Развитие метода локализации корней алгебраических уравнений, основанного на принципе вычислительной разрешимости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.896(075.8)

Керимбай Н.Н., Ергалиев Д.С., Нысанбаева А.Б., Керимбай Г.Н., Сергазы Н.Х.

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Астана, Казахстан РАЗВИТИЕ МЕТОДА ЛОКАЛИЗАЦИИ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ОСНОВАННОГО НА ПРИНЦИПЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ

Настоящая работа посвящена решению задачи развития технологии анализа динамических свойств многосвязных мехатронных систем (ММС) высокой размерности. Для этого наиболее перспективно использовать методы нахождения корней характеристического уравнения системы. Можно выделить две ключевые проблемы, от решения которых существенным образом зависит решения поставленной задачи анализа ММС. Первая проблема связана с построением границ расположения (локализации) корней характеристического уравнения систем управления. Вторая проблема посвящена разработке стратегий выбора начальных приближений для группы итеративных методов решения алгебраических уравнений [1]

Ключевые слова:

многосвязные мехатронные системы, системы автоматического управления, манипуляционные и транспортные роботы, методы локализации корней, принцип вычислительной разрешимости

Введение

Системы автоматического управления (САУ) в настоящее время широко используются в разнообразных областях - для управления космическими и другими подвижными объектами (в том числе и военного назначения), для управления сложными технологическими процессами в различных отраслях народно-хозяйственной деятельности и т.д. можно отметить также широкое использование САУ для управления бытовой техникой (пылесосы, холодильники и т.д.)

Накопленный к настоящему времени богатый опыт создания подобного рода систем свидетельствует о том, что эффективные САУ могут быть созданы лишь при активном использовании теории автоматического управления (ТАУ).

Разработанный к концу 80-х годов ХХ столетия усилиями зарубежных и отечественных ученых методы ТАУ позволяли исследовать процессы и синтезировать управляющие устройства для широкого класса сравнительно несложных систем управления. В то же время с конца 7 0-х годов ХХ столетия объектом особенно пристального внимания разработчиков становятся так называемые сложные технические системы. Эти системы состоят из большого числа динамически взаимодействующих элементов и описываются математическими моделями большой размерности. В качестве примеров таких систем можно привести:

Сложные объекты с распределенными параметрами, для управления которыми используется распределенное управление (задачи управления плазменными установками различного назначения и т.д.).

Экономические и экологические системы, для которых особенно остро стоят проблемы обеспечения управляемого поведения в условиях негативного влияния глобализации.

Сложные энергетические сети, в которых происходят аварии, связанные с неправильным расчетом режимов работы сложных энергетических сетей.

Сложные электромеханические системы (многозвенные роботы-манипуляторы и транспортные роботы, управляемые конструкции космических станций и т.д.).

Все перечисленные примеры объединяет то, что для описания процессов в таких системах приходится использовать аппарат систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СДУ) большой размерности (десятки, сотни и даже тысячи).

Последний пример систем играет особую роль в развитии научно-технического прогресса и их удобно объединить в единый класс многосвязных мехатронных систем. В состав таких систем входит большое число механически взаимосвязанных элементов, для управляемого перемещения которых достаточно часто используются различные приводы. Перечислим несколько примеров многосвязных мехатронных систем.

Манипуляционные и транспортные роботы. Это наиболее распространенный на практике класс многосвязных мехатронных систем. Известно, что использование промышленных роботов дает значительный эффект в машиностроении, микроэлектронике. В 80-90-х годах появляются примеры непромышленного

применения манипуляционных роботов. Отметим некоторые из них: медицина; чрезвычайные ситуации; космос.

Транспортные роботы также достаточно используются в промышленном производстве (транспортирование заготовок и готовой продукции) и разнообразных непромышленных областях - медицина, чрезвычайные ситуации, космос и т.д.

Мехатронные системы с параллельной кинематикой.

