CC BY
2
Логинов Сергей Владимирович, старший научный сотрудник, [email protected], Россия, Балашиха, Всероссийский Ордена «Знак Почёта» научно-исследовательский институт противопожарной обороны МЧС России,
Гойкалов Геннадий Георгиевич, старший научный сотрудник, goikalov.g@yandex. ru, Россия, Балашиха, Всероссийский Ордена «Знак Почёта» научно-исследовательский институт противопожарной обороны МЧС России
APPLICATION OF AN AUXILIARY CONTROL PANEL FOR THE FIREFIGHTING PROCESS AT A HELICOPTERS RUN
AND LANDING SITE
A.M. Petrov, N.A. Kiseleva, A.V. Kuznetsov, E.G. Vorontsova, S.V. Loginov, G.G. Goikalov
For helipads, it is extremely important to ensure the fire extinguishing process is fast, efficient and reliable. In order to solve these problems, proposals have been developed for the use of an auxiliary push-button manual control panel.
Key words: helipad, firefighting, technical equipment, remote control.
Petrov Aleksandr Mikhaylovich, senior science researcher, onp2003@mail. ru, Russia, Balashikha, All-Russian Order «Badge of Honor» Research Institute of Fire Protection EMERCOM of Russia,
Kiseleva Natal ya Anatol 'yevna, senior science researcher, onp2003@mail. ru, Russia, Balashikha, All-Russian Order «Badge of Honor» Research Institute of Fire Protection EMERCOM of Russia,
Kuznetsov Andrey Vladimirovich, candidate of technical sciences, junior scientific researcher, [email protected], Russia, Balashikha, All-Russian Order «Badge of Honor» Research Institute of Fire Protection EMERCOM of Russia,
Vorontsova Elena Gennad'yevna, head of Sector, [email protected], Russia, Balashikha, All-Russian Order «Badge of Honor» Research Institute of Fire Protection EMERCOM of Russia
Loginov Sergey Vladimirovich, senior science researcher, [email protected], Russia, Balashikha, All-Russian Order «Badge of Honor» Research Institute of Fire Protection EMERCOM of Russia,
Goykalov Gennadiy Georgievich, senior science researcher, goikalov. g@yandex. ru, Russia, Balashikha, All-Russian Order «Badge of Honor» Research Institute of Fire Protection EMERCOM of Russia
УДК 519.642.4; 519.642.5
DOI: 10.24412/2071-6168-2024-3-208-209
РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СИСТЕМЕ WOLFRAM MATHEMATICA
М.В. Псарев, А.А. Жиленков
В статье рассматриваются основные методы нахождения аналитических решений линейных интегральных уравнений и реализация данных методов в виде функции «всё в одном» в Wolfram Mathematica. Реализованная функция позволяет пользователю находить аналитические решения линейных интегральных уравнений, не задумываясь о том, к какому типу они относятся, аналогично встроенным в Mathematica функциям для отыскания решений дифференциальных или алгебраических уравнений. Полученные результаты могут найти применение при решении обратных и краевых задач.
Ключевые слова: Wolfram Mathematica, аналитическое решение, интегральное уравнение Фредгольма симметричное ядро, разностное ядро.
Введение. Интегральные уравнения встречаются в задачах теоретической и математической физики (перенос излучения, вязкоупругость, гидродинамика), статистике и других.
