Реализация алгоритма Radix-2(k) для быстрого преобразования Фурье с прореживанием по частоте на ПЛИС Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА RADIX-2(k) ДЛЯ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ С ПРОРЕЖИВАНИЕМ ПО ЧАСТОТЕ НА ПЛИС Гасилин Д.В.1, Котельников В.Г.2

1Гасилин Дмитрий Вадимович - инженер, АО «ЦКБА», аспирант,

Омский государственный технический университет;

2Котельников Вадим Григорьевич - ведущий инженер, ИЦ «Автоматика», г. Омск

Аннотация: в данной статье рассматривается алгоритм предварительной фильтрации на основе алгоритма Кули-Тъюки, который позволяет эффективным образом организовать вычисления дискретного преобразования Фурье в случае, когда N является степенью 2. Производится анализ и обобщение алгоритма для требуемой длины N для реализации его структуры на ПЛИС. Показывается возможность реализации алгоритма Radix-2(k) для быстрого преобразования Фурье (БПФ) с прореживанием по частоте на ПЛИС.

Ключевые слова: быстрое преобразование Фурье, дискретное преобразование Фурье, алгоритм Кули-Тьюки, Яаё1х-2(к), ПЛИС.

Для многих задач связи, радиолокации, радиомониторинга одним из важнейших свойств является возможность обработки сигналов в широкой полосе частот (в настоящее время требуется сотни МГц). Естественно, что современные требования к широкополосности цифровых систем радиочастотной обработки вызвало стремительный рост тактовых частот не в ущерб увеличению разрядности аналого-цифровых преобразователей - первого ключевого элемента этих систем, вторым ключевым элементом является вычислитель на программируемых логических интегральных схемах - ПЛИС. Стремление удовлетворить эти требования привело к развитию цифровых алгоритмов радиочастотной обработки [1, 2]. В данной статье будет рассмотрена предварительная фильтрация, а именно быстрое преобразование Фурье (БПФ) по основанию 22 (КаШх-2(к)) с прореживанием по частоте и показана возможность его реализации на ПЛИС.

Рассмотрим М-точечное дискретное преобразование Фурье входной последовательности отсчетов х[п]:

¡V-1

х[к] = ^хИИ/^Д = ОД, ...,N-1

п=о

= е~'^)пк (1)

Алгоритм Кули-Тьюки [3] позволяет эффективным образом организовать вычисления дискретного преобразования Фурье в случае, когда N является степенью 2.

Порядок отсчетов на входе - последовательный, на выходе - бит-реверсный. Ниже приведены операции вычислений 2-точечного преобразования Фурье, далее в тексте -«бабочка».

Рис. 1. «Бабочка»

о л. гп " ы зл,п

В случае, если ф е [ 0 , повороты являются тривиальными

осуществляются перестановкой вещественных/мнимых частей и/или сменой соответствующих знаков. Переход к алгоритму по основанию 22 осуществляется разбиением угла поворота в нечетных шагах на сумму тривиального (кратного N/4) и нетривиального ф ' = ф тосС N /4 с переносом последнего на следующий шаг. Это возможно, так как на каждом шаге алгоритма по основанию 2 поворотные углы в каждой из «бабочек» фА, фв отличаются либо на 0, либо на N/4. Поэтому при выборе Фа = Ф 'Фв = Ф + N /4 поворотный коэффициент можно перенести на следующий шаг преобразования:

.27Г ' .2тт

Ае~]1Тф ± Ве~]1Т{ф +Л,/4) = [А± {-])В]е~]1Тф (2)

В левой части приведены вычисления по основанию 2, в правой — по основанию 22, (А, В) ' - входные данные «бабочки». В алгоритме по основанию 2 числа (А, В) поворачиваются до вычисления результата «бабочки», в алгоритме по основанию 22 В поворачивается на тривиальный угол, а оставшаяся часть переносится на следующий шаг.