Реконфигурируемые мехатронные системы. В ряде странах ведутся работы по созданию многозвенных мехатронно - модульных роботов с адаптивной кинематической структурой. Использование типовых мехатронных модулей позволяет создавать различные по структуре механизмы, обладающие очень важными достоинствами по сравнению с механизмами с фиксированной кинематикой: многофункциональность; повышенную проходимость и реализуемость сложных движений; высокую надежность.

Большие космические конструкции (БКК). БКК представляют собой соединение большого числа механических тел, являющихся каркасом той или иной конструкции, например, системы солнечных батарей, больших радиотелескопов и высокочувствительных телескопов миллиметрового, субмиллиметрового и инфракрасного диапазонов.

Резкий прорыв в последние годы в развитии нано - и микротехнологий позволяет создавать новые типы сенсорных и исполнительных элементов различного назначения. Все это является предпосылкой к созданию нового поколения многосвязных ме-хатронных систем различного назначения, состоящих из большого числа динамически взаимодействующих элементов (модулей).

Прогресс в создании и разработке новых типов многосвязных мехатронных систем в значительной мере определяется возможностями методов исследования процессов и синтеза управляющих устройств таких систем. Существующие методы, как правило, не позволяют подходить комплексно к решению проблем, связанных со всем многообразием задач, необходимых для анализа и синтеза систем управления многосвязных мехатронных систем. Поэтому крайне актуальной является задача создания новых и модернизации существующих методов исследования подобных систем.

Цель и задачи работызаключается в развитие метода локализации корней алгебраических уравнений, основанный на принцип вычислительной разрешимости.

Для решении задач построения областей, в которых локализуются корни алгебраических уравнений, возможно использование нескольких методов.

1. Метод квадрирования исходного алгебраического уравнения.

При использовании этого метода происходит процесс «разведения» корней уравнения с последующим вычислением оценок для корней уравнения. Эффективность использования этого метода для определения области локализации корней существенным образом зависит от наличия априорной информации о структуре решения.

2. Использование метода Бернулли. При этом методе [2] строится конечноразностное уравнение, определяемое исходным алгебраическим уравне-

нием, и вычисляется бесконечная последовательность решений конечноразностного уравнения. При этом если отношение двух членов последовательности имеет предел, то этот предел является оценкой максимального по модулю корня алгебраического уравнения. Этот методможет быть использован для нахождения оценки для минимального по модулю корня алгебраического уравнения, а также существует модификация метода для случая комплексных корней. Как и в случае метода квадри-рования эффективность использования метода Бер-нулли существенным образом зависит от наличия априорной информации о структуре решения.

Метод рядов Лагранжа-Бюрмана. С идейной точки зренияэтот метод [3] схож с методом Бернулли. Исходному алгебраическому уравнению ставится в соответствие бесконечный ряд, который при определенных соотношениях между коэффициентами алгебраического уравнения может обладать свойством сходимости, при этом можно получить оценки для границ локализации корней. Использование этого метода для определения области локализации корней для произвольных алгебраических уравнений в настоящее время представляется проблематичным.

Методы локализации для различных случаев априорной информации о корнях алгебраических, уравнений. В работах [3]систематизированы результаты, позволяющие получить оценки для локализации корней полинома Ё(х.)гесли известна локализации корней полинома д(х),тем или иным образом связанного полиномом £(х). Такова теоремы Грейса о корнях аполярных полиномов, Гаусса-Люка, Йенсена, Сендова-Илиева о корнях £(х)и ^(х) и т.д. неизвестны работы, в которых исследовалась возможность использования подобных результатов для практического использования при отыскании корней уравнений.

Метод классических оценок в виде кругового кольца на комплексной плоскости. В этом случае рассматриваются оценки для минимального гт±п и максимального Гтахзначений модулей корней уравнений, восходящих к работам О.Коши[4]. Область локализации корней в этом случае представляется в виде кругового кольца на комплексной плоскости

с радиусами Гт±п и Гтах.

