CC BY
16Телевидение и обработка изображений
УДК 621.391.837:621.391.25
Е. В. Наумов, В. Б. Березин, В. В. Березин, В. М. Гатаулин,
А. М. Мончак
Санкт-Петербургский государственный электротехнический
университет "ЛЭТИ"
Реализация аналого-цифрового преобразования оптических сигналов с переменным шагом
С позиции информационного риска рассмотрена задача оптимизации квантования оптических сигналов при мультипликативном фотонном шуме. Показана полезность и практическая реализуемость квазиоптимального аналого-цифрового преобразования с кусочно-линейным приближением к оптимальному квантованию с переменным шагом, пропорциональным квадратному корню от амплитуды сигнала.
Видеоинформационная система, информационный риск, переменный шаг квантования
Положение о зависимости методов обработки сигнала в кодирующих устройствах от намерений получателя по дальнейшей его обработке известно давно [1]. В связи с развитием видеоинформатики [2] благодаря увеличению роли компьютерной обработки передаваемых (и, особенно, принимаемых) сигналов многие решенные ранее теоретические задачи передачи информации переосмысливаются с учетом ограничений, свойственных вычислительным системам принятия решений, - сложности и быстродействия. Основной идеей проектирования видеоинформационных систем (ВИС) является согласование скорости создания информации источником сигнала и скорости ее передачи каналом связи (или обработки компьютерным получателем) [2], [3]. При таком согласовании особенно актуален учет ограничения сложности вычислителя в системах реального времени, например в бортовых системах астроориентации [4]. Так как все вычисления в компьютерах осуществляются в цифровой форме, то главным элементом кодирования накопленного фотоприемником изображения для его согласования с цифровым каналом связи является квантователь, или аналого-цифровой преобразователь (АЦП). Важной спецификой ВИС является мультипликативность принципиально присутствующей помехи - фотонного шума. Поскольку излучение фотонов происходит случайным образом, то плотность вероятности накопления конкретного числа п фотонов при среднем значении сигнала в элементе N подчинена закону Пуассона.
Дисперсия флуктуаций реально принимаемого числа фотонов Б = ст (а - среднеквадра-тическое отклонение (СКО)) равна среднему значению оптического сигнала N [5]:
(1)
где М{•} - символ математического ожидания.
© Е. В. Наумов, В. Б. Березин, В. В. Березин, В. М. Гатаулин, А. М. Мончак, 2004
57
Известным решением задачи передачи информации по дискретному каналу при такой специфической мультипликативной помехе, искажающей входной сигнал, является квантование с переменным шагом [6]. Методология такого квантования обсуждается не только при квантовании оптических сигналов [7], но далее не рассматривается, поскольку в ней не учитывается мультипликативность фотонного шума. Компромиссное значение шага квантования при этом оказывается пропорционально квадратному корню от уровня сигнала. К определению коэффициента пропорциональности можно подойти с энергетических позиций [6] или с более обоснованных информационных позиций, учитывающих как потерю полезной информации AI, так и передачу шумовой информации 1ш, объединяемых в рамках минимизируемого проектировщиком информационного риска R [2], [3], [8]:
R = qAI + С21ш ^ min. (2)
При равенстве коэффициентов с1 и с2 (аналог критерия идеального наблюдателя в проверке гипотез) мощность ошибки передачи через гауссовский канал должна равняться мощности входного шума, который при достаточно большом числе принятых фотонов (N > 10) приближенно считается не пуассоновским, а гауссовским с тем же СКО а. Соотношение шага квантования 8 и СКО шума а при конкретной амплитуде видеосигнала определяется выбранным проектировщиком системы значением соотношения потери полезной информации и загрузки канала связи шумовой информацией. Этот подход в рамках энергетических понятий известен как метод создания "уравновешенной" системы [6]. Более общий взгляд, учитывающий весовые коэффициенты, показывает, что при q > С2 цена потери полезной информации больше, поэтому число разрядов квантователя увеличивают. При обратной ситуации (q < С2 ) число разрядов уменьшают.
