CC BY
69
2006
РАСЧЕТ И КОНСТРУИРОВАНИЕ МАШИН
621.01
ФОРМАЛИЗАЦИЯ СТРУКТУРНОГО АНАЛИЗА И СИНТЕЗА МЕХАНИЗМОВ С КИНЕМАТИЧЕСКИМИ, ГИБКИМИ И ДИНАМИЧЕСКИМИ СВЯЗЯМИ
Д-р техн. наук, проф. В. И. ПОЖБЕЛКО
Представлена попытка выработки обобщенного подхода к рассмотрению . \ i еха/1 измов как ч асп того случ ая м ехан ист и ч ее к их си сп i ем, сод ержепц их кин ем am ич ее к г i е, гибкие и динамические связи. На основе теорем о структуре рациональных механизмов рассчитаны все коды четырех-, шести- восьми-, десяти-, и двенадцamизвенпых замкнутых кинематических цепей без избыточных связей. Приведенные теоремы и коды могут быть использованы для структурного анализа и синтеза одноподвижных и многоподвижных . 11 exai i из. V/ов, сод ержащ их пр о cm ые и сл ож/ ¡ые (совм ей (енные) шарнир ы, к ин е\ / an тч еск 11 е пары различной подвижности, гибкие и динамические связи. Приведены примеры оби ару о/се/ / / / ых авт ор ом необычных (п ар адоксал ьных) крив out unit ых сбор о к р ы11 а ж и ых м ехан изм ов со сл оэ/сиым и д войн ым и ш арн up ал tu.
Formation a (tempi of generalized approach to a problem of consideration of mechanisms as a particular case in the mechanistic systems containing kinematic, flexible and dynamic links is presented. On the basis of theorems on structure of rational mechanisms all codes of four-, six-, eight- ten-, and twelve-ladder closed kinematic chains without redundant constraints are calculated. The reduced theorems and codes can be used for the structural analysis and a synthesis of th e one- and m ult id ire ct ional me ch an isn i s containing s ingl e and mult ipl e (com b ined) h i/ iges, k in em at ic pairs of different mobil ity, fl ex ibi e an d dyn am ic I inks. I ns lances ofи n us и a I (paradox ical) crank sets of link mechanisms with complex double joints detected by the author are cited.
При конструировании механизмов для разных областей техники [1—21] могут использоваться разнообразные взаимодействия (связи) твердых тел, которые осуществляются разными способами: с помощью элементов контактирующих звеньев в кинематической паре или посредством их бесконтактного взаимодействия через гибкие элементы, жидкость, магнитное поле, силы инерции и др.
Рассмотрим некоторые формализации, которые могут оказаться полезными для структурного анализа и синтеза механизмов на основе математических зависимостей [7, 8], описывающих строение разнообразных механических систем с учетом различных возможных взаимодействий (связей) твердых тел. Представленные ниже варианты определений и примеры их использования при конструировании механизмов предназначены для выработки более обобщенного подхода к изучению строения механизмов в связи с их структурным анализом и синтезом.
1. Механическая система — система взаимосвязанных (взаимодействующих между собой) твердых тел.
В зависимости от назначения механические системы могут быть выполнены в виде одноподвижных и мпогоподвижных механизмов, неподвижных ферм и структурных групп Лее ура с особыми свойствами [1, 4]. Механические системы представляют: при
структурном анализе — в виде кинематической цепи; при структурном синтезе — в виде структурной математической модели (оба понятия рассмотрены ниже).
С точки зрения топологии (как науки, исследующей свойства фигур и их взаиморасположение) механические системы представляют собой кинематические цепи с определенным набором и взаиморасположением замкнутых и незамкнутых (открытых) контуров, образованных твердыми телами (звеньями) и связями между ними. В общем случае механические системы (и, соответственно, кинематические цепи и механизмы) можно разделить [6] на однородные (содержат контуры только какого-либо одного класса) и неоднородные (содержат контуры разных классов, отличающиеся, например [6, с. 9, рис. 4] подвижностью входящих в них звеньев и типом замыкающих их связей).
2. Связь — геометрическое (кинематическое) и/или силовое взаимодействие двух твердых тел (представляет ограничения, налагаемые на положения и скорости твердых тел или точек механической системы; в механизмах — это средство передачи усилий и преобразования движений). Реакция связи -- результат этого взаимодействия.
В зависимости от способа осуществления взаимодействия твердых тел различают [4, 17, 18] следующие типы связей: кинематические (геометрические), гибкие, динамические.
3. Кинематические (геометрические) связи — ограничения, налагаемые на скорости (положения) твердых тел, которые должны выполняться при любых (значениях и направлениях) действующих на механическую систему силах [15, 16].
Кинематическая пара — соединение двух соприкасающихся звеньев, допускающее их относительное движение и накладывающее ограничения на их положения и скорос ти (предлагаемое определение отражает двойственную роль кинематических пар в механизмах и является более полным по сравнению с традиционным [15]).
Наибольшее распространение в механизмах получили [4]: одноподвижная вращательная пара (в виде простого шарнира), одноподвижная поступательная пара, а также сложные, т.е. совмещенные, шарниры (получающиеся в результате совмещения на одной оси нескольких простых шарниров) [21].
