а с другой - заложение основ методической подготовки будущего учителя математики. Кроме того, только спиралевидное построение курса позволит естественным образом обеспечить непрерывное развитие представлений студентов о математических структурах, установить новые связи между старыми знаниями.
Рассматривая курс элементарной геометрии, можно выделить несколько уровней усвоения
228
Вестник КГУ ^ 2016
математических знаний (слоев фундирования). В ходе проведенного нами анализа методической литературы были выявлены их различные классификации. В основном, речь идет о четырех или трех уровнях. Нами за основу была взята 4-уровне-вая классификация (пропедевтический, фундаментальный, профессиональный, технологический), но, в отличие от всех этих классификаций, где данные уровни разведены во времени, мы предлагаем начинать реализацию первых трех уровней уже с 1-го семестра [1]:
1) пропедевтический: повторение известных из школы теорем, примеров, сформированных в курсе геометрии математических понятий;
2) фундаментальный: математические факты с позиции фундаментальной математики;
3) профессиональный: взгляд на математические понятия с позиции учащихся школ, акцентируя внимание на проблемы, возникающие у них в процессе усвоения данного понятия.
При реализации всех этих уровней следует с точки зрения вводимых понятий рассматривать содержание отдельных тем школьного курса геометрии. Это позволит перевести студентов уже с 1-го курса с позиции школьника на позицию учителя, что придаст технологическому аспекту математический подготовки ярко выраженный творческий характер [7].
Четвертый уровень (технологический), по нашему мнению, должен применяться уже с 5-го семестра, при изучении частной методики преподавания математики, в процессе освоения технологических приемов профессиональной деятельности. Именно тогда рассматриваются и методически обосновываются основные этапы формирования у школьников базовых математических (в т. ч., геометрических) понятий, исходя из концепции образования, специфики учебной программы, используемого учебника и т. п.
Именно на этом уровне, по нашему мнению, может быть реализован предложенный В. Тестовым [7] принцип ведущей идеи, когда со студентами рассматриваются вопросы связи вузовского курса со школьным курсом математики, они учатся сопоставлять школьный и вузовский варианты изложения того или иного раздела, введения того или иного понятия.
Связь между всеми четырьмя уровнями можно изобразить в виде следующей схемы (рис. 1).
В результате изучения элементарной геометрии по описанной методике происходит повторение и обогащение приобретенных в школе знаний и умений, и, главное, формирование у студентов новых взглядов на вопросы школьной математики и методики ее преподавания.
Данный подход применим и актуален и при обучении основным методам и приемам решения геометрических задач, ведь, с учетом специфики геометрии как науки, именно в процессе решения геометрических задач происходит целенаправленное развитие мыслительной деятельности, обучение приемам рационального выполнения учебной деятельности будущих учителей математики.
Рассмотрим реализацию данного подхода при решении следующей геометрической задачи:
Задача. Найти диагональ и боковую сторону равнобокой трапеции с основаниями 20 см и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции.
Пропедевтический уровень
Полученный учащимися в свое время в школе багаж знаний по геометрии, а также сформированные навыки решения геометрических задач позволяют преподавателю быстро вспомнить и повторить со студентами основные этапы решения задачи, больше внимания уделяя их обоснованию. Это, в частности, можно осуществить при помощи следующей системы вопросов:
Вопрос 1: Где находится точка О - центр описанной окружности?
ОА и OD - радиусы описанной окружности. Следовательно, точка О - середина основания AD, т.е. трапеция вписана в полуокружность.
Вопрос 2: Как найти радиус окружности?
AD - диаметр окружности, поэтому радиус окружности:
ОА = ОВ = ОС = OD = ^ AD = 10 (см).
Вопрос 3: Что можно сказать о треугольнике АСБ?
Вписанный угол ACD опирается на диаметр, следовательно, треугольник ACD - прямоугольный.
Вопрос 4: Какие соотношения имеют место в прямоугольном треугольнике? Какие из них позволят вычислить АС или CD?
ас = 4ар^аб .
Вопрос 5: Как найти АР?
Т.к. трапеция - равнобокая, то
„„ аб - вс л ам = рб =-= 4 см.
2
Тогда ас = 8л/5 см.
Вопрос 6: Как найти СБ?
Из теоремы Пифагора
сб = >/аб2 - ас2 = 4л/5 см.
Ответ: ас = 8^5 см; сб = см.
Фундаментальный уровень
Данный уровень позволяет взглянуть на решенную задачу, используя не только материал, изученный в свое время в школе, но и сведения, полученные на лекциях по элементарной математике.