В результате такой оптимизации квантование с переменным шагом, возрастающим пропорционально квадратному корню от уровня сигнала, при соотношении переменного
шага квантования и СКО фотонного шума (5/а) = 6/(ne) (т. е. 5« 0.84а) обеспечивает глобальный минимум информационного риска, составляющий 1 бит на передаваемый элемент разложения (рис. 1). В этом случае даже при переменном значении уровня фотонного шума обеспечивается постоянство коэффициента шума кодера (квантователя) во всем диапазоне изменения амплитуд сигналов. Однако компьютерная обработка сигналов,
представленных с помощью переменного шага, резко повышает сложность алгоритма вычисления различных параметров сигнала (не говоря о трудностях реализации такого квантователя в условиях температурного дрейфа пороговых уровней).
На практике эту трудность преодолевают, игнорируя приведенный теоретический результат и используя квантование с постоянным шагом (оптимальное при адди-
тивном шуме) и в случае мультипликативного фотонного шума*. Для распространенного метода равномерного квантования можно найти компромиссное значение шага, обеспечивающее локальный минимум информационного риска (2).
Аналитические соотношения для выражения информационного риска через дисперсии входного шума и шума канала в [2] получены для гауссовской функции распределения полезного сигнала и помех. Принятие гауссовской функции распределения полезного сигнала, упрощающее расчеты, в ряде практических случаев допустимо, но ошибка квантования должна характеризоваться иначе. Как это широко принято (например [1], [6]), будем считать, что шаг квантования 8 достаточно мал и функцию распределения ошибки квантования
можно считать равномерной, а дисперсию вкв этой ошибки равной 82/12. В таком приближении формулы для потери полезной информации А/ и для шумовой информации 1ш [2], входящие в выражение (2) для информационного риска Я, должны включать численные множители, отражающие различие энтропий гауссовского и равномерного распределений, т. е. включать не мощность ошибки квантования, а ее энтропийную мощность в^ = 2пвкв :
1
Я = Ы + /Ш= -1о§ 1 + + -1о§
2
гк
Л 1 Г тл\ Л ( 2 2 ^ п г
В
1
2
1+В
=^
, пе8х 1+-
6 В
V У
+21ое
16 В
V ле82 У
(3)
V У
Минимизация информационного риска (3) выбором числа уровней квантования К при фиксированном шаге квантования дает локальный минимум информационного риска для выбранной модели сигнала и помех. Число уровней квантования обычно принимают
равным числу передаваемых в канале двоичным т-разрядным кодом К = 2т .
Так же, как и в [6], далее полагается, что полезный сигнал имеет равномерную плотность вероятности амплитуд. Для упрощения записи квантовый выход фотоприемника считается равным 1, а в его роли выступает матричный прибор с зарядовой связью (ПЗС), важнейшей характеристикой которого в рассматриваемой задаче является накопительная способность элемента разложения Ыэ (максимальное количество фотоэлектронов в элементе). Значение накопительной способности для современных фотоприемников на ПЗС
находится в диапазоне 104...106 . СКО результирующего шума от всех источников (неэффективности переноса, темнового тока, устройства выборки, видеотракта) в зависимости от скорости считывания составляет от единиц до нескольких десятков электронов, т. е. имеет значение, по крайней мере на три порядка меньшее накопительной способности элемента. Поэтому при вычислениях информационных характеристик телекамер на ПЗС, когда ведется усреднение по всему диапазону, а не анализируется обнаружение пороговых сигналов, собственными шумами телекамеры можно пренебречь.
В этом случае для вычисления информационного риска (3) необходимо произвести усреднение по всему динамическому диапазону входного сигнала. Тогда при равномерном
В качестве некоторого приближения к неравномерному квантованию можно рассматривать гамма-коррекцию свет-сигнальной характеристики телекамеры, применяемую в визуальных телевизионных системах. Однако в метрологических системах этот метод обычно не используется.