Для. приведения сложных шарниров к уже имеющимся в цепи простым шарнирам вводится [7] понятие: приведенное число сложных шарниров — число вращательных кинематических пар, добавляемых в данную цепь сложными шарнирами, рассчитывается по формуле [7]: V = у2 + 2к + Зу4 < 2(К — 1); т. е. величина у имеет четкий предел V— 2(К- 1), зависящий от числа замкнутых контуров А'синтезируемой цепи и позволяющий определить все возможные числа и комбинации простых и сложных шарниров в различных структурах многозвенных механизмов. -
Обозначения: р — общее число кинематических пар в кинематической цепи, представляющей систему связанных между собой звеньев; Н— подвижность кинематической пары, равная числу степеней свободы в относительном движении соприкасающихся звеньев; рп — число кинематических пар подвижности Я (1 < Я < 5); V — приведенное число сложных шарниров; v1— число двойных шарниров; V.— число тройных шарниров и т.д.
4. Гибкие связи — можно рассматривать [17, с. 27], как односторонний неупругий транслятор передачи движения от одного к другому звену без их непосредственного контакта между собой, устанавливающий соответствие между положениями и скоростями звеньев (в отличие от кинематических пар) только в одном направлении.
Например, гибкая связь в виде системы соприкасающихся шариков или жидкости [17, с. 26, рис. 1.13] может работать только на сжатие. Другой пример — гибкая связь в виде цепи, троса, ремня и др. [17, с. 27, рис. 1.14] работает только на растяжение.
№ И 2006
Обозначение: g — число гибких связей (число контуров кинематической цепи [1, с. 14], замыкаемых гибкими связями).
5. Динамические связи — согласно [18, с. 50] накладывают ограничения на положения и скорости взаимодействующих через эти связи твердых тел в зависимости от движения механизма, а также от других действующих на механизм сил, имеющих свойство реакций связи. Они обеспечивают передачу движения от одного звена к другому без их непосредственного контакта между собой и осуществляются в виде магнитного поля или фрикционных сил [17, с. 29], гидродинамического сцепления между насосом и турбиной [18, с. 49, рис. 2,15], сил инерции вращающихся неуравновешенных грузов [9], сил упругости пружины [18] и др. Следует выделять динамическую связь, через которую осуществляется передача движения между двумя подвижными звеньями механизма. Назовем ее активной динамической связью (пример такой связи показан в [4, с. 74, рис. 2.15].
Обозначение: с!—-число активных динамических связей (число контуров кинематической цепи [1, с, 14], замыкаемых активными динамическими связями).
6. Избыточные связи — повторяющиеся (или зависимые) геометрические связи, удаление которых не изменяет числа степеней свободы механизма [16, с. 36].
Избыточные связи дублируют ограничения, уже наложенные другими кинематическими связями (кинематическими парами), в результате чего некоторые из уравнений связей получаются [1, с. 18], как следствие других, взаимно независимых уравнений. Установлено [4, 11, 16], что при сборке механизмов с избыточными связями в кинематических парах возникают натяги, существенно снижающие эксплуатационную работоспособность механизмов и поэтому структурный синтез рациональных (самоустанавливающихся [11] механизмов заключается в проектировании механических систем без избыточных связей.
Для исключения избыточных связей в проектируемых структурах многозвенных рычажных механизмов достаточно выполнить их строение согласно ниже рассматриваемым кодам рациональных механизмов. Сводная таблица со всеми рассчитанными кодами четырех-, шести-, восьми-, десяти- и двенадцатизвенных замкнутых кинематических цепей механизмов приведена в [7].
Обозначения: д — число избыточных связей (число зависимых уравнений связей); Ч = Я о + с1\> с10— избыточные связи, выявленные только в пространственной схеме механизма (и отсутствующие в его «плоской» схеме); с/ — избыточные связи, выявленные в «плоской» схеме механизма (их следует удалять в первую очередь [11]).
7. Звено механизма — твердое тело, входящее в состав механизма, где отдельные подвижные звенья совершают движение относительно неподвижной стойки.
По числу связей данного звена с другими звеньями следует различать: одиосвязные звенья (со свободным, т. е. незамкнутым концом), а также двухсвязные (линейные), трех-связные (треугольные) и т. д. звенья. Соответственно в механизмах, содержащих связи только в виде кинематических пар (механические системы без применения гибких и динамических связей звеньев: g = 0, с1= 0), различают [1, с. 12] двупарные, трехпарные и т. д. звенья (по числу кинематических пар, образуемых данным звеном с другими звеньями кинематической цепи).
Обозначения: пу п2 п3..., л— соответственно число односвязных (однопариых), двухсвязных, трехсвязных..., /— связных звеньев кинематической цепи (где наибольшее число связей /, т. е. кинематических пар, гибких и динамических связей, одного из звеньев цепи с другими звеньями определяет наиболее слоэ/сное звено в кинематической цепи данного механизма); п = п + п2 + пъ + ... + п.— общее число звеньев цепи (включая стойку в механизмах); п - (п - \) — число подвижных звеньев механизма.
№11 ~ " 2006
8. Кинематическая цепь — отображение геометрии строения механической системы в виде определенного взаиморасположения (топологии) отдельных тел (звеньев) и. их связей (кинематических, гибких, динамических) с другими твердыми-телами (звеньями).
Кинематическая цепь механизма — представляет систему входящих в состав механизма звеньев, взаимосвязанных между собой (посредством кинематических, гибких и динамических связей) и образующие замкнутые контуры-.
9. Уровень сложности кинематической цепи (У) — новое понятие, введенное в [7] для количественной характеристики сложности и особенностей строения механической системы и представляющее разность между общим числом связей всех типов (р + $ + с!) и общим числом звеньев (я) системы: У = (р + g + ф — п.