Интегральным уравнением называется функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. В данной работе рассматриваются линейные интегральные уравнения, в которые неизвестная функция входит линейно, то есть
w(x)u(x) = Äf^K(x, t) u(t)dt + f(x), (1)
где w(x) — известная функция, определяющая род уравнения. Если w(x) = 0, то уравнение относится к первому роду, если w(x) Ф 0 — ко второму; и(х) — искомая неизвестная функция; X — неизвестный параметр, имеющий тот же смысл, что и собственное значение в линейной алгебре и играющий важную роль при решении уравнений Фредгольма; К(х, t) — известная функция, называемая ядром интегрального уравнения. Если К(х, t) = К(х -t), то такое ядро называется разностным, если К(х, t) = K(t, х) — симметричным, если К(х, t) = Х(х) ■ T(t) — вырожденным; f(x) — известная функция, неоднородность. Если f(x) = 0, то уравнение однородное, если f(x) Ф 0 — неоднородное; а и b — пределы интегрирования. Если а = х или b = х, то уравнение является уравнением Вольтер-ры. Если a£R и b Е R, то уравнение является уравнением Фредгольма.
Для решения линейных интегральных уравнений была выбрана система компьютерной алгебры Wolfram Mathematica. Данная среда обладает преимуществом над другими подобными программами, такими как Maple, Mathcad, Python + SymPy. Mathematica обладает самой большой стандартной библиотекой функций среди перечисленных программ. Символьные вычисления в Mathematica происходят быстрее и эффективнее (чаще учитываются особые случаи). Класс интегралов, которые можно вычислить символьно в Mathematica также шире, что очень важно в данной работе [1-3].
Стоит заметить, что встроенные функции DSolve и DSolveValue способны решать некоторые интегральные уравнения, но их количество очень невелико, более того, часто из виду упускаются особенные решения. Поэтому, далее мы рассмотрим реализацию функции, способной определять тип интегрального уравнения и подходящий для него метод и выводить его решение.
Уравнение Вольтерры первого рода с разностным ядром выглядит следующим образом:
0 = f* к(х - t)u(t)dt + f(x). (2)
Решение которого, если а = 0:
и(х) = 1-1 (lim (Щ) - - lim (Щ) S(x), (3)
4 ' \x^O\K(X)J L(K(X))J x^0\K(X)J 4 " W
где L — прямое преобразование Лапласа, L-1 — обратное преобразование Лапласа, а S(x) — дельта-функция Дирака.
Если а ф 0, то перед преобразованиями следует провести замену х = х — a, t = t — а, а после преобразований в полученной функции заменить переменные обратно.
В качестве ввода будем использовать следующий код (Рис. 1), который первой строкой будет выводить уравнение, решение которого мы ищем, второй — решение, полученное с использованием встроенной в Wolfram функцией DSolveValue, третьей — решение, полученное с использованием рассматриваемой функцией IESolveValue, а четвёртой и пятой — проверка правильности полученных решений.
eqn = 0 == 2 J Cos[t -х] u [t] dt + х - л
(dsol = DSolveValue [eqn, u[x], х]) 11 AbsoluteTiming (isol = IE&olveValue [eqn, u[x], x] ) // AbsoluteTimiing
If [ 1 (dsol 101 = = = DSolveValue) , FullSimplify[eqn /. u -» Function [x, dsol II Evaluate], x e Reals], False] Fullsimplify[eqn /. u-* Function [x, isol 11 Evaluate], xe Reals]
Рис. 1. Ввод
Далее в работе будет предоставлен только вывод, так как изменяться будет только вводимое уравнение. Результат вывода с рис. 1 представлен на рис. 2.
0 = -л + х+2 *Cos[t -х] u[t] dt ■ 11.5143, - 1 + X-Sin[t -x] u[t] dt)
1 ' J
■ 0.0473984, 1 i -2 - ( -7Г -t- x) 2 I J
xt Sin [x] == Я True
Рис. 2. Уравнение Волынерры перового рода с разностным ядром
Как видно на Рис. 2, встроенная функция не смогла найти верное решение по прошествии 11 секунд, в то время как IESolveValue сделала это за доли секунды.