квантовании на 2т уровней сигнала, изменяющегося в пределах от 0 до Nэ, с учетом формул (1) и (3), шумовая информация в среднем составит
1 N 2
1ш = -N- J log |_l + N(6/яе) (2m/N3 )
2 N 2 N э 0
dN. (4)
Можно показать, что при малом числе разрядов m < (l/2) log N3 шумовая информация пренебрежимо мала, а при достаточно большом числе уровней квантования она линейно возрастает с ростом числа m разрядов квантователя:
1ш « m - (l/2) log N3 - (l/2) log (пе/3). (5)
Потеря полезной информации при равномерном квантовании вычисляется также ус-
реднением по всем значениям амплитуд сигнала:
/ / \2"
dN. (6)
1 N3 г 2
М = 2N" I log ^l + W6N) (N3/2m)
э 0
Можно показать, что при достаточно большом числе уровней квантования m > (l/2) log N3 потеря полезной информации экспоненциально убывает с ростом числа m разрядов квантователя:
М * (пе/ 6) (N3 log N3/22m+l). (7)
Оптимальное значение числа разрядов m0 при равномерном квантовании можно найти,
подставив формулы (5) и (7) в выражение для информационного риска (2). Положив весовые коэффициенты в критерии (2) равными l и определив экстремум функции риска, получим
m0 * (l/2) log (2N3 log Nэ ) . (8)
Из формулы (8) с учетом (l) можно найти оптимальное для равномерного квантования отношение шага квантования 8 к усредненному по динамическому диапазону сигнала
значению СКО фотонного шума аср = ^JN3/2 :
5/аСр = l/>g N3 . (9)
Значение минимального информационного риска для равномерного квантования вычисляется подстановкой оптимального числа разрядов (8) в формулы для шумовой информации (5) и потери полезной информации (7):
R =М0 + 1Ш0 = (l/4) + (l/2) log (2log N3 ). (l0)
Из формулы (l0) следует, что минимальный информационный риск при равномерном квантовании в 2-3 раза больше, чем достижимый при неравномерном квантовании, шаг которого согласован с мультипликативным фотонным шумом. В частности, при типовом значении N3 « 6 -l04 минимальный риск составляет 2.5 бит на элемент разложения. Анализ формул (5), (7)-(l0) показывает, что при равномерном квантовании из-за чрезмерной загрузки канала связи и компьютера шумовой информацией оптимальный, с точки зрения информационного риска, шаг квантования имеет достаточно большое значение. Следова-
тельно, метод равномерного квантования оптических сигналов при преобладающем влиянии фотонного мультипликативного шума вступает в противоречие со стремлением проектировщиков одновременно уменьшать ошибки квантования и повышать эффективность использования каналов связи и компьютерной обработки в реальном времени. Поэтому актуален поиск иного локального минимума информационного риска, который обеспечивал бы большую, чем при равномерном квантовании, эффективность передачи, но обладал бы его преимуществами с точки зрения сложности компьютерной обработки сигналов.
Разрешение указанного противоречия между стремлением к оптимизации канала, связывающего телекамеру и компьютер, и ограничением сложности последнего лежит на пути применения кусочно-линейной аппроксимации зависимости шага квантования от уровня сигнала. Принципиальным отличием равномерного квантования (при компромиссной разрядности квантователя, вычисляемой по формуле (8)) от оптимального является недостаток плотности уровней квантования в области малых сигналов и ее избыток в области больших сигналов. Поэтому и становится целесообразным разбиение всей шкалы амплитуд сигналов на участки с тем, чтобы частично устранить указанный недостаток. При этом ключом к поиску наилучшей передаточной характеристики кодека канала связи телекамеры с компьютером является обеспечение кратности шагов квантования на различных участках. Данную задачу можно решить при двух ограничениях: при постоянстве скорости кода в канале связи и при постоянстве разрядности квантователя. Постоянство скорости кода, измеряемой в битах на символ (на элемент разложения), ведет к необходимости передачи через канал номеров участков шкалы в ущерб числу разрядов квантователя. Поэтому такое ограничение, хотя и отражает реальную ситуацию фиксированной скорости кода на входе компьютера, сразу исключает из рассмотрения случаи с большим числом участков шкалы амплитуд сигналов, квантуемых с разным шагом. Ограничение на постоянство разрядности квантователя ведет к увеличению скорости кода по мере увеличения числа участков. Оба эти типа ограничений обеспечат одинаковые значения информационного риска, хотя и при различной скорости кода. Далее рассматриваются информационные характеристики адаптивного к амплитуде сигнала кодека при ограничении скорости кода.
Так как при передаче сигнала потребуется передавать не только число квантов, но и номер участка шкалы амплитуд сигнала, то для достижения выигрыша в эффективности канала связи (значении информационного риска), следует использовать соотношение шагов квантования на соседних участках, большее 2. Исходя из соображений упрощения кодека, удобно использовать соотношение шагов квантования, равное 4. Дополнительным технологическим соображением в пользу выбора этого значения является серийный выпуск АЦП со встроенным усилителем с регулируемым в пределах 1.. .4 коэффициентом усиления. При этом введение каждого дополнительного участка дает экономию при передаче каждого элемент в 1 бит.