Уровень сложности проектируемой или анализируемой механической системы (механизма) однозначно предопределяет число возникающих в ней изменяемых замкнутых контуров: К ~ У + 1. Таким образом, простейшие механические системы характеризуются У = 0 (нулевой уровень сложности) и будут одноконтурными (К = 1), а в более сложных системах увеличение уровня сложности (т.е. разности между числом связей и числом звеньев цепи) приводит к соответствующему увеличению числа замкнутых контуров синтезируемого механизма (У = 1, К = 2...), причем К = 0 при У = К = -1.
Зависимость между уровнем сложности кинематической цепи (У) и ее связностью (т. е. наиболее сложным по числу связей / звеном цепи) представляет собой главную геометрическую зависимость механических систем, график которой позволяет выделить [5, 7] все возможные области существования открытых и замкнутых кинематических цепей механизмов и ферм, содержащих как простые, так и сложные (совмещенные) шарниры в пределах задаваемого уровня сложности цепи.
10. Замкнутый (изменяемый) контур — представляет собой замкнутую кинематическую цепь, состоящую из всех или из некоторой части звеньев механизма, в которой каждое звено образует кинематические пары и/или гибкие и динамические связи не менее, чем с двумя другими звеньями цепи.
Независимые изменяемые замкнутые контуры отличаются между собой хотя бы одним звеном или одной кинематической парой и их число К можно рассчитать по предложенной автором в [5,6] формуле
К = (р + ё + ф — п = У+\,
которая в частном случае (для цепей без гибких и динамических связей) вырождается в известную формулу Гохмана [16, с. 39].
Замкнутые контуры в разнообразных механических системах могут быть образованы из открытых кинематических цепей двумя способами [6, с. 5, рис. 1]: а — контактным замыканием звеньев посредством кинематических пар (связей); б — бесконтактным замыканием звеньев посредством гибких или динамических связей.
Класс изменяемого замкнутого контура (1 < Ъ < 6) предлагается [6] принимать равным числу параметров свободного движения звеньев в этом контуре (для контуров, замыкаемых только кинематическими парами подвижностью Я выполняется соотношение И > Я_+ 1 = 2 ... 6) или равным числу направлений передачи усилий (для контуров, замыкаемых гибкой или динамической связью, например, в контурах с однонаправленной гибкой связью в виде троса — И = 1).
Такая классификация замкну тых контуров позволяет: с одной стороны, по одинаковой величине /? объединить (обобщить) плоские рычажные и пространственные
№ 11 2006
сферические механизмы (/? = 3), а с другой стороны, многоконтурные механизмы (К > 1) разделить на однородные (содержат все контуры одного класса И) и неоднородные (представляют набор взаимосвязанных контуров разного класса, например, И = 2 и И = 3).
В [6, 7] показано, что существующие структурные формулы расчета IV [4, 17] непригодны для описания неоднородных механизмов, и их можно заменить универсальной формулой Ж для любых механических систем [6].
Обозначения; К — общее число независимых изменяемых замкнутых контуров механизма; /? — класс замкнутого контура, равный числу степеней свободы входящих в него звеньев; КИ — число замкнутых контуров данного класса в составе цепи механизма.
Примечания. 1. Величина И = О характеризует кинематическую цепь без каких- либо замкнутых контуров {К - 0), представляющую собой [6, с. 5, рис. 1] открытый контур (А = 0). 2. Для установления, какие именно звенья многозвенного механизма образуют тот или иной контур посредством кинематических пар, гибких и динамических связей, может быть использована предложенная в [7] формула строения кинематической цепи механизма (являющаяся формализованным символьным представлением цепи, не зависящим от нумерации звеньев механизма).
11. Основные методы образования механизмов без избыточных связей — для построения структурных схем рациональных механизмов в теории механизмов и меха-пике машин могут быть использованы разные методы.
Метод Грюблера образования механизмов — заключается в составлении замкнутых кинематических цепей звеньев с последующим выбором из них начального звена и стойки [1]. Однако применяемые для этого аналитические зависимости Грюблера [17, с. 104], [1, с. 33] носят ограниченный характер, так как выведены только для механизмов с простыми шарнирами.
Метод Ассура образования механизмов — заключается в присоединении к предварительно заданному начальному звену механизма и стойке открытых кинематических цепей звеньев, соединенных одноподвижными кинематическими парами (в виде групп Ассура нулевой подвижности) [4]. Однако данный метод не позволяет установить все возможные типы структуры механизмов.
Метод структурного синтеза механических систем заданного уровня слолснос-ти — разработан [5, 7] на основе универсальной структурной математической модели и теорем (см. п.п. 12—14) и заключается в образовании механической системы требуемой сложности (см. п. 9) из необходимого расчетного набора звеньев и соединяющих их различных связей (простых и сложных шарниров, многоподвижных кинематических пар, гибких и динамических связей). Его применение на практике позволяет рассчитать все возможные типы структуры и построить структурные схемы механических систем для каждого заданного уровня их сложности (см. п. 14).
Данный метод позволяет расчетным путем синтезировать не только традиционные цепи Грюблера и механизмы Ассура, но и все другие возможные варианты строения механических систем в виде открытых и замкнутых цепей ферм и механизмов со сложными шарнирами, гибкими и динамическими связями, а также различных неоднородных и неассуровых механизмов. Некоторые примеры синтеза механизмов с гибкими и динамическими связями, а также неоднородных механизмов даны в работах [б, 7]. Сводные итоги синтеза и кодирования механизмов разного уровня сложности рассмотрены в п. 14.
