Развитие методов обработки данных, полученных на антенных решетках Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.391, 621.396, 621.369

К.Ю. Королев, В.А. Пахотин

РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ, ПОЛУЧЕННЫХ НА АНТЕННЫХ РЕШЕТКАХ

Рассмотрены вопросы обработки информации, получаемой с помощью антенных фазированных решеток на основе теории оптимального приема. Представлены аналитические выражения, определяющие дисперсии оценок амплитуды Du, азимута Da и угла места Dp принимаемой плоской волны.

The questions of processing the information received with the help of phased antennas are examined on the basis of the theory of optimum reception. The analytical formulas are proposed for determining the estimation dispersion of the amplitude Du, azimuth Da and tilt angle Dp of the received plane wave.

Задача решается при приеме сигнала на прямоугольную антенную решетку. Запишем плоскую волну на поверхности Земли в виде:

S( x, y) = U exp(- j(kx + kyy)) + U N, (1)

где U - комплексная амплитуда плоской волны;

Вестник РГУ им. И. Канта. 2007. Вып. 3. Физико-математические науки. С. 59 — 64.

бо

kx, ky — компоненты волнового вектора на плоскости Земли; в принятой системе координат

kx = k0 cosifi) cos(a), k} = k0 cos(fi) sin(a);

а, в — азимут и угол места плоской волны;

x, y — координаты вибратора антенной решетки;

, 2л

k0 = — — волновое число;

0 Я

UIN — пространственный шум с нулевым средним значением и дисперсией о2 с размерностью (В/м)2. Плотность распределения шума — гаусовская двумерная.

Запишем функцию правдоподобия для (1):

L(U,kx,ky) = Aexpi-2~^\\Six,у)-^expi-jikxX + kyy))| )drdy, (2)

x , y

где A — константа, определяемая нормировкой;

т — пространственный интервал корреляции шума с размерностью м2. Функция правдоподобия зависит от трех параметров. Оценка параметров UI , kx, ky согласно теории оптимального приема производится по максимуму функции правдоподобия. Дифференцируем (2) по параметрам и, приравнивая дифференциал нулю, получаем систему уравнений правдоподобия. Однако она получается нелинейной и не может быть решена аналитически. В связи с этим решим задачу оценки параметров плоской волны следующим образом. Учитывая линейность амплитуды U в (2) и нелинейность параметров kx, ky, максимизацию функции правдоподобия можно провести методом наименьших квадратов по UI и методом перебора параметров по переменным kx, ky. Дифференцируя (2) по U и приравнивая дифференциал нулю, получим

U = S- j Six, y) expijikx x + kyy)ydy, (3)

0 x,y

где S0 — площадь интегрирования на поверхности Земли. Подставляя (3) в (2) и возводя в квадрат, получим

L(kx, k ) = A exp

2ст2г

x, У

jf 1^x,y)

- \U\

dxdy. (4)

Выражения (3) и (4) позволяют решить поставленную задачу оценки параметров при переборе кх, ку в диапазоне их изменений. Критерием отбора решения является максимум функции правдоподобия (4) или минимум ее аргумента.

Более сложным является вопрос о дисперсии оценок параметров плоской волны. Согласно теории оптимального приема дисперсии оценок параметров сигнала находятся с помощью информационной матрицы Фишера [1]. Найдем элементы матрицы Фишера с помощью вторых производных логарифма функции правдоподобия (2) по переменным кх, ку:

( я2

= -М

д (1пЬ(кх,ку))

дк дкт

где М — обозначает операцию математического ожидания по ансамблю реализаций.

Индексы п и т принимают значения кх, ку.

Вторая производная определяет кривизну поверхности функции правдоподобия и берется в точке максимума.

Согласно (5) можно получить элементы информационной матрицы Фишера:

г и2 £ X2 г и2 £ 72 г г и2 ^ Х7

J11 = -2т 3 ' 22 = -2т 3 ' ^ 21 = -2т 4 ' (6)

где X, У — размер антенной площади интегрирования вдоль координат х и у;

Бо=ХУ — площадь интегрирования при прямоугольной конфигурации антенной системы;

£

— = ЫМ — определяет количество вибраторов на прямоугольной

Т

площадке Бо.

Детерминант матрицы Фишера равен

(7)

Согласно теории оптимального приема матрица дисперсий находится по обратной матрице Фишера.

А,= —= —-2^--------^, Пу=^ = —и^Ы-------------------1 , (8)

Л 7 и2 ЫМ X2 * Л 7 и2 ЫМ 72

где |ц, ]ц — алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы Фишера.