Метод неклассических оценок в виде кругового кольца на комплексной плоскости, полученных на основе теорем о границах локализации собственных чисел матриц с комплексными элементами. Этот подход обладает большей общностью, чем метод, описанный в п. 5; при этом удается не только получать оценки для значений гт±п и гтах кругового кольца, но и построить более детальную картину области, в которой располагаются собственные значения матрицы [5]. Важно отметить, что задача построения границ локализации корней исходного алгебраического уравнения сводится к эквивалентной задаче нахождения области локализации собственных значений сопровождающей матрицы уравнения.

7. Метод локализации, основанный на использовании принципавычислительной разрешимости алгебраических. уравнений. Этот методпредставляет определенную ценность, поскольку позволяет находить корни уравнений с приемлемой для практики точностью без использования итеративных алгоритмов [6].

В данной работе используются методы локализации корней, отмеченные в пунктах 5, 6, 7 по следующей причине - методы классических и неклассических оценок (п.п. 5 и 6) позволяют получать оценки для области локализации всех классов полиномов, при этом их вычислительная сложность сравнительно небольшая. Методы, описанные в п.п. 1-4 позволяют получать более точные оценки локализации корней для частных классов уравнений, однако при этом может быть затрачен больший вычислительный ресурс.

Для достижения цели нашей работы мы провели анализ и применение метода локализации, основанный на использовании принципа вычислительной разрешимости алгебраических уравнений.

Проблема перечисления классов разрешимых уравнений для произвольной степени уравнений, основанная на концепции Абеля-Галуа, не имеет решения, по крайней мере, в настоящее время.

Поэтому задача данной работы изучить класс уравнений над полем действительных или комплексных чисел, которые обладают следующим свойством - для нахождения решений уравнения требуется конечное число арифметических и радикальных операций. Будем называть такие уравнения разрешимыми в вычислительном отношении [6].

Новизна данной работы в том, что на базе принципа вычислительной разрешимости предложен метод локализации кратных корней алгебраических уравнений, дающий существенно более точные оценки для расположения кратных корней по сравнению с оценками, полученными для случаю отсутствия априорной информации о расположении корней.

3. Методология и алгоритм работы

Рассмотрим алгебраическое уравнение п - степени над полем комплексных или действительных чисел

Р(х) = хп + а1хп-1 + ■■■ + ап = 0. (1)

Нас будет интересовать в основном поле действительных чисел, поэтому в соответствии с теоремой Гаусса о корнях такого уравнения будет справедливой запись

Р(х) = П=1(х + "д • П7=1(х2 + Р,х+ц,). (2)

В (2) используются следующие обозначения: -а± - совокупность действительных корней уравнения (1), (¿ = 1,k);pjr д^-совокупность коэффициентов квадратного трехчлена,

определяющая сопряженные комплексные корни уравнения (] = 11, к); I + 2т = п.

Рассмотрим различные случаи:

1. Случай. Пусть уравнение (1) имеет единственный действительный корень а кратности п. Тогда выражение (2) принимает вид

„п I р1„п_1г

~2„П_2Г,2 _

СЦ-2х2ап-2 + С;!-1хап-1 + ап = 0. (3)

В выражении (3) используется положительное значениеа. Это используется для более простой формы выражения, при практическомиспользовании учитывается знак корней.

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях х выражений (1)и (3) и запишем

а" = ап, С"_1ап_1 = ап_1_, С^-1"п-2 — ■

а = а,

п-2,

С^а2 = а2, С^а = а1. (4)

Рассмотрим следующий вычислительный алгоритм, состоящий из п-этапов.

1 этап. Вычисляем присваем его а, т.е. а = ,\[а^. Переходим к следующему этапу.

2 этап. Проверяем справедливость равенства

и если оно имеет место,

то

переходим к следующему этапу; в противном случае вычислительный алгоритм завершается.