В результате применения данного метода устанавливаем (рис. 1), что, например, в дополнение к двум известным шестизвенным кинематическим цепям Уатта [1, с. 34,
№11 ■ 2006
рис. 1.23, б] и Стефенсона с простыми шарнирами [1,_с. 34, рис. 1.23, в] существуют еще одна шестизвенная цепь с одним двойным шарниром (л2= 5, п , = К у = v2= 1) и одна шестизвенная цепь с двойными шарнирами (л7 = 6, л = 0, v = v1= 2).
Отметим, что указанные цепи со сложными шарнирами (/?, = 5, = _1 и п2 = 6, /7. = 0) представляют собой дополнительные (по табору образующих их звеньев и , /?3) типы структуры по сравнению с известными цепями Уатта и Стефенсона (где п2 = 4, /?.= 2), что расширяет диапазон возможных схем рычажных-механизмов (рис. 1).
а) код 42/0
б) код 51/1
в) код 60/2
Рис. 1. Примеры разных типов структуры в виде двухконтурных шестизвенных кинематических цепей Уатта и Стефенсона (а), цепей (б, в) и одноподвижных механизмов (г, д, е) с одним (б, г, с)) и двумя (б', е) сложными шарнирами (д — парадоксальная кривошипная сборка II типа за счет параллельной установки АО,, ВОу СД)
На рис. 1, г, д, е приведены результаты образования из двухконтурных кинематических цепей (показанных на рис. 1 а, б, в) девяти возможных схем шестизвенных рычажных механизмов со сложными шарнирами.
В результате кинематического анализа синтезированных схем шестизвенных механизмов со сложными шарнирами (рис. 1) автором обнаружено существование в кривошипных механизмах (в дополнение к ранее установленным [12, с. 101]) другого типа парадоксальных сборок — не связанных с периодичностью угла поворота входного звена механизма (назовем их «парадоксальными сборками II типа» и дадим им свое определение).
Парадоксальная кривошипная сборка II типа — сборка, существующая при любом положении входного звена, при которой одно из формально подвижных при монтаже звеньев механизма при его движении остается кинематически неподвижным (относительно стойки — рис. 1, д или другого звена — рис. 2) без приложения к нему тормозного момента (т.е. возникает своеобразный «кинематический тормоз»).
№ 11 2006
Рис. 2. Примеры парадоксальных кривошипных сборок II типа в двух подвижных механизмах
(м о нтаж В()2 и арал л ел ьн о ЛО ,)
Показанный на рис. 1, д пример парадоксальной сборки II типа представляет собой новую схему: «Рычажный механизм В.И. Пожбелко»(иатент RU 2246056) — это двух-контурный шеетизвенный сдвоенный параллелограммный механизм с одним сложным (совмещенным на стойке) двойным шарниром, в котором одна из формально подвижных при монтаже механизма сторон параллелограмма остается неподвижной относительно стойки (со = 0) при неограниченном вращении входного звена (со, ф 0).
Отличительный признак парадоксальных кривошипных сборок II типа — функция положения механизма тождественно равна пулю (график функции отсутствует) независимо о т области существования сборки (при любом угле поворота кривошипа), т.е. кинематическая остановка выходного звена может продолжаться неограниченное время при непрерывном вращении приводного двигателя и входного звена механизма (о) ф 0) без разрыва кинематической цепи,
12. Структурная математическая модель механической системы без избыточных связей — представляет собой совокупность (систему) алгебраических уравнений, содержащих структурные параметры, характеризующие строение механической системы, и предназначенных для расчета числа звеньев и числа связей (кинематических пар, гибких и динамических связей), необходимых для образования (составления) из них кинематических цепей механизмов без избыточных связей.
В [7] на основании изложенных выше понятий автором составлена универсальная структурная математическая модель разнообразных (как однородных, т. е. содержащих все замкнутые контуры одного класса h = const; так и неоднородных, содержащих замкнутые контуры разных классов h = 1—6) механических систем любого уровня сложности (Г=-1, У = 0, У = 1, Y— 2 ...):
(p + g + d) = i[wi + 2w2+3fi3+... +(y+2)-/ir.2+v], (1)
п = л + п2 + Л + ... + пу 2, V = V2+2V3+3V4+ ... < 2У;
K=(p + q + d)-h;K= Y+ 1;1 <У+2,
Н = \ /i = l
Математическая модель (1) позволяет решать задачу структурного синтеза механизмов без избыточных связей по заданным входным параметрам, включающим допускаемый уровень сложности синтезируемой кинематической цепи (У), подвижность звеньев в каждом из замкнутых контуров (h)9 подвижность кинематических пар (Я), число гибких
№ ¡1 • 2006
связей (#), число динамических связей (с/) и требуемое число степеней свободы синтезируемых механизмов (IV). Полученные на ЭВМ решения универсальной структурной математической модели (1) объединены в сводную таблицу в работе [7, с. 19, табл. 2] и представляют подробно рассмотренные ниже расчетные наборы чисел двух-, трех-, четырех- и т. д. многопарных звеньев замкнутых кинематических цепей с простыми (у = 0) и со сложными (V Ф 0) шарнирами для образования из них одноподвижных и многоподвижных механизмов.
Примечания. Задавая в математической модели (1) различный уровень сложности синтезируемых замкнутых кинематических цепей (Г= 0, У = 1, У = 2, ...), получаем:
а) при У - 0 — нулевое решение (одноконтурные цепи нулевого уровня сложности К = У -н 1 = 1 с наиболее сложным по числу связей звеном в пределах / = У+ 2 = 2);
б) при У = 1 — первое решение (двухконтурные цепи первого уровня сложности К = К+ 1 = 2,1 = У + 2 = 3); и т. д. до максимально допускаемого числа замкнутых контуров проектируемого механизма.