Интегральные уравнения Вольтерры второго рода с разностным ядром записываются следующим
образом:
и(х) = £ К(х - t)u(t)dt + f(x), (4)
а их решение, если а — 0:
«W- (5)
Если а ф 0, то необходимо провести замены переменных, описанные раннее для уравнений первого рода. Результаты работы приведены на Рис. 3.
i
и [х] == Сое [х] + Д Sin; (t-x) A] u[t] dt
_Jjí
{е.41373Й, DSolveValue u[x] = Cos[x] + A ^in [ (t - x) Л] и [t ] dt, и [x] , x > ■ -
fe.611919, t-1**1)*"^--i-Ae-((-1+*)^IVX) ^
-1 - Д A + A1 2 v'A - A ■ - 1 - A A + A2 i
va-a Va cos;i; +fe2 --1-*- va - a vi cos;i; +sin;i; - ь2 (-1+x) ^ ^ sin[i])}
False True
Рис. 3. Уравнение Волынерры второго рода с разностным ядром
Интегральные уравнения Вольтерры второго рода с вырожденным ядром можно представить в следующем виде [3-6]:
и(х) = Х(х) ■ £ Т(t)u(t)dt + f(x). (6)
Если провести следующую замену
S(x) = J*T (t)u(t)dt, (7)
то умножая обе стороны (6) на Т(х) поэлементно получим систему дифференциальных уравнений:
S'(x) = Т(х) (Х(х) ■ S(x) + f(x)), (8)
с начальными условиями из (7):
S(a) = 0. ^ (9)
Решая систему (8) с учётом условий (9) относительно S(x) найдём решение интегрального уравнения (6), подставив в него S(x).
Результаты работы функции представлены на Рис. 4.
"i-t u [t] u [х] = x-t-2 " it
„■IX2
r*tu[t] J 0.85241, X + 2 — dt
л x2 {0.0450757, - 2 + 3 x}
-l + xJ-3x! "i"tU;t: dt i-З 1 + x2 i Integrate uy , {t,l. t}> Assumptions True
== 0
x
True
Рис. 4. Уравнение Волынерры второго рода с вырожденным ядром
Уравнения Вольтерры первого рода с вырожденным ядром выглядят следующим образом:
0 = Х(х) ■ £ т(t)u(t)dt + f(x). (10)
Дифференцируя (10), получим уравнение Вольтерры второго рода с вырожденным ядром при соблюдении следующих условий:
(X(i)(x) ■ Т(х) = 0,i =0,п- 2 Vn> 2;
{ X(п-1)(х) ■ Т(х) Ф 0. ( )
Если (11) соблюдены, то уравнение можно перезаписать следующим образом:
= - ■ faX f(t)u(t)dt - И^ЩТУ (12)
Проводя замены (13) и (14), получим уравнение Вольтерры второго рода (15), которое решается ранее описанным методом.
Xa(x)= - х(п-гЧх).т(х) ; (13)
?°(х) = (14)
и(х) = Хд(х) ■ J*T(t)u(t)dt + fd(х). (15)
Результаты работы представлены на Рис. 5.
. " Vi
0 == t - X2 + (lttx) u[t] dt
jx
■ 0.388076, DSolveValue 0 == E - x2 t ^ (1 + t x) u [t ] dt, u [x], x ■
y'e (1 -t- e) + x \'ltx2 -ArcSinh v'e + ArcSinh "x" -
■ 0.0682377, - " .
i ltx2)32
False
True if condition
Puc. 5. Уравнение Волынерры первого рода с вырожденным ядром
Уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным ядром
и(х) = АХ(х) ■ J* T(t)u(t)dt + f(x) (16)
решаются методом сведения к СЛАУ. Вводя обозначение
S = J*T(t)u(t)dt, (17)
и поэлементно умножив обе стороны уравнения (16) на Т(х) с последующим взятием интеграла по х от а до b получим (18)
S -Л J* T(x)X(x)dx ■§ = J* T(x)f(x)dx. (18)
Далее, вводя обозначения (19) получим СЛАУ (20).