3 этап. Проверяем справедливость равенства ап_2 = СЦ_2ап_2 и далее как в п.2 и т.д.

На последнем п-этапе проверяется

справедливость равенства а1 = С^а.

Таким образом, в случае выполнения всех п этапов алгоритма мы можем придти к выводу, что наше исходное алгебраическое уравнение имеет единственный корень а кратности п. Заметить, что для этого нампотребовались только те операции, которые необходимы разрешимости алгебраического уравнения в радикалах в классической постановке задачи. Эффективность этого алгоритма очевидна, особенно по сравнению с итеративными алгоритмами решения уравнений.

Случай. Пусть уравнение (1) имеет различные действительные корни а и р кратности ти к соответственно, причем т+к=п. тогда можно записать Р(х) = (х + а)т(х + ¡3)к = хп + а1хп_1 + а2хп_2 + ■■■ + ап_2х2 + ап-1х + ап = 0. (5)

Раскроем левую часть уравнения (5) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной х, причем выпишем лишь следующие выра-

ап = атрк, ап_1 = (С£_1ат/Зк_1 + С,

^т_1 ~,т_1 рк

Рк), 42 =

(С^а2 + С1С£а/3 + С2р2), щ = (С& + С£/3). (6)

п

жения

Нетрудно видеть, что (6) представляет собой систему из четырех нелинейных уравнений относительно двух действительных переменных а и р и двух целых положительных переменных ти к, стесненных условием т+к=п. Пусть аг р, шг к- есть решение системы уравнений (6). Тогда для проверки справедливости первоначального предположения о том, что исходное уравнение имеет действительные корни а и р кратности т и к соответственно, необходимо проверить справедливость ровно (п-4) равенств, аналогичных описанным в п.1 и которые здесь не приведены.

Разумеется, в данном случае мы выходим за рамки рациональных ирадикальных операций, характерных для классической задачи о разрешимости уравнений, но описанный алгоритм имеет боль-шуюэффективность при отыскании кратных корней уравнений по сравнению с классическими итеративными алгоритмами. Следует заметить, что представленная схема нахождения решения предполагает вычисления с высокой точностью.

Рассмотренный способ нахождения решения алгебраических уравнений, основанный использовании понятия вычислительной разрешимости, может быть распространен и на другие случаи -действительные корни кратности, большей или равной трем, кратные комплексные корни различной размерности. Следует, правда, заметить, что сложность алгоритмов при этом увеличивается. Мы не будем приводить здесь соответствующие выражения для этих случаев, лишь подчеркнем, что использование подобного подхода, основанного на понятии вычислительной разрешимости уравнений, представляется крайне перспективным, поскольку позволяет построить новых класс вычислительных алгоритмов, имеющих атрибуты интеллектуальности. На необходимость построения подобных алгоритмов указывали еще такие признанные авторитеты как Дж.Х. Уилкинсон [7] и Дж. Трауб [8], полагавшие, что такие алгоритмы будут иметь большую эффективность по сравнению с чисто вычислительными версиями.

Описанный способ нахождения решений уравнений может быть использован для очень узкого класса уравнений, имеющих кратные корни. Однако этот класс уравнений чрезвычайно сложно решать с ис-пользованиемчисленных методов в силу плохой обусловленности.

Представленная схема нахождения решения уравнений с кратными корнями может быть использована

и для определения области локализации подобных уравнений.

Будем полагать, что уравнение Р(х) = хп + а1х"-1 + —+ ап = 0 имеет единственный действительный корень кратности п. Пусть некоторые из коэффициентов этого уравнения подверглись малым возмущениям.

Тогда рассмотрим следующий алгоритм

1 этап. Вычисляем [о^и присваем его а, т.е. а = [а^ .

2 этап. Проверяем справедливость неравенства

лп-1

1а'

£ -

произвольное положи-

тельное число; если оно имеет место, то переходим к следующему этапу, в противном случае вычислительный алгоритм завершается.