1) Так как трапеция описана окружностью, то, по теореме Птолемея,
ас ■ вб = ав ■ сб + вс ■ аб, или, в нашем случае,
| ас2 - сб2 = 240, I АС2 + сб2 = 400
ас2 = сб2 + 240,
откуда
ас2 - сб2 = 240
2 ас 2
= 640,
(1)
2) Вписанный угол АСБ опирается на диаметр, следовательно, треугольник АСБ - прямоугольный. Тогда, по теореме Пифагора,
ас2 + сб2=аб2,
то есть
ас2 + сб2 = 400 (2)
3) Из уравнений (1) и (2) составим систему уравнений:
откуда ас2 = 320, ас = 8уц см.
Из уравнения (1)
сб2 = ас2 - 240 = 80, сб = 4л/5см.
Ответ: ас = 8л/5 см; сб = 4л/5 см.
Имеет смысл со студентами сравнить два решения одной задачи и прийти к выводу, что знания по высшей геометрии позволяют взглянуть на одну и ту же задачу с разных сторон, еще раз демонстрируя многообразие подходов к решению геометрических задач.
Профессиональный уровень
Пытаемся со студентами смоделировать педагогическую ситуацию, при которой данная задача разбирается всем классом. Предметом обсуждения при этом являются следующие вопросы:
1. Какой должна быть система вопросов к учащимся для анализа условия задачи, разложения его на отдельные элементы?
2. Как выполняется эскиз рисунка, соответствующий условию задачи?
3. Как осуществить поиск необходимой информации в системе памяти, соотнести условие и заключение задачи с имеющимися знаниями и опытом учащихся?
4. Какие положения задачи обосновываются (с указанием соответствующих определений и базисных теорем), а какие констатируются (со ссылкой на опорные задачи, правила-ориентиры)?
5. Как данная задача «раскладывается» на более простые составляющие задачи?
6. Как составляется план решения задачи?
7. Как оформляется решение задачи?
8. Основные ошибки, допускаемые учащимися при решении данной задачи, и пути их предотвращения.
Установление в процессе решения задач тесных связей между элементарной геометрией, высшей геометрией и методикой преподавания геометрии не только позволит, дополняя и обогащая друг друга, устранить противоречия в школьном и вузовском подходах к обучению элементарной геометрии, но и будет способствовать повышению эффективности обучения, внося свой вклад в подготовку будущего учителя математики.
Последующие разведки в данном направлении мы видим в разработке интегрированного курса «Высшая и элементарная геометрия и методика преподавания данных дисциплин в школе и вузе» для студентов двух ОКУ - «бакалавр» и «магистр».
Библиографический список
1. Жовтан Л.В. Проблема спадкоемносп шкшьно! 1 вищо! освгги при вивченш елементарно!
Вестник КГУ А 2016
+
230
геометри // Актуальш питання природничо-математично! освiти. - 2015. - № 5-6. - С. 84-91.
2. Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте: дис. ... д-ра пед. наук. - М., 1986. - 355 с.
3. Потоцкий М.В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте. - М.: Просвещение, 1975. - 208 с.
4. Профессионализация предметной подготовки учителя математики в педагогическом вузе / В.В. Афанасьев, Ю.П. Поваренков, Е.И. Смирнов, В.Д. Шадриков. - Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2000. -389 с.
5. Сборник альтернативных учебных программ математических и методических курсов для педагогических институтов (специальность - учитель математики, I ступень обучения). Ч. 2. / Республиканский институт повышения квалификации работников образования МО РСФСР. - М., 1992. - 89 с.
6. Секованов В.С. Развитие гибкости мышления студентов при разработке алгоритмов построения дерева Фейгенбаума в различных средах // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. Серия: Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокине-тика. - 2016. - № 1. - С. 143-147.
7. Секованов В.С. О модифицированных преобразованиях Эно // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. -
2014. - № 4. - С. 12-19.
8. Секованов В.С. Концепция обучения фрактальной геометрии в КГУ им. Н.А. Некрасова // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2013. - № 5. - С. 153-154.
9. Секованов В.С. Изучение преобразования Пекаря как средство формирования креативности студентов и школьников с использованием дистанционного обучения // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. -2013. - № 1. - С. 190-195.
10. Силаев Е.В. Теоретические основы методической подготовки будущего учителя к преподаванию школьного курса геометрии: дис. ... д-ра пед. наук. - М., 1997 - 331 с.
11. Тестов В.А. Профессиональная подготовка учителя математики: стандарты, учебные планы и программы. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.ipages.ru. - Загл. с экрана.
12. Шабанова М.В. О возможности пропедевтики общей методики преподавания математики в курсе элементарной математики и ПРМЗ // Математическое образование в инновационных учебных заведениях: тез. докл. регион. науч.-практ. конф. (16-18 ноября 1999 г.) - Архангельск: Изд-во ПГУ, 1999. - 67 с.
13. Шукуров Д.А. Методическая подготовка будущих учителей математики в процессе преподавания курса элементарной математики: дис. . канд. пед. наук. - Курган-Тюбе, 2012. - 162 с.