Обобщить алгоритмы по основанию 22 на любую необходимую длину N можно, основываясь на следующем их свойстве: в любой «бабочке» вычисления проводятся с отсчетами, бинарное представление индексов которых, отличается только в бите (п = lоg2N, п - номер шага). Тривиальные повороты (производимые на нечетных шагах 8) осуществляются для отсчетов с индексами, удовлетворяющими условию Ъп_ ;АЪп_; _ х = 1 . Нетривиальные повороты (производимые на четных шагах) - для отсчетов с индексами, удовлетворяющими условию Ьп _; + х V Ъп _ ; = 1 [4].

На рисунке 2 приведена схема организации операций 4-потокового 16-точечного быстрого преобразования Фурье по основанию 22 с прореживанием по частоте.

Рис. 2. Схема организации операций 4-потокового 16-точечного БПФ по основанию 2 с

прореживанием по частоте 14

Элементами схемы являются «бабочки» по основанию 2, тривиальные (ромб) и нетривиальные умножители, а также блоки попарных перестановок, состоящие из буферов (глубина показана цифрой) и мультиплексоров. Порядок прохождения отсчетов через соответствующие «бабочки» показан в таблицах: так на первом тактовом интервале на вход поступают отсчеты 0, 8, 4, 12; отсчеты 8, 9, 10, 11 последовательно поступают на второй вывод. Нетрудно видеть, что в данном порядке вычислений выполнены свойства алгоритмов по основанию 22. Так в верхней «бабочке» на первом шаге производятся операции с парами отсчетов (0,8), (1,9), (2,10), (3,11), бинарное представление которых отличается в бите bn_s = b4_1 = b3 (3-й бит, нумерация с нуля); это же верно и для остальных «бабочек». Тривиальные повороты осуществляются только на нечетных шагах s и затрагивают только те отсчеты, индексы которых удовлетворяют условию Ьп_хЛЬп_х_1 = 1; в частности на первом шаге это выполнено для отсчетов Ь3ЛЬ2 = 1, то есть 12, 13, 14, 15. В свою очередь нетривиальные умножения требуются только для отсчетов с индексами, удовлетворяющими bn_s+1Vbn_s = 1, поэтому на втором шаге не требуется выполнять поворот на нетривиальный угол в верхнем плече, так как для поступающих туда отсчетов bn_s+1Vbn_s = b3Vb2 = О. Заключение

Был рассмотрен алгоритм предварительной фильтрации на основе алгоритма Кули-Тъюки, который позволяет эффективным образом организовать вычисления дискретного преобразования Фурье в случае, когда N является степенью 2. Произведены анализ и обобщение алгоритма для требуемой длины N для реализации его структуры на ПЛИС. Показана возможность реализации алгоритма Radix-2(k) для быстрого преобразования Фурье с прореживанием по частоте на ПЛИС.

Список литературы

1. Zoltowski M.D., Mathews C.P. Real-Time Frequency and 2-D Angles Estimation with Sub-Nyquist Spatio-Temporal Sampling // IEEE Transactions on Signal Processing, (42), 10, 2781-2794, 1994.

2. Schmidt R.O. Multiple Emitter Location and Signal Parameter Estimation // IEEE Trans. Antennas Propagation, (AP-34), 276-280, 1986.

3. Cooley J.W., Tukey J.W. An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series // Math. Comput. 19:297-301, 1965.

4. Mario Garrido Gálvez, J Grajal, MA. Sanchez, Oscar Gustafsson. Pipelined Radix-2(k) Feedforward FFT Architectures // IEEE Transactions on Very Large Scale Integration Systems, (21), 1, 23-32, 2013.

ВВЕДЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЗАГРУЖЕННОСТИ ДОРОГ ДЛЯ СОСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО МАРШРУТА НА ПРИМЕРЕ ГОРОДА УФЫ Биглова А.Д.

Биглова Алла Дамировна - магистрант, кафедра геоинформационных систем, факультет информатики и робототехники, Уфимский государственный авиационный технический университет, г Уфа

Аннотация: в статье описывается создание математической модели построения оптимального маршрута с учётом загруженности дорог.

Ключевые слова: ГИС, коэффициент загруженности дорог, оптимальный маршрут, построение оптимального маршрута.