3 этап. Проверяем справедливость неравенства

lan-2 C¡

n-2an-2

2|<£ и далее как в п.2 и т.д.

На последнем этапе проверяется справедливость равенства 1а1 — С^а1 < £ .

т.е. записывается в виде

ап = ап, 1ап-1 — С%-1ап-11<£, 1ап-2 — С£-2ап-21 < £, ... 1а2 — С^;а21 < £, 1а1 — СЦа1 < £. (7) Если все п-1этапов рассмотренного алгоритма завершились успешно, то будем полагать, что все корни алгебраического уравнения XiУдовлетворяют неравенству

1а — х(1<8(£), (8)

где 8(е) - положительное число, зависящее от е.

Последнее выражение для 8(е) определяет более точную границу области локализации корней уравнений по сравнению с известными. В этом случае будем полагать, что корни лежат внутри окружности радиуса 8(е) с центром в а. Тогдагтах = S(E), аГтШ = 0

4. Заключение

В данной работе на основе сформулированного принципа вычислительной разрешимости алгебраических уравнение предложен метод точной локализации кратных корней уравнений. Принципиальной особенностью этого метода является то, что он позволяет находить корни уравнение с приемлемой для практики точностью без использования итеративных алгоритмов.

Использование принципа вычислительной разрешимости позволяет не только находить решение алгебраических уравнений без использования итеративных алгоритмов, но и может быть использован для более точной локализации корней уравнений с кратными корнями.

ЛИТЕРАТУРА

1. УилкинсонДж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. - М.: Наука, Гл. ред. Физ.-мат.лит, 1970.

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики..- М.: Наука, Гл. ред. Физ.-мат.лит, 1966.

3. Прасолов В.В. Многочлены. - М.: МЦИМО, 2003

4. Marden M. The Geometry of the Zeros of a Polynomial in a Complex Variable. - AMS, N.Y., 1949

5. Mignotte M. Mathematics for computer algebra. - N.Y. : Springer-Verlag, 1992.

6. Тягунов О.А. Развитие технологий прямых корневых методов в задачах исследования систем управления // Информационно-измерительные и управляющие системы. № 6, т.6, 2008. - с.с. 43-48

7. УилкинсонДж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. - М.: Наука, Гл. ред. Физ.-мат.лит, 1970.

8. Трауб Дэ1с. Итерационные методы решения уравнений. - М.:МИР, 1985.

УДК 519.876

Затучный1 Д.А., Овчинников2 В.В.

1ФУБОУ ВО «Московский государственный технический университет гражданской авиации», Москва, Россия

2Авиакомпания «Аэрофлот-российские авиалинии», Москва, Россия

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УРОВНЯ РЕГУЛЯРНОСТИ ПОЛЕТОВ ПО МНОЖЕСТВУ КРИТЕРИЕВ

В статье рассмотрены методика расчётов расходов авиакомпании, которые можно отнести к «техническим». В статье приведён многокритериальный выбора оптимального уровня регулярности полётов авиакомпании. Приведён перечень «технических» расходов авиакомпании. Даны формулы для расчёта этих затрат. Приведена формула потерь при снижении интенсивности полетов и налета часов на воздушное судно. Дана формула вычисления эффекта от повышения себестоимости авиаперевозок при снижении налета часов на одно списочное воздушное судно. Приведена формула расходов на авиационно-техническое имущество для выполнения работ по поддержанию летной годности воздушного судна силами собственного авиационно-технического центра. Рассмотрены, внешние и внутренние факторы, которые необходимо оценить, чтобы разобраться с реализуемой стратегией. Приведено правило выбора стратегии авиакомпании в части управления регулярностью полетов

Ключевые слова:

авиакомпания, «технические» расходы, стратегия управления деятельностью авиакомпании, анализ деятельности авиакомпании, регулярность полётов

п