Развитие методического и инструментального программного обеспечения аналитического моделирования стохастических систем с эллиптическими нелинейностями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.62

Синицын И.Н.

Федеральный исследовательские! центр "Информатика и управление" РАН, г. Москва, Россия

РАЗВИТИЕ МЕТОДИЧЕСКОГО И ИНСТРУМЕНТАЛЬНОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С

ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

Аннотация

На основе приближенных методов нормальной аппроксимации (МНА) и статистической линеаризации (МСЛ) разработано методическое, алгоритмическое и экспериментальное программное обеспечение для аналитического моделирования нормальных (гауссовских) процессов в дифференциальных стохастических системах (СтС) с эллиптическими нелинейностями, описываемые функциями Якоби, Вейерштрасса и др. Создан банк коэффициентов МСЛ для типовых эллиптических нелинейностей (ЭН). Инструментальное программное обеспечение на базе МНА (МСЛ) выполнено в среде МАТ1АВ-МАР1Е. Приводится тестовый пример.

Ключевые слова

Метод аналитического моделирования (МАМ;, метод нормальной аппроксимации (МНА); метод статистической линеаризации (МСЛ); стохастическая система (СтС); эллиптическая нелинейность Вейерштрасса (ЭНВ); эллиптическая нелинейность Якоби (ЭНЯ).

Sinitsyn I.N.

Federal Research Centre "Information and Management" of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia

DEVELOPMENT OF METHODOLOGICAL AND SOFTWARE SUPPORT FOR ANALYTICAL MODELING OF STOCHASTIC SYSTEMS WITH ELLIPTIC NONLINEARITIES

Abstract

The article deals with methodical, algorithmic and experimental software developed on the basis of approximate methods of normal approximation and statistical linearization. The software is designed for analytical modeling of normal (Gaussian) processes in differential stochastic systems with elliptic nonlinearities described by Jacobian functions, Weierstrass functions etc. A bank of statistical linearization coefficients is created for typical elliptic nonlinearities. Software tools based on methods of normal approximation are designed in MATLAB-MAPLE. Test example is given.

Keywords

Elliptic Jacobi nonlinearity (EJN); elliptic Weierestrass nonlinearity (EWN); method of analytical modeling (MAM); method of normal approximation (MNA); method of statistical linearization (MSL); stochastic systems (StS).

Введение

В [1-3] начат цикл статеи по методам и инструментальным программным средствам аналитического моделирования процессов в стохастических системах (СтС) со сложными нелинейностями, описываемыми такими специальными функциями, как Бесселевы целого и дробного порядка, а также связанными с ними функциями.

Рассмотрим развитие [4] на случаи ЭН, описываемых функциями Якоби, Вейерштрасса и

тэта-функциями. На основе расширенного методического обеспечения и программных средств [1-3] создадим банк данных коэффициентов МСЛ для типовых ЭН, далее разовьем экспериментальные программные средства в среде MATLAB-MAPLE и, наконец, проведем тестирование разработанных средств на примере эллиптического осциллятора Якоби в стохастической среде.

Методическое обеспечение

(n-myf

Эллиптические нелинейности Якоби и их °

статистическая линеаризация. Как известно [5, 6], кэ_ , 1 — Г (п —т ) Э (пд) еХр ---— dц.

Э_э( ) 1 у2яО —° У ' 2D

эллиптическая

функция Якоби э_э (и) У I. У ] (10)

определяется через эллиптический интеграл В случае векторных и матричных ЭНЯ

первого рода: полученные формулы имеют место для

F ( фл 2)=j^=dt

о V1-

соответствующих компонент.

2.2

k sin t (1) Алгоритмы аналитического моделирования

k ф п нормальных процессов в СтС с ЭНЯ. Уравнения

где Л - модуль интеграла; г - амплитуда. Далее к к ^ „ ^

конечномерных непрерывных нелинейных систем

пусть ^ ^ ^

ф со стохастическими возмущениями путем

и= J Vl—k^siñ^í dt ф = amи расширения вектора состояния СтС могут быть

о ' (2) записаны в виде следующего векторного

т, i ^ стохастического дифференциального уравнения

Тогда первые три из 12 эллиптических функции и [6 рт

Якоби определяются следующими формулами: [ -

. , i i ГГТ^Т dY=a3( Y ,t) dt+b3 (Yf,t) dW0 +

sn и =siñ ф, cn и = cos ф, dn и = Л (ф ) = Vl-k sin t. (3) t y t' ' v ' 0

Обозначим через K и K' полные J c3(Yt,t,v)P0(dt,dv),Y(t0) = Y0.

