CC BY
8
УДК 531.1
I РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ КИНЕМАТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ НА ШЕСТИЗВЕННЫЕ ПЛОСКИЕ ГРУППЫ АССУРА
Л.Т. Дворников, С.П. Стариков
Сибирский государственный индустриальный университет, г. Новокузнецк, Россия
Мак/алада Ассураньщ алтыбуынды жсыыц тобыныц кинематикалыц odicmepi tepmme.i'di.
Б статье исследуются методы кинематики шестизвеиной плоской . • :: \ группы Ассуры.
Hie article considers the methods of flat six-unit Assura group kinematics.
Считается известным, что группы Ассура есть системы кинематически разрешимые Это положение принимается самоочевидным, хотя и не имеет четких аналитических доказательств. Во всяком случае, для авторов настоящего доклада такие доказательства оказались недоступными.
Рассмотрим сложную плоску ю шарнирную кинематическую цепь, приведенную на рисунке 1. В этой цепи имеется базисное - наиболее сложное по числу геометрических элементов звено 1( г).
О х
Рисунок 1 - Плоская шарнирная кинематическая цепь с базисным звеном 1(г ) В рассматриваемой цепи часть кинематических пар - шарниров (р) реализованы, т. е. через них введены в соединения звенья, а часть пар остается открытыми, они завершаются штриховыми линиями, означающими, что возможно развитие цепи через звенья. Цепь от базисного звена разветвляется. Очевидно, что число ветвей этой цепи равно числу свободных пар. Обозначим число ветвей цепи через и покажем, что
У = р-{п-1) , (1)
где р - общее число кинематических пар - шарниров, п - общее число звеньев.
Уравнение (1) очевидно, т. к. из общего числа кинематических пар (шарниров) вычитается число присоединенных к звену 1(г ) звеньев. Их оказывается и за вычетом базисного звена, к которому и присоединяются все последующие звенья.
Если теперь предположить, что свободные пары окажутся присоединенными к некоторому неподвижному звену, т. е. к стойке, то появятся замкнутые контура, которых будет столько, сколько в этой цепи свободных пар или ветвей у, т.е.
к=Г = Р~п+1, (2)
Это хорошо известная формула Гохмана X. И. о числе контуров цепи ( 1887 г.). В силу того, что длины звеньев цепи остаются неизменяемыми, то между выходами на стойку стороны контуров могут быть представлены векторами этих длин, а сумма векторов в каждом контуре цепи может быть приравнена к нулю. На этом положении основан известный метод В. А. Зиновьева - метод замкнутых контуров при кинематическом исследовании механизмов. Из метода Зиновьева известно, что независимых векторных уравнений можно составить всего (к-1) штук, т. к, последнее замыкающее уравнение окажется тождественным уже составленным. Заметим, что число независимых векторных уравнений для рассматриваемой кинематической цепи будет
7-1 (3)
Так как рассматривается плоская кинематическая цепь, то число скалярных уравнений (проекции векторов на оси х и у) удваиваются, т. е. общее число скалярных уравнений будет
2(7-1). , (4)
Дифференцируя скалярные уравнения по времени можно определять скорости и ускорения точек и звеньев цепи. При известных длинах звеньев положение каждого из звеньев на плоскости вполне определяется утлом <рг относительно одной из осей координат. Тогда, общее число неизвестных, определяющих, положения звеньев на плоскости окажется равным числу звеньев
= (5)
Кинематически разрешимой будет такая цепь, в которой число неизвестных (п) будет равно числу уравнений, т. е. 2( у -1 ). Приравнивая (4) и (5), получим
2(у-1) = п,
а после подстановки значения у из (1) найдем, что 2р-2п = п или
Зп-2р = 0 , (6) что описывает группу Ассура.
На этом основании сделаем вывод, что любая плоская группа Ассура есть система кинематически разрешимая. Это положение не как не зависит от класса кинематической цепи, т. е. любая группа Ассура, к какому бы классу она не относилась, в том числе высоких классов, разрешима, в частности графо-ана-литическим методом.
Плоская шестизвенная шарнирная группа Ассура четвертого класса (содержащая четырехугольный замкнутый изменяемый контур) показана на рисунке 2. Она состоит из шести звеньев (п = 6) и девяти кинематических пар пятого класса (р5=9). Ее подвижность равна нулю, = 0.
Рисунок 2 - Шестизвенная плоская группа Ассура четвертого класса
Исследовать кинематику рассматриваемой группы - это значит по заданным скоростям точек А, £ и Р найти скорости точек В, С, О, С,Н,К и у гловые скорости всех звеньев, а по заданным ускорениям точек А, Е и Б определить все ускорения точек и звеньев.
Прежде всего, по известным скоростям точек Е и£найдем скорость точки, принадлежащей третьему звену - точки Ассура 5, лежащей на пересечении линий, продолжающих поводки ЕВ и ЕС. Скорость точки определится из зависимостей
+ Уор + У5 С,
У0Е+У5зО ЮЕ,УСР+У^ ЮР.
После нахождения скорости точки можно в шестизвенной группе выделить четыре звена 1, 2, 3 и 6, и рассмотреть четырехзвенную группу с четырехугольным замкнутым изменяемым контуром ВСНК (рису нок 3).
Для ее исследования воспользуемся решением подобной группы, приведенным в статье [1]. Для этого, на продолжениях линий звеньев ВС и КН найдем
точку их пересечения § - это особая точка, она является одновременно точкой Ассура и для звена 1, и для звена 3. Скорость точки § может быть найдена по скоростям точек А и Б3 на основании уравнений
1.5А.