В частном случае (плоские однородные механизмы с простыми шарнирами, без гибких и динамических связей, содержащие замкнутые контуры только 3-го класса-— /? =.3) универсальная структурная математическая модель (1) вырождается в известные зависимости Грюблера [17, с. 104], формулы Чебышева и Гохмана [17, с. 83], структурные решения на основе которых заранее будут ограничены указанными рамками.
13. Теоремы о структу рном синтезе механических систем без избыточных связей.
На основании полученных в [7] аналитических решений универсальной структурной математической модели (Г) автором сформулированы следующие теоремы:
Теорема 1. Кинематические цепи без избыточных связей должны содержать не более К независимых замкнутых контуров класса 1% рассчитываемых по формуле:
й //=1
Следствие. Выполнение цепи с увеличенным числом замкнутых контуров К > К приводит к ее сборке с натягами и возникновению в ней избыточных связей, число которых с/ равно:
Теорема 2. Кинематические цепи без избыточных связей должны содержать не менее и двухсвязных (линейных) звеньев, рассчитываемых по формуле:
П2.....=3+Ф+У+ X К„ (И-3) + + сГ) + (/7, + 2пь + Ъпъ +...)- X (Я -\)рн. (2)
//=1 /7= 1
Следствие 1. Выполнение цепи с уменьшенным количеством двухсвязных (линейных) звеньев п? < п7 ^ приводит к возникновению в ней избыточных связей, число с]{ которых равно:
Я\ =П2»ш~П2-
Следствие 2. Согласно (2) простейший ( К = рх - п = I, V = 0) плоский механизм без избыточных связей (¡V = 1, одноконтурный /? = 3) должен быть четырехзвенным, а
2006
№ 11
простейший (К = р{ -~п = 1, V = 0) пространственный механизм (IV = 1, одноконтурный /7 = 6) — семизвенным.
На основании как универсальной структурной формулы IV [6] в математической модели (1), так и из совместного рассмотрения вышеуказанных первой и второй теорем о структурном синтезе, можно сформулировать следующий принцип структурного синтеза (правило проектирования) замкнутых кинематических цепей без избыточных связей (цепи любого типа — плоские и пространственные, однородные и неоднородные).
Принцип структурного синтеза кинематических цепей без избыточных связей. В кинематической цепи без избыточных связей суммарная подвижность кинематических пар и, соответственно, подвижность каждого из звеньев, образующих замкнутый контур класса /? —в каждом из независимых контуров цепи должна быть равна величине И (данное правило проектирования легко проверить на примерах любых групп Ассура — как одиозвенных с кинематическими парами разной подвижности, так и многозвенных с однонодвижными парами; как плоских, например И = 3, так и пространственных, например И ~ 6).
При м е ч а н и я, 1. Аналитическая зависимость (2) устанавливает при синтезе кинематических цепей без избыточных связей требуемую количественную взаимосвязь между разными структурными элементами механической системы (через конкретные значения V; g, с1, IV, рн , К1/, п2, пА, п5, п(), ...) и может быть использована, как уравнение для проверки правильности строения кинематических цепей плоских и пространственных механизмов — с точки зрения отсутствия вредных избыточных связей ( выполнение условия д = 0) в их структуре разного уровня сложности.
2. Используя математические зависимости (1) и (2), можно выполнить структурный синтез безызбыточных кинематических цепей, структурных групп Ассура и механизмов не только с традиционно четным числом звеньев [1, 3, 11, 12, 14], но и осуществить синтез безызбыточных структур с нечетным числом звеньев (1, 3, 5,...и т.д.) — примеры даны в [7] и рассмотрены ниже.
3. Задавая в выражениях (1) и (2) значения входных параметров плоской цепи нулевого уровня сложности: У = 0 (К = 1), IV = 0, g = 0, с\ - 0, Н = 2, И = 3, получаем следующее нулевое решение: п2 = 2 (с учетом стойки), из которого устанавливаем, что простейшая одноконтурная плоская группа Ассура будет однозвенной, т.е. представляет собой одно двупарное звено (одна кинематическая пара — одноподвижная, другая пара — двухподвижная, так как согласно указанной в структурной математической модели (1) универсальной формуле IV [6] суммарная подвижность кинематических пар в каждом замкнутом контуре плоской группы Ассура с 14/ = 0 должна быть равна И - 3).
4. Задавая в выражениях (1) и (2) значения входных параметров пространственной цепи нулевого уровня сложности: Г= 0 (К = 1), Ж = 0, # = 0, # = Я|пах = 5, /? = Л = 6, получаем следующее нулевое решение: л2 ы = 2 (с учетом стойки), из которого устанавливаем, что простейшая одноконтурная пространственная группа Ассура будет однозвенной, т. е. также представляет собой одно двупарное звено (но в этом случае одна пара должна быть одноподвижной, а другая — пятиподвижной, так как согласно указанной в структурной математической модели (1) универсальной формуле IV [6] суммарная подвижность кинематических пар в каждом замкнутом контуре пространственной группы Ассура с IV = 0 должна быть равна И = 6).
14. Кодирование кинематических цепей механизмов без избыточных связей — формализованное представление строения цепи в виде набора чисел (кода), отображающих количество двух-, трех-,..., и т. д. многосвязных (многопарных) звеньев и соединяющих их простых (случай у = 0) и сложных (случай у^ 0) шарниров.
№ 11 - 2006
Предлагаемая [5, 7] запись кода замкнутой кинематической цепи механизма в виде дроби
V ' V2,v3îv4...