эллиптические интегралы, когда ф = п/2 : й° (11)

K(k)=F(я/2,k)=K'(k'), k =Vl-k2, _ Yt ( DXl) „

^ " ' Здесь t - (fXJ-) -мерные вектор состояния,

K '(k) = F (n /2,k') = K(k') (4)

и дополнительные параметры Якоби q и q

Yte^y f ^y - многообразие состоянии);

аэ = аэ(Y,,t) b3 = b3(Y,,t) ( „x1)

v t ' и v t ' - известные

/ я- Л , , ^ / г и r - известные (pvi)-

q=q(k ) = expl--— \,q =q (к ^етр!-—-). ( v ) Y t

\ — / \ —/ (5) мерная и (pvm) -мерная функции t и t;

Тогда разложение в ряд по параметру Якоби q Wo=W0(f) - (rvi) -мерныи винеровскии

и аргументу0 (и= nu/2K) имеет следующий вид: стохастический процесс (СтП) интенсивности

да П + 1/2 /Л э э/-,г , \

'u|k2 ) = -^ sin [(2 n+ i) и], V0 = V; c = (Yt't'u) - (pv1) -мерная

k - n=0 1-q2 n + 1 YA (qv1)

функция t и вспомогательного (4v±) -

г, да П+1/2

'^H^i^^-1 '»i- f61 jdP«{l,A)

n =

dn(u|k2)=-^+^ У -^cos(2nu).

11 ; 2 K K n=0 1 +q2 n 1 1

Рассмотрим скалярную ЭНЯ следующего вида:

Z = Э(Y ,t). m J dP0(t,A) = J dP(t,A) = J VP( t,A) dt.

( ) & & &

Применим статистическую линеаризацию ЭНЯ '

по Казакову [6-8] при действительном J

несимметричном (туФ0) гауссовском При этом принято: & - число скачков

Y пуассоновского СтП в интервале времени

(нормальном) входном сигнале t : &=( t t ] V (t A)

„с.ч о T,0 ^ 2 ; ^ - интенсивность

Yt = Y (t )=my+Yt,Yt = Yt-my, (8) P (t A) A

пуассоновского СтП P ( t , A ) ; - некоторое m =Y n

где у t - математическое ожидание; R4

D =( y 0 )2 y0 борелевское множество пространства 0 с

у ( t' - дисперсия; t - центрированная ,, Y„

n .„^п выколотым началом. Начальное значение 0

составляющая. В соответствии с МСЛ зависимость „ „

представляет собои случаиную величину, не

(7) аппроксимируется следующим выражением:

Zt= Э0( my,Dy,t) + k^ (my,Dy,t )Y°°. (9) зависящую от приращении 0 (t) и P (t>A) на

Здесь Э0 = Э0(my,Dy,t) и k1= k1 (my,Dy,t) интервалах времени, следующих за 1012 , коэффициенты МСЛ для (7), определяемые по для любого множества A . Элементы векторно-формулам r ^ матричных функций а(Yt;t) , b(Yt,t) и

Y ,t,v) t являются ЭН

В случае аддитивных гауссовских (нормальных)

n мерного параметра »

центрированная пуассоновская мера,

определяемая

= , 1 j Э(n,t)exp

0 V2 nD -да

У

(П-my)2

2 D

y

С (Y t v)

dn, t' ' являются ЭНЯ.

и обобщенных пуассоновских возмущении уравнение (11) принимает вид [6-8]

7=аэ( ]+Ь0 (с) У,У = Ъ ,7 (t0)=Y . (12)

Здесь ^ - СтП с независимыми приращениями, представляющий собои смесь нормального и обобщенного пуассоновского СтП.

Как известно [6, 8], если существуют конечные вероятностные моменты второго порядка для

моментов времени с1 и 12 , то уравнения МНА

для

математических

ш.

-= к (t ^ 2) «2!(ш -К Л)Т>К (tl 'с1 > К :

(13)

Здесь приняты следующие обозначения:

N 0 N 0 0 Т

ш =мЧ 7 ,70=7 -ш , К = М\ 7070Т,

t Лу с' с t с' с Лу с с '

«(Ь '2) = 702г-

«1=«! (ш(,К(,с )= мЦ« (),

4=4 (шt,кt,t )=«21 (шс,Кс,с)+

+ аэ21( ш{,К{,с)Т + аэ22( ш{,К{,с), - -- (ш(,К(,с ) = МЛа (Yt,t) ,

21 21*

ээ апп = ( ш

(ш^К^с )=М Л вэ( ), °э () = Ьэ () у0 (t )Ьэ ()Т

о ()=оэ () +

$ сэ( ) сэ ()Тур (t,dv),

Rq

0

М

д ^

К (11 ^ 2 ) = К

«()=а0 (шгК( )+к 1а (т1,К1) к? (ш(,К(,с )

(щ )«0( )Т

где

Ьэ () = ьэ (с), оэ () = Ъ*э (с) V(t )ЬЭ0( t)Т =оэ0( t).