Рисунок 3 - Четырехзвенная группа После нахождения скорости точки 8, скорости остальных точек четырех-звенникаВ, С, Н и К найдутся по зависимостям:
УВ=7_Л+ГВА> \7С=Г*+?СВ. ГГЯ =УК + У,,К.
Ъ \гс +уС5,.ун =УС +УНС,
, 1КА,
1'в
Кл
1ВА,Ука
нк 1-НК,
Увд 1 В<5, Укв 1КВ, Усв 1С В, Унс. 1 НС.
Далее обратимся к исследуемой шестизвенной группе (рисунок 2), в которой неизвестными остались скорости точек/) и С, они найдутся по зависимостям:
К=Уе+У»е, г Ув=Ун+Уон
1Т/ _ X/ , I/ 1 77 77 77
[Уа=Уг+УСР,
[У0=УС+У0С> ¡УП=У,
УосЮСУсн юн
УОЕ±ОЕ Уср1СК
?
После составления приведенных выше кинематических уравнений, определяющих скорости всех точек группы, можно построить по ним план скоростей (рисунок 4). На рисунке 4 специально указанны направления всех построенных линий плана. Скорости точек группы показали в следующей последовательности: 5,, § ,В,К, С, Н, И, б. Построенный план, позволяет также найти все относительные скорости точек группы, что дает возможность определить угловые скорости всех звеньев по зависимости
#ВА ИТ. Д.
При построении плана ускорений, также, прежде всего, находятся ускорения
точек 5 , и 5 из уравнений
+орЕ +аОЕ 4 - <0^4, " 4>1и,Д
+а»' + асг +а1,в>
а6 +
11В
к/!
хис
ХНК 1КА 1ВС 1.йЕ
Рисунок 4 - План скоростей Ускорения других точек группы определяются в той же последовательности, как и их скорости.
Плоская шестизвенная шарнирная группа Ассура шестого класса, содержащая шестиугольный замкнутый изменяемый контур, показана на рисунке 5. Она состоит из шести звеньев (п = 6) и девяти кинематических пар пятого класса (р% = 9). Ее подвижность равна нулю, IV = 0.
Рисунок 5 - Шестизвенная группа Ассура и ее кинематическое решение
Кинематическое решение сводится к определению скоростей точек В, С, Е, F, Н и К по заданным скоростям точек A, D и G - VA, Vq и Vg. Данное решение основывается на нахождении специальных точек Ассура Sp S3, Sy принадлежащих звеньям 1,2-а 5 звену, обладающих особыми свойствами.
Но прежде чем решить данную группу сформулируем и докажем следующую теорему: В шестизвенной группе Ассура с шестиугольным замкнутым изменяемым контуром соседние точки Ассура принадлежащие треугольным звеньям имеют одинаковые проекции скоростей на линии, соединяющие эти точки Ассура.
Для доказательства этой теоремы обратимся к шестизвенной группе, изображенной на рисунке 5. Для доказательства достаточно рассмотреть только одно равенство из трех. Докажем, что проекции скоростей точек 5, и S5 на соединяющую их линию КН равны. Прежде всего, запишем равенство проекций скоростей точек звена 6 К и Н на соединяющую их линию КН: VK(Kii) = Ущкп ) • Имеется в виду, что точки Ассура Sp и S5, принадлежат соответственно звеньям i и 5 по аналогии можно записать, ^щки) и 1'н(кн) = Vs5(KH)- Из приведенных трех равенств следует: vs,(KH) = vs5(KH), что и требоватось доказать. Аналогично доказывается равенство проекций векторов скоростей точек S, и 5?на соединяющею их линию ВС и равенство проекций векторов скоростей точек S5 и S3 на соединяющею их линию EF.
Представим кинематическое решение шестизвенной группы в виде следующей последовательности:
1) Откладываем на плане скоростей известные нам скорости: VА (ра), VD
(Pd)*VG(P¿)-
2) Проводим две линии на плане скоростей из точек а и g перпендикулярные AS, и GS5 соответственно. Фиксируем точку их пересечения и обозначим ее j.
3) Фиксируем некую точку на перпендикуляре AS: и обозначим ее т. Проводим линию перпендикулярную S]S5 и на перпендикуляре GSs фиксируем точку п.
4)Изтснектил проводим линии перпендикулярные SjSjHSjSj и фиксируем тснку /.
5) Проводим линию через фиксированные точки j и /. Именно на этой линии будет лежать конец вектора скорости точки 5Г
6) Мы не знаем величину скорости точки 5Г но мы знаем, что вектор скорости этой точки лежит на линии jl. Поэтому из точки d проводим линию перпендикулярную DSr _
7) Точка пересечения jl и J_ DS; и будет точкой s3. Соединяя полюс плана скоростей Р и точку s, мы определим величину, Ps3 которая и будет являться скоростью точки Sj.
8) Зная скорость точки 5, и скорость точки Б мы можем найти скорость точки Е из следующей системы уравнений:
Уе=У0+7Е0,
Дальнейшее решение очевидно и не вызывает ни каких трудностей. На плане скоростей рисунок 5 показаны так же скорости точек и 55.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дворников Л. Т. О кинематической разрешимости плоской четырехзвен-ной гру ппы Ассура четвертого класса графо - аналитическим методом//Извес-тия ВУЗов.-Машиностроение, 2004.-№12,- С 9-15.
2. Джолдасбеков У. А. Механизмы высоких классов. Глава 4 энциклопедии «Машиностроение».-Том 1 - 3.-Книга 2.-С 450 - 467.