содержит следующую информацию:
а) количество цифр в числителе кода указывает число независимых замкнутых контуров цепи, а сумма этих цифр указывает общее число звеньев цепи (со стойкой);
б) числитель дроби указывает требуемое (для построения безызбыточной цепи) количество звеньевгс определенным числом связей (кинематических пар), а знаменатель дроби указывает, какие шарниры нужны для их соединения;
в) схемы, у которых код (т.е. набор пу nv пу .... v) совпадает, относятся к одному типу структурных схем механизмов.
В [7] приведена составленная на основе решений универсальной структурной математической модели (1) полная сводная таблица кодов от четырех до двенадцатизвенных цепей плоских рычажных одпоподвижиых-механизмов, из которой следует: -
1) нулевой уровень сложности (У = 0) — существует только одна четырехзвснная одноконтурная кинематическая цепь (код 4/0);
2) первый уровень сложности (У - 1) — существует только 3 типа структур шести-звенных двухконтурных цепей (коды 42/0; 51/1 ; 60/2), т. к указанным в работе [1, с. 34, рис. 1.23] цепям Уагга и Стефенсона с простыми шарнирами (код 42/0) следует добавить показанные на рис. 1 еще 2 цепи с одним (v - vr= 1) и с двумя (v = v = 2) двойными шарнирами (коды 51/1 и 60/2);
- 3) второй уровень сложности (У - 2) — существует только 9 типов структур вось-мизвенных трехконтурных цепей, из которых к рассматриваемым в [12, рис. 21, табл.
I.2], [20, с. 16, табл. 1] 3-м типам цепей только с простыми шарнирами (коды 440/0; 521/0; 602/0) следует добавить 6 типов цепей с двойными шарнирами (коды 530/1; 611/1 ; 620/2_; 701/2; 710/3; 800/4), что существенно расширит диапазон приведенных в [12], [20] схем плоских механизмов и сделает его абсолютно полным;
4) третий уровень сложности (У = 3) — существует только 23 типа структур деся-тизвенных четырехконтурных цепей, из которых существует только 7 типов структур с простыми шарнирами (коды 4600/0; 5410/0; 6220/0; 6301/0; 7030/0; 7111/0; 8002/0); а также 5 типов структур с одним двойным шарниром, т. е. v2 = 1 (коды 5500/1; 6310/1; 7120/1 ; 7201/1; 8011/1); 4 типа структур cv? = 2 (коды 6400/2:" 7210/2; 8020/2; 8101/2); 3 типа с v2 = 3 (коды 7300/3; 8110/3; 9001/3); 2 типа структур с v2 - 4 (коды 8200/4; 9010/4); один тип структуры с v2 = 5 (код 9100/5) и один тип структуры с v2 = 6 (код 10.000/6);
5) четвертый уровень сложности (У = 4) — существует только 53 типа структуры двенадцатизвенных пятиконтурных цепей, из которых 15 типов структуры с простыми шарнирами (коды 48000/0, 56100/0,64200/0,65010/0,72300/0,73110/0,74001/0, 80400/0, 81210/0, 82020/0, 82101/0, 90120/0, 90201/0, 91011/0г10.0002/0) и 38 типов структуры со сложными шарнирами: 11 типов структуры с одним двойным шарниром, т.е. v2 = 1 (57000, 65100, 73200, 74010, 81300, 82110, 83001, 90210, 91020, 91101, 10.0011); 9 типов структуры с двумя двойными_шарнирами, т.е. v2 = 2 (66000, 74100, 82200, 83010, 90300, 91110, 92001, 10.0020, 10.0101); 6 типов структуры.с v, = 3 (75000, 83100, 91200, 92010, 10.0110, 10.1001); 5 типов структуры с v9= 4 (84000^ 92100, 10.0200, 10.1010,
II.0001); 3 типа структуры с v2 = "5 (93000, 10.1100, 11.0010); 2 типа структуры с v2= 6 (коды 10.2000/6 и 11.0100/6); 1 тип структуры с v2 = 7 (код 11.1000/7); 1 тип структуры с v = 8 (код 12.0000/8). Полный перечень всех 38 типов структуры двенадцатизвен-
№ 11 2006
ных цепей пятиконтурных механизмов со сложными шарнирами приведен ниже («Выводы»).
Сводный перечень указанных выше расчетных кодов [7] можно применить для решения следующих задач.
I. Идентификация различных структурных схем механизмов с точки зрения выявления (по несовпадению кода анализируемого механизма с требуемым табличным кодом) дефектов строения (приводящих к вредным избыточным связям) и определения путей их устранения.
1) Например, приведенный в [1, с. 24, рис. 1.14] десятизвенный механизм привода крючковых игл основовязальной машины содержит п2 = 8, л = 1, и = 1, ns = 0, v2= 3, т.е. имеет код 8110/3, является четырехкоптурным К = 4 (так как числитель кода содержит 4 цифры) и относится к структурам третьего уровня сложности (Y - К- 1 =3). Такой код есть в рассмотренной выше сводной таблице кодов [7], следовательно, в плоской схеме данного механизма нет особо вредных избыточных связей (¿/( = 0) и по терминологии [11J он является рациональным.
2) Приведенный в [1, с. 19, рис. 1.7] механизм двойного параллелограмма имеет строение цепи п^ = 3, пъ= 2, v - 0 (код 32/0). Такой код отсутствует в рассмотренном выше перечне кодов двухконтурных цепей первого уровня сложности (У = 1). Для устранения дефектов строения цепи (наличие избыточных связей ц ф 0) нужно изменить структуру цепи согласно одного из трех кодов (42/0; 51/1; 60/2) [7, рис. 2].