Таким образом, приходим к следующим алгоритмам аналитического моделирования на основе МНА и МСЛ.

Утверждения. Если существуют интегралы (14), то уравнения (13) лежат в основе нестационарных алгоритмов МАМ для негауссовских СтС (11), а уравнения (15) - для негауссовских СтС (12). Для гауссовских СтС алгоритмы упрощаются, если принять

^ в (11) иУ=У0

V У 0

V = и 0

ожидании t ,

К

ковариационное матрицы с и матрицы

1 - К (с 1 )

ковариационных функции 1 2 :

ш с = «1 (ш^К^С) ,ш0 = ш( с 0), К с = «2( т(,К(,С) ,К 0 = К (С 0),

д К (с гс2) Т

в (12).

Для алгоритмизации МНА необходимо уметь вычислять следующие интегралы:

^ (ш(,К(,С ) = «1 (ш(,К(,С )=М1 [аэ( )], I э«= 11« )=а321 (ш1,К1,С ) = М1 [аэ( С) 70Т ],

(16)

(17)

(18)

а для МСЛ достаточно вычислить первьш интеграл

1эа

в (16), причем интеграл 1 вычисляется по формуле [6-8]:

1эд(ш„К„с)=аэ (ш„К„с)=М"\аэ(7, 0 22 1

кэа=к э« (ш(,К,С ) =

д д ш

10«(ш,К{Л )Т

(19)

Уравнения МНА (МСЛ) содержат интегралы 1а 1« 1

0' 1 0 в виде соответствующих коэффициентов.

Поэтому процедура вычисления интегралов

должна быть согласована с методом численного

решения обыкновенных дифференциальных

шt,Kt К (с. ) „

уравнение для с с и 1 2' . Эти

коэффициенты допускают дифференцирование по

(14)

ш

К.

где "г - символ вычисления математического ожидания для нормальных распределении на

гладком многообразии Лу .

В случае СтС (12) уравнения МНА переходят в известные уравнения МСЛ [6-8]:

ш с=«1( ш{'К{'1) ,ш0=ш( с0) > К с = к1« (шс,К,с )К + К к™ (ш(,К(,1 )Т + о0( с) ,К 0 =К (),

д К (с. ) Т

1 2 = К ( с1 ,с2 ) к1«( Шt,Kt,t2)T,

(15)

с и , так как под интегралом стоит сглаживающая нормальная плотность.

В [10] изложены алгоритмы дискретного аналитического и статистического моделирования типовых распределении (в том числе нормальных) в нелинейных СтС на многообразиях. Алгоритмы дискретного аналитического и статистического моделирования для СтС с СЭН, а также смешанные алгоритмы различной степени точности относительно шага интегрирования также представлены в [10].

Трудоемкость алгоритмов МАМ для СтС с нелинеиностями Веиерштрасса гораздо выше, чем трудоемкость для нелинеиностеи Якоби. Поэтому в таких случаях при использовании степенных разложении интегралов от сложных функции, основанных на интегралах Лапласа, целесообразно пользоваться выражениями эллиптических функции Веиерштрасса через эллиптические функции Якоби.

Для типовых ЭНЯ создан банк коэффициентов МСЛ.

Инструментальное программное обеспечение

Как известно [5, 6], в зависимости от

э

аналитической формы представления сложной эллиптической нелинейности (СЭН) различают следующие общие методы вычисления нелинейных функций:

- степенные разложения;

- многочленные разложения;

- дробно-рациональные приближения;

- асимптотические формулы и приближения;

- рекуррентные соотношения.

Для СЭН к числу эффективных специальных методов относятся методы разложении по параметру Якоби. Такие методы и алгоритмы описаны в разделе 1.

При разработке инструментального

программного обеспечения были использованы как традиционные, так и символьные средства, подробно описанные в [2, 3, 10].