В простом случае разбиения динамического диапазона сигнала на два участка при том же числе разрядов, что и в случае равномерного квантования, как на область малых сигналов (и < 4), так и на область больших сигналов (Мэ/4 < и < ) расходуется по одинаковому числу 2т-1 уровней квантования. Это означает, что по сравнению с равномерным квантованием в области малых сигналов плотность уровней квантования для борьбы с по-
терей полезной информации увеличивается в два раза, а в области больших сигналов плотность уровней квантования для борьбы с шумовой информацией уменьшается в два раза. Поэтому интегрирование, аналогичное проведенному по формулам (4) и (6), проводится раздельно для каждого из двух участков, а значение компонентов информационного риска находится взвешенным суммированием результатов интегрирования. Для принятого равномерного распределения полезного сигнала эти веса равны размеру выбранных участков шкалы, т. е. l/4 и 3/4 соответственно. Так же, как в случае равномерного квантования, полагая достаточно большое число уровней квантования m > (l/2) log N3, можно найти соответствующие компоненты информационного риска для двухшкального квантования:
AI * (пе/6)(Nj22m)[logN3/16 + 3• (7/8)] ; 1ш «m-0.5logN3 -0.5log(ne/3)-0.5. (ll)
Вычисление информационного риска с использованием формул (ll) показывает, что по сравнению с равномерным квантованием (рис. 2, кривая 1) при оптимальной разрядности, вычисляемой по формуле (8), удается получить заметный выигрыш в значении информационного риска (рис. 2, кривая 2): для использованного ранее примера с N3 « 6 -l04 минимальный
риск составит, примерно, l .68 бит на элемент. В результате достигается значение риска, более близкое к потенциальной границе l бит, соответствующей идеальному квантованию с переменным шагом, возрастающим пропорционально квадратному корню от уровня сигнала.
Анализ информационного риска для кусочно-равномерного двухшкального квантования показал, что указанный выигрыш имеет место в большинстве практических случаев, но все же не всегда. Так, при малом числе разрядов m«m0 двухшкальный
квантователь не обеспечивает меньший информационный риск, чем квантователь с равномерным шагом квантования. Это объясняется тем, что при малом числе разрядов, т. е. при грубом квантовании, начинает сказываться потеря полезной информации на участке больших сигналов и она превышает выигрыш от некоторого уменьшения шумовой информации. Данный эффект связан с необходимостью затраты дополнительного разряда на индикацию участков с различной плотностью уровней квантования. Именно эта неизбежная затрата ставит предел дальнейшему разбиению участков шкалы амплитуд сигнала. Кроме того, полученные результаты справедливы при достаточно большой накопительной способности элемента (logN3 > 9).
При разбиении шкалы амплитуд сигналов на три участка в области N3/16 < U плотность уровней квантования должна быть увеличена в четыре раза по сравнению с равномерным квантованием; в области N3/16 < U < N3/4 шаг квантования тот же, что и при равномерном квантовании, а в области N3/4 < U < N3 плотность уровней квантования в четыре раза меньше. Так как два разряда из общего числа m расходуются на передачу номера участ-
ка, то из-за уменьшения разрядности трехучастковый кодер не дает заметного выигрыша в информационном риске (рис. 2, кривая 3). Более того, разбиение шкалы амплитуд сигналов на три участка при малой скорости кода в канале ведет к проигрышу в информационном риске и становится оправданным лишь при достаточно большой скорости кода т > то.
Рассмотрим реализацию описанного подхода на простом примере разбиения шкалы квантования видеосигнала на два линейных участка при равенстве цен потери полезной информации и шумовой информации. В этом простом случае характеристика кодера канала (квантователя) разбивается на два участка, причем порог у, разделяющий данные участки, равен четверти динамического диапазона сигнала: у = Ыэ/ 4, коэффициент усиления
сигналов, больших порога, равен 1, а сигналов, меньших порога, равен 4 (рис. 3, б).