3) Рассчитанный математически [12, с. 20, табл. 1.1] один из 8 типов структуры десяти-звенной кинематической цепи с простыми шарнирами (а именно: п2 = 7, /7,= 1, п = 2, /7_ = 0, v = 0) отсутствует в перечне сводной таблицы перечисленных выше 7 вариан тов кодов третьего уровня сложности [7] и поэтому механизм с кодом 7120/0 на практике неосуществим.
Это можно доказать более простым и наглядным способом — так как каждая связь (в данном случае это простой шарнир) соединяет два звена, то удвоенное число связей (шарниров) на всех по отдельности рассматриваемых звеньях в любой цепи должно быть четным. Указанное правило четности: 2(р + g + d) = четное число — в данной цепи с кодом 7120/0 не выполняется, так как удвоенное число кинематических пар равно нечетному числу: 2р = 2п1 + 3/73 + 4п, + 5п.= 2-7+ 3-1 + 4-2 = 25.
II. Определение кодов и построение механизмов повышенной подвижности (W > 1), не содержащих избыточных связей. Для этого согласно указанной во второй теореме синтеза (2) прямой зависимости между я и W [7] достаточно просто увеличить число двухсвязных (двупарных) звеньев пропорционально увеличению W.
Например, используя код 6301/0 десятизвенного механизма третьего уровня сложности с W = 1 (имеющего строение /?2= 6, и3 = 3, пА = 0, п5= 1, v = 0), можно легко рассчитать код механизма, например, с W7 = 3. Для этого нужно соответственно увеличить п2 до п2 = 6 + (fV2— W{) = 8, т.е. искомый код цепи трехподвижного механизма должен быть 8301/0. На практике рассчитанному коду 8301/0 действительно соответствует двенадца-тизвенный плоский механизм привода плагин основовязальной машины с тремя степенями свободы, не содержащий избыточных связей в плоской схеме [1, с. 25, рис. 1.15].
Примечания. 1. Аналогично без дополнительного решения системы структурных уравнений (1) можно рассчитывать код и построить структурную схему многоподвижного механизма с нечетным числом звеньев цепи. Например, используя рассчитанный [7] для двенадцатизвенных механизмов четвертого уровня сложности с W = 1 код 56100/0 (п2 - 5, /7.= 6, /7{= 1, п. = 0, п(> = 0, v = 0), можно за счет увеличения согласно второй теореме синтеза (2) на единицу числа двупарных звеньев (до п^ 6) рассчитать код нового механизма с IV = 2 (это будет код 66100/0) и на основании его одноподвижный двенадцатизвенный ме-
M 11 . _ 2006
ханизм [17, с. 100, рис. 3.4] преобразовать в тринадцатизвенный двухподвижный механизм тоже без избыточных связей.
2. Аналогично без дополнительного решения системы структурных уравнений (1) можно составить код кинематической цепи механизма с парами увеличенной подвижности (Я > 1). Например, задавая в зависимости второй теоремы (2) значения H = 2, Pu = Р~2~ ' ' т-е- заменяя в структуре цепи одну из пар на двухподвижиую, из выражения (2) определяем г п2 = 3 + W - (Я - 3 + 1 - (2 - \ )р2 = 3, т. е. получаем структуру плоского трехзвенного одноконтурного механизма (кулачкового или зубчатого).
3. Так как при увеличении подвижности синтезируемого механизма W (что требует увеличения числа двупарных звеньев л ) или при увеличении подвижности применяемых кинематических пар Я (что приводит, наоборот, к уменьшению п.,) число цифр в коде синтезируемого механизма не изменяется, то можно утверждать, что число замкнутых контуров К является органической характеристикой механизма, независящей от величины W и Я.
4. Подставляя в три первых уравнения математической модели (1) соответствующие структурные параметры анализируемой механической системы, можно по выполнению этих уравнений идентифицировать (распознать) замкнутые кинематические цепи без избыточных связей (как с простыми, так и со сложными шарнирами). Такая процедура распознавания на практике (п. 14) сводится к проверке соотве тствия кода анализируемой цепи — рассчитанному по уравнениям (1) набору кодов рациональных механизмов.
Выводы
1. С учетом применения при структурном синтезе сложных шарниров установлено существование следующих типов структуры замкнутых кинематических цепей плоских рычажных одноподвижных механизмов без избыточных связей:
а) 1 тип структуры одноконтурных четырехзвенных механизмов с простыми шарнирами (механизмы нулевого уровня сложности);
б) 3 типа структуры одноконтурных шестизвенных механизмов — из них 2 дополнительных типа структуры со сложными шарнирами: 51 ( v2 = 1 ) и 60 ( v2 = 2 ) — механизмы первого уровня сложности:,
в) 9 типов структуры трехконтурных восьмизвенных механизмов — из них 6 дополнительных типов структуры со сложными шарнирами:-530, 611 (v2 = 1 ); 620, 701 ( v2 = 2 ); 710 ( v2 = 3); 800 ( v2 =4 ) —механизмы второго уровня сложности;
г) 23 типа структуры четырехконтурных десятизвенных механизмов — из них 16 дополнительных типов структуры со сложными шарнирами: 5500, 6310, 7120, 7201, 8011 (v2 =1); 6400, 7210, 8020, 8101 (v2 =2); 7300, 8110, 9001 (v, =3); 8200, 9010 (v2 =4); 9100 ( v2 = 5); 10.000 (v2 =6) —механизмы третьего уровня сложности;
д) 53 типа структуры пятиконтурных двенадцатизвенных механизмов — из них 38 дополнительных типов структуры со сложными шарнирами: 57000, 65100,73200,74010, 81300, 82110, 83001, 90210, 91020, 91101,10.0011 ( v, = 1 ); 66000, 74100," 82200, 83010, 90300, 91110, 92001,10.0020,10.0101 (v, =2);75000,83100,91200,92010,10.0110,10.1001 (v9 - 3); 84000, 92100, 10.0200, 10.1010, f1.0001 (v2 = 4); 93000, 10.1100, 11.0010 (v2 = 5); 10.2000, 11.0100 (v2 = 6); 11.1000 ( v2 = 7 ); 12.0000 (v2 =8 ) —механизмы четвертого уровня сложности.