Е — единичная матрица;
Ац = J^TiWlXj (x)dx; (19)
% = J* Tt(x)f(x)dx. 210
(Е — XA)S - Ib. (20)
Решая (20) относительно S получим регулярное решение (16) подставляя найденные значения, согласно
(17).
Далее необходимо найти собственные значения Л, решив (21) относительно Л.
det(E — AA)=0 (21)
Если такие решения (Ле1а) были найдены, то подставляя их в (20) и заменяя вектор S на вектор свободных констант С решаем систему (21) относительно С (если она разрешима). Полученное решение запишем в виде (22).
(Е-Ае1дА)С - Ъ.
и(х) = С-Х(х) + f(x). (22)
Результаты для уравнений представлены на рис. 7 и рис. 8.
i
и[х]=х + it xz-Sin[t 1-х] I (J [t] dt
■Л
■&.951409, DSolveValue u[x]=x + ' ft x2 - Sin [t + x]) u [t] dt, u [x] , x I {1.88283,
(Cos [ x] (4 + 372 Cos [1] - 320 Cos [2] - 296 Sin [1] -65Sin;2;) +x (-35 (St4x) + 2S& (1 + x) cos[i] + (213- 220x) cos;2; +4s (11 -4x) sin[i] + 24 (-is + x) sin;2;) + (-874+ 924 COS [1] +6SCos;2; +856 Sin [1] - 320 Sin [2] ) Sin[x]) i ■3 (96 Cos [1] +71 Cos;2; + 176 Sin [1] - 15 ;7 + 8Sin;2;) )) } False True
Рис. 8. Уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром без параметра
Гл
и [х] = 1 + A Cos [t + х; Sin [t + x] u[t] ¿t „■e
{0.218687, 1} ■ 9.277175,
1 A ± - - &SA ¿ -
Л Л
± _ _ 4(f-Cij C05[x]Sin[x] ^ 4 COS [x] Sin [x] ^ 4 c^in[x]2 = _ Д
JT Л Л Л Л -
t | aci rastel2 вк[я]51п[х] д sin [ л ] ^ ¿=4
Г Г Г - г
9 True
True
{True, True, True}
Рис. 7. Уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром с параметром
На рис. 7 специально было выбрано уравнение, регулярное решение которого равно 1. В данном случае Wolfram нашёл верное решение, но встроенная в Wolfram функция упускает характеристические решения.
Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с симметричным вырожденным кусочно-заданным ядром представимы следующим образом [7-10]:
и(х) - Л fb К(х, t)u(t)dt + f(x), (23)
где
К(х, t)= РЯ -I«1 а~Х~и (24)
U(t) -T (x), t<x<b-
Что равнозначно записи
u(x) = ХГ(x) - f*X(t)u(t)dt + +XX(x) - fxb T(t)u(t)dt + f(x), (25)
Найдём вторую производную (25):
u"(x) = XT"(x) - f*X(t)u(t)dt + ЛХ"(х) - fbT(t)u(t)dt +
+l(T'(x) - X(x) — X'(x) -T(x))u(x) + f"(x). Если соблюдены условия (27)
k = т^ = Х-Щ, i.j = 1Я kER
Tt(x) Xj(x) (27)
T'(x) - X(x) — X'(x) - T(x) E R,
тогда из (25) получим
k{u(x) — f(x)) = XT"(x) - f*X(t)u(t)dt + ЛХ"(х) - fb T(t)u(t)dt. (28)
С учётом (28) преобразуем (26)
u''(x) = (x (T'(x) - X(x) — X'(x) - T(x)) + k) u(x) + (f"(x) — kf(x)). (29)
Проведём в (29) замены (30)
(26)
Л = {х (Г'(х) ■ Х(х) - Х'(х) ■ Т(х)) + к) , F(x) = f(x) - kf(x),
Получим неоднородное дифференциальное уравнение (31), решая которое для Л <0, Л = 0 и Л >0 с начальными условиями (32), получаемыми подстановкой а и b в (25) и его первую производную, с последующим исключением неизвестных интегралов, найдём регулярное решение уравнения (23)
и''(х) = Ли(х)+ F(x), (31)
' и(а) = ХХ(а) ■ J* T(t)u(t)dt + f(a), u(b) = XT(b) ■ J*X(t)u(t)dt + f(b),
u'(a) = XX'(a) ■ J* T(t)u(t)dt + f'(a), (32)
[u(a)= XT'(b) ■ J*T(t)u(t)dt + f'(b).