В результате видеосигналы U, меньшие порога, квантуются с шагом, в четыре раза меньшим, чем сигналы, большие порога (рис. 3, а). Для правильного декодирования сигналов, преобразованных таким кодером-квантователем, необходима передача сигнала S (1 бит), означающего превышение/непревышение видеосигналом данного элемента порога, например, S = sign(U-у), т. е. S = 0 при U < у и S = 1 при U > у . По этому сигналу декодер однозначно восстанавливает двоичный сигнал, добавляя к принятому цифровому видеосигналу два нуля в двух дополнительных младших разрядах при S = 1, что соответствует умножению числа на 4. Таким образом достигается линейность шкалы квантования, в которой сигналы, меньшие порога, умножаются на 4 до квантования, а сигналы, большие порога - после квантования и передачи по каналу связи. В результате при т-разрядном АЦП по каналу передается (т+1)-разрядный код, который для сигналов первой
четверти диапазона амплитуд U < N3/4 эквивалентен по точности (т+2)-разрядному коду.
Стуктурная схема такой системы может быть реализована различными способами, например, с применением аналоговых или цифровых пороговых устройств; с применением двух АЦП или одного АЦП, преобразующего сигнал с удвоенной частотой элементов. Из
а б
Рис. 3
соображений температурной и временной стабильностей сквозной характеристики кодека предпочтительнее использовать один АЦП, работающий с удвоенной частотой элементов, и применять цифровое пороговое устройство (рис. 4).
Рис. 4
В этой схеме на первом такте преобразования входной сигнал проходит аналоговый мультиплексор без усиления и преобразуется в АЦП в предварительный код. Полученный код сравнивается с порогом у, и результат записывается в Ж-триггер. Состояние выхода этого триггера определяет коэффициент передачи предварительного усилителя при повторном преобразовании того же отсчета входного сигнала, выполняемого во время второго такта. При этом вырабатывается результирующий выходной код преобразователя, состоящий из записанного в параллельном регистре да-разрядного кода видеосигнала и дополнительного разряда результата сравнения с порогом, полученного на предыдущем такте.
Рассмотренная схема может быть реализована с использованием ИМС комплексного 16-разрядного АЦП фирмы "Analog Device" AD9826 [9]. Данная ИМС наряду с АЦП включает в свой состав усилитель с задаваемым цифровым способом коэффициентом передачи в диапазоне от 0 до 16 дБ, разбитом на 64 градации. Кроме того, эта ИМС обладает возможностью цифрового регулирования уровня черного в выходном видеосигнале, что упрощает построение камерного канала. Максимальная частота преобразования данного АЦП составляет 15 МГц, что позволяет использовать его в системах среднего быстродействия.
Таким образом, применение критерия минимума информационного риска позволило обосновать разбиение шкалы квантования на участки с разным шагом (на примере двух участков с постоянным внутри участка шагом квантования) и получить количественную оценку для границы разрядности, при которой целесообразно применение метода квантования оптических сигналов с пуассоновским распределением фотонного шума аналого-цифровым преобразователем с переменным шагом квантования.
Библиографический список
1 Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. Т. 1. М.: Мир, 1983. 312 с.
2. Хромов Л. И., Цыцулин А. К., Куликов А. Н. Видеоинформатика. Передача и компьютерная обработка изображений. М.: Радио и связь, 1991. 192 с.
3. Хромов Л. И. Информационная теория связи на пороге XXI века / НИИТ. СПб, 1996. 88 с.
4. Аванесов Г. А. Звездные координаторы систем ориентации космических аппаратов // Изв. вузов. Приборостроение. 2003. Вып. 4. С. 66-69.
5. Роуз А. Зрение человека и электронное зрение. М.: Мир, 1977. 216 с.
6. Биллингсли Ф. Влияние шума аппаратуры цифровой обработки изображений // Обработка изображений и цифровая фильтрация / Под ред. Т. Хуанга. М.: Мир, 1979. 320 с.
7. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. М.: Вильямс, 2003. 1104 с.
8. Цыцулин А. К. Телевидение и космос: Учеб. пособие для вузов. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2003. 228 с.
9. AD9826 Complete 16-Bit Imaging Signal Processor // www.analog.com
E. V. Naumov, V. B. Berezin, V. V. Berezin, V. M. Gataulin, A. M. Monchak
Saint Petersburg state electrotechnical university "LETI"
Realization of the Optic Signals Analog to Digital Conversion with Variable Step
The problem of optimization of optical signals quantization with a multiplicative photon noise is surveyed from an information hazard position. The usefulness and practical realization of the quasi optimum analog-to-digital conversion with a piecewise linear approximation to optimum quantization with a varied step, proportional square root from a signal amplitude is exhibited.
Video information system, information hazard, varied quantization step
Статья поступила в редакцию 22 июня 2004 г.