Пример

Рассмотрим нелинейную двумерную СтС, описываемую следующими уравнениями:

У,_У 2,У2_-^2Э(У.,) + L0-2 £ы0У2 +

1"

1

"0

и01 2

+ 1( to )_у 10 ,У 2( to )_У

Здесь

У1 'У

2

э (У,

^п У,

(ЭОЯ);

0

на интервале времени

2 £(^оУ 2 -

"0

составляющая; составляющая,

линеиная

К°У -

представляющая

нормальный бельш шум интенсивности

0

Г2_ К22

К,

т 1=0, т1(^)_т10, 'т2_-(0э0(т1 ,Г1) +

+ L0-2Е(0т2, т2( t0

20,

Г 1=2 Кга^1 (to )_Dl0, Г 2_ - 2 [ ( Э 0( т1 ,Г1) К12+2 еы0Г2]+Ь 2 V, Г2( 10)_ Г20,

К12_Г 2-(2 к1( т1 ,Г1) Г1-2 £(0К 12 > К12 ( 10)_ К1

О Lo=0

В стационарном режиме при 0

имеем

V _ V

1.2 *

, ч * * * * h V

Э0 (0, Г1)=0, т.,=0, т*=0, К 12=0,

1

1

2

12

Г

1 определяется из уравнения

/ , 2 *\

к5П (0, Г*) Г1 _у

h V

\

4 £(

Здесь введены следующие обозначения:

(25)

к5п (0, Г1 _5П (Г1 )°=0 А5П (Ч )ехр

-а5П (Г1)

к8п( Г1 ) =

пГ

2к2, А8П(Ч к К2 " 1-q

п+1/2 2 п+1 '

_( п(2п + 1 К

Г1

—, q_exp

п

К ' (к)

(26)

при

*

пп/ £' ы0_0,1

вычислении 1 составляет 12% при 0 , а

Средняя квадратическая

*

Г,

лении 1 £ / о0_0,5

К(к) ошибка

20' (20) координата и скорость;

1' """ 1 - эллиптическая функция Якоби, определяющая эллиптический осциллятор Якоби

к

постоянная или медленно меняющаяся

Т=2пог

величина;

диссипативная

стохастическая

собои Ь2 V .

У У

постоянные параметры; 10 20 -нормальные независимые начальные координата и скорость.

Применяя уравнения МНА для Г1 К11 ,

12 и получим искомые уравнения аналитического моделирования ЭОЯ:

(21)

(22)

при 0 ' - 8%. Дисперсия скорости

вычисляется точно. Этого достаточно для решения типовых задач надежности систем виброударозащиты.

Заключение

На основе приближенных методов нормальной аппроксимации и статистической линеаризации разработано методическое обеспечение для аналитического моделирования нормальных процессов в гауссовских и негауссовских стохастических системах с нелинеиностями, описываемыми эллиптическими функциями Якоби, Веиерштрасса и другими связанными с ними функциями.

Создан банк коэффициентов статистической линеаризации для типовых эллиптических нелинеиностеи.

Разработано экспериментальное

инструментальное программное обеспечение в среде MATLAB-MAPLE и комплекс тестовых примеров для научных и образовательных целеи.

На примере эллиптического осциллятора Якоби в стохастической среде показано, что разработанные средства дают результаты качественно совпадающие с точным решением в стационарном режиме. Кроме того, для нестационарных режимов средств оценивания и прогнозирования эффективного времени релаксации для стохастических стационарных и ударных воздействий.

Представляет интерес развитие полученных результатов для параметрического

аналитического моделирования методами моментов, квазимоментов и ортогональных разложений согласно [7, 8].

Работа выполнена при финансовой поддержке Программы 111.3 «Отделения нанотехнологий и информационных технологий РАН» (№0063-20160018).

2 4£°о' (23)

а

п

Литература

1. Синицын И. Н., Синицын В. И., Корепанов Э. Р. Моделирование нормальных процессов в стохастических системах со сложными трансцендентными нелинеиностями // Информатика и ее применения, 2015. Т. 9. Вып. 2. С. 23-29.

2. Синицын И. Н. Аналитическое моделирование процессов в динамических системах с цилиндрическими бесселевыми нелинеиностями // Информатика и ее применения, 2015. Т. 9. Вып. 4. С. 39-49.

3. Синицын И. Н., Корепанов Э. Р., Белоусов В. В. Символьное аналитическое моделирование нормальных процессов в стохастических системах со сложными бесселевыми нелинеиностями дробного порядка // Системы и средства информатики, 2016. Т. 26. № 3. С. 26-47.

4. Синицын И. Н. Аналитическое моделирование нормальных процессов в стохастических системах с эллиптическими нелинеиностями Якоби / / Системы и средства информатики, 2017. Т. 27. № 1. С. 4-20.

5. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовича и И. Стигана. - М.: Наука, 1979. 832 с.