Следует отметить, что поиск характеристических значений уравнения методами Wolfram в большинстве случаев затруднён, так как в большинстве уравнений, связанных с поиском характеристических X получаются неразрешимые аналитически уравнения.
Результаты представлены на рис. 8.
и [х] = Cos [2х] + 2 Cos [х] Sin [t ] и [t ] dt + 2 3 Cos [t] Sin [х] и [t] dt je
■ 0.630431, DSolveValue
г c^-
u [x] == Cos ~_2 x +2 *Cos [x] Sin [t] u[t] dt + 2 2Cos [t] Sin [x] u [t] ¿t, u [x], x
0.5327, 3 Cos" 2 x" - 2 Csc - " Sin VB (tt-4x) ] J
False True
Puc. 8. Уравнение Фредгольма второго рода с симметричным ядром без параметра
Как видно из рис. 8-10 встроенная в Wolfram функция DSolveValue не способна решать данные уравнения вне зависимости от присутствия параметра. Следует обратить внимание на Рис. 10, где было введено однородное уравнение. Правильность решения зависит от равенства нулю выражения -4—1 — X cos -4—1 — X + sin -4—1 — X, что и было обозначено в условиях. X удовлетворяющие этому условию являются характеристическими для данного уравнения, что может облегчить их поиск [11].
и [х] == Cos ;,- х; + А (1 +1) XII [t ] ¿t + A t ;l + x': u [t] ¿t
J3 •_.' Я
■ 0.733076,
rx "1
DSolveValue и [x] == Cos [лх] + А (1 + t'¡ x li [t] ¿t + A t 1 + x'¡ u [t] ¿t, u[x], x
j e
■ 1.23572,
у. сech -JX cosh 1 -1-2I v> -sinh 1 -1-2 y.
-2OJS 'Г!'. " 2 " "2 . " "2
" " -1-'- A ; 0
r2-:.
Cos[7tx] A = 01,
s-y.-,:7. _1+,д -Л ;..-.з : _i+eVT -i.;., cos;-»;
-i-. i г2-;,
0 True
False
{True, True, True}
Puc. 9. Уравнение Фредгольма второго рода с симметричным ядром с параметром
У. 1
и [х] = A -е *Sinh[t] u[t] dt+А - е Sinh [x ] u [t ] dt
_-e „у.
■0.659024,
"х "i
DSolveValue u[x] =A -e-*Sinh[t] u[t]dt + A -e_tSinh[x] u[t] dt, u[x],x >
JQ JX
■1 91721 ■ ~2i cisln> V-l-A Cos[ V-l-A] + Sin[ v'-l-A] - 0&&Л < -11
. 0 True
False
'-It 6*'. d i V-l - A Cos " V-l-A ' + Sin " v-1-Л ] ) = 0 Puc 10. Однородное уравнение Фредгольма второго рода с симметричным ядром с параметром
Вывод. Реализованная функция быстро справляется с нахождением аналитических решений линейных интегральных уравнений, с которыми не справляется встроенная в Wolfram Mathematica функция DSolve. Были реализованы основные методы решения разных типов интегральных уравнений. Рассмотренная функция может использо-
212
ваться как в учебных целях, так и для решения некоторых интегральных уравнений, встречающихся в обратных и краевых задачах. Имеющаяся функция может быть дополнена другими более сложными методами решения интегральных уравнений (например, уравнения Винера-Хопфа).