2. Математическая запись (11) теоремы 2 о структуре кинематических цепей без избыточных связей, которой удовлетворяют все перечисленные выше типы структуры, может быть использована, как уравнение для проверки правильности строения кинематических цепей механизмов — с точки зрения отсутствия вредных избыточных связей (выполнение условия q = 0) в их плоской структуре разного уровня сложности.
М П 2006
3. Установлено, что только на основе применения сложных шарниров в плоских шестизвенных рычажных механизмах (IV = 1) удается реализовать парадоксальную кривошипную сборку, отличающуюся от обычных сборок пулевой функцией положения выходного (формально подвижного) звена при любых значениях угла поворота начального звена механизма (т. е. с неограниченной областью существования).
4. В полноте рассмотренных выше и рассчитанных для каждого уровня сложности (У= 0; ¥= 1; У = 2; У ^ 3; У = 4) наборов кодов разных типов структуры (вариантов строения) замкнутых кинематических цепей можно убедиться путем безуспешных попыток обнаружения каких-либо противоречащих данным кодам структурных схем механизмов без избыточных связей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Механика машин: Учебное пособие для втузов/ И. И. Вульфсоп, М.Л. Ерихов, М.З. Колонок ни и др.; Под ред. Г.А. Смирнова. — М.; Высшая школа, 1996. — 511 с.
2. Ев т р а ф о в А. М. Расчет и проектирование механизмов и машин с помощью ЭВМ. — СПб.: Изд-во СПб I "ГУ, 1992. — 80 с.
3. Евграфов А. Н,, К о л о в с к и й М. 3., П ет ров Г. П. Теория механизмов и машин: Учебное пособие. — СПб: Изд-во СПб ГПУ, 2003. — 240 с.
4. Теория механизмов и механика машин; Учебник для втузов / К.В. Фролов, С.А. Попов, А.К. Мусатов и др.; Под ред. К. В. Фролова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. — 664 с.
5. Г1 о ж б е л к о В, И. Теория структуры механических систем // Методы решения задач синтеза механизмов; Учебное пособие. — Челябинск: ЧГТУ, 1993. — С. 19—56.
6. По ж бе л ко В.И. Универсальная структурная формула и классификация механических систем л 106011 структуры // Известия вузов. Машиностроение . — 2000. — №1—2. — С. 3—10.
7. По ж белкоВ.И. Структурный синтез и анализ механических систем произвольной структуры заданного уровня сложности // Известия вузов. Машиностроение. — 2000. — № 5—6. — С. 13—25.
8. П о ж б е л к о В. И. Ун и версал ьн ы е формул ы стру кту р н о го а нал и за и с и I гге з а м еха ни зм о в с н о з и цн й « ч ер но го ящика» // Проблемы механики современных машин. Материалы второй межд. конф. (21—26 июня 2003 г.), Т. 1. — Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2003. — С. 31—34.
9. П о ж б е л к о В. И. И не рци он но-импульсные приводы машин с динамическими связями. — М.: Машиностроение, 1989.— 136 с.
10. К р а й н е в А. Ф. Механика (искусство построения ) машин. Фундаментальный словарь. — М,: Машиностроение, 2000. —904 с.
11. Р е ш е т о в Л. Н, Конструирование рациональных механизмов. — М.: Машиностроение, 1972. — 256 с.
12. П е й с а х Э. Е., Н е с т е р о в В. А. Система проектирования плоских рычажных механизмов. — М.: Машиностроение, 1988. — 232 с.
13. П е й с а х Э. Е. О терминологии по теории механизмов и машин. — «Теория механизмов и машин», С.-Петербургский государственный университет, 2004, №2(4). — С. 80—94.
14. П е й с а х Э. Е. О структурном синтезе рычажных механизмов (Комментарии к статье Л.Т. Дворникова «Опыт структурного синтеза механизмов» //ТММ, 2004, №2(4)). — «Теория механизмов и машин», С.- Петербургский государственный университет, 2005. — №1(5). — С. 77—80.
15. Теория механизмов и машин. Терминология. АН СССР. — М.: Наука, 1984. — 120 с.
16. П о п о в С. А,, Тимофеев Г. А. Курсовое проектирование по теории механизмов и механике машин: Учебное пособие для втузов / Под ред. К.В. Фролова. — М.: Высшая школа, 1999. — 35 I с.
17. К о ж е в и и к о в С. Н. Основания структурного синтеза механизмов. — Киев: Наукова думка, 1979. — 232 с.
18. О з о л О. Г. Теория механизмов и машин. — М.: Наука, 1984. — 432 с.
19. С м ел яг и н А. И. Структура, структурный анализ и синтез механизмов: Учебное пособие. — Новосибирск: НГТУ, 1997.— 107 с.
20. Д в о р н и к о в Л. Т. Опыт структурного синтеза механизма. — «Теория механизмов и машин», С,— Петербургский государственный университет, 2004, №2(4).— С. 3—17.
21. К о ж е в и и к о в С. Н. Теория механизмов и машин. — М.: Машиностроение, 1973. — 592 с.