6. Попов Б. А., Теслер Г. С. Вычисление функции на ЭВМ: Справочник. - Киев: Наукова думка, 1984. 599 с.

7. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. - М.: Наука, 1990. 632 с. [Англ. пер. Stochastic Differential Systems. Analysis and Filtering. - Chichester, New York: Jonh Wiley, 1987. 549 p.].

8. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Теория стохастических систем. - М.: Логос, 2000; 2004. 1000 с. [Англ. пер. Stochastic Systems. Theory and Applications. - Singapore: World Scientific, 2001. 908 p.].

9. Синицын И. Н., Синицын В. И. Лекции по нормальной и эллипсоидальной аппроксимации распределении в стохастических системах. - М.: Торус Пресс, 2013. 488 с.

10. Синицын И. Н. Параметрическое статистическое и аналитическое моделирование распределении в нелинейных стохастических системах на многообразиях // Информатика и ее применения, 2013. Т. 7. Вып. 2. С. 4-16.

References

1. Sinitsyn, I. N. 2013. Parametricheskoe statisticheskoe i analiticheskoe modelirovanie raspredeleniy v nelineynykh stokhasticheskikh sistemakh na mnogoobraziyakh [Parametric statistical and analytical modeling of distributions in stochastic systems on manifolds]. Informatika i ee Primeneniya - Inform. Appl. 7(2) :4-16.

2. Sinitsyn I. N. 2015. Analiticheskoe modelirovanie protsessov v dinamicheskikh sistemakh s tsilindricheskimi besselevymi nelineynostyami [Analytical modeling of processes in dynamical systems with cylindric Bessel nonlinearities] / / Informatika i ee primeneniya. 9(4). 39--49.

3. Sinitsyn I. N., Korepanov E. R., Belousov V. V. 2016. Simvol'noe analiticheskoe modelirovanie normal'nykh protsessov v stokhasticheskikh sistemakh so slozhnymi besselevymi nelineynostyami drobnogo poryadka [Symbolic Analytical Modeling of Normal Processes in Stochastic Systems with Complex Fraction Order Bessel nonlinearities] // Sistemy i sredstva informatiki. 26(3). 26-47.

4. Sinitsyn I. N. Analiticheskoe modelirovanie normal'nykh protsessov v stokhasticheskikh sistemakh s ellipticheskimi nelineynostyami Yakobi [Analytical modeling of normal processes in stochastic systems with elliptic nonlinearities Jacobi] // Sistemy i sredstva informatiki, 2017. 27( 1). 4-20.

5. Spravochnik po spetsial'nym funktsiyam / Pod red. M. Abramovicha i I. Stigana. -- M.: Nauka. 1979. 832 s.

6. Popov B. A., Tesler G. S. 1984. Vychislenie funktsiy na EVM: Spravochnik. -- Kiev: Naukova Dumka. 599~s.

7. Pugachev V. S., Sinitsyn I. N. 1987. Stokhasticheskie differentsial'nye sistemy. Analiz i fil'tratsiya. - M.: Nauka, 1990. 632 s. [Angl. per. Stochastic Differential Systems. Analysis and Filtering. - Chichester, New York: Jonh Wiley. 549 p.].

8. Pugachev V. S., Sinitsyn I. N. } 2000; 2004. Teoriya stokhasticheskikh sistem. - M.: Logos. 1000 s. [Angl. per. Stochastic Systems. Theory and Applications. - Singapore: World Scientific, 2001. 908 p.].

9. Sinitsyn I. N., Sinitsyn V. I. 2013. Lektsii po normal'noy i ellipsoidal'noy approksimatsii raspredeleniy v stokhasticheskikh sistemakh [Lectures on Normal and Ellipsoidal Approximation in Stochastic Systems]. - M.: Torus Press. 488 s.

10. Sinitsyn I. N., Sinitsyn V. I., Korepanov E. R. 2015.Modelirovanie normal'nykh protsessov v stokhasticheskikh sistemakh so slozhnymi transtsendentnymi nelineynostyami // Informatika i ee primeneniya. 9(2). 23-29.

Поступила: 2.05.2017

Об авторе:

Синицын Игорь Николаевич, доктор технических наук, профессор, Заслуженный деятель науки РФ, главньш научньш сотрудник, Институт проблем информатики Федерального государственного учреждения «Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Россиискои академии наук» (ФИЦ ИУ РАН), [email protected]

Note on the author:

Sinitsyn Igor, doctor of Science in Technology, professor, Honored scientist of RF, principle scientist, Institiute of Informatics Problems, Federal Research Center "Computer Science and Control" of the Russian Academy of Sciences, [email protected]