Список литературы
1.Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высш. шк., 2002. 840 с.
2.Краснов М.Л., Киселев. А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями Изд. 3-е, испр. М.: Едиториал УРСС, 2003. 192 с.
3.Nonsingular terminal sliding mode control based on adaptive barrier function for nth-order perturbed nonlinear systems / K.A. Alattas, J. Mostafaee, S. Mobayen [et al.] // Mathematics. 2022. Vol. 10, No. 1. DOI 10.3390/math10010043. EDN SBQTQV.
4.Nonsingular terminal sliding mode control based on adaptive barrier function for nth-order perturbed nonlinear systems / K.A. Alattas, J. Mostafaee, S. Mobayen [et al.] // Mathematics. 2022. Vol. 10, No. 1. DOI 10.3390/math10010043. EDN SBQTQV.
5.Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1979. 448 с.
6.Жиленков А.А. Моделирование систем и комплексов. Дискретные системы прогностического управления в теории, задачах и примерах в MATLAB // Министерство Образования и науки Российской Федерации, Университет ИТМО. Санкт-Петербург: Национальный исследовательский университет ИТМО, 2019. 79 с. EDN FXHUOP.
7. Огородников И.Н. Введение в обратные задачи физической диагностики: специальные главы высшей математики для технологов. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2017. 199 с.
8.Жиленков А.А. Гибридное решение уравнений Навье-Стокса в пространствах аналитических функций с применением билинейных форм и функции Грина // Системы управления и информационные технологии. 2018. № 1(71). С. 4-7. EDN YSIOAR.
9. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2023669639 Российская Федерация. Нейросетевой ускоритель для моделирования движения механической системы с сохранением структуры определяющих уравнений : № 2023668817 : заявл. 13.09.2023: опубл. 18.09.2023 / А. А. Жиленков, И. М. Портнов, А. А. Медведева ; заявитель федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет». EDN VQBPKI.
10. Жиленков А.А. Моделирование и применение киберфизического полигона для испытаний программно-аппаратных систем морского назначения / А. А. Жиленков, С. Г. Черный // Морской вестник. 2022. № 4(84). С. 106-108. DOI 10.56192/18123694_2022_4_106. EDN UXVRDP.
11. Бобырь М.В. Оптимизация числа проходов в задаче логической фильтрации изображений / М. В. Бо-бырь, С. Г. Емельянов, Н. А. Милостная // Искусственный интеллект и принятие решений. 2023. № 2. С. 98-107. DOI 10.14357/20718594230208. EDN ZFZYAO.
Псарев Марк Вячеславович, инженер, psarevmark17@gmail. com, Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный морской технический университет,
Жиленков Антон Александрович, канд. техн. наук, доцент, заведующий кафедрой, [email protected], Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный морской технический университет
IMPLEMENTATION OF A FUNCTION FOR FINDING ANALYTICAL SOLUTIONS TO LINEAR INTEGRAL EQUATIONS IN THE WOLFRAM MATHEMATICA COMPUTER ALGEBRA SYSTEM
M. V. Psarev, A.A. Zhilenkov
The article discusses the main methods for finding exact solutions to linear integral equations and the implementation of these methods as an all-in-one function in Wolfram Mathematica. The implemented function allows the user to find exact solutions to linear integral equations without thinking about what type they are, similar to the built-in functions in Mathematica for finding solutions to differential or algebraic equations. The results obtained can be used in solving inverse and boundary value problems.
Key words: Wolfram Mathematica, analytical solution, linear integral equation, degenerate kernel, symmetric kernel, difference kernel.
Psarev Mark Vyacheslavovich, engineer, [email protected], Russia, St. Petersburg, St. Petersburg State Maritime Technical University,
Zhilenkov Anton Alexandrovich, candidate of technical sciences, docent, head of the department, [email protected], Russia, St. Petersburg, St. Petersburg State Maritime Technical University