Учитывая взаимосвязь азимута а и угла места р с компонентами волнового вектора кх и ку, можно пересчитать дисперсии Ока и Окр в дисперсии Оа и Ор с направления а=0. В результате пересчета получим:

А =_ Аь2 =48 а2 Л2 1

(2я-соз(Д))2 7 и2 ЫМ X2 (2ясоъ(Р))г

А = = 48.^—2 1 (9)

“ (2^ш(Д))2 7 и2ЫМ У2 (2^ш(Д))2

Дисперсия амплитуды может быть определена при постоянных значениях кх и ку. Вторая производная аргумента функции правдоподобия по комплексной амплитуде определяет ее дисперсию

—

А, =---------------------------------. (10)

“ ЫМ

61

62

Данные выражения для оценки дисперсии азимута и угла места были получены впервые. Они выявляют линейную зависимость от отношения сигнал/шум, линейную зависимость от квадрата отношения длина волны/ апертура антенной системы. Дисперсия азимута изменяется обратно пропорционально квадрату косинуса угла места р. Дисперсия угла места изменяется обратно пропорционально квадрату синуса угла места р. Такая зависимость дисперсии от угла места вполне объяснима. С уменьшением угла места эффективная база вдоль оси У стремится к нулевому значению. При приближении угла места к 900 азимут оказывается неопределенной величиной. Выражения (9) и (10) могут быть положены в основу анализа антенных решеток разной конфигурации.

С помощью модельных расчетов проведена проверка структуры полученных выражений.

На рисунке 1 показана линейность зависимости дисперсии азимута Оа (верхняя кривая) и угла места Ор (нижняя кривая) от квадрата длины волны. Точками показаны значения дисперсии, рассчитанные по выражению (1). Зависимость линейная в широком частотном диапазоне.

1.0 и Л

0,90

0,80

Ь '

= Э.50 ХУ

І 3,40

з з.зо X/

0.00

о 5000 10000 15000 20000 25000

>.г

Рис. 1. Дисперсия азимута и угла места от квадрата длины волны

На рисунке 2 показана зависимость дисперсии оценок азимута (верхняя кривая) и угла места (нижняя кривая) от дисперсии шума. Здесь также отмечается хорошее соответствие модельных расчетов и соответствующей аналитической зависимости (9).

Дисперсия шума

Рис. 2. Дисперсия азимута и угла места от дисперсии шума

На рисунке 3 показана зависимость дисперсии оценки азимута от угла места. Точками показана теоретическая зависимость в соответствии с (9). Дисперсия существенно возрастает при углах места ~ 90 градусов.

Угол места в градусах.

63

Рис. 3. Зависимость дисперсии азимута от угла места

Дисперсия шума

Рис. 4. Зависимость дисперсии амплитуды сигнала от дисперсии шума

На рисунке 4 точками показаны теоретические значения. Они хорошо согласуются с модельными расчетами, и полученная зависимость

— линейная.

Полученные выражения для дисперсии азимута и угла места позволяют создавать антенные решетки для разных задач приема сигналов и оценивать их эффективность. Например, вместо квадратных антенных решеток вполне можно использовать решетку типа «прямой угол». Если количество вибраторов в этих двух антенных системах одинаково, то отношение сигнал/шум не меняется. Однако апертура антенной системы увеличивается, что приводит к уменьшению дисперсии Оа и Ор. При увеличении количества вибраторов дисперсии азимута и угла места уменьшаются без увеличения апертуры антенной системы. При расположении вибраторов вдоль оси Ъ (по высоте) появляется возможность исключить зависимость Оа и Ор от угла места.

Список литературы

1. Перов А. И. Статистическая теория радиотехнических систем: Учеб. пособие для вузов. М., 2003.

2. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. М., 1983.

3. Королев К.Ю., Пахотин В.А. Применение квадратной антенной решетки при пеленгации ионосферных сигналов // Материалы межвузовской научнотехнической конференции аспирантов и соискателей БГА. Калининград, 2006. С. 36—40.

4. Драбкин А.Л., Зузенко В.Л., Кислов А. Г. Антенно-фидерные устройства. М., 1974.

Об авторах

В.А. Пахотин — д-р физ.-мат. наук, проф., РГУ им. И. Канта, раЬоЙп@е1с. а1ЪегЙпа. ги

К.Ю. Королев — асп., РГУ им. И. Канта.